複素対数

Logarithm of a complex number

複素対数の単一の枝。色の色相は複素対数の偏角を表すために使用されます。色の明度は複素対数の絶対値を表すために使用されます。

log(z)の実部は| z |の自然対数である。したがって、そのグラフはln( x )のグラフをz軸を中心に回転させることによって得られる。

数学において、複素対数（こくそくたい）とは、自然対数を非零複素数に一般化したものです。この用語は、密接に関連する以下のいずれかのことを指します。

• 非ゼロの複素数 の複素対数は、となる任意の複素数として定義されます。^{[1] [2]} このような数は と表記されます。^[1]が極形式で（およびとなる実数）と与えられた 場合、はの 1 つの対数となり、 のすべての複素対数は整数の形式 の数とまったく同じになります。^{[1] [2]} これらの対数は複素平面の垂直線に沿って等間隔に配置されます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ ${\displaystyle k}$
• 非零複素数の集合の何らかの部分集合上で定義される複素数値関数 は、のすべての に対してを満たす。このような複素対数関数は、実指数関数の逆関数である実対数関数に類似しており、したがって、 すべての正の実数xに対してe ^{ln x} = xを満たす。複素対数関数は、実数値関数を含む明示的な式、 の積分、または の解析接続のプロセスによって構築できる。 ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1/z}$

の全体にわたって連続する複素対数関数は定義されていない。これに対処する方法としては、分岐、関連するリーマン面、複素指数関数の部分逆関数などが挙げられる。主値は、負の実軸を除いて連続する特定の複素対数関数を定義する。負の実数と0を除いた複素平面上では、これは（実）自然対数の解析接続となる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$

複素指数関数の逆関数に関する問題

複素対数関数の多値虚数部のグラフ。分岐点を示しています。複素数zが原点を回ると、対数の虚数部は上昇または下降します。そのため、原点は関数の分岐点となります。

関数が逆関数を持つためには、異なる値を異なる値に写像しなければなりません。つまり、単射でなければなりません。しかし、複素指数関数は単射ではありません。なぜなら、任意の複素数と整数に対して、を加算すると反時計回りにラジアン回転する効果があるからです。したがって、点 ${\displaystyle e^{w+2\pi ik}=e^{w}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{w}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

垂直線に沿って等間隔に並んだ点はすべて、指数関数によって同じ数に写像されます。これは、指数関数には標準的な意味での逆関数がないことを意味します。^{[3] [4]} この問題には2つの解決策があります。

一つは、指数関数の定義域を、 の整数倍の差を持つ2つの数を含まない領域に制限することです。これは自然に の枝の定義に繋がります。枝とは、定義域内の各数の対数を一つだけ取り出す関数です。これは、 を区間 に制限することの逆としてにおけるの定義に似ています。を満たす実数は無限に存在しますが、 に含まれる1つを任意に選びます。 ${\displaystyle 2{\mathit {\pi i}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =x}$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

不確定性を解決する別の方法は、対数を、その定義域が複素平面上の領域ではなく、無限対 1 の方法で穴をあけられた複素平面をカバーするリーマン面である関数として見ることです。

枝は複素数で評価できるという利点があります。一方、リーマン面上の関数は、対数のすべての枝をまとめて扱い、定義において任意の選択を必要としないという点でエレガントです。

元本価値

意味

非零の複素数 に対して、主値は虚数部が区間 内にある対数である。^{[2] を}満たす複素数は存在しないため、式は未定義のままである。^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=0}$

特定の対数が指定されずに表記されている場合、通常は主値が意図されていると想定するのが最善です。特に、 が正の実数の場合、主値は の実数と一致する値となります。表記の大文字表記は、主値を他の の対数と区別するために一部の著者によって使用されています^[2]。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \ln z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle z.}$

元本価値の計算

非零複素数の極形式は であり 、は の絶対値、はその偏角である。絶対値は実数で正である。偏角 は 2 πの整数倍の加算まで定義される。その主値は区間に属する値であり、 と表される。 ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$

これにより、複素対数の主値の次の式が導かれます。

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

たとえば、、 などです。 ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$

逆関数としての主値

別の言い方をすれば、前の節で述べたように、複素指数関数の制限の逆として記述できます。となる複素数からなる水平帯は、 の整数倍だけ異なる2つの数を含まない領域の例であるため、指数関数の への制限には逆写像が存在します。実際、指数関数は穿孔複素平面 に全単射に写像され、この制限の逆写像は です。以下の等角写像の節では、この写像の幾何学的性質についてより詳しく説明します。 ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w=x+yi}$ ${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$

