初期トポロジ

Coarsest topology making certain functions continuous

一般位相幾何学および数学の関連分野において、集合上の関数族 に関する初期位相（または誘導位相^{[1] [2]}、強位相、極限位相、射影位相）は、 それらの関数を連続にする 上の最も粗い位相である ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

部分空間位相と積位相の構成はどちらも初期位相の特殊なケースです。実際、初期位相の構成はこれらを一般化したものと考えることができます。

双対概念は最終位相であり、これは、集合にマッピングされる特定の関数の族に対して、それらの関数を連続にする 上の最善の位相です。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

定義

集合と、関数を含む位相空間の添え字付き族が与えられたとき、上の初期位相は、それぞれ が連続となるような上の最も粗い位相である ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$$

開集合による定義

がでインデックスされた位相の族である場合、これらの位相の最小上界位相は、各 よりも細かい上の最も粗い位相である。この位相は常に存在し、 ^[3]によって生成される位相と等しい。 ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{i}.}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}\tau _{i}.}$

任意のに対して が上の位相を表す場合、は 上の位相であり、の写像による初期位相は、 ( に対して)添え字付き位相族の最小上界位相である。^[3] 明示的に、初期位相は、有限交差と任意の和の下で、いくつかに対してにおける開集合である形式のすべての集合によって生成される開集合のコレクションである。 ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)=\left\{f_{i}^{-1}(V):V\in \sigma _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left(\sigma _{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

形式の集合はしばしば円筒集合と呼ばれる。がちょうど1つの要素を含む場合、初期位相のすべての開集合は円筒集合となる。 ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

例

いくつかの位相的構成は、初期位相の特殊なケースとみなすことができます

• 部分空間位相は、包含写像に関する部分空間上の初期位相です。
• 積位相は、投影マップのファミリーに関する初期位相です。
• 任意の空間および連続写像の逆システムの逆極限は、標準射によって決定される初期位相と集合論的逆極限を組み合わせたものである。
• 局所凸空間上の弱位相は、その双対空間の連続線型形式に関する初期位相である。
• 固定された集合上の位相の族が与えられたとき、関数に関する上の初期位相は、上の位相の格子における位相の上限（または結合）である。つまり、初期位相は位相の和集合によって生成される位相である。 ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{i}:X\to \left(X,\tau _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{\tau _{i}\right\}.}$
• 位相空間が完全に正則であるためには、その位相空間が（有界な）実数値連続関数の族に関して初期位相を持つ必要がある。
• あらゆる位相空間には、 からシェルピンスキー空間への連続関数の族に関する初期位相があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

特性プロパティ

上の初期位相は、次のような特性によって特徴付けられる：ある空間からへの関数が連続であるとき、かつその場合に限り、各に対して連続である^[4] ${\displaystyle X}$
${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ ${\displaystyle i\in I.}$

初期位相の特性

見た目は非常に似ていますが、これは普遍的な特性ではないことに注意してください。以下にカテゴリ別の説明を示します。

フィルタが 点に収束する場合、プレフィルタは任意の^[4]に対して収束する。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

評価

積位相の普遍性により、任意の連続写像の族は一意の連続写像を決定すること が分かっています ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{i}Y_{i}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}\\\end{alignedat}}}$$

この地図は評価マップ。^[要出典]

マップのファミリーは、 ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$内の点を分離する場合、内のすべての点に対してとなるものが存在し、関連付けられている評価マップが単射である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y).}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f}$

評価写像は、写像によって決定された初期位相を持ち、この写像族が点を分離する場合に限り、位相的埋め込みとなる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle X.}$

ハウスドルフ性

が によって誘導される初期位相を持ち、すべての がハウスドルフであるとき、がハウスドルフ空間であることは、これらの写像が^[3]上の点を分離することと同値である ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

