巻数

Number of times a curve wraps around a point in the plane

この曲線は点pの周りを 2 度曲がります。

数学において、平面上の閉曲線の、与えられた点の周りの回転数（屈曲数）または回転指数は、曲線がその点の周りを反時計回りに回る回数、すなわち曲線の回転数を表す整数です。特定の開平面曲線では、回転数は整数以外の値になる場合があります。回転数は曲線の向きに依存し、曲線が点の周りを時計回りに回る場合 は負の値になります。

巻き数は代数的位相幾何学における基本的な研究対象であり、ベクトル計算、複素解析、幾何学的位相幾何学、微分幾何学、物理学（弦理論など）において重要な役割を果たします。

直感的な説明

赤い曲線に沿って移動する物体は、原点にいる人物の周りを反時計回りに 2 回転します。

xy平面上に閉じた有向曲線があるとします。この曲線をある物体の運動経路とみなし、その向きは物体が移動する方向を示します。この場合、曲線の巻き数は、物体が原点の周りを反時計回りに回転する総数に等しくなります。

総回転数を数​​える際、反時計回りの動きは正、時計回りの動きは負としてカウントされます。例えば、物体が最初に原点を反時計回りに4周し、次に時計回りに1周した場合、曲線の総回転数は3となります。

この方式を用いると、原点を全く周回しない曲線の巻数は0となり、原点を時計回りに周回する曲線の巻数は負となります。したがって、曲線の巻数は任意の整数となります。以下の図は、巻数が-2から3までの曲線を示しています。

${\displaystyle \cdots }$
	−2	−1	0
				${\displaystyle \cdots }$
	1	2	3

正式な定義

を平面上の一点を除いた連続した閉路とする。その周回回数は整数である。 ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

極座標で書かれた経路、つまり被覆地図を通る持ち上げられた経路はどこにあるか ${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

巻き数は、（被覆空間における開始点が与えられた場合）持ち上げられた経路の存在と一意性、および のすべてのファイバーがの形をとる（したがって、上記の式は開始点の選択に依存しない）ことから明確に定義される。経路が閉じているため、巻き数は整数となる。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

代替定義

巻数は数学の様々な分野で様々な定義がなされることが多い。以下の定義はすべて上記の定義と同等である。

アレクサンダー番号

回転数を定義するための単純な組み合わせ規則は、 1865年にアウグスト・フェルディナンド・メビウスによって提案され^[1] 、 1928年にジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世によっても独立に提案された^[2]。任意の曲線は平面を複数の連結領域に分割し、そのうちの1つは非有界である。同じ領域内の2点の周りの曲線の回転数は等しい。非有界領域（内の任意の点）の周りの回転数は0である。最後に、隣接する2つの領域の回転数はちょうど1だけ異なる。回転数が大きい領域は、曲線の左側（曲線を下る方向に対して）に現れる。

微分幾何学

微分幾何学では、媒介変数方程式は通常、微分可能（または少なくとも区分的に微分可能）であると仮定されます。この場合、極座標θは直交座標xおよびyと次の式で関連付けられます。

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

これは、θ の次の定義を微分することによって求められます。

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

微積分学の基本定理によれば、 θの全変化はdθの積分に等しい。したがって、微分可能曲線の巻数は線積分として表すことができる。

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

原点の補集合上で定義された1形式dθは閉じているが厳密 ではなく、穴あき平面の第一ド・ラームコホモロジー群を生成する。特に、ωが原点の補集合上で定義された任意の閉じた微分可能1形式である場合、 ωの閉ループに沿った積分は巻数の倍数を与える。

複素解析

複素解析において、巻数は極めて重要な役割を果たします（留数定理の記述を参照）。複素解析の文脈において、複素平面上の閉曲線 の巻数は複素座標z = x + iyで表すことができます。具体的には、 z  =  re ^iθと書くと、 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

そしてそれゆえ

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

は閉曲線であるため、 における全変化はゼロであり、したがって の積分はにおける全変化を乗じたものに等しい。したがって、原点の周りの閉経路の巻数は式^{[3]で与えられる。} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln(r)}$ ${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

より一般的には、が でパラメータ化された閉曲線である場合、に関するの巻数（に関するのインデックスとしても知られる）は、複素数に対して次のように定義される^[4]。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

これは有名なコーシーの積分公式の特殊なケースです。

複素平面における巻き数の基本的性質のいくつかは、次の定理によって与えられる: ^[5]

定理。 を閉路とし、をの 像の補集合、すなわち とします。このとき、 に関するの添え字は、 ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$(i) 整数値、すなわちのすべての場合、(ii) の各成分（すなわち、最大連結部分集合）にわたって一定、(iii)が の非有界成分に含まれる場合はゼロとなります。 $${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle z\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Omega }$

この定理の直接的な帰結として、点 を中心とする円軌道の巻数を与える。予想通り、巻数はを囲む（反時計回りの）ループの数を表す。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$

