回転行列

Matrix representing a Euclidean rotation

線形代数において、回転行列はユークリッド空間で回転を行うために用いられる変換行列である。例えば、以下の規則を用いると、行列

$${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$$

は、2次元直交座標系の原点を中心に、 xy平面上の点を反時計回りに角度θだけ回転させる。標準座標v = ( x , y )を持つ平面点上で回転を行うには、これを列ベクトルとして書き、行列Rを乗じる。

$${\displaystyle R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

xとy が、長さrのベクトルの終点の座標で、 x軸に対する角度がおよび とすると、上記の式は三角関数の角度の和の公式になります。実際、これらは行列形式の三角関数の角度の和の公式です。これを理解する一つの方法は、x 軸から30 °の角度のベクトルがあり、その角度をさらに 45° 回転させたいと考えることです。この場合、ベクトルの終点の座標を 75° で計算するだけで済みます。 ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle x=r\cos \phi }$ ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ $${\displaystyle R\mathbf {v} =r{\begin{bmatrix}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta \\\cos \phi \sin \theta +\sin \phi \cos \theta \end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos(\phi +\theta )\\\sin(\phi +\theta )\end{bmatrix}}.}$$

この記事の例は、右手座標系（xから反時計回りにy）におけるベクトルの能動的な回転（回転行列Rを回転対象の列ベクトルvの左側に適用）に適用されます。これらのいずれかが変更された場合（ベクトルではなく軸を回転させる、受動的な変換など）、例の行列の逆行列、つまり転置行列を使用する必要があります。

行列の乗算はゼロベクトル（原点の座標）には影響しないため、回転行列は原点の周りの回転を記述します。回転行列はそのような回転の代数的記述を提供し、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの計算で広く使用されています。一部の文献では、回転という用語は、行列式が（+1ではなく）-1である直交行列によって特徴付けられる、真正回転を含むように一般化されています。真正回転は、真正回転と反射（方向を反転する）を組み合わせたものです。反射が考慮されていない他の場合には、真正というラベルを省略する場合があります。この記事では後者の慣例に従います。

回転行列は実数要素を持つ正方行列です。より具体的には、行列式が1である直交行列として特徴付けることができます。つまり、正方行列Rが回転行列となるのは、R ^T = R ⁻¹かつdet R = 1の場合のみです。行列式が+1であるサイズnの直交行列全体の 集合は、特殊直交群SO( n )と呼ばれる群の表現であり、その一例が回転群SO(3)です。行列式が+1または-1であるサイズnの直交行列全体の集合は、 （一般）直交群O( n )の表現です。

2次元では

ベクトルを角度θだけ反時計回りに回転させます。ベクトルは最初、x軸に沿って配置されています。

2 次元では、標準回転行列は次の形式になります。 $${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

これは、次の行列乗算によって列ベクトルを回転します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$$

したがって、回転後の点（x、y）の新しい座標（x ′、y ′）は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.}$$

例

例えば、ベクトル（最初は直交座標系のx軸に揃っている）が角度θだけ回転すると、その新しい座標は $${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},}$$

そして、ベクトル（最初は座標系のy軸に揃っている） が角度θだけ回転すると、その新しい座標は $${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

方向

ベクトルの回転方向は、θが正（例えば 90°）の場合は反時計回り、θが負（例えば -90°）の場合は時計回りです。したがって、時計回りの回転行列は（ θ を-θに置き換え、およびの三角対称性を用いることで）次のように求められます。 ${\displaystyle R(\theta )}$ ${\textstyle \sin(-\theta )=-\sin(\theta )}$ ${\textstyle \cos(-\theta )=\cos(\theta )}$ $${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

代わりの慣例では、回転軸（ベクトルの回転の代わりに）を使用し、^[1]上記の行列は、時計回りに角度θで軸を回転させることも表します。

2次元の場合、回転行列群が可換となる唯一の非自明なケースです。つまり、回転をどの順序で複数回実行しても問題ありません。例えば3次元の場合、複数の回転の順序が異なると結果も異なります。（例えば、携帯電話をZ軸、Y軸の順に回転させることと、 Y軸、Z軸の順に回転させることは同じではありません。）

座標系の非標準的な方向

非標準軸による角度θの回転。

標準的な右手 直交座標系（x軸を右向き、y軸を上向きとする）を用いる場合、回転R ( θ )は反時計回りとなる。左手直交座標系（ x軸を右向き、y軸を下向きとする）を用いる場合、回転R ( θ )は時計回りとなる。このような非標準的な方向は数学ではほとんど用いられないが、2Dコンピュータグラフィックスではよく用いられ、原点が左上隅にあり、y軸が画面またはページの下向きとなることが多い。^[2]

回転行列によって生成される回転の感覚を変更する可能性のある他の代替規則については、以下を参照してください。

一般的な2D回転

行列は、0°、90°、180°、270°のそれぞれの角度の反時計回りの回転に対応する 2D 回転行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\[3pt]0&1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$$

複素平面との関係

形状 の行列は環を形成します。これは、その集合が加算と乗算に関して閉じているためです。 (ここでは単位行列) であるため、写像(ここではに対応) はこの環から複素数⁠ ⁠の体への環同型です (ちなみに、これはこの環が体であることを示しています)。この同型の下では、であるため、回転行列は単位複素数(係数1の複素数) の円に対応します。結果として、次の等式が成り立ちます。最初の等式はオイラーの公式、行列 は1 に対応し、行列 は虚数単位に対応します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I}$$ ${\textstyle I}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\mapsto x+iy}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\\\end{bmatrix}}=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \cos t^{2}+\sin t^{2}=1}$ $${\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle i}$

