プロパゲーター

Function in quantum field theory showing probability amplitudes of moving particles

量子力学と量子場の理論において、伝播関数（プロパゲーター）とは、粒子が与えられた時間内にある場所から別の場所へ移動する確率、あるいは特定のエネルギーと運動量で移動する確率振幅を指定する関数である。量子場の理論における衝突率を計算するファインマン図では、仮想粒子がそれぞれの図で記述される散乱事象の率に伝播関数として寄与する。伝播関数は粒子に固有の波動演算子の逆関数と見なすこともできるため、しばしば（因果的）グリーン関数と呼ばれる（楕円ラプラシアン・グリーン関数と区別するために「因果的」と呼ばれる）。 ^{[1] [2]}

非相対論的伝播関数

非相対論的量子力学では、プロパゲーターは、粒子が、ある時刻 (t') にある空間点 (x') から、後の時刻 (t) に別の空間点 (x) に移動する確率振幅を与えます。

シュレーディンガー方程式のグリーン関数Gは、次式を満たす関数である。ここで、Hはハミルトニアン、δ ( x )はディラックのデルタ関数、Θ( t )はヘヴィサイドのステップ関数を表す。上記の大きな括弧内のシュレーディンガー微分作用素の核はK ( x , t  ; x′ , t′ )と表され、プロパゲータと呼ばれる。^{[注 1]} $${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$$ $${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),}$$

この伝播関数は遷移振幅と書くこともできる。ここでU ( t , t′ )は、時刻t′の状態から時刻tの状態に移行するシステムのユニタリ時間発展演算子である。^[3]初期条件は次のように規定されていることに注意されたい。伝播関数は経路積分を使って求めることもできる。 $${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}U(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x').}$$

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t'}^{t}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],}$

ここで、Lはラグランジアンを表し、境界条件はq ( t )= x、q ( t′ )= x′で与えられる。積分される経路は時間的に前方にのみ移動し、時間的に経路に沿う微分と積分される。 ^[4] ${\displaystyle D[q(t)]}$

プロパゲーターは、初期波動関数と時間間隔が与えられた場合、システムの波動関数を求めることができる。新しい波動関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.}$

K ( x , t ; x ′, t ′)が差x − x′のみに依存する場合、これは初期波動関数と伝播関数の畳み込みです。

例

時間的に不変なシステムの場合、伝播関数は時間差t − t ′のみに依存するため、次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}$$

1次元自由粒子の伝播関数は、例えば経路積分から得られるが、

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.}$

同様に、1次元量子調和振動子の伝播関数はメーラー核である。^{[5] [6]}

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).}$

後者は、演算子に対して有効であり、ハイゼンベルクの関係を満たす、ファン・コルトリックのSU(1,1)リー群の恒等式^[7]を利用することで、以前の自由粒子の結果から得ることができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$

N次元の場合、伝播関数は単純に次の積で得られる。 $${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}$$

相対論的伝播関数

相対論的量子力学と量子場理論において、伝播関数はローレンツ不変である。伝播関数は、粒子が2つの時空事象の間を移動する際の振幅を与える。

スカラープロパゲーター

量子場の理論において、自由（または相互作用しない）スカラー場の理論は、より複雑な理論に必要な概念を説明するのに役立つ、有用かつ単純な例です。この理論はスピンゼロの粒子を記述します。自由スカラー場の理論には、いくつかの伝播関数が考えられます。ここでは、最も一般的なものについて説明します。

位置空間

位置空間プロパゲーターは、クライン・ゴルドン方程式のグリーン関数である。つまり、関数G ( x , y )が 以下の式を満たすこと を意味する。 $${\displaystyle \left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),}$$

• x, yはミンコフスキー時空における計量シグネチャ (+, −, −, −)を持つ2点であり、
• ${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$はx座標に作用するダランベルティアン演算子であり、
• δ ( x − y )はディラックのデルタ関数です。

(相対論的量子場理論の計算では一般的ですが、光速 cと換算プランク定数 ħが 1 に設定された単位を使用します。)

ここでは4次元ミンコフスキー時空に焦点を絞る。伝播関数の式をフーリエ変換すると、 $${\displaystyle \left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.}$$

この方程式は超関数の意味で反転することができ、方程式xf ( x ) = 1は解を持ち（ソホーツキー・プレメリ定理を参照） 、 εはゼロへの極限を意味することに注意する必要がある。以下では、因果律の要件から生じる符号の正しい選択について議論する。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

