Concept in mathematics
数学 、特に 微分幾何学 と ゲージ理論 において 、 接続と は、束上の 平行移動 の概念を定義する手段であり、近傍点上のファイバーを「接続」または同一視する方法である。 滑らかな多様体 上 の主G束 上の 主 G 接続は 、群の 作用 と両立する特別な種類の接続である 。 P {\displaystyle P} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G}
主接続は、エーレスマン接続 の概念の特殊なケースと見なすことができ 、 主エーレスマン接続と呼ばれることもあります。これは、 随伴バンドル 構成を介し て随伴する任意の ファイバーバンドル 上に（エーレスマン）接続を生み出します 。特に、 随伴ベクトルバンドル 上では、主接続は 共変微分を 誘導します。これは、そのバンドルの セクションを基本多様体における 接線方向 に沿って微分できる演算子です。主接続は、 滑らかな多様体 の フレームバンドル 上の 線型接続 の概念を任意の主バンドルに一般化します 。 P {\displaystyle P}
主束接続形式は、 主束の 接束への射影作用素として考えることができる 。接続形式の核は、付随する エーレスマン接続 の水平部分空間によって与えられる。 ω {\displaystyle \omega } T P {\displaystyle TP} P {\displaystyle P} 接続は、主バンドルへのすべての接空間の 水平部分空間の選択によって同様に指定されます 。 H p ⊂ T p P {\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P} P {\displaystyle P} 主バンドル接続は、の 右群作用と両立する必要がある。これは 、水平部分空間を互いに取り込む 右乗法として視覚化できる。 接続形式によって解釈される水平部分空間のこの同変性は 、その特徴的な同変性特性につながる。 G {\displaystyle G} P {\displaystyle P} R g {\displaystyle R_{g}} H ⊂ T P {\displaystyle H\subset TP} ω {\displaystyle \omega } を滑らかな多様体 上の 滑らかな 主 G 束 とする 。すると、 上の 主 -接続 は 上の微分1形式となり、 その リー代数に -同変な値を持ち 、 上 の 基本 ベクトル場 の リー 代数生成子 を再現する 。 π : P → M {\displaystyle \pi :P\to M} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} P {\displaystyle P}
言い換えれば、 ω の元であり 、 Ω 1 ( P , g ) ≅ C ∞ ( P , T ∗ P ⊗ g ) {\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})}
Ad g ( R g ∗ ω ) = ω {\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega } ここで は による右乗法を表し 、 は 上の 随伴表現 です （明示的に ）。 R g {\displaystyle R_{g}} g {\displaystyle g} Ad g {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} Ad g X = d d t g exp ( t X ) g − 1 | t = 0 {\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}} および が、 P上の G 作用を 微分することによって ξ に関連付けられた P 上のベクトル場 である場合 、 （ 上でも同様 ）。 ξ ∈ g {\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}} X ξ {\displaystyle X_{\xi }} ω ( X ξ ) = ξ {\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi } P {\displaystyle P} 主 接続 G {\displaystyle G} という用語は ペアを指すこともあり 、 それ自体は 主接続の 接続形式 または 接続 1 形式と呼ばれることもあります。 ( P , ω ) {\displaystyle (P,\omega )} ω {\displaystyle \omega }
主 -接続の既知の非自明な計算のほとんどは、 （余）接バンドルの自明性のため、 同次空間 で行われます。（例えば、 を 上の 主 -バンドルとします 。）これは、全空間上の実数値 1-形式が （ は 双対リー代数） と標準同型であることを意味します。したがって、 -接続は と一対一です 。 G {\displaystyle G} G → H → H / G {\displaystyle G\to H\to H/G} G {\displaystyle G} H / G {\displaystyle H/G} H {\displaystyle H} C ∞ ( H , h ∗ ) {\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {h}}^{*})} h ∗ {\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}} G {\displaystyle G} C ∞ ( H , h ∗ ⊗ g ) G {\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {h}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}}