初期位相の推移性

が- インデックス付き写像族により誘導される初期位相を持ち、任意の に対して上の位相が(上の範囲として) ある- インデックス付き写像族により誘導される初期位相である場合、により誘導される上の初期位相は上の範囲として、上の範囲として、 - インデックス付き写像族により誘導される初期位相に等しい^[5]。 この事実のいくつかの重要な系がここで示されている。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}:Y_{i}\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}J_{i}}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}\circ f_{i}:X\to Z_{j}\right\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle J_{i}.}$

特に、 の場合、を継承する部分空間位相は、によって定義される包含写像によって誘導される初期位相に等しい。したがって、が によって誘導される初期位相を持つ場合、を継承する部分空間位相は、の制約によってに誘導される初期位相に等しい^[4]。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{\left.f_{i}\right|_{S}:S\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle S.}$

上の積位相は、上の範囲として標準射影によって誘導される初期位相に等しい^[4]。したがって、によって誘導される上の初期位相は、評価写像による上の積位相の逆像に等しい^[4]。 さらに、写像が上の点を分離する場合、評価写像は積空間の部分空間への同相写像である^[4]。 ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{i}:\left(x_{k}\right)_{k\in I}\mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}\,.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \prod _{i}Y_{i}.}$

閉集合から点を分離する

空間に位相が備わっている場合、 上の位相が 上の写像の何らかの族によって誘導される初期位相であるかどうかを知ることは、多くの場合有用です。このセクションでは、十分な（ただし必要ではない）条件を示します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

写像の族がの閉集合から点を分離する場合、およびのすべての閉集合に対して、となるようなものが存在し、ここで は閉包演算子を表します。 ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\not \in A,}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

定理。連続写像の族が閉集合から点を分離する場合、かつその場合のみ、上の開円筒集合は上の位相の基底となる。 ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(V),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{i},}$ ${\displaystyle X.}$

したがって、点を閉集合から分離するときはいつでも、空間には写像によって誘導される初期位相があることになります。逆は、一般に円筒集合は初期位相のサブベース (ベースではない) のみを形成するため、失敗します。 ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}.}$

空間がT ₀空間である場合、その中の閉集合から点を分離する写像の集合は、同様に点を分離しなければならない。この場合、評価写像は埋め込みとなる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$

初期の均一構造

が で添え字付けされた 上のユニフォーム構造の族である場合、の最小上界ユニフォーム構造は、 上の各 よりも細かい最も粗いユニフォーム構造です。このユニフォーム構造は常に存在し、フィルタ部分基底^{[6]によって}生成された上のフィルタに等しいです。がユニフォーム構造によって誘導される上の位相である 場合、 の最小上界ユニフォーム構造に関連付けられた上の位相は、 の最小上界位相に等しいです ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}.}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}{\mathcal {U}}_{i}}.}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}.}$

ここで が写像の族であり、任意の に対してが上の一様構造であるとすると、の写像による初期の一様構造は、上で唯一の最も粗い一様構造となり、すべてが一様連続となる。^{[6 ]}これは、一様構造の -添え字族( に対して)の最小上限一様構造に等しい。 [6]によって誘導される 上の位相は、すべてが連続となる 上の最も粗い位相である。^[6] 初期の一様構造は、恒等写像が一様連続となる最も粗い一様構造にも等しい。^[6] ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}.}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(Y_{i},{\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :\left(X,{\mathcal {U}}\right)\to \left(X,f_{i}^{-1}\left({\mathcal {U}}_{i}\right)\right)}$

ハウスドルフ性:初期一様構造によって誘導される上の位相がハウスドルフであるための必要十分条件は、 に対してが異なる場合 ( )、のいくつかの側近が存在し、^[6]を満たすことである 。さらに、任意のインデックスに対して によって誘導される上の位相がハウスドルフであるための必要十分条件は、 が^上の点を分離する場合である(または、評価写像が単射である場合である)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle V_{i}\in {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle \left(f_{i}(x),f_{i}(y)\right)\not \in V_{i}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle f:X\to \prod _{i}Y_{i}}$