解決策は

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},}$

ここで 、 4ベクトルのミンコフスキー内積 です。 $${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$$

上式における積分路の変形方法の選択によって、伝播関数の様々な形が生まれます。積分路の選択は、通常、積分の観点から表現されます。 ${\displaystyle p_{0}}$

すると、積分関数には 2 つの極が存在するため、 これらを回避する方法の選択によって、伝播関数も異なります。 $${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$$

因果伝播者

遅れた伝播者

両極を時計回りに通過する等高線は、因果遅延伝播関数を与える。これは、xy が空間的であるか、yがxの未来にある場合、つまりx ⁰< y ⁰の場合、ゼロとなる。

この等高線の選択は、極限を計算することと同等である。 $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

ここで はヘヴィサイドのステップ関数、はxからyまでの固有時間、 は第一種ベッセル関数である。伝播関数が非ゼロとなるのは、すなわちy が因果的にxに先行する場合のみであり、これはミンコフスキー時空においては次のことを意味する。 $${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle y\prec x}$

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$そして ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

この式は、 自由スカラー場演算子の交換子の真空期待値と関連しており、 $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0}),}$$ $${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x).}$$

高度なプロパゲーター

両極の下を反時計回りに移動する等高線は、因果的先行伝播関数を与える。これは、xyが空間的であるか、 y がxの過去にある場合、つまりx ⁰> y ⁰の場合、ゼロとなる。

この輪郭の選択は限界を計算することと同等である^[8] $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

この式は、自由スカラー場の交換子の真空期待値によっても表すことができます。この場合、 $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

ファインマン伝播関数

左極の下を通り右極の上を通る等高線は、 1948年にリチャード・ファインマンによって導入されたファインマン伝播関数を与える。 ^[9]

この輪郭の選択は、限界を計算することと同等である^[10] $${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

ここで、H ₁ ⁽¹⁾はハンケル関数、K ₁は修正ベッセル関数である。

この表現は、自由スカラー場の時間順序積の真空期待値として場の理論から直接導くことができる。つまり、時空点の時間順序が常に同じになるように取られる積である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

この表現は、点xと点 yが空間的な間隔で分離されているときに場の演算子が互いに交換できる限り、ローレンツ不変です。

通常の導出では、ローレンツ共変正規化を持つ場の間に単一粒子の運動量状態の完全なセットを挿入し、次に、積分対象が上記のとおりである場合（したがって虚数部が微小である）、エネルギー軸に沿った等高線積分によって因果的な時間順序付けを提供する 2 つのΘ関数（1 つは粒子用、もう 1 つは反粒子用）が、極を実数線から移動することによって得られることを示します。

プロパゲーターは、量子論の経路積分定式化を使用して導くこともできます。

ディラック伝播関数

1938年にポール・ディラックによって導入された。 ^{[11] [12]}

運動量空間プロパゲーター

位置空間伝播関数のフーリエ変換は、運動量空間における伝播関数と考えることができます。これは位置空間伝播関数よりもはるかに単純な形をとります。

これらはしばしば明示的にε項を用いて記述されますが、これはどの積分曲線が適切であるかを示すためのものと理解されています（上記参照）。このε項は境界条件と因果関係を組み込むために含まれています（下記参照）。

4 次元運動量 pの場合、運動量空間における因果伝播関数とファインマン伝播関数は次のようになります。

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

ファインマン図の計算では、通常、全体係数iを追加してこれらを記述すると便利です(規則は異なります)。

光より速い？

ファインマン伝播関数には、一見すると不可解な性質がいくつかあります。特に、交換子とは異なり、伝播関数は光円錐の外側では非ゼロですが、時空間的な区間では急速に減少します。粒子の運動の振幅として解釈すると、これは仮想粒子が光より速く移動することを意味します。これが因果律とどのように調和するのかは、すぐには明らかではありません。光より速い仮想粒子を使って、光より速いメッセージを送信できるのでしょうか？

答えはノーです。古典力学では粒子と因果効果が移動できる間隔は同じですが、量子場の理論ではこれは当てはまりません。量子場の理論では、どの演算子が互いに影響を及ぼせるかを決定するのは交換子です。

