局所凸位相ベクトル空間

Vector space with a topology defined by convex open sets

関数解析および数学の関連分野において、局所凸位相ベクトル空間（LCTVS）または局所凸空間は、ノルム空間を一般化する位相ベクトル空間（TVS）の例です。これらは、均衡した吸収性凸集合の変換によって位相が生成される位相ベクトル空間として定義できます。あるいは、半ノルムの族を持つベクトル空間として定義することもでき、位相はその族によって定義できます。一般にこのような空間は必ずしもノルム可能ではありませんが、零ベクトルの凸局所基底の存在は、ハーン・バナッハの定理が成り立つのに十分強く、連続線型関数の十分に豊富な理論をもたらします

フレシェ空間は、局所凸位相ベクトル空間であり、完全計量化可能（完備計量を選択可能）である。フレシェ空間は、ノルムによって生成される計量に関して完備ベクトル空間であるバナッハ空間の一般化である。

歴史

ベクトル空間上の計量化可能位相は、モーリス・フレシェの1906年の博士論文『関数計算の諸点』 （計量の概念が初めて導入された）で導入されて以来、研究されてきた。 1914年にフェリックス・ハウスドルフによって一般位相空間の概念が定義された後、 ^[1]局所凸位相は一部の数学者によって暗黙的に用いられていたものの、1934年まではジョン・フォン・ノイマンだけがヒルベルト空間上の弱位相とヒルベルト空間上の作用素上の強作用素位相を明示的に定義したようである。^{[2] [3]}そして1935年、フォン・ノイマンは局所凸空間（彼自身は凸空間と呼んだ）の一般的な定義を導入した。 ^{[4] [5]}

完全な一般性が証明されるには、一般的な局所凸空間（ネット、積位相、ティコノフの定理などの他の概念や結果とともに）の発展と普及を待たなければならなかった結果の注目すべき例は、1932 年にシュテファン バナッハが分離可能ノルム空間^[6]の場合の基本的な対角線論証によって初めて確立したバナッハ–アラオグル定理です（この場合、双対の単位球は計量化可能です）。

定義

を複素数の部分体（通常はそれ自身または）上のベクトル空間とします。局所凸空間は、凸集合、あるいは同値な半ノルムによって定義されます ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

凸集合による定義

位相ベクトル空間（TVS）は局所的に凸とは、原点に均衡凸集合近傍基数（つまり局所基数）を持つことを意味する。[^7]局所凸位相ベクトル空間は、次のように短縮されることもある。局所凸空間またはLCTVS

のサブセットは ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. 凸ならばすべてと言い換えれば、 ${\displaystyle x,y\in C,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
2. 円で囲まれている場合、すべての場合、スカラーの場合 、これは原点を通る反射に等しいことを意味します。これは、任意の場合、原点を中心とする円を含むことを意味します。これは、によって生成される1次元複素部分空間にあります。 ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|=1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$
3. すべてのと スカラーに対して が平衡しており、の場合が平衡している。これは が である場合 、がとの間の線分を含むことを意味する。に対して は、任意のに対して が、 によって生成される1次元複素部分空間において、境界上に原点を中心とする円板を含むことを意味する。同様に、平衡集合は「円錐」である^[要出典] 。TVS において、 は半径 の原点を中心とする球に属し、 は属さないことに注意。実際、 Cは円錐ではないが、平衡している。 ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x=(1,1)}$ ${\textstyle C=({}}$ ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {})}$ ${\textstyle 2x=(2,2)}$
4. 錐体（基底体が の順序付きの場合）は、すべての に対して、および ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. 任意の に対して、 を満たすすべて に対して が存在する場合、吸収性または吸収性があります。このセットは、空間内のすべての点を吸収するように任意の「大きな」値でスケールアウトできます。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in tC}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |t|>r.}$ ${\displaystyle C}$
   • どのTVSでも、原点のあらゆる近傍は吸収性がある。^[7]
6. 絶対凸または凸かつ均衡であるとき円板である。これは、係数の和が絶対値となるような線型結合の下で閉じていることと同値である。そのような集合は、すべての ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X.}$

