パーセンタイル

Statistic which divides a data set into 100 parts and analyzes it as a percentage

統計学において、k パーセンタイル（パーセンタイルスコアまたはセンタイルとも呼ばれる）とは、頻度分布における全スコアの特定の割合kがそのスコア（例：データポイント）を下回るスコア（「排他的」定義）です。あるいは、全スコアの特定の割合がそのスコア以下に存在するスコア（ 「包括的」定義）です。つまり、 kパーセンタイルのスコアは、そのセット内のすべてのスコアの約k ％を超えます。たとえば、排他的定義では、97パーセンタイルは、データポイントの97％がその値より小さい値です。パーセンタイルは、スコアの配置方法によって異なります

パーセンタイルは、100のグループに分割することで得られる分位値の一種です。25パーセンタイルは第1四分位値（Q ₁）、50パーセンタイルは中央値または第2四分位値（Q ₂）、75パーセンタイルは第3四分位値（Q ₃）とも呼ばれます。たとえば、50パーセンタイル（中央値）は、分布内のスコアの50%が含まれるスコア（定義によっては または ）より下（または）のスコアです。

パーセンタイルは、パーセントではなく、入力スコアと同じ測定単位で表されます。たとえば、スコアが人間の体重を表す場合、対応するパーセンタイルはキログラムまたはポンドで表されます。無限サンプルサイズの限界では、パーセンタイルは累積分布関数の逆関数であるパー​​センタイル関数に近似します

関連する量として、パーセンタイルランクがあります。これはパーセントで表され、分布におけるそのスコアより低いスコアの割合を表します（排他的定義）。パーセンタイルスコアとパーセンタイルランクは、規範参照テストのテストスコアの報告によく使用されますが、前述のように、これらは同じではありません。パーセンタイルランクの場合、スコアが与えられ、パーセンテージが計算されます。パーセンタイルランクは排他的です。指定されたスコアのパーセンタイルランクが90%の場合、90%のスコアはそれより低かったことになります。対照的に、パーセンタイルの場合、パーセンテージが与えられ、対応するスコアが決定されます。これは排他的または包括的のいずれかです。指定されたパーセンテージ（例：90番目）のスコアは、分布内の他のスコアがそのスコアより下（排他的定義）またはそれ以下（包括的定義）にあることを示します。

定義

パーセンタイルの標準的な定義はありません。^{[1] [2] [3]。}しかし、観測数が非常に多く、確率分布が連続している場合、すべての定義は同様の結果をもたらします。^[4]限界では、標本サイズが無限大に近づくにつれて、100 p^番目のパーセンタイル（0 < p <1）は、このように形成された累積分布関数（CDF）の逆関数に近似します。これは、 pがCDFに近似するため、pで評価されます。これは、グリベンコ・カンテリの定理の結果として見ることができます。パーセンタイルを計算するいくつかの方法を以下に示します。

正規分布とパーセンタイル

3シグマルールの表現。濃い青色の領域は、平均（μ）の両側に1標準偏差（σ）以内の観測値を表し、これは母集団の約68.3%を占めます。平均から2標準偏差（濃い青と中程度の青）は約95.4%を占め、3標準偏差（濃い青、中程度の青、薄い青）は約99.7%を占めます

計算方法のセクション（下記）で示されている方法は、小規模サンプル統計で使用するための近似値です。一般的に、正規分布に従う非常に大規模な母集団の場合、パーセンタイルは正規曲線プロットを参照して表されることがよくあります。正規分布は、標準偏差、またはシグマ（）単位にスケールされた軸に沿ってプロットされます。数学的には、正規分布は左側が負の無限大、右側が正の無限大まで広がります。ただし、母集団内のごくわずかな割合の個人だけが、 -3σから+ 3σの範囲外になることに注意してください。例えば、人間の身長では、+ 3σの身長レベルを超える人はほとんどいません ${\displaystyle \sigma }$

パーセンタイルは正規曲線の下の面積を表し、左から右に向かって増加します。各標準偏差は固定されたパーセンタイルを表します。したがって、小数点以下2桁に丸めると、-3σは0.13パーセンタイル、-2σは2.28パーセンタイル、-1σは15.87パーセンタイル、0σは50パーセンタイル（分布の平均と中央値の両方）、+ 1σは84.13パーセンタイル、+ 2σは97.72パーセンタイル、+ 3σは99.87パーセンタイルになります。これは、68-95-99.7ルールまたは3シグマルールに関連しています。理論上は0パーセンタイルは負の無限大、100パーセンタイルは正の無限大になりますが、テスト結果などの多くの実際のアプリケーションでは、自然な下限値または上限値が強制されることに注意してください。