エアレスマン接続との関係 への 主 接続は、以下のようにして への エーレスマン接続 を決定します 。まず、 への作用を生成する基本ベクトル場は、 の バンドル からへの バンドル同型（ の恒等写像を覆う ）を提供します 。ここで、 は の 垂直バンドル と呼ばれる 接写像 の核です 。したがって、 は 上の恒等写像である バンドル写像を一意に決定します 。このような射影は、 となる の滑らかな部分バンドル （ 水平バンドル と呼ばれる） であるその核によって一意に決定されます 。これがエーレスマン接続です。 G {\displaystyle G} ω {\displaystyle \omega } P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} G {\displaystyle G} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} V {\displaystyle V} P × g {\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}} V = ker ( d π ) {\displaystyle V=\ker(d\pi )} d π : T P → T M {\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM} P {\displaystyle P} ω {\displaystyle \omega } v : T P → V {\displaystyle v:TP\rightarrow V} V {\displaystyle V} v {\displaystyle v} H {\displaystyle H} T P {\displaystyle TP} T P = V ⊕ H {\displaystyle TP=V\oplus H}
逆に、 上のエーレスマン接続 （または ）は、 の意味で -同変で ある場合に限り、 主 -接続を定義します 。 H ⊂ T P {\displaystyle H\subset TP} v : T P → V {\displaystyle v:TP\rightarrow V} P {\displaystyle P} G {\displaystyle G} ω {\displaystyle \omega } G {\displaystyle G} H p g = d ( R g ) p ( H p ) {\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}
軽視セクションによる撤退 主バンドルの自明化切断は、 の 開部分集合上 の の 切断 s によって与えられます。すると、主接続の 引き戻し s * ω は 、に値を持つ の 1-形式になります 。切断 sが、( sg )( x ) = s ( x ) g ( x ) で定義される新しい切断 sg に置き換えられると（ただし、 g : M → G は滑らかな写像）、 となります 。主接続はこの - 値 1-形式の族によって一意に決定され、これらの 1-形式は、 特に古い文献や物理学に特化した文献では、 接続形式 または 接続 1-形式 とも呼ばれます。 P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} U {\displaystyle U} M {\displaystyle M} U {\displaystyle U} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ( s g ) ∗ ω = Ad ( g ) − 1 s ∗ ω + g − 1 d g {\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
主接続の束 群は 接束 に右並進 作用をする。 商空間 TP / G も多様体であり、 TM 上の ファイバー束の構造を継承する。このファイバー束は dπ : TP / G → TM と表記される 。ρ: TP / G → Mを M への射影とする 。射影 ρ の下の束 TP / G のファイバーは加法構造を持つ。 G {\displaystyle G} T P {\displaystyle TP}
TP / G 束は 主接続の束 と呼ばれる (Kobayashi 1957)。 dπ: TP / G → TMの 切断 Γであって、 Γ : TM → TP / Gが M 上のベクトル束の線型射となるものは、 P の主接続と同一視できる。逆に、上で定義した主接続は、 TP / G のそのような切断 Γ を生み出す 。
最後に、Γをこの意味での主接続とする。q : TP → TP / G を商写像とする。接続の水平分布は束である 。
H = q − 1 Γ ( T M ) ⊂ T P . {\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.} 水平バンドルへのリンク、つまりエーレスマン接続が再び表示されます。
アフィン性 ω と ω ′ が主バンドル P 上の主接続であるとすると 、差 ω ′ − ω はP 上の -値1-形式 であり、 G 同変であるだけでなく 、 P の垂直バンドル V の任意の切断で消えるという意味で 水平である 。したがって、これは 基本的であり、したがって 随伴バンドル に値を持つ M 上の1-形式によって決定される。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g P := P × G g . {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.} 逆に、そのような 1 形式はいずれも (引き戻しを介して) P上の G 同変水平 1 形式を定義し、主 G 接続 の空間は この 1 形式の空間の アフィン空間です。
例
マウラー・カルタン接続 となる自明な主 -バンドルに対して は 、標準接続が存在する [1] pg 49 G {\displaystyle G} π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} E = G × X {\displaystyle E=G\times X}
ω M C ∈ Ω 1 ( E , g ) {\displaystyle \omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}
マウラー・カルタン接続と呼ばれる。これは、ある点 において次のように定義される。 ( g , x ) ∈ G × X {\displaystyle (g,x)\in G\times X}
( ω M C ) ( g , x ) = ( L g − 1 ∘ π 1 ) ∗ {\displaystyle (\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}} のために x ∈ X , g ∈ G {\displaystyle x\in X,g\in G}
これは作曲である
