材料条件付き

Logical connective

材料条件付き

暗示する
意味	${\displaystyle x\to y}$
真理値表	${\displaystyle (1011)}$
論理ゲート
正規形
分離的	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
接続詞	${\displaystyle {\overline {x}}+y}$
ジェガルキン多項式	${\displaystyle 1\oplus x\oplus xy}$
ポストの格子
0保存	いいえ
1保存	はい
単調	いいえ
アフィン	いいえ
自己双対	いいえ
v t e

物質的条件文（物質的含意とも呼ばれる）は、論理学でよく使われる二項演算です。条件文が物質的含意として解釈される場合、式はが真で が偽でない限り真となります。 ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

物質的含意は、古典論理のすべての基本体系だけでなく、一部の非古典論理でも用いられています。数学においては正しい条件付き推論のモデルとして想定されており、多くのプログラミング言語のコマンドの基礎となっています。しかしながら、多くの論理では、物質的含意を、厳密条件文や可変厳密条件文などの他の演算子に置き換えています。物質的含意のパラドックスや関連する問題のため、物質的含意は自然言語における条件文の有効な分析方法とは一般的に考えられていません。

表記

論理学および関連分野では、物質条件文は通常、中置演算子 を用いて表記される。^[1]物質条件文は、中置演算子および を用いても表記される。^[2]接頭辞付きポーランド記法では、条件文は と表記される。条件式 において、部分式は前件部と呼ばれ、後件部は条件文の帰結部と呼ばれる。条件文は入れ子にすることができ、前件部または帰結部自体が条件文となる場合がある。例えば、式 が挙げられる。 ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle Cpq}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

歴史

ペアノは『数理原理 新方法論解説』（1889年）で、「もしならば」という命題をC の反対の記号 Ɔ を用いてƆと表現した^。[3]彼はまた、この命題をƆとも表現した。^{[4] [5] [要出典]}ヒルベルトは1918年に「もしAならばB」という命題を のように表現した。^[1]ラッセルはペアノに倣って『数理原理』（1910-1913年）で「もしAならばB」という命題を のように表現した。ラッセルに倣って、ゲンツェンは「もしAならばB」という命題を のように表現した。ハイティングは「もしAならばB」という命題を最初は のように表現したが、後に右向きの矢印を用いて のように表現するようになった。ブルバキは1954年に「もしAならばB」という命題を のように表現した。^{[6] [7]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\supset B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

セマンティクス

真理値表

古典的な 意味論的観点から見ると、物質的含意は、第一引数が真で第二引数が偽でない限り「真」を返す二項 真理関数演算子です。この意味論は、次の真理値表で図示できます。

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\to B}$
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

同等性も考えられます。 ${\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}$

前提が偽である条件文は、「空虚な真理」と呼ばれます。例としては… ${\displaystyle (A\to B)}$ ${\displaystyle A}$

• ...誤り: 「マリー・キュリーがガリレオ・ガリレイの姉妹であるならば、ガリレオ・ガリレイはマリー・キュリーの兄弟である。」 ${\displaystyle B}$
• ...真実です: 「マリー・キュリーがガリレオ・ガリレイの姉妹であるならば、マリー・キュリーには兄弟がいることになります。」 ${\displaystyle B}$

分析的タブロー

接続詞の集合^{[8]上の論理式は}f-含意と呼ばれます。^[9]古典論理では、 （否定）、（連言）、（選言）、（同値）などの他の接続詞は、および（偽）の観点から定義できます。 ^[10] ${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \bot }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad A\to \bot \\A\land B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to (B\to \bot ))\to \bot \\A\lor B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to \bot )\to B\\A\leftrightarrow B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad \{(A\to B)\to [(B\to A)\to \bot ]\}\to \bot \\\end{aligned}}}$$

f-含意論理式の妥当性は、解析的表法によって意味的に証明することができる。論理規則は以下の通りである。

${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A\to B)}{{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A)\quad \mid \quad {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(B)}}}$	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A\to B)}{\begin{array}{c}{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A)\\{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(B)\end{array}}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(\bot )}$ : 分岐を閉じる（矛盾） : 何もしない（矛盾がないと断言するだけなので） ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {F}}}(\bot )}$