線形同型（ただし、および ）を通してと を同一視すると、ベクトルに対する行列の作用は、複素数x + iyの乗算に対応します。言い換えれば、ベクトルの回転は、複素数（回転されるベクトルに対応）と法1の複素数（回転行列に対応）の乗算に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a+ib}$ ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle a+ib\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a+ib}$

3次元で

基本的な3D回転

基本的な3次元回転（要素回転とも呼ばれる）は、座標系の軸の1つを中心とした回転です。以下の3つの基本的な回転行列は、ベクトルをx軸、y軸、またはz軸を中心に角度θだけ3次元で回転させます。回転は右手の法則（ベクトルの符号が交互に変化する法則）を用いて行われます。^[3]右手の法則は を掛け合わせる場合にのみ適用されることに注意してください。同じ行列は、ベクトルを変えずに軸を時計回りに回転させることもできます。^{[注 1]} ${\displaystyle R\cdot {\vec {x}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$$

列ベクトルの場合、これらの基本的なベクトル回転は、軸が観測者の方向を指し、座標系が右手系で、角度θが正のとき、反時計回りに回転します。例えば、R _zはx軸と一致するベクトルをy軸に向かって回転します。これは、ベクトル(1,0,0)に対してR _zを作用させることで簡単に確認できます。 $${\displaystyle R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}}$$

これは、前述の2次元回転行列によって生成される回転に似ています。これらの行列によって生成される回転の向きを、見かけ上または実際に反転させる可能性のある代替規則については、以下を参照してください。

一般的な3D回転

他の3次元回転行列は、行列の乗算を使ってこれら3つから得ることができる。例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}R=R_{z}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\gamma )&={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

は、ヨー角、ピッチ角、ロール角がそれぞれα、β、γである回転を表します。より正式には、これはテイト・ブライアン角がそれぞれz、y、x軸を中心としたα 、 β 、 γである固有回転です。同様に、積は（不定）オイラー角がそれぞれ x 、 y、z軸を中心としたα、β、γである外在回転を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\\R=R_{x}(\gamma )\,R_{y}(\beta )\,R_{z}(\alpha )&={\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma \\-\sin \beta &\sin \alpha \cos \beta &\cos \alpha \cos \beta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

これらの行列は、列ベクトルを前置乗算するために使用された場合にのみ、また（一般に行列の乗算は可換ではないため）指定された順序で適用された場合にのみ、目的の効果を生み出します（詳細は「曖昧さ」を参照）。回転演算の順序は右から左へであり、列ベクトルに隣接する行列が最初に適用され、次に左側の行列が適用されます。^[4]

回転行列から軸角度への変換

3 次元におけるすべての回転は、その軸(この軸に沿ったベクトルは回転によって変化しません) と角度(その軸の周りの回転量)によって定義されます(オイラー回転定理)。

回転行列から軸と角度を計算する方法はいくつかあります（軸-角度表現も参照）。ここでは、回転行列の固有ベクトルと固有値の計算に基づく方法のみを説明します。回転行列のトレースを利用することもできます。

軸の決定

軸uの周りの回転R は、 3 つの自己準同型P、( I − P )、およびQを使用して分解できます(クリックして拡大)。

3×3回転行列Rが与えられたとき、回転軸に平行なベクトルuは、 uを回転軸の周りで回転させるとuが得られるため、uを満たす必要があります。Rが単位行列Iでない限り、スカラー因子を除いて一意であるuについて、上記の式を解くことができます。 $${\displaystyle R\mathbf {u} =\mathbf {u} ,}$$

さらに、この式を書き直すと 、 u はR − Iのヌル空間にあることがわかります。 $${\displaystyle R\mathbf {u} =I\mathbf {u} \implies \left(R-I\right)\mathbf {u} =0,}$$

別の見方をすれば、uはRの固有ベクトルであり、固有値λ = 1に対応する。すべての回転行列はこの固有値を持たなければならず、他の2つの固有値は互いに複素共役である。したがって、3次元の一般的な回転行列は、乗法定数を除いて、実固有ベクトルを1つしか持たない。

回転軸を決定する 1 つの方法は、次のことを示すことです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=R^{\mathsf {T}}0+0\\&=R^{\mathsf {T}}\left(R-I\right)\mathbf {u} +\left(R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(I-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$$

( R − R ^T )は歪対称行列なので、 u を次のように選ぶことができます。行列とベクトルの積はベクトルとそれ自身の外積となり、結果がゼロになることが保証されます。 $${\displaystyle [\mathbf {u} ]_{\times }=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right).}$$

$${\displaystyle \left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} =[\mathbf {u} ]_{\times }\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,}$$

したがって、このように計算されたuの大きさは‖ u ‖ = 2 sin θとなり、ここでθは回転角度です。 $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}h-f\\c-g\\d-b\\\end{bmatrix}}.}$$

Rが対称な場合はこの方法は使えません。上記において、R − R ^Tがゼロの場合、以降のステップはすべて無効です。この場合、回転角は0°または180°となり、I + Rの非ゼロ列はRの固有値1を持つ固有ベクトルとなります。なぜなら、 R ( I + R ) = R + R ² = R + RR ^T = I + Rとなるからです。^[5]