解析接続としての主たる価値

負の実数または0ではない複素数からなる領域では、関数は自然対数の解析接続となる。負の実数直線上の値は、近傍の正の虚数部を持つ複素数における値の極限として得られる。 ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

プロパティ

が満たす恒等式がすべて複素数に拡張できるわけではない。すべての に対しては真である（ がの対数であるということはこのことを意味する）が、の帯の外側では に対して恒等式は成立しない。このため、の両辺に を適用して を導くことは必ずしも可能ではない。また、 の恒等式が成立しない場合もある。両辺が の整数倍だけ異なる場合である。^[1]例えば、 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} z}=z}$ ${\displaystyle z\not =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z})=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

しかし

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

関数は各負の実数で不連続ですが、それ以外の範囲では連続です。この不連続性を説明するために、負の実数 に近づくとどうなるかを考えてみましょう。上から に近づくと、に近づきます。これはそれ自体の値でもあります。しかし、下から に近づくと、に近づきます。つまり、 が負の実軸を横切ると が「ジャンプ」し、同様に がジャンプします。 ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \arg a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle -\pi .}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

複素対数の枝

非零複素数の対数を選択して、の全域で連続する関数を作成する別の方法はあるでしょうか？答えは「いいえ」です。理由を理解するために、が からに増加するにつれてを評価することで、単位円に沿ってそのような対数関数を追跡することを想像してみてください。 が連続であれば も連続ですが、後者は の2つの対数の差であるため、離散集合内の値を取るため、 は定数です。特に、は と矛盾します。 ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)}$

したがって、複素数上で定義された連続対数を得るには、定義域を複素平面のより小さな部分集合に制限する必要があります。関数を微分できるようにすることが目標の一つであるため、関数はその定義域の各点の近傍上で定義されていると仮定するのが妥当です。言い換えれば、関数は開集合であるべきです。また、 は連結であると仮定するのも妥当です。そうでないと、 の異なる成分上の関数値が互いに無関係になってしまう可能性があるからです。以上のことから、以下の定義が導き出されます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

の枝は、複素平面の連結な開部分集合上で定義される連続関数であり、の各 に対して がの対数となるような関数である。^[2] ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

たとえば、主値は、複素平面から 0 とすべての負の実数を除去して得られる集合である、連続する開集合上の枝を定義します。 ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

もう一つの例:メルカトル図法

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

はに対して局所的に一様収束するので、 を設定すると、を中心とする半径 1 の開円板上にの枝が定義されます。 (実際には、これは の制約にすぎず、差を微分して 1 における値を比較することで示せます。) ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle z=1+u}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

分岐が確定したら、混乱が生じない限り、その分岐を表記することができます。ただし、特定の複素数の対数に対して、分岐によって異なる値が得られる場合があるため、「 」が明確かつ明確な意味を持つためには、分岐を事前に確定しておく必要があります（あるいは、主要な分岐を理解しておく必要があります）。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

一部の文献では、複素対数の - 乗枝を明示的に示すためにこの表記法が用いられています。この表記法は、複素解析や位相幾何学において多値対数を扱う際に特に有用です。この表記法は、論文「ランバートW関数の枝の展開」^{[5]で初めて導入され、後にデイビッド・ジェフリー[6]}の研究でも参照されました。 ${\displaystyle \ln _{k}z}$ ${\displaystyle k}$

枝切り

単位円に関する上記の議論を一般化すると、 0 を囲む閉曲線を含む開集合上には の枝が存在しないことが示されます。は0に分岐点を持つと言われています。0を囲む閉曲線を含まないようにするため、は通常、複素平面上で 0（両端を含む）から無限遠まで任意の方向に伸びる直線または曲線の補として選択されます。この場合、曲線は分岐切断と呼ばれます。例えば、主分岐は負の実軸に沿って分岐切断を持ちます。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$

関数が分岐切断点において定義されるように拡張された場合、関数は必然的にそこで不連続になります。せいぜい、負の実数の場合のように「片側」で連続することになります。 ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