例:解析的表法によるの証明 ${\displaystyle p\to \neg \neg p\quad }$
F[p → ((p → ⊥) → ⊥)] | T[p] F[(p → ⊥) → ⊥] | T[p → ⊥] F[⊥] ┌────────┴────────┐F[p] T[⊥] | |矛盾 矛盾(T[p], F[p]) (⊥は真)

例:解析的表法によるの証明 ${\displaystyle \neg \neg p\to p\quad }$
F[((p → ⊥) → ⊥) → p] | T[(p → ⊥) → ⊥] F[p] ┌────────┴────────┐F[p → ⊥] T[⊥] | |T[p] 矛盾（⊥は真）F[⊥] |矛盾 (T[p], F[p]) ヒルベルトスタイルの証明については、ここまたはここを参照してください。

例:解析的表法によるの証明 ${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$
1. F[(p → q) → ((q → r) → (p → r))] | // 1から 2. T[p → q] 3. F[(q → r) → (p → r)] | // 3から 4. T[q → r] 5. F[p → r] | // 5から 6. T[p] 7. F[r] ┌────────┴────────┐ // 2から8a. F[p] 8b. T[q] X ┌────────┴────────┐ // 4から 9a. F[q] 9b. T[r] XX ヒルベルト風の証明はここにあります。

構文特性

真理値表による意味定義では、異なる性質が示される可能性のある様々な論理体系における、構造的に同一の命題形式を検証することはできない。ここで扱う言語は、 f-含意式に限定される。

次の（候補の）自然演繹規則を考えてみましょう。

含意の導入（I） ${\displaystyle \to }$ を仮定してを導出できる場合、 と結論付けることができます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}[A]\\\vdots \\B\end{array}}{A\to B}}}$（私） ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle [A]}$ルールを適用する際には、その前提は無視されます。	含意の排除（E） ${\displaystyle \to }$ このルールはmodus ponensに対応します。 ${\displaystyle {\frac {A\to B\quad A}{B}}}$（東） ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\frac {A\quad A\to B}{B}}}$（東） ${\displaystyle \to }$
二重否定消去（E） ${\displaystyle \neg \neg }$ ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}(A\to \bot )\to \bot \\\end{array}}{A}}}$（東） ${\displaystyle \neg \neg }$	ファルサム除去（E） ${\displaystyle \bot }$ falsum ( ) から任意の式を導き出すことができます。(例ファルソ・クドリベット) ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle {\frac {\bot }{A}}}$（東） ${\displaystyle \bot }$

• 最小論理：自然演繹規則を含意導入（I）と含意除去（に限定することで、（ヨハンソンの定義による）最小論理^[10]（の含意断片）が得られる。 ^[11] ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \to }$

最小限の論理によるの証明 ${\displaystyle P\to \neg \neg P\quad }$
1.  [ P ]  // 仮定する 2.  [ P → ⊥ ]  // 仮定する 3.  ⊥  // E (1, 2) ${\displaystyle \to }$ 4.  （P → ⊥） → ⊥）  // I (2, 3)、2を放電 ${\displaystyle \to }$ 5.  P → ((P → ⊥) → ⊥)  // I (1, 4)、1を放電 ${\displaystyle \to }$

• 直観主義論理：偽の除去（E）を規則として追加すると、直観主義論理（の含意フラグメント） ^[10]が得られます。 ${\displaystyle \bot }$

この文は、排中律を伴う逆の含意とは異なり、有効です (すでに最小論理において) 。 ${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

• 古典論理：二重否定除去（E）も許される場合、 ^[14]システムは（完全な！）古典論理を定義します。 ^{[12] [13] [15]} ${\displaystyle \neg \neg }$