角度の決定

回転の角度を求めるには、回転軸がわかっている場合、その軸に垂直なベクトルvを選択します。すると、回転角度はvと R vの間の角度になります。

しかし、より直接的な方法は、回転行列の対角要素の和であるトレースを計算することです。角度θの符号は、選択した軸と一致するように注意する必要があります。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta ,}$$

そこから角度の絶対値は $${\displaystyle |\theta |=\arccos \left({\frac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\right).}$$

回転軸については、正しい角度^[6]は次の式から 得ることができる。 ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\cos \theta &=&{\dfrac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\\\sin \theta &=&-{\dfrac {\operatorname {tr} (K_{n}R)}{2}}\end{matrix}}\right.}$

どこ

${\displaystyle K_{n}={\begin{bmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\\\end{bmatrix}}}$

軸と角度からの回転行列

u = ( u _x , u _y , u _z )軸の周りの角度θによる真回転Rの行列、 uを単位ベクトルとする²
_倍+あなた²
_歳+あなた^2z
_​= 1は次のように与えられる: ^{[7] [8] [9] [10]} $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{y}\sin \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &u_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

この行列を第一原理から導出する方法は、ここのセクション9.2にあります。^[11]この行列を導出するための基本的な考え方は、問題をいくつかの既知の単純なステップに分割することです。

1. まず、指定された軸と点を回転させて、軸が座標平面（xy、yz 、またはzx）のいずれかに位置するようにします。
2. 次に、指定された軸と点を回転させて、軸がその特定の座標平面（ x、y 、またはz）の2つの座標軸のいずれかに揃うようにします。
3. 基本回転行列の 1 つを使用して、回転軸が位置合わせされている座標軸に応じて点を回転します。
4. 軸と点のペアを逆回転させ、ステップ2と同じ最終構成を実現します（ステップ2を元に戻す）。
5. 手順1で実行した軸と点のペアを逆回転させます（手順1を元に戻す）。

^{これはより簡潔に[12]}と書くことができ、 [u] × はuの外積行列、u⊗uは外積、Iは_単位行列である。あるいは、行列の各要素は以下のようになる。 $${\displaystyle R=(\cos \theta )\,I+(\sin \theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle R_{jk}={\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta ,\quad &{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$$

ここでε _jklはε ₁₂₃ = 1のレヴィ・チヴィタ記号である。これはロドリゲスの回転公式（または等価な、異なるパラメータ化されたオイラー・ロドリゲスの公式）の行列形式で、 ^{[注 2]}

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$

ベクトルxを軸uの周りで角度θだけ回転させる場合、次のように表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {x} )+\cos \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )}$$

または同等: $${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {x} \cos(\theta )+\mathbf {u} (\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )(1-\cos(\theta ))-\mathbf {x} \times \mathbf {u} \sin {\theta }}$$

これはテンソル記法では次のように書くこともできる: ^[13] $${\displaystyle (R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} )_{i}=(R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}{\mathbf {x} }_{j}\quad {\text{with}}\quad (R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}=\delta _{ij}\cos(\theta )+\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{j}(1-\cos(\theta ))-\sin {\theta }\varepsilon _{ijk}\mathbf {u} _{k}}$$

3次元空間が右手系でθ > 0の場合、 u が観測者の方向を向いているとき、この回転は反時計回りになります（右手の法則）。具体的には、右手系の直交基底を用いると、 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\alpha }}=\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\beta }}=-\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {u} =\mathbf {u} .}$$

下記の同等のリー代数的定式化との顕著な見かけ上の違いに注意してください。

プロパティ

任意のn次元回転行列Rに対して、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$$（回転は直交行列です）

${\displaystyle \det R=\pm 1}$

回転はdet R = 1 のとき真回転、det R = –1のとき偽回転（または回転反転）と呼ばれます。偶数次元n = 2 kの場合、真回転のn個の固有値λ は、複素共役の対として現れ、これらは単位根となります。つまり、 j = 1, ..., kの場合、λ = e ^{± iθ _j}となり、これはλ = ±1のときのみ実数となります。したがって、回転（ λ = 1 ）によって固定されるベクトルは存在せず、したがって回転軸も存在しません。固定された固有ベクトルはすべて対で現れ、回転軸は偶数次元の部分空間となります。

奇数次元n = 2 k + 1の場合、適切な回転R は奇数の固有値を持ち、少なくとも1つはλ = 1となり、回転軸は奇数次元部分空間となる。証明：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det \left(R-I\right)&=\det \left(R^{\mathsf {T}}\right)\det \left(R-I\right)=\det \left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}\right)=\det \left(I-R^{\mathsf {T}}\right)\\&=\det(I-R)=\left(-1\right)^{n}\det \left(R-I\right)=-\det \left(R-I\right).\end{aligned}}}$$

ここでIは単位行列であり、det( R ^T ) = det( R ) = 1を用います。また、nが奇数なので、 (−1) ⁿ = −1も用います。したがって、det( R – I ) = 0となり、これは( R – I ) v = 0を満たす非零ベクトルvが存在することを意味します。つまり、R v = v 、つまり固定固有ベクトルです。 vに直交する偶数次元部分空間にも固定固有ベクトルのペアが存在する場合があり、固定固有ベクトルの合計次元は奇数です。