複素対数の微分

開集合上のの各枝は、指数関数の制約、すなわち像 への制約の逆である。指数関数は正則（つまり複素微分可能）で、導関数が零でないことから、逆関数定理の複素版が適用される。これは、が 上で正則であり、の各 に対して であることが示される。^[2]これを証明する別の方法は、極座標 におけるコーシー・リーマン方程式を確認することである。^[2] ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

統合によるブランチの構築

実数の関数は、次の式で構築できます。積分範囲が1 以外の正の数から始まる場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$

複素対数の類似例を開発する際には、さらに複雑な問題が存在します。複素積分の定義には経路の選択が必要です。幸いなことに、被積分関数が正則であれば、経路を変形しても積分の値は変化しません（端点は固定）。また、単連結領域（「穴」のない領域）では、から内部への任意の経路は、内部から他の任意の経路へと連続的に変形できます。以上のことから、以下の式が成り立ちます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

が0を含まない単連結な開部分集合である場合、における定義の枝は、における開始点を選び、の対数を選び、における各 について を定義することによって構築できる。^[7] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

等角写像としての複素対数

複素z平面における円 Re(Log z ) = 定数と光線 Im(Log  z ) = 定数。

複雑な対数マッピングは、半径を水平線に、円を垂直線にマッピングします。

すべて を満たす正則写像は共形写像である。これは、 の点を通る2本の曲線が角度 を形成する場合（曲線の接線が角度 を形成するという意味で）、2本の曲線の像は において同じ角度を形成することを意味する。の枝は正則であり、その導関数が0になることは決してないので、共形写像を定義する。 ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ ${\displaystyle z\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 1/z}$

たとえば、主枝 は、から によって定義される水平ストリップへの写像として見ると、次の特性を持ちます。これは、極形式に関する式の直接的な帰結です。 ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} z\right|<\pi }$

• 0を中心とするz平面の円^[8]は、 w平面の垂直線分に写像され、に接続される。ここで、は円の半径の実数対数である。 ${\displaystyle a-\pi i}$ ${\displaystyle a+\pi i}$ ${\displaystyle a}$
• z平面の 0 から放射される光線は、 w平面の水平線にマッピングされます。

上図のように、 z平面上の各円と各光線は直角に交わります。Logによるそれらの像は、w平面上のそれぞれ垂直線分と水平線であり、これらも直角に交わります。これはLogの等角性を示す例です。

関連するリーマン面

log zのリーマン面の視覚化 。この面は複素平面の原点に対応する垂直線を軸に螺旋状に伸びているように見える。実際のリーマン面は水平方向にも垂直方向にも任意の長さに伸びているが、この図では切り取られている。

工事

のさまざまな枝を1 つの連続関数に接着することはできません。これは、2 つの枝が、両方が定義されている点で異なる値を与えることがあるためです。たとえば、 の虚部を持つ 上の主枝と、 の虚部を持つ枝を比較してください。これらは、上半平面では一致しますが、下半平面 では一致しません。したがって、これらの枝の定義域を上半平面 のコピーに沿ってのみ接着すると合理的です。結果として得られる接着された定義域は連結ですが、下半平面 のコピーが 2 つあります。これら 2 つのコピーは、駐車場の 2 つのレベルとして視覚化でき、下半平面のレベルから下半平面のレベルまで、 0 の周りをラジアン反時計回りに進み、最初に正の実軸 (レベルの) を横切って上半平面の共有コピーに入り、次に負の実軸 (レベルの)を横切って下半平面のレベルに入ることで移動できます。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$

虚部が、 、 などである枝を接着し続けることができ、さらに逆方向に、虚部が、 、 などである枝を接着し続けることができる。最終的な結果は、上向きと下向きに無限に伸びる螺旋状の駐車場と見なせる連結面である。これはに関連付けられたリーマン面である。^[9] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$ ${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-2\pi ,0)}$ ${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log z}$

上の点は、の引数の可能な値である対として考えることができます。このように、R はに埋め込むことができます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

リーマン面上の対数関数

枝の領域は値が一致する開集合に沿ってのみ接着されているため、枝は接着されて単一の明確に定義された関数 を与える。^[10]これは各点を に写像する。このように、互換性のある正則関数を接着することで元の枝を拡張する過程は、解析接続として知られている。 ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$