実際、すべての局所凸TVSは原点の近傍基底を持ち、それは絶対凸集合（つまり、円板）であり、この近傍基底はさらに、完全に開集合から構成されるか、完全に閉集合から構成されるように選択することもできる。^[8] すべての TVS は、バランスの取れた集合からなる近傍基底を原点に持つが、局所凸 TVS のみが、バランスの取れた凸集合からなる原点の近傍基底を持つ。TVSいくつかは可能であり、これは、TVS が原点に完全に凸集合からなる近傍基底を持たない（つまり、原点のすべての近傍基底に何らかの非凸集合が含まれる）ためである。たとえば、すべての非局所凸 TVS は、それ自身（つまり、）を原点の凸近傍として持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

変換は連続的である（位相ベクトル空間の定義により）ため、すべての変換は同相写像であり、したがって、原点の近傍のすべての基底は、任意の与えられたベクトルの近傍の基底に変換できます。

半ノルムによる定義

上の半ノルムとは、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$非負または半正定値です: ; ${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$は正同次または正スケーラブルです。すべてのスカラーに対して、特に、 ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$は劣加法性を持ち、三角不等式を満たす。 ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

が正定値性を満たす場合、つまりならば はノルムであると述べられる。一般にセミノルムはノルムである必要はないが、セミノルムの族に対するこの基準に相当するものとして、分離性があり、以下で定義される。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle p}$

がベクトル空間であり、が上の半ノルム族である場合、の部分集合は、すべての に対してとが存在するとき、の半ノルムの基底と呼ばれる。[ ^9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$

定義（第2版）：局所凸空間は、ベクトル空間とその上の半ノルム族として定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

半ノルム位相

が実数または複素数であるベクトル空間であると仮定します。ベクトル空間上の半ノルムの族は、半ノルムによって誘導される初期位相と呼ばれる、ベクトル空間上の標準位相を誘導し、位相ベクトル空間（TVS）を形成します。定義により、TVSは、ベクトル空間内のすべての写像が連続となる、 ベクトル空間上の最も粗い位相です ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

空間上の局所凸位相はノルムの族によって誘導されるが、ノルム可能ではない（つまり、その位相が単一のノルムによって誘導される）可能性がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

基底と部分基底

における開集合は の形を持ち、 は正の実数である。 の逆像族は半ノルム族上の値域を持ち、の正の実数上の値域は、によって誘導される位相の原点における部分基底である。これらの集合は、半ノルムの性質2と3からわかるように、凸集合である。したがって、有限個のそのような集合の交差もまた凸集合であり、そのような有限交差の集合の集合は原点における基底であるため、位相は上記の最初の定義の意味で局所的に凸であることが分かる ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

TVSの位相は並進不変であることを思い出してください。つまり、 が原点を含むの任意の部分集合である場合、任意のが原点の近傍となるのは、 がの近傍となる場合と同値です。したがって、原点における位相を定義すれば十分です。この位相の の近傍の基底は、次のように得られます。の任意の有限部分集合に対して、任意の ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

半規範と飽和族の基底

が局所凸空間であり、が 上の連続セミノルムの集合である場合、が上のすべての連続セミノルムの集合のセミノルムの基底であるとき、 は連続セミノルムの基底と呼ばれます。^[9]明示的には、上のすべての連続セミノルムに対して、と実数が存在し、[ ^9]が局所凸 TVS の連続セミノルムの基底である 場合、が 上で変化し、 が正の実数 上で変化するような形式のすべての集合の族は、 における原点の近傍の基底です(単なる部分基底ではないため、このような集合の有限交差を取る必要はありません)。^{[9] [証明 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

ベクトル空間上の半ノルム族は、任意の に対して、が定義する半ノルムに属するとき飽和と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

が連続半ノルムの飽和族で、が 上の位相を誘導する場合、が 上の範囲、 がすべての正の実数上の範囲となる形式の集合全体の集合は、原点で凸開集合からなる近傍基底を形成する。^[9] これは、単なる部分基底ではなく原点での基底を形成するため、特に、そのような集合の有限交差を取る必要がない。 ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

規範の基礎

次の定理は、 が局所凸空間である場合、 の位相が上の 連続ノルムの族によって定義される になることができること と、 上に少なくとも 1 つの連続 ノルムが存在することが等しいことを意味している。[ ^10]これは、ノルムとセミノルムの和がノルムであるため、局所凸空間がセミノルムの族（それぞれが必然的に連続である）によって定義される場合、各要素に何らかの連続ノルムを追加することによって得られる（これも連続する）ノルムの族は、必然的に、この同じ局所凸位相を定義するノルムの族になるからである。位相ベクトル空間上に連続ノルムが存在する場合、は必然的にハウスドルフであるが、その逆は一般には真ではない（局所凸空間やフレシェ空間であっても真ではない）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