たとえば、2 次元空間 n = 2では、角度θによる回転は固有値λ = e ^iθおよびλ = e ^{− iθ}を持つため、 θ = 0の場合、つまりヌル回転の場合を除いて、回転軸はありません。3次元空間 n = 3では、ヌルでない固有の回転の軸は常に一意の直線であり、この軸の周りの角度θによる回転は固有値λ = 1、e ^iθ、e ^{− iθ}を持ちます。4次元空間 n = 4では、4 つの固有値はe ^{± iθ}、e ^{± iφ}の形式になります。ヌル回転はθ = φ = 0です。 θ = 0、φ ≠ 0の場合は単純回転と呼ばれ、2 つの単位固有値が軸平面を形成し、軸平面に直交する 2 次元回転が行われます。それ以外の場合は軸平面はありません。θ = φの場合は等傾斜回転と呼ばれ、固有値e ^{± iθ}が2 回繰り返されるため、すべてのベクトルが角度θ回転します。

回転行列のトレースはその固有値の和に等しい。n = 2 の場合、角度θ の回転のトレースは2 cos θとなる。n = 3の場合、任意の軸の周りの角度θの回転のトレースは1 + 2 cos θとなる。n = 4の場合、トレースは2(cos θ + cos φ )となり、等傾斜回転の場合は4 cos θとなる。

例

2 ×2回転行列 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$$ 原点を中心に時計回りに 90° の平面回転に相当します。 2 × 2行列の転置 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0.936&0.352\\0.352&-0.936\end{bmatrix}}}$$ は逆行列ですが、その行列式は -1 なので、これは適切な回転行列ではなく、直線11 y = 2 xを挟んだ鏡映行列です。 3 ×3回転行列 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos 30^{\circ }&\sin 30^{\circ }\\0&-\sin 30^{\circ }&\cos 30^{\circ }\\\end{bmatrix}}}$$ これは、3次元空間におけるx軸の周りの -30° 回転に相当します。 3 ×3回転行列 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}}$$ これは軸の周りの約-74°の回転に相当する（- ⁠1/23次元空間における⁠ ,1,1) 。 3 ×3 順列行列 $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$$ は回転行列であり、任意の偶数順列の行列と同様に、軸x = y = zを中心に 120° 回転します。

3 ×3行列 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}3&-4&1\\5&3&-7\\-9&2&6\end{bmatrix}}}$$ 行列式は +1 ですが、直交ではありません (転置は逆行列ではありません)。したがって、回転行列ではありません。 4 ×3行列 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0.5&-0.1&0.7\\0.1&0.5&-0.5\\-0.7&0.5&0.5\\-0.5&-0.7&-0.1\end{bmatrix}}}$$ は正方行列ではないので回転行列にはなりませんが、M T M は3 × 3 の単位行列になります(列は直交します)。 4 ×4行列 $${\displaystyle Q=-I={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$$ 4 次元における等傾斜回転、つまり 2 つの直交平面を通る等しい角度 (180°) の回転を表します。 5 ×5回転行列 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$ 最初の 2 つの座標軸の平面でベクトルを 90° 回転させ、次の 2 つの軸の平面でベクトルを 180° 回転させ、最後の座標軸はそのままにします。

幾何学

ユークリッド幾何学において、回転は等長変換の一例です。等長変換とは、点間の距離を変えずに点を移動する変換です。回転は、他の等長変換とは2つの追加特性によって区別されます。回転は（少なくとも）1つの点を固定し、「利き手」は変化しません。これに対し、並進はすべての点を移動させ、鏡映は左手と右手の順序を入れ替え、すべり鏡映は両方を行い、非正回転は利き手の変化と通常の回転を組み合わせます。

固定点を直交座標系の原点とすると、すべての点に原点からの変位として座標を与えることができる。したがって、点そのものではなく、変位のベクトル空間を扱うことができる。ここで、 ( p ₁ , ..., p _n )を原点Oから点Pへのベクトルpの座標としよう。座標の直交基底を選ぶと、ピタゴラスの定理によれば、P への二乗距離は行列乗法を用いて計算できる。 $${\displaystyle d^{2}(O,P)=\|\mathbf {p} \|^{2}=\sum _{r=1}^{n}p_{r}^{2}}$$ $${\displaystyle \|\mathbf {p} \|^{2}={\begin{bmatrix}p_{1}\cdots p_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .}$$

幾何学的な回転は、直線を直線に変換し、点間の距離の比を保存します。 これらの特性から、回転はベクトルの線形変換であることが示され、したがって行列形式Q pで表すことができます。 回転が比だけでなく距離自体も保存するという事実は、または として述べられます。この式はすべてのベクトルpに対して成り立つため、すべての回転行列Qが直交条件を満たすと結論付けられます。回転は軸の順序を変更できないため、 左右回転が保存されます。これは、特別な行列条件 を意味します。同様に重要なのは、これら 2 つの条件を満たす任意の行列が回転として機能することを示すことができることです。 $${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} =(Q\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}(Q\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {p} &{}=\left(\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}Q^{\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q\right)\mathbf {p} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=I.}$$ $${\displaystyle \det Q=+1.}$$

乗算

回転行列の逆行列はその転置行列で、これも回転行列です。 2 つの回転行列の積は回転行列です。 n > 2の場合、 n × n回転行列の乗算は一般に可換ではありません。任意の単位行列は回転行列であり、行列の乗算は結合的であることに 注目すると、これらの特性をすべてまとめると、n × n回転行列はグループを形成し、このグループはn > 2の場合、非可換であり、特殊直交グループと呼ばれ、 SO( n )、SO( n , R )、SO _n、またはSO _n ( R )で表され、 n × n回転行列のグループは、n次元空間での回転のグループと同型です。つまり、回転行列の乗算は、対応する行列の左から右の順序で適用される回転の合成に対応します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&=\det Q=+1.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(Q_{1}Q_{2}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}Q_{2}\right)&=Q_{2}^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}&Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