から への「投影図」があり、これは螺旋を「平坦化」し、に投影します。任意の について、 「真上」にあるのすべての点を取り、これらすべての点で を評価すると、 のすべての対数が得られます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$

log zのすべての枝を接着する

上で選択した枝だけを接着する代わりに、のすべての枝から始めて、 と が一致する の最大開部分集合に沿って、 と のすべての枝のペアを同時に接着することができます。これにより、前と同じリーマン面と関数が得られます。このアプローチは、視覚化がやや難しいものの、特定の枝を選択する必要がない点でより自然です。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log _{R}}$

が の開部分集合で、その像に全単射に射影する場合、から への制約は上で定義されたの枝に対応する。 のすべての枝はこのようにして生じる。 ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$

普遍被覆としてのリーマン面

射影写像はの被覆空間として実現される。実際、これはに同型なデッキ変換群を持つガロア被覆であり、を に送る同相写像によって生成される。 ${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$

複素多様体は、を介して と双正則です。（逆写像はを に送る。）これは、が単連結であり、の普遍被覆も単連結であることを示しています。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

アプリケーション

• 複素対数は、複素数を底とするべき乗を定義するために必要です。つまり、と が の複素数である場合、主値を用いて を定義できます。また、 を の他の対数に置き換えることで、の異なる値を得ることもできます。これらの値は の形式で表される因数で異なります。^{[1] [11]} この式は、が整数である場合に限り、単一の値を持ちます。 ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not =0}$ ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle e^{2\pi inb}}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle b}$
• 三角関数はの有理関数として表現できるため、逆三角関数は複素対数で表現できます。 ${\displaystyle e^{iz}}$
• 電気工学では、伝播定数には複素対数が関係します。

一般化

他の底に対する対数

実数の場合と同様に、複素数についても定義することができ、 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

ただし、その値は、とで定義される log の枝の選択に依存するという点に注意してください（）。例えば、主値を用いると、 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log b\not =0}$

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

正則関数の対数

f がの連結な開部分集合上の正則関数である場合、上の の枝は上の連続関数であって、内のすべての に対して となるものである。そのような関数は、内のすべてのに対して となる正則関数であることが必須である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

が の単連結な開部分集合であり、 が上のどこにも消滅しない正則関数である場合、上の定義されるの枝は、の開始点aを選択し、の対数を選択し、 を定義する ことによって構築できます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

それぞれについて。[ ^2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

注記

1. アールフォルス、セクション 3.4。
2. サラソン、セクション IV.9。
3. コンウェイ、39ページ。
4. 別の解釈としては、複素指数関数の「逆関数」は、各非ゼロ複素数z をzのすべての対数の集合に適用する多値関数であるというものです。
5. Jeffrrey, DJ; Hare, DEG; Corless, Robert M. (1996). 「ランバートW関数の枝の展開」(PDF) . The Mathematical Scientist . 21 : 1–7 .
6. Calkin, Neil J.; Chan, Eunice YS; Corless, Robert M. (2023). Computational Discovery on Jupyter . Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-1-61197-749-3。
7. ラング、121ページ。
8. 厳密に言えば、負の実軸上の各円上の点は破棄するか、そこに主値を使用する必要があります。
9. Ahlfors、セクション4.3。
10. Rおよび log _Rという表記は、一般的に使用されているわけではありません。
11. クライシグ、640ページ。

参考文献

• Calkin, Neil J. ; Chan, Eunice YS ; Corless, Robert M. (2023). 『Jupyterにおける計算的発見』 応用数学協会. ISBN 978-1-61197-749-3.
• Jeffrey, DJ; Hare, DEG; Corless, Robert M. (1996). Lambert W関数の枝の展開. The Mathematical Scientist, 21 , 1-7.
• アルフォース、ラース・V. (1966). 複素解析（第2版）. マグロウヒル.
• コンウェイ、ジョン・B. (1978). 複素一変数関数（第2版）. シュプリンガー. ISBN 9780387903286。
• Kreyszig, Erwin (2011). Advanced Engineering Mathematics (第10版). ベルリン: Wiley . ISBN 9780470458365。
• ラング、セルジュ(1993)。複雑な分析 (第 3 版)。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 9783642592737。
• モレッティ、ジーノ（1964）『複素変数の関数』プレンティス・ホール社。
• サラソン、ドナルド(2007). 『複素関数論』（第2版）. アメリカ数学会. ISBN 9780821886229。
• ウィテカー, E.T. ;ワトソン, G.N. (1927). 『現代分析論講座』（第4版）. ケンブリッジ大学出版局.

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