系。 が によって定義される経路である場合、 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

トポロジー

位相幾何学において、巻数は連続写像の次数を表す別名です。物理学においては、巻数はしばしば位相量子数と呼ばれます。どちらの場合も、同じ概念が適用されます。

点の周りを曲がる曲線の上の例では、単純な位相的解釈ができます。平面上の点の補写像は円とホモトピー同値であり、円からそれ自身への写像だけが実際に考慮される必要があります。このような写像はそれぞれ、標準写像 の 1 つに連続的に変形できる (ホモトピーである) ことが示され、ここで円における乗法は複素単位円と同一視することによって定義されます。円から位相空間への写像のホモトピー類の集合は群を形成し、これはその空間の最初のホモトピー群または基本群と呼ばれます。円の基本群は整数の群Zであり、複素曲線の曲り数はそのホモトピー類に相当します。 ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

3 次元球面からそれ自身への写像も、巻数またはポンチャギン指数とも呼ばれる整数によって分類されます。

回転数

この曲線は、pの周りの巻き数は2だけですが、全曲率は6 π、回転数は3 です。

経路自体の接線に対する経路の巻数を考えることもできます。時間経過に沿って進む経路として考えると、これは速度ベクトルの原点に対する巻数となります。この場合、この記事の冒頭に示した例では、小さなループもカウントされるため、巻数は3となります。

これは、はめ込まれたパス（つまり、どこにも消えない導関数を持つ微分可能なパス）に対してのみ定義され、接線ガウス マップの次数です。

これは回転数、[6]回転指数[7]または曲線の指数と呼ばれ、全曲^率を^2πで割ることで計算できます。

ポリゴン

多角形において、回転数は多角形密度と呼ばれます。凸多角形、およびより一般的には単純多角形（自己交差しない多角形）の場合、ジョルダン曲線定理により、密度は1です。一方、正多角形（p / q）の場合、密度はqです。

空間曲線

空間曲線の次数は次元の一致を必要とするため、回転数を定義することはできない。しかし、局所凸閉空間曲線の場合、接線回転符号を と定義することができる。ここで は、その接線指示行列の立体射影の回転数である。その2つの値は、局所凸曲線の2つの非退化ホモトピー類に対応する。^{[8] [9]} ${\displaystyle (-1)^{d}}$ ${\displaystyle d}$

巻数とハイゼンベルクの強磁性体方程式

巻き数は、(2 + 1)次元連続ハイゼンベルク強磁性体方程式とその積分可能な拡張である石森方程式などに深く関係しています。最後の方程式の解は、巻き数またはトポロジカルチャージ（トポロジカル不変量および/またはトポロジカル量子数）によって分類されます。

アプリケーション

ダン・サンデーの巻数アルゴリズムの視覚化。巻数が0の場合、点はポリゴンの外側にあることを意味し、その他の値は点がポリゴンの内側にあることを示します。

多角形内の点

多角形に対する点の巻き数は、多角形内の点(PIP) 問題を解決するために使用できます。つまり、点が多角形の内側にあるかどうかを判断するために使用できます。

一般的に、レイキャスティングアルゴリズムは、ワインディングナンバーアルゴリズムとは異なり、三角関数を必要としないため、PIP問題に対するより優れた代替手段となります。しかしながら、ワインディングナンバーアルゴリズムも高速化が可能であり、三角関数を含む計算を必要としません。^[10]この高速化版アルゴリズム（サンデーアルゴリズムとも呼ばれる）は、単純でない多角形も考慮する必要がある場合に推奨されます。

参照

• 議論の原則
• コイン回転パラドックス
• 連結係数
• 非ゼロルール
• ポリゴン密度
• 留数定理
• シュレーフリ記号
• 位相次数理論
• 位相量子数
• ツイスト（曖昧さ回避）#数学、科学、技術
• ウィルソンループ
• 身もだえ

参考文献

1. メビウス、8 月(1865 年)。 「Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders」。Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Mathematisch-Physische Klasse。17：31～ 68。
2. Alexander, JW (1928年4月). 「結び目とリンクの位相不変量」.アメリカ数学会誌. 30 (2): 275–306 . doi : 10.2307/1989123 . JSTOR  1989123.
3. Weisstein, Eric W.「Contour Winding Number」. MathWorld . 2022年7月7日閲覧。
4. ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』マグロウヒル、p.201、ISBN 0-07-054235-X。
5. ルディン、ウォルター (1987). 実解析と複素解析（第3版）. マグロウヒル. p. 203. ISBN 0-07-054234-1。
6. アベルソン、ハロルド（1981年）『タートル幾何学：数学を探究するための媒体としてのコンピュータ』MITプレス、24ページ。
7. Do Carmo, Manfredo P. (1976). 「5. 大域微分幾何学」.曲線と曲面の微分幾何学. Prentice-Hall. p. 393. ISBN 0-13-212589-7。
8. Feldman, EA (1968). 「閉空間曲線の変形」. Journal of Differential Geometry . 2 (1): 67– 75. doi : 10.4310/jdg/1214501138 . S2CID  116999463.
9. ミナルチク、イジー;ベネシュ、ミハル (2022)。 「非縮退ホモトピーと幾何学的流れ」。ホモロジー、ホモトピー、およびアプリケーション。24 (2 ) : 255–264.arXiv : 1807.01540 。土井：10.4310/HHA.2022.v24.n2.a12。S2CID  252274622。
10. Sunday, Dan (2001). 「多角形への点の包含」. 2013年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。

外部リンク

• PlanetMathの巻き数。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Winding_number&oldid=1289101444"