曖昧さ

別名とアリバイのローテーション

回転行列の解釈には多くの曖昧さが伴う可能性があります。

ほとんどの場合、あいまいさの影響は回転行列の反転の影響と同等です（これらの直交行列の場合は行列の転置と同等です）。

エイリアスまたはアリバイ（受動的または能動的）変換

点Pの座標は、座標系CSの回転（別名）、または点Pの回転（アリバイ）によって変化する可能性があります。後者の場合、Pの回転は、 Pを表すベクトルvの回転も引き起こします。言い換えれば、Pとvは固定されCS が回転する（別名）、またはCS は固定されPとv が回転する（アリバイ）のいずれかです。ベクトルと座標系は実際には互いに回転し、同じ軸を中心に反対方向に回転するため、任意の回転はどちらの方法でも記述できます。この記事では、回転を記述するためにアリバイアプローチを採用しました。例えば、

$${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$$

はベクトルvを角度θだけ反時計回りに回転させること、またはベクトルCSを同じ角度で反対方向（つまり時計回り）に回転させることを表します。アリバイ変換とエイリアス変換は、それぞれアクティブ変換とパッシブ変換とも呼ばれます。

前乗算または後乗算

点P は、列ベクトル vまたは行ベクトル wのいずれかで表すことができます。回転行列は、列ベクトル（R v ）を前置乗算することも、行ベクトル（ w R ）を後置乗算することもできます。ただし、R v はw Rに対して逆方向の回転を生成します。この記事では、列ベクトルの回転は前置乗算によって記述します。全く同じ回転（つまり、点Pの最終座標が同じ）を得るには、等価の行ベクトルにRの転置（つまりw R ^T ）を後置乗算する必要があります。

右手座標または左手座標

行列とベクトルは、右手座標系または左手座標系で表すことができます。本稿では、特に断りのない限り、右手座標系を前提としています。

ベクトルまたはフォーム

ベクトル空間には線形形式の双対空間があり、行列はベクトルまたは形式のいずれかに作用できます。

分解

独立飛行機

3 × 3回転行列を考えてみましょう。Q が特定の方向、vに、係数λによるスケーリングとしてのみ作用する場合、次の式が成り立ちます 。したがって、λはQの特性多項式の根です。 注目すべき特徴が 2 つあります。まず、根 (または固有値) の 1 つが 1 であることです。これは、ある方向は行列の影響を受けないことを示しています。 3 次元の回転の場合、これが回転の軸になります(他の次元では意味を持たない概念です)。次に、他の 2 つの根は複素共役のペアで、その積は 1 (2 次式の定数項)、その和は2 cos θ (負の線形項) です。 この因数分解は、 3 × 3回転行列のすべてで同じことが起こるため重要です。 （特殊なケースとして、ゼロ回転の場合、「複素共役」は両方とも1、180°回転の場合、両方とも-1です。）さらに、同様の因数分解は任意のn × n回転行列に対して成立します。次元nが奇数の場合、1の「ぶら下がり」固有値が存在し、任意の次元において、多項式の残りの部分は、ここで示したもののように二次項に因数分解されます（2つの特殊なケースに注意）。特性多項式はn次であり、したがってn個の固有値を持つことが保証されます。また、回転行列は転置行列と交換されるため、正規行列であり、対角化できます。適切な座標系で表現されたすべての回転行列は、最大で⁠ $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle Q\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {0} =(\lambda I-Q)\mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&{}=\det(\lambda I-Q)\\&{}=\lambda ^{3}-{\tfrac {39}{25}}\lambda ^{2}+{\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1\right).\end{aligned}}}$$n/2⁠それらの。

行列の主対角線上の要素の合計はトレースと呼ばれます。これは、座標系の方向を変えても変化せず、常に固有値の合計と等しくなります。これは、2 × 2および3 × 3回転行列に対して便利な意味を持ち、トレースは2 次元空間 (または部分空間) での回転角度θを明らかにします。2 × 2行列の場合、トレースは2 cos θであり、3 × 3行列の場合、トレースは1 + 2 cos θです。3 次元の場合、部分空間は回転軸 (不変方向、固有値 1) に垂直なすべてのベクトルで構成されます。したがって、任意の3 × 3回転行列から回転軸と角度を抽出でき、これらによって回転が完全に決定されます。

連続角度

2 × 2回転行列の制約条件は、 a ² + b ² = 1の形をとる必要があることを意味します 。したがって、ある角度θに対して、 a = cos θ、b = sin θと設定できます。θを解くには、aだけ、あるいはbだけを見るだけでは不十分です。2つの引数を持つ逆正接関数を用いて、角度を正しい象限に配置するために、両方を考慮する必要があります。 $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}$$