定理^[11] —を体上のフレシェ空間とする。この とき、以下は同値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$は連続ノルムを許容しません（つまり、 上の連続半ノルムはノルムにはなり得ません）。 ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$はTVS同型のベクトル部分空間を含み、 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$はTVS同型である補ベクトル部分空間を含む。 ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

ネット

局所凸空間の位相が、上の連続半ノルムの族によって誘導されると仮定する。が のネットである場合、がであること、そして がすべての^[12]に対してであること、また が であることに限る。 さらに、が でコーシーである場合、 がすべての^[12]に対してであること ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}-x\right)\right)_{i\in I}\to 0.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

定義の同値性

近傍基数による定義は幾何学的な図式としてはより適切ですが、半ノルムによる定義の方が実際には扱いやすいです。2つの定義の同値性は、ミンコフスキー汎関数またはミンコフスキーゲージとして知られる構成から生じます。半ノルムの重要な特徴であり、その球面の凸性を保証するのは三角不等式です ${\displaystyle \varepsilon }$

吸収集合が の場合、ミンコフスキー関数を次のように定義する。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle tx\in C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

この定義から、 が均衡かつ凸であるとき（仮定により吸収集合でもある）、 は半ノルムであることが分かる。逆に、半ノルムの族が与えられたとき、それらの集合は凸吸収均衡集合の基底を形成する。 ${\displaystyle \mu _{C}}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

局所凸位相を定義する方法

定理^[7] —が（実数または複素数）ベクトル空間であり、が の部分集合のフィルタ基底であるとし、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. すべては凸状で、バランスが取れており、吸収力があります。 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. 任意のに対して、以下を満たす実数が存在する。 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r\leq 1/2}$ ${\displaystyle rB\in {\mathcal {B}}.}$

局所凸TVS位相の近傍基数は0である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

定理^[7] —が（実数または複素数）ベクトル空間であり、が の凸、平衡、吸収部分集合の空でない集合であるとする 。すると、 における集合の有限交差のすべての正のスカラー倍の集合は、上の局所凸TVS位相の原点における近傍基数を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$

例: 補助ノルム空間

が凸でで吸収的である場合、対称集合はで吸収的であることに加えて凸かつ平衡（絶対凸集合またはディスクとも呼ばれる）になります。これにより、のミンコフスキー関数が上で半ノルムになる ことが保証され、は標準擬似計量化可能位相を保持する半ノルム空間になります。上の値域としてのスカラー倍数の集合（または を極限点として持つその他の任意の非ゼロのスカラー集合上）は、この局所凸位相の原点で吸収ディスクの近傍基を形成します。 が位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が の有界部分集合でもある場合、吸収ディスクも有界になり、その場合 はノルムになり、補助ノルム空間と呼ばれるものを形成します。このノルム空間がバナッハ空間である場合、 はバナッハディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

さらなる定義

• 半ノルム族は、任意の に対して が成り立つとき、必ず が成り立つとき、全点または分離点と呼ばれる、あるいは分離点と呼ばれる。 局所凸空間がハウスドルフである場合、かつその場合のみ、それが分離半ノルム族を持つ。多くの著者は、定義においてハウスドルフ基準を採用している。 ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$
• 擬計量とは、局所凸空間 A が擬計量化可能であるとき 、つまり A の位相が擬計量から生じるのと、それが半ノルムの可算な族を持つときのみ、という条件を満たさない計量の一般化です。実際、同じ位相を誘導する擬計量は（ただしは任意の正の加算可能な列で置き換えることができます） で与えられます。この擬計量は並進不変ですが、同次ではないため、（擬）ノルムを定義しません。擬計量が正直な計量となるのは、半ノルムの族が分離している場合で、これは空間がハウスドルフである場合に限るためです。さらに空間が完備である場合、その空間はフレシェ空間と呼ばれます。 ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$ ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• 任意の位相ベクトル空間と同様に、局所凸空間も一様空間である。したがって、一様連続性、一様収束性、コーシー列について語ることができる。
• 局所凸空間におけるコーシーネットとは、あらゆる半ノルムに対して、すべてのインデックスに対して となるようなインデックスが存在するネット のことである 。言い換えれば、ネットはすべての半ノルムにおいて同時にコーシーでなければならない。ここでは、より一般的な列ではなくネットを用いて完全性の定義を与える。これは、計量​​化可能なフレシェ空間とは異なり、一般空間は擬計量の非可算な族によって定義できるからである。定義上可算な列は、そのような空間における収束を特徴付けるのに十分ではない。局所凸空間が完全であるためには、すべてのコーシーネットが収束する必要がある。 ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{\alpha },}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• セミノルムの族が関係 の下で順序付き集合となるのは、すべて に対して となるような が存在する場合のみである。族が を結合として加算する有向集合である場合、つまり、すべての に対して となるような が存在する場合、それはセミノルムの有向族であると言える 。すべてのセミノルムの族には、同値な有向族、つまり同じ位相を定義する族が存在する。実際、族が の有限部分集合の集合であるとすると、すべての に対して が定義される。 が同値な有向族であることは確認できる。 ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F\in \Phi }$ $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• 空間の位相が単一の半ノルムから誘導される場合、その空間は半ノルム可能である。有限個の半ノルム族を持つ任意の局所凸空間は半ノルム可能である。さらに、空間がハウスドルフ（族が分離している）である場合、その空間はノルム可能である。ノルムは半ノルムの和で与えられる。開集合の観点から見ると、局所凸位相ベクトル空間が半ノルム可能であることと、原点が有界近傍を持つことが同値である。

