ユークリッド平面

数学において、ユークリッド平面（ユークリッドげんぽう）は、 2次元ユークリッド空間であり、またはと表記される。これは、各点の位置を決定するために2つの実数が必要となる幾何学的空間である。ユークリッド平面はアフィン空間であり、特に平行線の概念を含む。また、距離によって誘導される計量的性質も持ち、円の定義や角度の測定を可能にする。 ${\textbf {E}}^{2}$ $\mathbb {E} ^{2}$

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、直交平面と呼ばれます。実数の順序対の集合（実座標平面）は、内積を備えており、すべてのユークリッド平面がこれに同型であるため、ユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれることがよくあります。 $\mathbb {R} ^{2}$

歴史

ユークリッドの『原論』第 1 巻から第 4 巻までと第 6 巻では、2 次元幾何学を扱っており、図形の相似、ピタゴラスの定理(命題 47)、角度と面積の等式、平行性、三角形の角度の和、三角形が「等しい」 (面積が同じ) である 3 つのケースなどの概念を展開しています。

その後、平面はいわゆる直交座標系で記述されるようになりました。直交座標系は、平面上の各点を数値座標のペアによって一意に指定する座標系です。数値座標は、点から2本の固定された垂直な有向線までの符号付き距離で、長さの単位は同じです。各基準線は座標軸または単に軸と呼ばれ、それらの交点が原点であり、通常は(0, 0)の順序付きペアで表されます。座標は、点を2本の軸に垂直に投影した位置として定義することもでき、原点からの符号付き距離として表されます。

この体系のアイデアは、1637年にデカルトとピエール・ド・フェルマーによって著作の中で独自に展開されたが、フェルマーも三次元で研究していたため、この発見を公表しなかった。^[1]両著者は、その記述において単一の（横軸）軸を使用し、縦軸の長さは必ずしもその軸に垂直ではない線に沿って測定された。^[2]固定された一対の軸を使用するという概念は、デカルトの『幾何学』が1649年にフランス・ファン・スホーテンとその弟子によってラテン語に翻訳された後に導入された。これらの注釈者たちは、デカルトの著作に含まれるアイデアを明確にしようと試みる中で、いくつかの概念を導入した。^[3]

後に、平面は体、つまり 0 を除く任意の 2 点の乗算と除算が可能な体と考えられるようになりました。これは複素平面として知られていました。複素平面はアルガン図で使われるため、アルガン平面と呼ばれることもあります。アルガン図はジャン＝ロベール・アルガン(1768–1822) にちなんで名付けられましたが、最初に記述したのはデンマーク系ノルウェー人の測量士で数学者のカスパール・ヴェッセル(1745–1818) です。^{[4]アルガン図は、}関数の極と零点の位置を複素平面にプロットするためによく使われます。

幾何学では

座標系

数学において、解析幾何学（デカルト幾何学とも呼ばれる）は、2次元空間のあらゆる点を2つの座標を用いて記述する。2つの直交する座標軸が与えられ、これらは原点を軸として互いに交差する。これらは通常、x軸とy軸で示される。これらの軸を基準として、2次元空間内の任意の点の位置は、実数の組で与えられる。各数値は、与えられた軸に沿って測定された原点からの距離を表し、その距離は、その点からもう一方の軸までの距離に等しい。

広く使用されているもう 1 つの座標系は極座標系です。これは、原点からの距離と、右方向の参照光線に対する角度で点を指定します。

3次元空間への埋め込み

ユークリッド幾何学において、平面とは無限に広がる平坦な二次元面のことである。ユークリッド平面はしばしば三次元空間の部分空間として現れる。典型的な例としては、部屋の壁が挙げられる。壁は無限に広がり、無限に薄いと仮定される。 $\mathbb {R} ^{3}$

実数のペアは平面上の点を記述するのに十分ですが、平面外の点との関係では、周囲空間への埋め込みに関して特別な考慮が必要です。

\mathbb {R} ^{2}

\mathbb {R} ^{3}

多面体

二次元には、無限に多くの多面体、つまり多角形が存在します。最初のいくつかの正多面体を以下に示します。

凸型

シュレーフリ記号は正 $n$ 角形を表します。 $\{n\}$

名前	三角形（2単体）	正方形（2-正方体）（2-立方体）	五角形	六角形	七角形	八角形
シュレーフリ記号	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
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名前	七納言	デカゴン	12角形	十二角形	十三角形	14角形
シュレーフリ	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
画像
名前	五角形	16角形	17角形	八角形	十角形	イコサゴン	... n角形
シュレーフリ	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ n }
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退化（球状）

