直接制限

Special case of colimit in category theory

数学において、直接の極限とは、特定の方法でまとめられた多数の（通常はより小さな）オブジェクトから 1 つの（通常はより大きな）オブジェクトを構築する方法です。これらのオブジェクトには、群、環、ベクトル空間、または一般に任意のカテゴリからのオブジェクトがあります。これらのオブジェクトのまとめ方は、それらの小さなオブジェクト間の準同型系（群準同型、環準同型、または一般にカテゴリ 内の射）によって指定されます。が何らかの有向集合上に存在するオブジェクトの直接の極限は と表されます。この表記法では準同型系は考慮されませんが、極限は準同型系に依存します。 ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

直接極限は、圏論における余極限の概念の特殊なケースです。直接極限は、圏論における極限の特殊なケースである逆極限の双対です。

正式な定義

まず、グループやモジュールなどの代数構造の定義を示し、次に任意のカテゴリで使用できる一般的な定義を示します。

代数的対象の直接的な極限

このセクションでは、オブジェクトは、グループ、リング、モジュール（固定されたリング上）、代数（固定された体上）などの、与えられた代数構造を備えた基礎セットで構成されると理解されます。これを念頭に置いて、準同型は対応する設定（グループ準同型など）で理解されます。

を有向集合とする。をでインデックスされたオブジェクトの族とし、 をすべての に対する準同型とし、以下の特性を持つものとする。 ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$は 上の恒等式であり、 ${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$すべてのために。 ${\displaystyle i\leq j\leq k}$

このとき、このペアは上の直接システムと呼ばれます。 ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle I}$

直接システムの直接極限は で表され、以下のように定義されます。その基礎集合は、のをある同値関係 を法として互いに素な和集合となります。 ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

ここで、 かつ であるとき、かつであって となるものが存在する場合、かつその場合と同値である。直感的に、素和集合の2つの元が同値であるのは、それらが直接体系において「最終的に等しくなる」場合と同値である。逆極限までの双対性を強調する同値な定式化は、ある元が直接体系の写像の下でそのすべての像と同値である、すなわち であるときである、というものである。 ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$ ${\displaystyle i\leq j}$

この定義から、各元をその同値類に写す正準関数 が得られる。上の代数演算は、これらの写像が準同型写像となるように定義される。形式的には、直系の直極限は、対象と正準準同型写像から構成される。 ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

任意のカテゴリにおける直接的な極限

直接極限は、任意のカテゴリにおいて 普遍的性質を用いて定義できます。 を（上で定義したように）オブジェクトと における射の直接システムとします。ターゲットとは、が におけるオブジェクトであり、が各 に対する射であるペアのことです。この場合、 は常に となります 。直接システムの直接極限は、がターゲットであり、各ターゲット に対して、各iに対して となる一意の射が存在するという意味で、普遍的に反発するターゲットです。次の図 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

すると、すべてのi、jに対して可換になります。

直接の極限は、しばしば次のように表される。

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

直接的なシステムと標準射（より正確には、標準射）が理解されている。 ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \iota _{i}}$

代数的対象とは異なり、任意の圏におけるすべての直接系が直接極限を持つわけではない。しかし、もし直接極限を持つならば、その直接極限は強い意味で一意である。すなわち、別の直接極限X ′ が与えられたとき、標準射と可換な 同型 X ′ → Xが一意に存在する。