十分条件

ハーン・バナッハ拡大の性質

をTVSとする。上の任意の連続線型汎関数が上の連続線型汎関数に拡張できるとき、のベクトル部分空間は拡大性を持つと述べる。[ 13 ]のすべての^ベクトル部分空間が拡大性を持つとき、はハーン・バナッハ拡大性（HBEP ）を持つ と述べる。 ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ハーン＝バナッハの定理は、任意のハウスドルフ局所凸空間がHBEPを持つことを保証する。完全計量化可能なTVSの場合、逆が成り立つ。

定理^[13] （カルトン）—ハーン・バナッハ拡張特性を持つすべての完全な計量化可能なTVSは局所的に凸である。

ベクトル空間が無数次元であり、それに最細分ベクトル位相を与えると、これは局所凸でも計量化可能でもないHBEPを持つTVSとなる。^[13] ${\displaystyle X}$

特性

全体を通して、は連続半ノルムの族であり、それらは位相を生成する ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

位相閉包

任意の有限集合に対して、^[14]を満たすものが存在するとき、そしてそのときのみ[14]を満たす 閉包は^[15]に等しい ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

ハウスドルフ局所凸空間の位相

任意のハウスドルフ局所凸空間はバナッハ空間の積のベクトル部分空間に同相である。^[16] アンダーソン・ケーデックの定理によれば、任意の無限次元可分フレシェ空間はの可算個数の積空間に同相である（この同相は線型写像である必要はない）。^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

凸集合の性質

凸部分集合の代数的性質

部分集合が凸集合であるのは、すべての^[18]に対してであるとき、かつ同値である。また、すべての正の実数に対してであるとき、かつ同値である^。[19]ここで、常に成り立つため、等号は次のように置き換えることができる。原点を含む凸集合であれば、原点において星型であり、すべての非負の実数に対してである。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

2つの凸集合のミンコフスキー和は凸集合である。さらに、凸集合のスカラー倍もまた凸集合である。^[20]

凸集合の位相的性質

• が実数または複素数上のTVS（必ずしも局所凸またはハウスドルフである必要はない）であるとする。すると、の開凸部分集合は、ある関数と^[21]上のある正連続部分線型関数に対しての形をとるものと全く同じになる。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y.}$
• TVSの凸部分集合の内部と閉包もまた凸である。^[20]
• が内部が空でない凸集合である場合、 の閉包はの内部の閉包に等しい。さらに、 の内部はの閉包の内部に等しい^{[20] [22]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
  • したがって、凸集合の内部が空でない場合、それが正則な閉集合（正則な開集合）である場合にのみ、それは閉集合（正則な開集合）となります。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• が凸集合である場合、[ 23 ^]明示的には、がTVSの凸集合（必ずしもハウスドルフ凸集合や局所凸集合である必要はない）である場合、がの閉包に属し、がの内部に属し、がとを結ぶ開線分ががの内部に属し、つまり、^{[22] [24] [証明2]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• が（必ずしもハウスドルフではない）局所凸空間の閉ベクトル部分空間である場合、はにおける原点の凸近傍であり、がに含まれないベクトルである場合、における原点の凸近傍が存在し、^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=U\cap M}$ ${\displaystyle z\not \in U.}$
• 局所凸ハウスドルフ空間の凸部分集合の閉包は、とその連続双対空間との間の双対性と両立するすべての局所凸ハウスドルフTVS位相に対して同じである。^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 局所凸空間では、全有界集合の凸包と円包は全有界である。 ^[7]
• 完全な局所凸空間では、コンパクト集合の凸包と円板包は両方ともコンパクトである。^[7]
  • より一般的には、が局所凸空間のコンパクト部分集合である場合、凸包（または円板包）がコンパクトであるための必要十分条件は、それが完全であることである。^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• 局所凸空間では、有界集合の凸包は有界である。これは一般的なTVSには当てはまらない。^[26]
• フレシェ空間では、コンパクト集合の閉じた凸包はコンパクトである。^[27]
• 局所凸空間では、全有界集合の任意の線形結合は全有界である。^[26]