応用

ISPが「バースト可能な」インターネット帯域幅を請求する際、95パーセンタイルまたは98パーセンタイルは通常、各月の帯域幅ピークの上位5%または2%をカットし、最も近い料金で請求します。このようにして、頻度の低いピークは無視され、顧客はより公平に請求されます。この統計がデータスループットの測定に非常に役立つ理由は、帯域幅のコストについて非常に正確な情報を提供するためです。95パーセンタイルは、95%の時間で使用量がこの量を下回っていることを示します。つまり、残りの5%の時間で使用量がこの量を超えています。

医師は、乳児や子供の体重と身長を、成長曲線に記載されている全国平均やパーセンタイルと比較して、成長を評価するためによく使用します。

道路上の交通速度の85パーセンタイルは、速度制限を設定し、そのような制限が高すぎるか低すぎるかを評価する際のガイドラインとしてよく使用されます。^{[5] [6]}

金融において、バリュー・アット・リスクとは、ポートフォリオの価値が一定期間内に、かつ信頼度が与えられた場合に、その価値を下回らないと予想される量を（モデルに依存した方法で）評価するための標準的な尺度です。

計算方法

10スコア分布の補間および最近順位、排他的および包括的パーセンタイル

10スコア分布の補間および最近順位、排他的および包括的パーセンタイル

パーセンタイルスコアには多くの式やアルゴリズムがあります^{[7] 。HyndmanとFan [1]}は9つを特定し、ほとんどの統計ソフトウェアとスプレッドシートソフトウェアは彼らが説明する方法の1つを使用しています。^[8]アルゴリズムは、スコアセット内に存在するスコアの値を返すか（最近傍順位法）、既存のスコア間を補間し、排他的または包括的です。

最近傍順位法（排他的/包括的）

PC: 指定されたパーセンタイル	0.10	0.25	0.50	0.75	0.90
N: スコアの数	10	10	10	10	10
OR: 順序順位 = PC × N	1	2.5	5	7.5	9
順位: >OR / ≥OR	2/1	3/3	6/5	8/8	10/9
順位のスコア (除外/包含)	2/1	3/3	4/3	5/5	7/5

この図は10スコア分布を示し、これらの異なるアルゴリズムから得られるパーセンタイルスコアを示し、後に示す例への導入として役立ちます。最も単純なのは、分布からスコアを返す最近傍順位法ですが、補間法と比較すると、結果が少し粗くなる場合があります。最近傍順位法の表は、排他的および包含的方法の計算手順を示しています。

補間法 (排他的/包含的)

PC: 指定されたパーセンタイル	0.10	0.25	0.50	0.75	0.90
N: スコアの数	10	10	10	10	10
OR: PC×(N+1) / PC×(N−1)+1	1.1/1.9	2.75/3.25	5.5/5.5	8.25/7.75	9.9/9.1
LoRank: OR切り捨て	1/1	2/3	5/5	8/7	9/9
HIRank: OR切り上げ	2/2	3/4	6/6	9/8	10/10
LoScore: LoRankでのスコア	1/1	2/3	3/3	5/4	5/5
HiScore: HiRankでのスコア	2/2	3/3	4/4	5/5	7/7
差: HiScore − LoScore	1/1	1/0	1/1	0/1	2/2
Mod: ORの小数点以下	0.1/0.9	0.75/0.25	0.5/0.5	0.25/0.75	0.9/0.1
補間スコア（exc/inc） = LoScore + Mod × 差	1.1/1.9	2.75/3	3.5/3.5	5/4.75	6.8/5.2

補間法は、その名の通り、分布内のスコア間のスコアを返すことができます。統計プログラムで使用されるアルゴリズムは、通常、補間法を使用します。例えば、Microsoft Excelのpercentile.exc関数やpercentile.inc関数などです。補間法の表には、計算手順が示されています。

最近接順位法

順序付きリスト{15、20、35、40、50}のパーセンタイル値

テキストでよく示されるパーセンタイルの定義の1つは、N個の順序付けられた値（最小から最大の順に並べられている）のリストのP番目のパーセンタイルは、リスト内の最小値であり、データのPパーセント以下がその値より小さく、データの少なくともPパーセントがその値以下である、というものです。 ${\displaystyle (0<P\leq 100)}$

これは、まず順序 順位を計算し、次にその順位に対応する順序付きリストから値を取得することによって計算されます。順序順位nは次の式で計算されます 。

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {P}{100}}\times N\right\rceil .}$