ここで、 3 × 3回転行列の最初の列を考えてみましょう。a 2 + b ^{2 はおそらく}1 にはならず、何らかの値r ² < 1になりますが、前の計算を少し変更して、列をゼロbに変換する、いわゆるギブンズ回転を求めることができます。これは、 x軸とy軸で張られる部分空間に作用します。次に、 xz部分空間に対してこの処理を繰り返して、ゼロcにします。行列全体に作用すると、これらの 2 つの回転により、図式的な形式が生成されます。2番目の列に注目すると、yz部分空間のギブンズ回転により、 z値がゼロになります。これにより、行列全体が単位行列の形になります 。したがって、 Q は次のように分解されます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\0\\c\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle Q_{yz}Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle Q=Q_{xy}^{-1}Q_{xz}^{-1}Q_{yz}^{-1}.}$$

n × n回転行列は( n − 1) + ( n − 2) + ⋯ + 2 + 1、 つまり対角要素から0までの要素を持ちます。列を一定の平面シーケンスで回転させるという同じ考え方を拡張することで、これらの要素を0にすることができます。結論として、 n × n回転行列 の集合は、それぞれn ²個の要素を持ち、次のようにパラメータ化できます。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {1}{2}}n(n-1)}$$1/2⁠ n ( n − 1)個の角度。

xzx w	xzy w	xyx w	xyz w
yxy w	yxz w	yzy w	yzx w
ジズw	ジックスw	zxz w	zxy w
xzx b	yzx b	xyx b	ジックスb
yxy b	zxy b	yzy b	xzy b
ジズb	xyz b	zxz b	yxz b

3 次元では、これはオイラーによる観察を行列形式で言い換えたものなので、数学者は 3 つの角度の順序付けられたシーケンスをオイラー角と呼びます。ただし、状況はこれまでに示したよりもいくぶん複雑です。次元が小さいにもかかわらず、使用する軸のペアのシーケンスにはかなり自由度があり、角度の選択にもある程度の自由があります。したがって、物理学、医学、化学、またはその他の分野で 3 次元回転がパラメーター化されるときに、さまざまな規則が採用されています。ワールド軸またはボディ軸のオプションを含めると、24 種類のシーケンスが可能になります。また、分野によっては任意のシーケンスをオイラー角と呼ぶ場合もありますが、シーケンスごとに異なる名前 (カルダノ、テイト–ブライアン、ロール-ピッチ-ヨー) が付けられる場合もあります。

選択肢が多数存在する理由の一つは、前述の通り、3次元（およびそれ以上）における回転は可換ではないことです。与えられた回転の順序を逆にすると、異なる結果になります。これはまた、対応する角度を足し合わせて2つの回転を合成することはできないことを意味します。したがって、オイラー角は、3つの数字の組み合わせとして見た目は似ていますが、ベクトルではありません。

ネストされたディメンション

3 ×3の回転行列は、 $${\displaystyle Q_{3\times 3}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}}$$

2×2回転行列を示唆する。 $${\displaystyle Q_{2\times 2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

左上隅に埋め込まれています: $${\displaystyle Q_{3\times 3}=\left[{\begin{matrix}Q_{2\times 2}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right].}$$

これは錯覚ではありません。n次元回転は、一つだけではなく、複数、( n +1)次元回転の中に部分群として存在します。それぞれの埋め込みは一つの方向を固定し、 3×3行列の場合は回転軸となります。例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {x} }(\theta )&={\begin{bmatrix}{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {y} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {z} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

x軸、y軸、z軸をそれぞれ固定する。回転軸は座標軸である必要はない。u = ( x , y , z )が目的の方向の単位ベクトルであれば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\mathbf {u} }(\theta )&={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\sin \theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left(1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&xy(1-c_{\theta })-zs_{\theta }&xz(1-c_{\theta })+ys_{\theta }\\xy(1-c_{\theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz(1-c_{\theta })-ys_{\theta }&yz(1-c_{\theta })+xs_{\theta }&z^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

ここで、 c _θ = cos θ、s _θ = sin θは、軸uを固定したまま角度θだけ回転します。

( n + 1)次元空間における方向は単位大きさベクトルとなり、これを一般化球面S ⁿ上の点とみなすことができる。したがって、回転群SO( n + 1)はSO( n )とS ⁿを結合したものとして記述するのが自然である。適切な形式はファイバー束である。 $${\displaystyle SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^{n},}$$

ここで、基本空間S ⁿのすべての方向に対して、全体空間内のその上のファイバーSO( n + 1)はファイバー空間SO( n )のコピー、つまりその方向を固定した回転です。

このように、2 × 2行列から始めて、その固定軸をS 2 （3次元空間における通常の球面）に向け、結果^として生じる回転をS ^{3に向け、} S ^{n −1}まで繰り返すことで、n × n回転行列を構築できます。S n上の点はⁿ個の数値で選択できるため、再び⁠1/2⁠ n × n回転行列を記述するn ( n − 1)個の数値。

実際、前述の逐次角度分解は、このプロセスを逆順に行うものと見ることができます。n − 1 回のギブンズ回転の合成により、最初の列（および行）は(1, 0, ..., 0)となり、行列の残りの部分は 1 次元小さい回転行列となり、 (1, 0, ..., 0) が固定されるように埋め込まれます。

ケイリーの公式による歪んだパラメータ

n × n回転行列Qが−1 固有値を含まず、したがってそれを構成する平面回転のいずれも 180° 回転でない場合、Q + Iは可逆行列である。ほとんどの回転行列はこの説明に当てはまり、それらに対して( Q − I )( Q + I ) ⁻¹が歪対称行列Aであることが示される。したがってA ^T = − Aであり、対角線は必然的にゼロであり、上三角形が下三角形を決定するため、Aには⁠が含まれる。1/2⁠ n ( n − 1)個の独立した数。