一様連続性：写像によって誘導される初期の一様構造が である場合、ある一様空間からへの関数が一様連続であるためには、 が各 に対して一様連続である必要があります^[6] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}:X\to Y_{i}\right\},}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\circ g:Z\to Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

コーシーフィルタ：上のフィルタ が上のコーシーフィルタである場合、かつ が任意の^[6]に対して上のコーシープレフィルタである場合に限ります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

初期の均一構造の推移性: 上記の「初期のトポロジーの推移性」の記述で「トポロジー」という単語を「均一構造」に置き換えると、結果の記述も真になります。

圏論的記述

圏論の言語では、初期の位相構成は次のように記述できます。離散圏から位相空間の圏への関手を とします。をからへの通常の忘却関手とします。すると、写像はから への錐として考えることができます。つまり、 はからへの錐の圏の対象です。より正確には、この錐はにおける 構造化された余弦を定義します ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle j\mapsto Y_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Top} }$ ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle f_{j}:X\to Y_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY):=(\Delta \downarrow {UY})}$ ${\displaystyle UY.}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} .}$

忘却関手は関手 を誘導する。初期位相の特性は、から への普遍射、つまりカテゴリ の終端オブジェクトが存在するという命題と同値である。具体的には、これは のオブジェクトと の射から成り、の任意のオブジェクトと の射に対して、次の図式が可換となるような唯一の射が存在する。 ${\displaystyle U:\mathrm {Top} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\bar {U}}:\mathrm {Cone} (Y)\to \mathrm {Cone} (UY)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle (X,f);}$ ${\displaystyle \left({\bar {U}}\downarrow (X,f)\right).}$
${\displaystyle I(X,f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varepsilon :{\bar {U}}I(X,f)\to (X,f)}$ ${\displaystyle (Z,g)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle \varphi :{\bar {U}}(Z,g)\to (X,f)}$ ${\displaystyle \zeta :(Z,g)\to I(X,f)}$

初期位相を に配置する割り当ては、忘却関手の右随伴関手に拡張されます。実際、は の右逆です。なぜならは の恒等関手だからです。 ${\displaystyle (X,f)\mapsto I(X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:\mathrm {Cone} (UY)\to \mathrm {Cone} (Y)}$ ${\displaystyle {\bar {U}}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}I}$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (UY).}$

参照

• 最終位相 - いくつかの関数を連続させる最微細位相
• 積位相 – 位相空間の直積上の位相
• 商空間（位相）  – 位相空間の構築
• 部分空間トポロジー – 継承されたトポロジー

参考文献

1. ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学シリーズ. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：マグロウヒル・サイエンス/エンジニアリング/数学. ISBN 978-0-07-054236-5 OCLC  21163277
2. Adamson, Iain T. (1996). 「誘導トポロジーと共誘導トポロジー」.一般トポロジーワークブック. Birkhäuser, Boston, MA. pp.  23– 30. doi :10.1007/978-0-8176-8126-5_3. ISBN 978-0-8176-3844-32020年7月21日閲覧。…写像族によってE上に誘導される位相…
3. Grothendieck 1973、p.1。
4. Grothendieck 1973、p.2。
5. グロタンディーク 1973, pp.1-2.
6. Grothendieck 1973、p.3。

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1 OCLC  18588129
• ニコラ・ブルバキ(1989) [1967].一般位相幾何学 2: 第5章～第10章[ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 第4巻. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 OCLC  246032063
• ドゥガンジ、ジェームズ(1966).トポロジー. ボストン: アリン・アンド・ベーコン. ISBN 978-0-697-06889-7 OCLC  395340485
• アレクサンダー・グロタンディーク(1973).位相ベクトル空間. チャルジュブ, オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7 OCLC  886098
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7 OCLC  115240
• ウィラード、スティーブン (1970) 『一般位相幾何学』 マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレーISBN 0-486-43479-6。

外部リンク

• PlanetMathの初期トポロジー
• PlanetMathにおける積位相と部分空間位相。

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