凸包の性質

TVSの任意の部分集合に対して、 （それぞれ、 ）で表されるの凸包（それぞれ、閉じた凸包、バランスのとれた包、凸バランスのとれた包）は、 を含むの最小の凸（それぞれ、閉じた凸、バランスのとれた、凸バランスのとれた）部分集合である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

• ヒルベルト空間のコンパクト部分集合の凸包は必ずしも閉じているわけではなく、したがって必ずしもコンパクトでもない。たとえば、通常のノルムを持つ平方和可能列の可分ヒルベルト空間を とし、標準の直交基底(つまり -座標にある) を とすると、閉集合はコンパクトであるが、その凸包は閉集合ではない。なぜなら はにおけるの閉包に属するが(すべての列はの元の有限凸結合であり、したがって は有限個以外の座標では必然的に となるが、 ではそうではないため)、^[28]だが、すべての完全ハウスドルフ局所凸空間と同様に、このコンパクト部分集合の閉凸包はコンパクトである。ベクトル部分空間は、ヒルベルト空間がその上に誘導する部分構造を備えているときはプレヒルベルト空間であるが、完全ではなく( であるため)、 である。におけるの閉凸包（ここで「閉」とは に関してであり、前述のように に関してではない）は に等しく、これはコンパクトではない（完備部分集合ではないため）。これは、完備ではないハウスドルフ局所凸空間においては、コンパクト部分集合 の閉凸包がコンパクトにならない可能性がある（ただし、プレコンパクト／全有界となる）ことを示している。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{1},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
• ハウスドルフ局所凸空間において、コンパクト部分集合の閉凸包は、プレコンパクト（「全有界」とも呼ばれる）部分集合であるにもかかわらず、必ずしもコンパクトであるとは限りません。つまり、の完備化においてその閉包が取られると、コンパクトになります（ここでは、 が完備である場合に限ります）。つまり、はコンパクトになります。したがって、例えば、プレヒルベルト空間ののコンパクト部分集合の閉凸包は常に のプレコンパクト部分集合であり、したがってを含む任意のヒルベルト空間（例えば のハウスドルフ完備化など）におけるの閉包はコンパクトになります（これは前述の例に当てはまります）。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$ ${\displaystyle X={\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 準完全な局所凸 TVSでは、コンパクト サブセットの凸包の閉包もコンパクトになります。
• ハウスドルフ局所凸TVSでは、プレコンパクト集合の凸包は再びプレコンパクトである。^[29]結果的に、完全なハウスドルフ局所凸空間では、コンパクト部分集合の閉じた凸包は再びコンパクトである。^[30]
• いかなるTVSにおいても、コンパクト凸集合の有限和の凸包はコンパクト（かつ凸）である。^[7]
  • これは、任意のハウスドルフTVSにおいて、コンパクト凸集合の有限和の凸包が閉じている（コンパクト^[31]かつ凸であることに加えて）ことを意味する。特に、そのような和の凸包はその和の閉じた凸包に等しい。
  • 一般に、コンパクト集合の閉凸包は必ずしもコンパクトではない。しかし、（ただし）の任意のコンパクト部分集合はコンパクト凸包を持つ。^[31] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$
  • 非ハウスドルフ TVS には、コンパクト (したがって完全) だが閉じていないサブセットが存在します。
• 双極定理は、局所凸ハウスドルフTVSの部分集合の双極（つまり、極の極）がその集合の閉じた凸均衡包に等しいことを述べています。 ^[32]
• 凸集合の平衡包は必ずしも凸包であるとは限りません。
• とが位相ベクトル空間の凸部分集合であり、とが成り立つ実数が存在するとすると、 ^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• がTVSのベクトル部分空間の凸部分集合であり、が凸部分集合であって、^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ ${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• 集合を含むの最小のバランスのとれた部分集合は のバランス包と呼ばれ、 と表記されることを思い出してください。の凸バランス包の任意の部分集合に対して、 と表記される は、凸かつバランスのとれた を含むの最小の部分集合です。^{[33] の}凸バランス包はのバランス包の凸包に等しい(つまり) ですが、 の凸バランス包はの凸包のバランス包に必ずしも等しいわけではありません(つまり はに必ずしも等しくありません)。^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• がTVSの部分集合であり、がスカラーである場合は^[34]、さらに、がコンパクトである場合は^[35]である。しかし、閉集合の凸包は必ずしも閉じている必要はない。^[34]例えば、集合は閉じているが、その凸包は開集合である。 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$ ${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• がTVSの部分集合であり、その閉じた凸包がコンパクトである場合、 ^[35] ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• が複素ベクトル空間の凸集合であり、 が存在する場合、 となる実数部に対して となる。特に、となるスカラー部に対して ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ ${\displaystyle rz+siz\in S}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$ ${\displaystyle az\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• カラテオドリの定理： がの任意の部分集合（ただし）である場合、任意の に対して、最大で 個の点を含む有限部分集合が存在し、その凸包は（つまりおよび）を含む。^[36] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |F|\leq n+1}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$