では、プロパゲーターの空間的な部分は何を表しているのでしょうか。QFT では真空が能動的な参加者であり、粒子数と場の値は不確定性原理によって関連付けられています。つまり、粒子数が0であっても場の値は不確定です。局所的に測定した場合 (または、より正確には、小さな領域で場を平均化することによって得られた演算子を測定した場合)、場Φ( x )の真空値に大きな変動が見られる確率振幅は非ゼロです。さらに、場のダイナミクスは、ある程度、空間的に相関した変動を好む傾向があります。空間的に分離された場の非ゼロの時間順序積は、EPR 相関に類似した、これらの真空変動の非局所的な相関の振幅を測定するだけです。実際、プロパゲーターは自由場の2 点相関関数と呼ばれることがよくあります。

量子場理論の公理によれば、観測可能なすべての演算子は空間的に分離して互いに交換されるため、他の EPR 相関を介してメッセージを送信できないのと同様に、これらの相関を介してメッセージを送信することはできません。相関はランダム変数です。

仮想粒子に関して言えば、空間的に分離した伝播関数は、最終的に真空中に消滅する仮想粒子・反粒子対を生成するための振幅を計算する手段、あるいは真空から出現する仮想粒子対を検出するための手段と考えることができる。ファインマンの言葉で言えば、このような生成と消滅の過程は、仮想粒子が時間の中で前後にさまよい、光円錐の外に出る可能性があることに相当する。しかし、時間遡及的な信号は許されない。

限界を用いた説明

これは、質量のない粒子の伝播関数を次の形式で記述することで、より明確になります。 $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

これは通常の定義ですが、係数 で正規化されています。そして、計算の最後にのみ極限を求めるのが規則です。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

となり、 したがって、質量のない単一の粒子は常に光円錐上に留まることを意味します。また、任意の時点における光子の全確率は、次の係数の逆数で正規化される必要があることも示されます。光円錐の外側の部分は、極限では通常ゼロであり、ファインマン図においてのみ重要であることがわかります。 $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$

ファインマン図における伝播関数

プロパゲーターの最も一般的な用途は、ファインマン図を用いて粒子相互作用の確率振幅を計算することです。これらの計算は通常、運動量空間で行われます。一般に、振幅はすべての内部線、つまり初期状態または最終状態で入射粒子または出射粒子を表さないすべての線に対して、プロパゲーターの係数を持ちます。また、線が交わるすべての内部頂点に対して、理論のラグランジアンにおける相互作用項に比例し、かつその形が相似する係数も持ちます。これらの規定はファインマン則として知られています。

内部線は仮想粒子に対応する。伝播関数は、古典運動方程式で許されないエネルギーと運動量の組み合わせに対してはゼロにならないため、仮想粒子は殻外に存在することが許されると言える。実際、伝播関数は波動方程式の逆行列によって得られるため、一般に殻上に特異点を持つ。

伝播関数内の粒子が運ぶエネルギーは、負の値になることもあります。これは、粒子が一方方向に進む代わりに、その反粒子が反対方向へ進み、反対方向の正のエネルギーの流れを運ぶ場合と単純に解釈できます。伝播関数は両方の可能性を包含します。ただし、伝播関数がエネルギーと運動量の関数ですらないフェルミオンの場合、マイナスの符号には注意が必要です（下記参照）。

仮想粒子はエネルギーと運動量を保存します。しかし、仮想粒子は殻から外れることがあるため、図に閉ループが含まれる場合、ループに参加する仮想粒子のエネルギーと運動量は部分的に制約を受けません。これは、ループ内の1つの粒子の量の変化が、別の粒子の等しい反対方向の変化と釣り合うためです。したがって、ファインマン図のすべてのループは、エネルギーと運動量の可能な連続体にわたる積分を必要とします。一般に、これらの伝播関数の積の積分は発散する可能性があり、これは繰り込み処理によって処理する必要があります。

その他の理論

スピン1 ⁄ 2

粒子がスピンを持つ場合、その伝播関数は一般にやや複雑になる。これは、粒子のスピンまたは分極指数が関係するからである。スピン1 ⁄ 2粒子の伝播関数が満たす微分方程式は^[13]で与えられる。

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

ここで、I ₄は4次元の単位行列であり、ファインマンのスラッシュ記法を用いている。これは時空におけるデルタ関数源に対するディラック方程式である。運動量表現を用いると、この方程式は次のようになる。 $${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

ここで、右辺には4次元デルタ関数の積分表現が用いられている。したがって、

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

左から（単位行列を表記から削除して）を掛け、ガンマ行列の性質を使うと、 $${\displaystyle (\not p+m)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