T ( g , x ) E → π 1 ∗ T g G → ( L g − 1 ) ∗ T e G = g {\displaystyle T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}}
1-形式を定義する。
ω 0 = ( L g − 1 ) ∗ : T g G → T e G = g {\displaystyle \omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}}
はリー群上の マウラー・カルタン形式 であり 、 である 。 G {\displaystyle G} ω M C = π 1 ∗ ω 0 {\displaystyle \omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}}
些細なバンドル 自明な主 -バンドルに対して、 によって与えられる 恒等セクションは 1-1対応を定義する。 G {\displaystyle G} π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} i : X → G × X {\displaystyle i:X\to G\times X} i ( x ) = ( e , x ) {\displaystyle i(x)=(e,x)}
i ∗ : Ω 1 ( E , g ) → Ω 1 ( X , g ) {\displaystyle i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})}
上の接続 と上の -値1-形式との間の関係は [1] pg 53 で説明されている。 上の -値1-形式に対して、 上の 唯一 の1-形式が存在し、 E {\displaystyle E} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} X {\displaystyle X} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} E {\displaystyle E}
A ~ ( X ) = 0 {\displaystyle {\tilde {A}}(X)=0} 垂直ベクトル の場合 X ∈ T x E {\displaystyle X\in T_{x}E} R g ∗ A ~ = Ad ( g − 1 ) ∘ A ~ {\displaystyle R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}} いかなる g ∈ G {\displaystyle g\in G} そして、この1形式が与えられたとき、和をとることによって 接続を構築することができる。 E {\displaystyle E}
ω M C + A ~ {\displaystyle \omega _{MC}+{\tilde {A}}}
は に実際の接続を与える 。この唯一の1-形式は、まず を に限定して考えることで構築できる 。 すると、 は によって決定される。 なぜなら、 をとることで が得られるからである。 E {\displaystyle E} ( e , x ) {\displaystyle (e,x)} x ∈ X {\displaystyle x\in X} A ~ ( e , x ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{(e,x)}} A {\displaystyle A} T ( x , e ) E = k e r ( π ∗ ) ⊕ i ∗ T x X {\displaystyle T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X} A ~ ( g , x ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}}
A ~ ( g , x ) = R g ∗ A ~ ( e , x ) = Ad ( g − 1 ) ∘ A ~ ( e , x ) {\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}}
同様に、フォーム
A ~ ( x , g ) = Ad ( g − 1 ) ∘ A x ∘ π ∗ : T ( x , g ) E → g {\displaystyle {\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}}
上記の特性 1 と 2 を与える 1 形式を定義します。
これを非自明なバンドルに拡張する この主張は、自明でない束に対して、 自明化 と遷移関数を 持つ の 開被覆を考えることで さらに洗練させることができる [1] pg 55。 すると、 上の接続と1-形式の集合 の間には1-1対応が存在する。 E → X {\displaystyle E\to X} U = { U a } a ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}} X {\displaystyle X} { ϕ a } a ∈ I {\displaystyle \{\phi _{a}\}_{a\in I}} { g a b } a , b ∈ I {\displaystyle \{g_{ab}\}_{a,b\in I}} E {\displaystyle E}
{ A a ∈ Ω 1 ( U a , g ) } a ∈ I {\displaystyle \{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}}
満たす
A b = A d ( g a b − 1 ) ∘ A a + g a b ∗ ω 0 {\displaystyle A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}}
上の Maurer -Cartan 形式 の 交点を行列形式で表し ます 。 U a b {\displaystyle U_{ab}} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} G {\displaystyle G} ω 0 = g − 1 d g {\displaystyle \omega _{0}=g^{-1}dg}