定理の選択（古典論理学）

古典論理では、物質的含意は次のことを証明します。

対偶： ${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)\to (P\to Q)}$

1.  [ (Q → ⊥) → (P → ⊥) ]  // 仮定（9時に放電する） 2.  [ P ]  // 仮定（8時に放電） 3.  [ Q → ⊥ ]  // （6時に放電すると仮定） 4.  P → ⊥  // E (1, 3) ${\displaystyle \to }$ 5.  ⊥  // E (2, 4) ${\displaystyle \to }$ 6.  （Q → ⊥）→ ⊥  // I (3, 5) (3を放電) ${\displaystyle \to }$ 7.  質問  // E (6) ${\displaystyle \neg \neg }$ 8.  P → Q  // I (2, 7) (2を放電) ${\displaystyle \to }$ 9.  ((Q → ⊥) → (P → ⊥)) → (P → Q)  // I (1, 8) (1を放電) ${\displaystyle \to }$

ピアースの法則： ${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

1.  [ (P → Q) → P ]  // 想定（11時に放電） 2.  [ P → ⊥ ]  // 仮定（9時に放電する） 3.  [ P ]  // 仮定（6で放電する） 4.  ⊥  // E (2, 3) ${\displaystyle \to }$ 5.  質問  // E (4) ${\displaystyle \bot }$ 6.  P → Q  // I (3, 5) (3を放電) ${\displaystyle \to }$ 7.  P  // E (1, 6) ${\displaystyle \to }$ 8.  ⊥  // E (2, 7) ${\displaystyle \to }$ 9.  （P → ⊥）→ ⊥  // I (2, 8) (2を放電) ${\displaystyle \to }$ 10.  P  // E (9) ${\displaystyle \neg \neg }$ 11.  （（P → Q）→P）→P  // I (1, 10) (1を放電) ${\displaystyle \to }$

空条件文（IPC）： ${\displaystyle \neg P\to (P\to Q)}$
1.  ${\displaystyle [P\to \bot ]}$  // 仮定する 2.  ${\displaystyle [P]}$  // 仮定する 3.  ${\displaystyle \bot }$  // E (1, 2) ${\displaystyle \to }$ 4.  ${\displaystyle Q}$  // E (3) ${\displaystyle \bot }$ 5.  ${\displaystyle P\to Q}$  // I (2, 4) (2を放電) ${\displaystyle \to }$ 6.  ${\displaystyle (P\to \bot )\to (P\to Q)}$  // I (1, 5) (1を放電) ${\displaystyle \to }$

• 輸出入： ${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• 否定条件文: ${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• Or-and-if: ${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• 先行詞の可換性: ${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• 左分配性： ${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

同様に、他の接続詞の古典的な解釈では、物質的含意は次の含意を検証します。

• 先行詞の強化: ${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• 推移性： ${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• 選言先行詞の簡略化： ${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

物質的含意を含むトートロジーには以下のものがあります:

• 反射性： ${\displaystyle \models P\to P}$
• 皆既日食： ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• 条件付き排中法： ${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

自然言語との矛盾

物質的含意は、自然言語における条件文の用法とは必ずしも一致しません。例えば、偽の先行詞を持つ物質的条件文は空虚に真ですが、自然言語の「8が奇数なら、3は素数である」という文は、通常偽と判断されます。同様に、真の結果を持つ物質的条件文はそれ自体は真ですが、話者は通常、「ポケットに1ペニーがあれば、パリはフランスにある」といった文を拒絶します。これらの古典的な問題は、物質的含意のパラドックスと呼ばれています。^[16]これらのパラドックスに加えて、物質的含意分析に反対する様々な議論が提示されています。例えば、反事実的条件文は、そのような説明によればすべて空虚に真になりますが、実際には一部は偽です。^[17]

20世紀半ば、H・P・グライスやフランク・ジャクソンを含む多くの研究者は、自然言語の条件文と物質的条件文の間の矛盾は、語用論的原理によって説明できると提唱した。彼らの説明によれば、条件文は物質的含意を示すが、グライスの格率のような会話規範と相互作用する際には、結果として追加情報を伝達することになる。^{[16] [18]}近年の形式意味論と言語哲学の研究は、自然言語の条件文の分析において物質的含意を一般的に避けてきた。^[18]特に、そのような研究は、自然言語の条件文が「もしPならばQ 」の真理値がPとQの真理値によってのみ決定されるという意味で真理関数的であるという仮定をしばしば否定してきた。^{[16]このように、条件文の意味分析は、}様相論理、関連性論理、確率論、因果モデルなどの基礎に基づいた代替解釈を提案するのが一般的である。^{[18] [16] [19]}