例と非例

最も細かい局所凸位相と最も粗い局所凸位相

最も粗いベクトル位相

自明位相（不連続位相とも呼ばれる）を備えた任意のベクトル空間は、局所凸TVS（そしてもちろん、最も粗い位相）です。この位相がハウスドルフ位相である場合、かつその場合に限ります。 不連続位相は、任意のベクトル空間を完全擬距離化可能な局所凸TVS にします ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

対照的に、離散位相が上でベクトル位相を形成するのは、 の場合のみであり、これは、すべての位相ベクトル空間が連結空間であるという事実から導かれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

最良局所凸位相

が実ベクトル空間または複素ベクトル空間であり、が上のすべての半ノルムの集合である場合、局所凸TVS位相は、 によって示され、を誘導する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$上の最良局所凸位相^[37]内の吸収円板の集合を原点での近傍基数とする 上の TVS 位相としても記述できる。^[37] 上の任意の局所凸 TVS 位相は、必然的に の部分集合であり、はハウスドルフ。^[15]別の局所凸 TVS へ のすべての線型写像は^[15]特に、 上のすべての線型汎関数は連続であり、 のすべてのベクトル部分空間は で閉じている。^[15] 従って、が無限次元である場合、 は擬計量化可能ではない（したがって計量化不可能である）。^[37] さらに、唯一のハウスドルフ局所凸位相あり、 から任意のハウスドルフ局所凸空間への任意の線型写像が連続であるという性質がある。^[38]空間boronological 空間である。^[39] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$

局所凸空間の例

任意のノルム空間はハウスドルフ局所凸空間であり、局所凸空間理論の多くはノルム空間理論の一部を一般化している。半ノルム族は単一のノルムとみなすことができる。任意のバナッハ空間は完備ハウスドルフ局所凸空間であり、特にを持つ空間は局所凸である。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

より一般に、すべてのフレシェ空間は局所凸である。フレシェ空間は、分離した可算な半ノルム族を持つ完備な局所凸空間として定義できる。

によって与えられる半ノルム族を持つ実数値列の空間は局所凸である。半ノルムの可算族は完備かつ可分であるため、これはフレシェ空間であるが、これはノルム可能ではない。これはまた、有限列を無限個で完備化することにより、自然に埋め込まれた空間の極限位相でもある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ $${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle 0.}$

任意のベクトル空間とその上の線型関数の集合が与えられたとき、すべての線型関数が連続となるような最弱位相を与えることで、局所凸位相ベクトル空間にすることができる。これは弱位相、あるいはによって決定される初期位相として知られる。 集合はあるいは任意の他の集合の代数的双対である。この場合の半ノルム族は、 のすべての に対して で与えられる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