正一角形（または正六角形）{1}と正二角形{2}は退化した正多角形とみなされ、2次元球面、2次元トーラス、直円筒などの非ユークリッド空間に非退化的に存在します。

名前	モノゴン	ディゴン
シュレーフリ	{1}	{2}
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非凸

二次元には、シュレーフリ記号が有理数{n/m}で構成される非凸正多面体が無数存在します。これらは星型多面体と呼ばれ、凸正多面体と同じ頂点配置を共有します。

一般に、任意の自然数 n に対して、すべてのmに対してシュレーフリ記号 { n / m }を持つ n 角形の非凸正多角形の星形が存在し、m < n /2 (厳密に言えば { n / m } = { n /( n − m )}) かつmとnが互いに素であるものとします。

名前	五芒星	ヘプタグラム		八芒星	エニアグラム		デカグラム	... nアグラム
シュレーフリ	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ n/m }
画像

丸

2次元における超球面は円であり、1 次元多様体であるため、1次元球面（S 1 ）と呼ばれることもある。^{ユークリッド}平面では、その長さは2π rであり、その内部の面積は

A=\pi r^{2}

半径はどこですか。 $r$

その他の形状

2 次元には、楕円、放物線、双曲線などの円錐曲線をはじめ、他の曲線形状が無数に存在します。

線形代数では

二次元空間を数学的に捉えるもう一つの方法は線型代数であり、そこでは独立性の概念が極めて重要です。長方形の長さは幅に依存しないため、平面は二次元です。線型代数の専門用語で言えば、平面が二次元であるのは、平面上のすべての点が二つの独立したベクトルの線型結合で記述できるからです。

内積、角度、長さ

2つのベクトルA = [ A ₁ , A ₂ ]とB = [ B ₁ , B ₂ ]のドット積は次のように定義されます。^[5]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}

ベクトルは矢印で表すことができます。ベクトルの大きさはベクトルの長さ、ベクトルの方向は矢印の向きです。ベクトルAの大きさはで表されます。この観点から、2つのユークリッドベクトルAとBの内積は^[6]で定義されます。 $\|\mathbf {A} \|$

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,

ここで、 θ はAとBの間の角度です。

ベクトルA自身のドット積は

\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},

これにより

\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},

ベクトルのユークリッド長さの公式。

微積分学では

勾配

直交座標系では、勾配は次のように表される。

\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.

線積分と二重積分

あるスカラー場 f : U ⊆ R ² → Rに対して、区分的に滑らかな曲線 C ⊂ Uに沿った線積分は次のように定義される。

\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,

ここで、 r : [a, b] → Cは曲線Cの任意の全単射パラメータ化であり、r ( a ) とr ( b ) はCとの端点を与えます。 $a<b$

ベクトル場 F : U ⊆ R ² → R ²に対して、区分的に滑らかな曲線 C ⊂ Uに沿ったr方向の線積分は次のように定義される。

\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,

ここで、·はドット積であり、r : [a, b] → Cは曲線Cの全単射パラメータ化であり、r ( a )とr ( b )はCの端点を与えます。

二重積分は関数のR ²の領域D内の積分を指し、通常は次のように記述されます。 $f(x,y),$

\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.

線積分の基本定理

線積分の基本定理によれば、勾配場を通る線積分は、曲線の端点で元のスカラー場を評価することによって評価できます。

しましょう。そして $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,

p 、q は曲線γの端点です。

グリーンの定理

C を平面上の正の向きで区分的に滑らかな単純閉曲線とし、 Dを Cで囲まれた領域とする。LとM がDを含む開領域上で定義された ( x , y )の関数であり、その領域で連続偏微分を持つ場合、^[7]^[8]