同様の矛盾は、条件付き推論を研究する心理学者によっても観察されており、例えば悪名高いワソン選択課題研究では、被験者の10%未満が物質的条件に従って推論した。一部の研究者はこの結果を、被験者が推論の規範的法則に従わなかったと解釈する一方、他の研究者は、被験者が非古典的な法則に従って規範的に推論したと解釈している。^{[20] [21] [22]}

参照

• ブールドメイン
• ブール関数
• ブール論理
• 条件付き量指定子
• 含意命題計算
• 形の法則
• 論理グラフ
• 論理的等価性
• 物質的含意（推論規則）
• ピアースの法則
• 命題計算
• 唯一の十分なオペレータ

条件文

• 対応する条件文
• 反事実的条件文
• 直説法の条件文
• 厳密な条件文

注記

1. ヒルベルト 1918より。
2. メンデルソン 2015.
3. ヴァン・ヘイジェノールト 1967年。
4. 馬蹄形の記号 Ɔ が反転されて部分集合の記号 ⊂ になっていることに注意してください。
5. ナハス 2022、p. VI。
6. ブルバキ 1954年、14ページ。
7. ミラー、ジェフ (2020). 「集合論と論理における記号の初期の使用」.数学史 (セントアンドリュース大学) . セントアンドリュース大学. 2025年6月10日閲覧。
8. 正しい式は次のとおりです。
   1. 各命題変数は式です。
   2. 「」は数式です。 ${\displaystyle \bot }$
   3. およびが式である場合、 も同様です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (A\to B)}$
   4. それ以外は公式ではありません。
9. フランコら 1999.
10. f-含意式は、最小命題論理（MPC）または直観主義命題論理（IPC）におけるすべての有効な式を表現することはできません。特に、（選言）はその中で定義できません。対照的に、はMPC / IPCの完全な基底であり、これらから他のすべての接続詞（例：）を定義できます。 ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle \{\to ,\lor ,\bot \}}$ ${\displaystyle \land ,\neg ,\leftrightarrow ,\bot }$
11. ヨハンソン 1937.
12. Prawitz 1965、p. 21を参照。
13. アヤラ リンコン & デ モウラ 2017、17–24 ページ。
14. Eの代わりに、（完全な）古典論理を得るための規則として、逆理屈を^{加えることもできる： [12] [13]} ${\displaystyle \neg \neg }$

    ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}[A\to \bot ]\\\vdots \\\bot \end{array}}{A}}}$（RAA）

15. テナント 1990、48ページ。
16. エジントン 2008.
17. 例えば、「もしジャニス・ジョプリンが生きていたら、メルセデス・ベンツを運転するだろう」、スター（2019）を参照
18. ギリーズ 2017.
19. フォン・フィンテル 2011.
20. オークスフォード＆チャター 1994.
21. ステニング＆ファン・ランバルゲン、2004年。
22. フォン・シドー 2006年。

参考文献

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• テナント、ニール (1990) [1978]. 『自然論理』（初版、訂正版再版）.エディンバラ大学出版局. ISBN 0852245793。

さらに読む

• Brown, Frank Markham (2003)、「ブール推論：ブール方程式の論理」、第 1 版、Kluwer Academic Publishers、Norwell、MA。第 2 版、Dover Publications、Mineola、NY、2003。
• エッジントン、ドロシー(2001)、「条件文」、ルー・ゴーブル (編)、『ブラックウェル哲学論理ガイド』、ブラックウェル。
• Quine, WV (1982)、「論理の方法」 (第 1 版 1950 年)、(第 2 版 1959 年)、(第 3 版 1972 年)、第 4 版、ハーバード大学出版局、ケンブリッジ、マサチューセッツ州。
• スタルナカー、ロバート、「直説法の条件文」、哲学、5（1975）：269-286。

外部リンク

• エッジントン、ドロシー「条件文」。ザルタ、エドワード・N.（編）『スタンフォード哲学百科事典』所収。

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