微分可能関数の空間は、ノルム化不可能な他の例を与える。 と が多重添字 である滑らかな関数の空間を考える。によって定義される 半ノルムの族は分離的かつ可算であり、空間は完備であるため、この計量化可能空間はフレシェ空間となる。これはシュワルツ空間、あるいは急激に減少する関数の空間として知られ、その双対空間は緩和超関数の空間である。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

関数解析における重要な関数空間は、におけるコンパクト台を持つ滑らかな関数の空間である。 この空間は一様ノルムにおいて完備ではないため、位相についてはより詳細な構成が必要である。 上の位相は次のように定義される。任意の固定されたコンパクト集合に対して、を持つ関数の空間は、可算なセミノルム族（これらは実際にはノルムであり、を持つ空間の完備化はバナッハ空間 である）を持つフレシェ空間である。包含と によって方向付けられ、それらの和が に等しいコンパクト集合の任意の集合が直接系を形成し、 はこの系の極限として定義される。このようなフレシェ空間の極限はLF 空間として知られている。より具体的には、は、各包含写像が連続になる最も強い局所凸位相を持つすべての の和である。この空間は局所凸かつ完備である。しかし、距離化可能ではないため、フレシェ空間ではない。 の双対空間は、上の超関数の空間である。 ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$ ${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle D^{m}(K)}$ ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

より抽象的に言えば、位相空間 が与えられた場合、上の連続（必ずしも有界とは限らない）関数の空間は、コンパクト集合上の一様収束の位相を持つことができる。この位相は、半ノルム（のすべてのコンパクト部分集合の有向集合上で が変化する）によって定義される。が局所コンパクト（例えば の開集合）の場合、ストーン・ワイエルシュトラスの定理が適用される。つまり、実数値関数の場合、 の任意の部分代数で点を分離し、定数関数（例えば、多項式の部分代数）を含むものは稠密である。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(X)}$

局所凸性を持たない空間の例

多くの位相ベクトル空間は局所凸である。局所凸性を持たない空間の例としては、以下のものがある。

• の空間は ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$Fノルムを備えている。零点の凸近傍は空間全体だけなので、局所凸ではない。より一般的には、原子を持たず有限測度を持つ空間と空間は局所凸ではない。 ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• 単位区間上の測定可能な関数の空間（ここでは、ほぼどこでも等しい2つの関数を識別します）は、並進不変計量（測定可能な関数の測度収束を誘導します。確率変数の場合、測度収束は確率収束です）によって定義されるベクトル空間位相を持ちます。この空間は、しばしば次のように表記されます。 ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$ ${\displaystyle L_{0}.}$

どちらの例も、実数への任意の連続線形写像が、特に、その双対空間が自明である、つまり、零関数のみを含むという特性を持っています。 ${\displaystyle 0.}$

• シーケンス空間は局所的に凸ではありません。 ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$

連続写像

定理^[40] —をTVS間の線型作用素とします。ここで、は局所凸です（局所凸である必要はないことに注意）。すると、が連続であることと、上の任意の連続半ノルムに対して、上の連続半ノルムが存在し、 ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ T\leq p.}$

局所凸空間はベクトル空間であると同時に位相空間でもあるため、二つの局所凸空間間の自然な関数は連続線型写像である。半ノルムを用いることで、線型写像の連続性に対する必要十分条件を与えることができ、これはバナッハ空間に見られるより馴染みのある有界性条件によく似ている。

局所凸空間とがそれぞれ半ノルム族とを持つとき、線型写像が連続であることと、任意のに対して、任意のに対してとなるような、が存在することとが同値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle v\in X,}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$$

言い換えれば、 の値域の各セミノルムは、領域内のセミノルムの有限和によって上方に有界となる。族が有向族であり、かつ上述のように常に有向となるように選択できる場合、式はさらに単純で分かりやすくなる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$$

すべての局所凸位相ベクトル空間のクラスは、連続線型写像を射として持つカテゴリを形成します。

線型汎関数

定理^[40] —がTVS（必ずしも局所凸ではない）であり、が上の線型汎関数である場合、が連続であることは、上に連続半ノルムが存在し、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

が実ベクトル空間または複素ベクトル空間であり、が上の線型汎関数であり、が上の半ノルムである場合、が である必要十分条件^[41]が実ベクトル空間上の非ゼロ線型汎関数であり、が 上の半ノルムである場合、が である必要十分条件^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