主 束に対して 、接続の集合は ベクトル空間の アフィン空間である [1] pg 57。 ここで、 は付随ベクトル束である。これは、任意の2つの接続 に対して 、 G {\displaystyle G} π : E → M {\displaystyle \pi :E\to M} E {\displaystyle E} Ω 1 ( M , E g ) {\displaystyle \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})} E g {\displaystyle E_{\mathfrak {g}}} ω 0 , ω 1 {\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}} A ∈ Ω 1 ( M , E g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}
ω 0 = ω 1 + A {\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}+A}
接続のセットを と表記します。 コンテキストが明らかな場合 は単に と表記します。 A ( E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(E)} A {\displaystyle {\mathcal {A}}}
複素ホップ束上の接続 我々は [1] pg94を 主 バンドルとして 構築することができる。 ここで 、 は射影写像である。 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} γ : H C → C P n {\displaystyle \gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}} H C = C n + 1 − { 0 } {\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}} γ {\displaystyle \gamma }
γ ( z 0 , … , z n ) = [ z 0 , … , z n ] {\displaystyle \gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]}
のリー代数は 複素平面であることに注意する。1-形式は 次のように定義される。 C ∗ = G L ( 1 , C ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )} ω ∈ Ω 1 ( H C , C ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}
ω = z ¯ t d z | z | 2 = ∑ i = 0 n z ¯ i | z | 2 d z i {\displaystyle {\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}}
は接続を形成し、これは定義を検証することで確認できる。任意の固定値に対して 、 λ ∈ C ∗ {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}
R λ ∗ ω = ( z λ ) ¯ t d ( z λ ) | z λ | 2 = λ ¯ λ z ¯ t d z | λ | 2 ⋅ | z | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}}
そして なので 、 -不変性が成り立つ 。これは、リー代数がアーベル的であるので随伴作用が自明だからである。分割を構成するために、任意の に対して、 短完全列が成り立つことに注意されたい。 | λ | 2 = λ ¯ λ {\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }} C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} z ∈ H C {\displaystyle z\in H_{\mathbb {C} }}
0 → C → v z T z H C → γ ∗ T [ z ] C P n → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {C} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0}
ここで 、は次のように定義される。 v z {\displaystyle v_{z}}
v z ( λ ) = z ⋅ λ {\displaystyle v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda }
したがって、これはファイバー内でスケーリングとして作用する（対応する-作用に制限される ） 。 C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} ω z ∘ v z ( λ ) {\displaystyle \omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )}
ω z ∘ v z ( λ ) = z ¯ d z | z | 2 ( z λ ) = z ¯ z λ | z | 2 = λ {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}}
ここで、2番目の等式は 垂直接線ベクトルとを考慮しているためである 。表記法は少々混乱するが、各項を展開すると z λ {\displaystyle z\lambda } d z ( z λ ) = z λ {\displaystyle dz(z\lambda )=z\lambda }
d z = d z 0 + ⋯ + d z n z = a 0 z 0 + ⋯ + a n z n d z ( z ) = a 0 + ⋯ + a n d z ( λ z ) = λ ⋅ ( a 0 + ⋯ + a n ) z ¯ = a 0 ¯ + ⋯ + a n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}}
より明確になります（ここで ）。 a i ∈ C {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }
誘導共変微分と外微分 G の任意の 線型表現 W に対して、 M 上に 関連付けられたベクトル束 が存在し 、主接続はそのようなベクトル束上で 共変微分を誘導します。この共変微分は、 M 上 の の切断の空間が P上の G -同変 W -値関数 の空間に同型であるという事実を使って定義できます。より一般的には、 に値を持つ k -形式 の空間は、 P上の G -同変で水平な W -値 k - 形式 の空間と同一視されます 。 α がそのような k - 形式である場合、その 外微分 d α は、 G -同変であっても、水平ではなくなります。ただし、組み合わせ d α + ω Λ α は水平になります。これにより、 M 上の -値 k -形式 から M 上の -値 ( k +1)-形式への 外共変微分 d ω が定義されます。特に、 k =0 のとき、 上で共変微分が得られます 。 P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W} P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W} P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W} P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W} P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W} P × G W {\displaystyle P\times ^{G}W}
主 G 接続 ωの 曲率形式 は、 次式で定義される値2形式Ω である。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Ω = d ω + 1 2 [ ω ∧ ω ] . {\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].} これは G 同変かつ水平であるため、の値を持つ M 上の 2 形式に対応する 。この曲率とこの量との同一視は、 （カルタンの）第二構造方程式 と呼ばれることもある。 [2]歴史的に、構造方程式の出現は カルタン接続 の発展に見られる。 リー群 の文脈に転置されると 、構造方程式は マウラー・カルタン方程式 として知られる。これらは同じ方程式だが、設定と表記が異なる。 g P {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}
平坦接続と平坦接続を持つバンドルの特徴 接続が 平坦 である とは、その曲率が の形をとるときで ある。平坦接続を持つ主バンドルには便利な特徴付けがある。つまり、主 バンドルが 平坦接続を持つとは 、すべての遷移関数が 自明化を持つ 開 被覆が存在するときのみである [1]。 ω {\displaystyle \omega } Ω = 0 {\displaystyle \Omega =0} G {\displaystyle G} π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} { U a } a ∈ I {\displaystyle \{U_{a}\}_{a\in I}} { ϕ a } a ∈ I {\displaystyle \left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}}
g a b : U a ∩ U b → G {\displaystyle g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G}
は定数です。これは、滑らかな多様体上の平坦な主 -バンドルを構築するためのレシピを与えるため、有用です 。具体的には、開被覆を取り、定数遷移関数を持つ自明化を定義します。 G {\displaystyle G}
フレームバンドルとねじれの接続 主バンドル Pが フレームバンドル である場合、または（より一般的には） はんだ形式 を持つ場合 、接続は アフィン接続 の例であり、曲率は唯一の不変量ではない。なぜなら、 P上の同変 R n 値 1-形式 であるはんだ形式 θ の追加構造を考慮に入れなければならないからである。特に、 P 上の ねじれ形式は 、次式で定義される R n 値 2-形式 Θ
である。
Θ = d θ + ω ∧ θ . {\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .} Θ は G -同変かつ水平なので、 M 上の接線値2次元形式（ 捩れ と呼ばれる）に降下する 。この方程式は、 （カルタンの）第一構造方程式 と呼ばれることもある。
代数幾何学における定義 X がスキーム（あるいはより一般的にはスタック、導出スタック、あるいはプレスタック）である場合 、いわゆる de Rham スタック（ X dR と表記）を関連付けることができます。これは、 X dR 上の主G バンドルが、 X 上の *平坦* 接続を持つ G バンドルと同じである という性質を持ちます 。
参考文献 ^ abcdef Dupont, Johan (2003年8月). 「ファイバー束とチャーン＝ワイル理論」 (PDF) . 2022年3月31日時点のオリジナル (PDF) からのアーカイブ。 ^ 江口徹; ギルキー, ピーター・B.; ハンソン, アンドリュー・J. (1980). 「重力、ゲージ理論、微分幾何学」. 物理学報告 . 66 (6): 213– 393. Bibcode :1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1. 小林昭七 (1957)、「接続理論」、 Ann. Mat. Pura Appl. 、 43 : 119–194 、 doi : 10.1007/BF02411907 、 S2CID 120972987 小林昭七、野水克己（1996）、 微分幾何学の基礎 、第1巻（新版）、 Wiley Interscience 、 ISBN 0-471-15733-3 Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in different geography (PDF) , Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30 , retrieved 2008-03-25
![{\displaystyle \gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aca3948bb5a82ba9cc4afcebd5af40306e71251)
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![{\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ba3d5b842315fd1628a48c741683b169f505bc)