例

• 集合の部分集合の集合は、包含によって部分的に順序付けることができます。集合が有向集合である場合、その直接の極限は和集合です。 ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• 同様に、与えられた群の有限生成部分群の集合は、包含によって部分的に順序付けることができます。有限生成部分群の有限集合は有限生成部分群 に含まれるため、添字集合は確かに有向です。 の包含射を用いると、直接的な極限は単に （と同型） となります。環、加群、代数などについても同様の結果が得られます。添字集合が有向である限り、有限生成の要件は緩和される可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\langle X_{1}\rangle ,\langle X_{2}\rangle ,\dots \langle X_{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \langle \cup X_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i,j}:H_{i}\to H_{j}}$ ${\displaystyle G}$
• CW 複体の弱いトポロジーは直接的な極限として定義されます。
• 最大元を持つ任意の有向集合 とする。対応する任意の直系の直極限はと同型であり、標準射は同型である。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Kを体とする。正の整数nに対して、Kからの要素を持つn x nの可逆行列で構成される一般線型群GL( n;K ) を考える。群準同型 GL( n;K ) → GL( n +1; K ) があり、これは行列を右下隅に 1 を置き、最後の行と列の他の場所に 0 を置くことで拡大する。この系の直接の極限はKの一般線型群であり、GL( K ) と表記される。 GL( K )の元は、無限単位行列と有限個の要素のみが異なる無限可逆行列と考えることができる。群 GL( K ) は代数 K 理論において極めて重要である。
• pを素数とする。因数群 と による乗法によって誘導される準同型写像からなる直接系を考える。この系の直接極限は のべき乗の位数を持つすべての単位根から成り、プリューファー群と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• 変数対称多項式環から変数対称多項式環へは（自明ではないが）入射的な環準同型が存在する。この直系の直極限を形成すると、対称関数環が得られる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• F を位相空間X上のC値層とする。X内の点xを固定する。xの開近傍は包含によって順序付けられた有向集合を形成する（U ≤ VかつU がVを含む場合に限る）。対応する直接システムは ( F ( U ), r _{U , V} )で、 rは制限写像である。このシステムの直接極限はxにおけるFの茎と呼ばれ、F _xと表記される。xの各近傍Uについて、標準射F ( U ) → F _{x は}、 U上のFの切断sに、茎F _xの元s _xを関連付ける。これはxにおけるsの芽と呼ばれる。
• 位相空間のカテゴリにおける直接極限は、最終的な位相を基礎となる集合論的な直接極限に置くことによって与えられます。
• ind -schemeは、スキームの帰納的極限です。

プロパティ

直接の極限は逆の極限と次 のように結びついている。

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

重要な性質として、加群の圏における直極限は完全関数となることが挙げられます。これは、任意の短完全列 の有向系に対して、直極限の列もまた完全であることを意味します。 ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

関連する構成と一般化

圏の直接系は、関手を用いた別の記述が可能であることに注意する。任意の有向集合は、その対象が元である小さな圏とみなすことができ、のときのみ射が存在する 。したがって、 上の直接系は共変関手と同じになる。この関手の余極限は、元の直接系の直接極限と同じである。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

直接極限と密接に関連する概念として、フィルター付き余極限があります。ここでは、フィルター付きカテゴリから何らかのカテゴリへの共変関手から始め、この関手の余極限を形成します。カテゴリがすべての有向極限を持つ場合と、それがすべてのフィルター付き余極限を持つ場合とで同値であり、そのようなカテゴリ上に定義された関手がすべての直接極限と可換である場合と、それがすべてのフィルター付き余極限と可換である場合とで同値であることを示すことができます。^[1] ${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

任意のカテゴリ が与えられた場合、 に直接的な極限を持たない の直接的な系が存在する可能性がある（例えば、有限集合のカテゴリや有限生成アーベル群のカテゴリを考えてみよう）。この場合、 は常に、すべての直接的な極限が存在するカテゴリに埋め込むことができる。 の対象は の ind-対象と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

直接極限の圏的双対は逆極限と呼ばれます。前述のように、逆極限は特定の関数の極限と見なすことができ、コフィルタード圏上の極限と密接に関連しています。

用語

文献では、上記で定義した直接極限の概念について、「有向極限」、「直接帰納的極限」、「有向余極限」、「直接余極限」、「帰納的極限」といった用語が用いられています。しかし、「帰納的極限」という用語は曖昧であり、一部の著者は余極限という一般的な概念にこの用語を使用しています。

参照

• グループの直接的な制限

注記

1. Adamek, J.; Rosicky, J. (1994). ローカルに提示可能でアクセス可能なカテゴリー. Cambridge University Press. p. 15. ISBN 9780521422611。

参考文献

• ブルバキ、ニコラ（1968年）『数学原論　集合論』、フランス語からの翻訳、パリ：ヘルマン、MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics , vol. 5 (第2版), Springer-Verlag

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