多重線型写像

を整数、をTVS（必ずしも局所凸とは限らない）、を連続半ノルムの族によって位相が決定される局所凸TVS 、を各座標において線形である多重線型作用素とします。以下は同値です ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle M}$は連続である。
2. 任意のに対して、それぞれに連続な半ノルムが存在し、すべての^{[15]に対して} ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. 任意のベクトルに対して、そのベクトル上の原点の近傍が存在し、その近傍は有界である。^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle q\circ M}$

参照

• 凸距離空間
• クライン・ミルマン定理 – 空間がその端点の閉凸包に等しい場合について
• 線型形式 – ベクトル空間からそのスカラー体への線型写像
• 局所凸ベクトル格子
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• セミノルム – 数学関数
• 部分線形関数 – 線形代数における関数の種類Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ベクトル空間 – 線形代数における代数構造

注釈

1. ハウスドルフ、F.『人文科学の基礎』（1914年）
2. フォン・ノイマン、J.著作集. 第2巻. pp. 94–104
3. Dieudonne, J.関数解析の歴史第8章 第1節。
4. フォン・ノイマン、J.著作集. 第2巻. pp. 508–527
5. Dieudonne, J.関数解析の歴史第8章 第2節。
6. バナッハ、S.線型演算理論p. 75. 第8章第3節定理4.、 Theorie des operations lineaires (1932)からの翻訳
7. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、67–113頁。
8. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、83ページ。
9. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、122ページ。
10. ジャーコウ 1981年、130ページ。
11. ジャーコウ 1981年、129～130頁。
12. Narici & Beckenstein 2011、p. 126。
13. Narici & Beckenstein 2011、225–273ページ。
14. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、149ページ。
15. Narici & Beckenstein 2011、149–153 ページ。
16. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、115–154頁。
17. Bessaga & Pełczyński 1975、p. 189
18. ルディン 1991、6ページ。
19. ルディン1991、38ページ。
20. Treves 2006、p. 126.
21. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、177–220頁。
22. Schaefer & Wolff 1999、38ページより。
23. ジャーコウ 1981年、101～104頁。
24. コンウェイ 1990、102ページ。
25. Trèves 2006、370ページ。
26. Narici & Beckenstein 2011、pp. 155–176。
27. ルディン 1991、7ページ。
28. アリプランティスとボーダー 2006、p. 185.
29. Trèves 2006、67ページ。
30. Trèves 2006、145ページ。
31. Rudin 1991、72～73ページ。
32. Trèves 2006、362ページ。
33. Trèves 2006、68ページより。
34. Narici & Beckenstein 2011、p. 108を参照。
35. ダンフォード 1988、415ページを参照。
36. ルディン1991、73-74頁。
37. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、125–126頁。
38. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、476頁。
39. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、446ページ。
40. Narici & Beckenstein 2011、126–128ページ。
41. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、126-128頁。

1. を半ノルムに関連付けられた開単位球とし、が実数ならば、となることに注意する。したがって、によって誘導される原点の基本開近傍は、とがすべて正の実数である形の有限交差となる。が連続半ノルムであり、さらに、とを取り、となる。ここで、この不等式が成立するのは、とのみである。したがって、期待どおりである。 ${\displaystyle V_{p}=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rV_{p}=\{rx\in X:p(x)<1\}=\{z\in X:p(z)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}=V_{(1/r)p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{p}=V_{rp}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle p:=\max \left\{r_{1}p_{1},\ldots ,r_{n}p_{n}\right\},}$ ${\displaystyle V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\leq rq,}$ ${\displaystyle V_{rq}\subseteq V_{p}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{q}=V_{rq}\subseteq V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}},}$
2. を固定すると、が に属することを示すことが残ります。必要であればを に置き換えることで、一般性を失うことなく と仮定することができ、したがってが原点の近傍であることを示すことが残ります。をとします。によるスカラー乗法は線型同相写像なので、および から、 が開集合であるため、 を満たすものが存在することが分かります。によってが同相写像であるため、が定義されます。集合はの開集合であり、 はさらに を含みます。するとは凸集合であるため、が証明されます。したがって、は の開集合であり、 は原点を含み、 はQEDに含まれます。 ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

参考文献

• アリプランティス、チャラランボス・D.、ボーダー、キム・C. (2006). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド（第3版）』ベルリン：シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-3-540-29587-7 OCLC  262692874
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