量子電気力学における電子を表すディラック場のファインマン図で使用される運動量空間伝播関数は、次の形式を持つことが分かっている。

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

下のiεは、複素p ₀平面における極の扱い方を規定するものです。極を適切にシフトすることで、 自動的にファインマン積分曲線が得られます。これは次のように書かれることもあります。

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

略して。この式は( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹の省略記法に過ぎないことを覚えておくべきである。「1/行列」はそうでなければ意味をなさない。位置空間では $${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

これはファインマンの伝播関数と関連しており、

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

どこ。 ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

スピン1

ゲージ理論におけるゲージボソンの伝播関数は、ゲージを固定する規約の選択に依存する。ファインマンとシュテッケルベルクが用いたゲージの場合、光子の伝播関数は次のようになる。

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

ゲージパラメータλを持つ一般形は、全体の符号と因子を除いて、次のように表される。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

質量を持つベクトル場の伝播関数は、シュテッケルベルク・ラグランジアンから導出できる。ゲージパラメータλ（全体の符号と因子を除いた） の一般形は、 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

これらの一般形を用いると、 λ = 0の場合にはユニタリーゲージの伝播関数、 λ = 1の場合にはファインマンゲージまたはトフーフトゲージの伝播関数、λ = ∞の場合にはランダウゲージまたはローレンツゲージの伝播関数が得られる。また、ゲージパラメータがλの逆数となる表記法もあり、通常はξと表記される（ R _ξゲージを参照）。ただし、伝播関数の名前は最終的な形を指し、必ずしもゲージパラメータの値を指すわけではない。

ユニタリーゲージ:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

ファインマン（'t Hooft）ゲージ：

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

ランダウ（ローレンツ）ゲージ：

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

重力子伝播関数

一般相対論におけるミンコフスキー空間の重力子伝播関数は^[14]で、 は時空の次元数、は横方向かつトレースレスなスピン2射影演算子、はスピン0のスカラー多重項である。 （反）ド・ジッター空間の重力子伝播関数は、はハッブル定数である 。極限および をとると、AdS伝播関数はミンコフスキー伝播関数に簡約される点に注意されたい。[ ^15] $${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$ $${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},}$$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to 0}$ ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$

関連する特異関数

スカラー伝播関数は、クライン・ゴルドン方程式のグリーン関数です。量子場の理論において重要な、関連する特異関数が存在します。これらの関数は、場の作用素の 積の真空期待値によって最も簡単に定義されます。

クライン・ゴルドン方程式の解

パウリ・ジョルダン関数

2つのスカラー場演算子の交換子はパウリ・ジョルダン関数を次のように定義する^{[16] [17]} ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

と

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

これは満足する

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

の場合はゼロになります。 ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

正と負の周波数部分（カットプロパゲーター）

の正と負の周波数部分（カットプロパゲーターと呼ばれることもある）を、相対論的に不変な方法で定義することができます。 ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

これにより、正の周波数部分を定義できます。

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

負の周波数部分：

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

^{これらは[17]}を満たす

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

そして

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

補助機能

2つのスカラー体演算子の反交換子は関数を次のように 定義する。 ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

と

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

これは満足する ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

クライン・ゴルドン方程式のグリーン関数

上記で定義した遅延伝播関数、先進伝播関数、およびファインマン伝播関数はすべて、クライン・ゴルドン方程式のグリーン関数です。

これらは特異関数と^{[17]によって関連している。}

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (x^{0}-y^{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (y^{0}-x^{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x^{0}-y^{0})\,\Delta (x-y)}$

の符号はどこですか？ ${\displaystyle \varepsilon (x^{0}-y^{0})}$ ${\displaystyle x^{0}-y^{0}}$

参照

• ソースフィールド
• LSZ削減式

注記

1. プロパゲーターという用語はGを指すこともありますが、この記事ではKを指す用語としてこの用語を使用します。

1. PDE と波動方程式の数学、p 32、Michael P. Lamoureux、カルガリー大学、地震イメージングサマースクール、2006 年 8 月 7 日～11 日、カルガリー。
2. Ch.: 9 グリーン関数、p 6.、J Peacock、フーリエ解析講義コース: 講義 15。
3. コーエン-タンヌージ、ディウ & ラロエ、2019 年、314、337 ページ。
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外部リンク

• ファインマン伝播関数を計算する3つの方法

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