便利なことに、Aが歪対称であれば、 I − Aは逆行列となるため、任意の歪対称行列Aを回転行列に写すケイリー変換を 用いて元の行列を復元することができます。実際、前述の例外を除けば、この方法で任意の回転行列を作成できます。実用上は180°回転を無視することはほとんど不可能ですが、ケイリー変換は依然として潜在的に有用なツールであり、三角関数を用いることなくほとんどの回転行列のパラメータ化を可能にします。 $${\displaystyle A\mapsto (I+A)(I-A)^{-1},}$$

例えば3次元では、（Cayley 1846） $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\mapsto \\[3pt]\quad {\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmatrix}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y+2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

歪んだ成分をベクトル( x , y , z )に凝縮すると、 (1, 0, 0) ではx軸を中心に 90° 回転し、 (0, 1, 0) ではy軸を中心に 90° 回転し、 (0, 0, 1) ではz軸を中心に 90° 回転します。180° 回転は不可能です。なぜなら、x → ∞の極限において、( x , 0, 0)はx軸を中心に 180° 回転に近づき、他の方向でも同様だからです。

せん断分解

2Dの場合、回転行列は3つのせん断行列に分解できます（Paeth 1986）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

これは例えばコンピュータグラフィックスにおいて有用です。ビットマップを直接回転させるよりも、少ない乗算命令でせん断を実装できるからです。最近のコンピュータではこれは問題にならないかもしれませんが、非常に古い、あるいはローエンドのマイクロプロセッサでは問題になることがあります。

回転は、2つのせん断とスクイーズマッピング（面積保存スケーリング）として記述することもできます（Daubechies＆Sweldens 1998）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

群論

以下に、数学、特に物理学における、固定次元（ここでは主に 3）のすべての回転行列の集合の役割に関するいくつかの基本的事実を示します。物理学では、回転対称性は（空間の等方性の仮定により）すべての真に基本的な法則の要件であり、同じ対称性が存在する場合、それほど基本的ではない多くの問題を単純化する特性となります。例は、古典力学と量子力学に豊富にあります。この対称性に関係する解の部分の知識は（条件付きで）そのような問題すべてに適用され、特定の問題から因数分解して、問題の複雑さを軽減することができます。数学と物理学における主な例は、球面調和関数の理論です。回転群の群論におけるその役割は、回転群 SO(3) の有限次元既約表現の全体のセットに対する表現空間になることです。このトピックについては、 「回転群 SO(3) § 球面調和関数」を参照してください。

詳細については、各サブセクションにリストされている主な記事を参照してください。

リー群

各nについて、 n × n回転行列は群、つまり特殊直交群SO ( n )を形成する。この代数構造は、乗算と逆演算が行列要素の解析関数となるような方法で、から継承された位相構造と結合される。したがって、各nについてSO( n )はリー群である。これはコンパクトかつ連結であるが、単連結ではない。また、半単純群であり、実際にはSO(4) を除いて単純群である。 ^[14]これの関連性は、解析多様体（解析多様体は特に滑らかな多様体である）の理論のすべての定理とすべての仕組みが適用され、コンパクト半単純群の十分に開発された表現理論をすぐに使用できることである。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$

リー代数

SO( n )のリー代数so ( n )は次のように与えられ 、 n次元の歪対称行列の空間である（古典群を参照）。ここでo ( n )は直交群O( n )のリー代数である。参考までに、so (3)の最も一般的な基底は $${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)={\mathfrak {o}}(n)=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X=-X^{\mathsf {T}}\right\},}$$ $${\displaystyle L_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

指数マップ

リー代数をリー群に結びつけるのは指数写像であり、これはe ^A の標準行列指数級数を使って定義される^[15]任意の歪対称行列Aに対して、exp( A )は常に回転行列である。^[注3]

重要な実例として3×3の場合が挙げられます。回転群SO(3)において、任意のA∈so (3)をオイラーベクトルω = θ uと同一視できることが示されます。ここでu = ( x , y , z )は単位大きさベクトルです。

同一視の性質により、uはAの零空間内にある。したがって、uはexp( A )によって不変となり、回転軸となる。 ${\displaystyle \mathbf {su} (2)\cong \mathbb {R} ^{3}}$

行列形式におけるロドリゲスの回転公式によれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&=\exp {\bigl (}\theta (\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ){\bigr )}\\&=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} )^{2},\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.}$$

これは軸uを中心に角度θだけ回転する行列です。詳細については指数写像 SO(3)を参照してください。

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式

BCH公式は、XとYの入れ子になった交換子の級数展開を用いて、Z = log( e ^X e ^Y )の明示的な表現を与える。^[16]この一般的な展開は次のように展開される。^[注4] $${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}X,[X,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .}$$

3×3の場合、一般的な無限展開は、適切な三角関数の係数に対してコンパクトな形を持ち、^[17] SO(3)のベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式で詳述されています。 $${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$$

群の恒等式として、上記はより単純な二重項（スピノル表現）を含むすべての忠実表現に対して成り立つ。したがって、パウリ行列についても同様の明示的な式が直接的に導かれる。SU(2)の2×2導出を参照のこと。一般のn × n^{の場合は、文献[18]}を用いることができる。

スピングループ

n × n回転行列のリー群SO( n )は単連結ではないため、リー理論によれば普遍被覆群の準同型像となる。この場合Spin( n )で表されるスピン群と呼ばれる被覆群は、より単純で自然な扱いとなることが多い。^[19]