• 100個未満の異なる値を持つリストに最近隣順位法を使用すると、複数のパーセンタイルに同じ値が使用される可能性があります。
• 最近隣順位法を使用して計算されたパーセンタイルは、常に元の順序付きリストのメンバーになります。
• 100番目のパーセンタイルは、順序付きリストの最大値として定義されます。
• この方法は「経験分布関数」法とも呼ばれます。^[9]
• この方法を使用して計算された50パーセンタイルは、 Nが奇数の場合、通常の中央値と等しくなりますが、 Nが偶数の場合は等しくありません。^[9]

CDF法

CDF法は、例えばLangfordによって説明されました。^[9]

順序統計量が与えられた場合

${\displaystyle \{v_{(i)},i=1,2,\ldots ,N:v_{(i+1)}\geq v_{(i)},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

を計算します。パーセンタイルは ${\displaystyle x={\frac {P}{100}}\times N}$

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{(1)}{\text{, for }}x=0,\\v_{(\lceil x\rceil )}{\text{, for }}x\notin \{0,1,2,\ldots ,N-1\},\\{\frac {v_{(x)}+v_{(x+1)}}{2}}{\text{, for }}x\in \{1,2,\ldots ,N-1\}.\end{cases}}}$

• この方法で計算された50パーセンタイルは、通常の中央値に等しくなります。

• データを2倍にしても、計算されたパーセンタイル値は変わりません。

最も近い順位間の線形補間法

多くのアプリケーションで使用される四捨五入の代わりに、隣接する順位間の線形補間を使用することがあります。

順序統計量が与えられた場合

${\displaystyle \{v_{(i)},i=1,2,\ldots ,N:v_{(i+1)}\geq v_{(i)},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

線形補間は、単純に計算することによって実現されます。

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{(1)}{\text{, for }}x\leq 1,\\v_{(N)}{\text{, for }}x=N,\\v_{(\lfloor x\rfloor )}+(x{\bmod {1}})(v_{(\lfloor x\rfloor +1)}-v_{(\lfloor x\rfloor )}){\text{, for }}1<x<N.\end{cases}}}$

ここで、floor関数を使用してxの整数部を表し、mod関数を使用して小数部（1で割った後の余り）を表します。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x{\bmod {1}}}$

このように、 ${\displaystyle v(i)=v_{(i)}{\text{, for }}i=1,2,\ldots ,N.}$

ご覧のとおり、xは添え字iの連続バージョンであり、隣接するノード間でvを線形補間します。

さまざまなアプローチには2つの違いがあります。1つ目は、順位 x、パーセント順位、およびサンプルサイズ Nの関数である定数との間の線形関係です ${\displaystyle P=100p}$

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+c_{1})p+c_{2}.}$

中央値に対応する範囲の中点は、次の点で発生するという追加の要件があります。 ${\displaystyle (1,N)}$ ${\displaystyle p=0.5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0.5,N)&={\frac {N+c_{1}}{2}}+c_{2}={\frac {N+1}{2}}\\\therefore 2c_{2}+c_{1}&=1\end{aligned}},}$

そして、修正された関数は自由度が1つだけになり、次のようになります。

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+1-2C)p+C.}$

バリアントが異なる2つ目の点は、 pの範囲の端付近での関数の定義にあります。関数は範囲 内の結果を生成するか、生成するように強制される必要があります。これは、より広い領域では1対1の対応が存在しないことを意味する可能性があります。ある著者は、ξが標本分布の極値限界である一般化極値分布の形状である場合の選択を提案しました。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(p,N)}$ ${\displaystyle [1,N]}$ ${\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}(1+\xi )}$

最初のバリアントC= 1/2

順序付きリスト{15、20、35、40、50}で3つのバリアントをそれぞれ使用した場合の結果

（出典：Matlab「prctile」関数、^{[10] [9]}）

${\displaystyle x=f(p)={\begin{cases}Np+{\frac {1}{2}},\forall p\in \left[p_{1},p_{N}\right],\\1,\forall p\in \left[0,p_{1}\right],\\N,\forall p\in \left[p_{N},1\right].\end{cases}}}$

ここで

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{N}}\left(i-{\frac {1}{2}}\right),i\in [1,N]\cap \mathbb {N} }$

${\displaystyle \therefore p_{1}={\frac {1}{2N}},p_{N}={\frac {2N-1}{2N}}.}$

さらに、とします

${\displaystyle P_{i}=100p_{i}.}$

逆の関係はより狭い領域に制限されます

${\displaystyle p={\frac {1}{N}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right),x\in (1,N)\cap \mathbb {R} .}$