\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy

ここで、Cに沿った積分の経路は反時計回りです。

位相幾何学において

位相幾何学では、平面は唯一の収縮可能な 2 次元多様体として特徴付けられます。

その次元は、平面から点を除去すると、単純に接続された空間ではなく、接続された空間が残るという特徴があります。

グラフ理論では

グラフ理論において、平面グラフは平面に埋め込むことができるグラフ、すなわち、平面上に辺が端点でのみ交差するように描くことができるグラフである。言い換えれば、辺が互いに交差しないように描くことができる。 ^[9] このような描画は平面グラフまたはグラフの平面埋め込みと呼ばれる。平面グラフは、すべてのノードから平面上の点、およびすべてのエッジからその平面上の平面曲線へのマッピングを持つ平面グラフとして定義でき、各曲線の端点はその端ノードからマッピングされた点であり、すべての曲線は端点を除いて互いに素である。

参照

参考文献

^ 「解析幾何学」.ブリタニカ百科事典（オンライン版）. 2008年.
^ Katz, Victor J. (2009) [1993]. 『数学史』（第3版）. ボストン: Addison-Wesley. p. 484. ISBN 978-0-321-38700-4。
^ バートン 2011、374ページ
^ ヴェッセルの回想録は1797年にデンマーク科学アカデミーに提出され、アルガンの論文は1806年に出版された。（ウィテカー＆ワトソン、1927年、9ページ）
^ S. リプシュッツ; M. リプソン (2009)。線形代数 (シャウムの概要) (第 4 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-154352-1。
^ MRシュピーゲル; S. リプシュッツ; D. スペルマン (2009)。ベクトル解析 (Schaum の概要) (第 2 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-161545-7。
^ 物理学と工学のための数学的手法、KFライリー、MPホブソン、SJベンス、ケンブリッジ大学出版局、2010年、 ISBN 978-0-521-86153-3
^ Vector Analysis (第 2 版)、MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161545-7
^ Trudeau, Richard J. (1993). グラフ理論入門（訂正・増補再出版）. ニューヨーク: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-22012年8月8日閲覧。したがって、平面グラフを平面上に描画すると、辺の交差がなくなるか、あるいは辺の交差なしで再描画できるようになります。

引用文献

バートン、デイビッド・M.（2011年）、数学史入門（第7版）、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-338315-6

[1] 「解析幾何学」.ブリタニカ百科事典（オンライン版）. 2008年.

[2] Katz, Victor J. (2009) [1993]. 『数学史』（第3版）. ボストン: Addison-Wesley. p. 484. ISBN 978-0-321-38700-4。

[3] バートン 2011、374ページ

[4] ヴェッセルの回想録は1797年にデンマーク科学アカデミーに提出され、アルガンの論文は1806年に出版された。（ウィテカー＆ワトソン、1927年、9ページ）

[Lipschutz2009-5] S. リプシュッツ; M. リプソン (2009)。線形代数 (シャウムの概要) (第 4 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-154352-1。

[Spiegel2009-6] MRシュピーゲル; S. リプシュッツ; D. スペルマン (2009)。ベクトル解析 (Schaum の概要) (第 2 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-161545-7。

[7] 物理学と工学のための数学的手法、KFライリー、MPホブソン、SJベンス、ケンブリッジ大学出版局、2010年、 ISBN 978-0-521-86153-3

[8] Vector Analysis (第 2 版)、MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman、Schaum's Outlines、McGraw Hill (USA)、2009、 ISBN 978-0-07-161545-7

[9] Trudeau, Richard J. (1993). グラフ理論入門（訂正・増補再出版）. ニューヨーク: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-22012年8月8日閲覧。したがって、平面グラフを平面上に描画すると、辺の交差がなくなるか、あるいは辺の交差なしで再描画できるようになります。

v t e 寸法
次元空間	ベクトル空間ユークリッド空間アフィン空間射影空間無料モジュールマニホールド代数多様体時空
その他の次元	クルルルベーグ被覆帰納的ハウスドルフミンコフスキーフラクタル自由度
多面体と図形	超平面超曲面ハイパーキューブ超長方形デミハイパーキューブハイパースフィア交差多面体シンプレックスハイパーピラミッド
数体系	超複素数ケイリー・ディクソン構成
数値による寸法	ゼロ 1つ二三つ 4つ五六セブン八 n次元
参照	ハイパースペース共次元
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