2番目のバリアントC= 1

[出典： NumPy ^[11]やMicrosoft Excel ^[3]などの一部のソフトウェアパッケージ（バージョン2013まではPERCENTILE.INC関数を使用）。NIST [8] によって代替手段として記載されています。^]

${\displaystyle x=f(p,N)=p(N-1)+1{\text{, }}p\in [0,1]}$

${\displaystyle \therefore p={\frac {x-1}{N-1}}{\text{, }}x\in [1,N].}$

3つの変種の中でこの特性を持つ唯一のに対して、関係は1対1であることに注意してください。そのため、Excel関数にはを含む を表す「INC」という接尾辞が付いています。 ${\displaystyle x\leftrightarrow p}$ ${\displaystyle p\in [0,1]}$

3番目の変種C= 0

（ NIST ^[8]が推奨する主要な変種。2010年からPERCENTIL.EXC関数によってMicrosoft Excelに採用されています。ただし、「EXC」接尾辞が示すように、Excel版はpの範囲の両端、つまりを除外しますが、2番目の変種である「INC」版は除外しません。実際、 より小さい数値も除外され、エラーが発生します。） ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}$

${\displaystyle x=f(p,N)={\begin{cases}1{\text{, }}p\in \left[0,{\frac {1}{N+1}}\right]\\p(N+1){\text{, }}p\in \left({\frac {1}{N+1}},{\frac {N}{N+1}}\right)\\N{\text{, }}p\in \left[{\frac {N}{N+1}},1\right]\end{cases}}.}$

逆はより狭い領域に制限されます。

${\displaystyle p={\frac {x}{N+1}}{\text{, }}x\in (0,N).}$

加重パーセンタイル法

パーセンタイル関数に加えて、加重パーセンタイルもあります。これは、総数ではなく、総重量におけるパーセンテージをカウントします。加重パーセンタイルの標準的な関数はありません。1つの方法は、上記のアプローチを自然な方法で拡張します。

N個のソートされたサンプル値にそれぞれ正の重みが関連付けられていると仮定します。 ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},\dots ,w_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}w_{k},}$

を重みの合計とします。すると、上記の式は、

${\displaystyle p_{n}={\frac {1}{S_{N}}}\left(S_{n}-{\frac {w_{n}}{2}}\right)}$の場合、 ${\displaystyle C=1/2}$

または

${\displaystyle p_{n}={\frac {S_{n}-Cw_{n}}{S_{N}+(1-2C)w_{n}}}}$一般的な場合、 ${\displaystyle C}$

および

${\displaystyle v=v_{k}+{\frac {P-p_{k}}{p_{k+1}-p_{k}}}(v_{k+1}-v_{k}).}$

50%の加重パーセンタイルは加重中央値として知られています。

参照

• 数学ポータル

• 十分位数
• パーセンタイル順位
• 四分位数
• 要約統計量

参考文献

1. Hyndman, Rob J. ; Fan, Yanan (1996年11月). 「統計パッケージにおけるサンプル・クォンタイル」. American Statistician . 50 (4). American Statistical Association: 361–365 . doi :10.2307/2684934. JSTOR  2684934.
2. Lane, David. 「パーセンタイル」. 2007年9月15日閲覧.
3. Pottel, Hans. 「Excelの統計的欠陥」(PDF) . 2013年6月4日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。2013年3月25日閲覧
4. Schoonjans F, De Bacquer D, Schmid P (2011). 「人口パーセンタイルの推定」.疫学. 22 (5): 750–751 . doi :10.1097/EDE.0b013e318225c1de. PMC 3171208. PMID 21811118.   
5. Johnson, Robert; Kuby, Patricia (2007)、「応用例2.15、85パーセンタイルの速度制限：流れの85%に従う」、初等統計学（第10版）、Cengage Learning、102ページ、ISBN 9781111802493.
6. 「合理的な速度制限と85パーセンタイル速度」（PDF）lsp.org .ルイジアナ州警察。 2018年9月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2018年10月28日閲覧。
7. Wessa, P (2021). 「無料統計ソフトウェアにおけるパーセンタイル」研究開発教育局。 2021年11月13日閲覧。
8. 「工学統計ハンドブック：パーセンタイル」NIST 。 2009年2月18日閲覧。
9. Langford, E. (2006). 「初等統計における四分位数」Journal of Statistics Education . 14 ( 3). doi : 10.1080/10691898.2006.11910589
10. 「Matlab Statistics Toolbox – Percentiles」。2006年9月15日閲覧。これは、ここで説明されている方法5に相当します。
11. 「NumPy 1.12 ドキュメント」。SciPy 。2017年3月19日閲覧。

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