平面回転の場合、SO(2)は位相的に円S ¹となる。その普遍被覆群 Spin(2) は、加法に関して実数直線Rと同型である。任意の大きさの角度が使用されるときはいつでも、普遍被覆の利便性を利用している。すべての2 × 2回転行列は、2 πの整数倍で区切られた可算無限の角度によって生成される。同様に、SO(2)の基本群は整数Zと同型である。

空間回転の場合、SO(3)は3次元実射影空間RP ³と位相的に同値である。その普遍被覆群Spin(3)は3次元球面S ³と同型である。すべての3×3回転行列は球面上の2つの反対点から生成される。同様に、 SO(3)の基本群は2元群Z ₂と同型である。

Spin(3)は、乗法に関して単位ノルムの四元数、あるいは特定の4×4実数行列、あるいは2×2複素特殊ユニタリ行列SU(2)と同型であるとも記述できる。最初のケースと最後のケースの被覆写像は、それぞれ次 のように与えられ、 $${\displaystyle \mathbb {H} \supset \{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\}\ni w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\mapsto {\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3),}$$ $${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\ni {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3).}$$

SU(2)被覆と四元数被覆の詳細については、スピン群SO(3)を参照してください。

これらの場合の多くの特徴は、高次元でも同様です。被覆はすべて2対1であり、SO( n )、n > 2は基本群Z ₂を持ちます。これらの群の自然な設定はクリフォード代数内にあります。回転作用の一種は、 qvq ^∗で表される一種の「サンドイッチ」によって生成されます。物理学への応用においてさらに重要なのは、リー代数の対応するスピン表現がクリフォード代数の内側にあることです。これを通常の方法でべき乗することで、回転群の射影表現とも呼ばれる2値表現を得ることができます。これはSO(3)とSU(2)の場合に当てはまり、2値表現は被覆写像の「逆」と見なすことができます。被覆写像の性質により、逆は局所切断として1対1で選択できますが、大域的には選択できません。

微小回転

リー代数における行列自体は回転ではない。歪対称行列は回転の微分、つまり比例的な差分である。実際の「微分回転」、あるいは無限小回転行列は、dθがほぼゼロでA∈so ( n)となる形をとる。例えばA = L _xのとき、 $${\displaystyle I+A\,d\theta ,}$$ $${\displaystyle dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$$

計算規則は通常通りですが、2次の無限小数は規則的に省略されます。これらの規則を用いると、これらの行列は、通常の無限小数の扱いの下では、通常の有限回転行列と同じ性質を全て満たすわけではありません。^[20]無限小回転を適用する順序は無関係であることがわかります。この例を見るには、無限小回転SO(3)を参照してください。

コンバージョン

我々は、独立平面、連続角、入れ子次元といった、あらゆる次元に適用できる分解が存在することを見てきました。これらのいずれの場合も、行列を分解するか、あるいは新たに構築することができます。また、3×3回転行列にも特に注目しましたが、これらは両方向においてさらに検討する価値があります (Stuelpnagel 1964)。

クォータニオン

単位四元数q = w + x i + y j + z kが与えられたとき、等価な前置乗算された（列ベクトルで使用される）3×3回転行列は^{[21]である。} $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

ここで、すべての四元数は2次の項で2倍され、そのような項がすべてゼロであれば、残るのは単位行列です。これにより、単位四元数であろうと非単位四元数であろうと、あらゆる四元数から3×3回転行列への効率的かつ堅牢な変換が 可能になります。以下の式を仮定すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}n&=w\times w+x\times x+y\times y+z\times z\\s&={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-s(yy+zz)&s(xy-wz)&s(xz+wy)\\s(xy+wz)&1-s(xx+zz)&s(yz-wx)\\s(xz-wy)&s(yz+wx)&1-s(xx+yy)\end{bmatrix}}}$$

単位四元数の制約から解放されると、非零四元数は3×3回転行列の同次座標として働くことがわかります。前述のケイリー変換は、四元数をw成分が1になるようにスケーリングすることで得られます。任意の軸を中心に180°回転する場合、wは0となり、これがケイリーの限界を説明しています。

主対角線（トレース）に沿った要素の合計に 1 を加えると、4 − 4( x ² + y ² + z ² )となり、4 w ²になります。したがって、トレース自体は2 w ² + 2 w ² − 1と表記できます。また、前のバージョンの行列から、対角要素自体が同じ形式であることがわかります。2 x ² + 2 w ² − 1、2 y ² + 2 w ² − 1、および2 z ² + 2 w ² − 1です。したがって、行列の対角線を使用して、4 つの四元数成分すべての大きさを簡単に比較できます。実際、合計と平方根を使用して 4 つの大きさすべてを取得し、非対角要素の歪対称部分を使用して一貫した符号を選択​​できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\quad ({\text{the trace of }}Q)\\r&={\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {sgn} \left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\y&=\operatorname {sgn} \left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\z&=\operatorname {sgn} \left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy}+Q_{zz}}}\right|\end{aligned}}}$$

あるいは、単一の平方根と除算を使用する $${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\r&={\sqrt {1+t}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\y&=\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)s\\z&=\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)s\end{aligned}}}$$

これは、トレースtが負でない限り数値的に安定です。そうでない場合、（ほぼ）ゼロで割ってしまう危険があります。その場合、 Q _{xx が}最大の対角要素であると仮定すると、x は最大の大きさを持ちます（他の場合は巡回置換によって導出されます）。その場合、以下は安全です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\x&={\tfrac {1}{2}}r\\y&=\left(Q_{xy}+Q_{yx}\right)s\\z&=\left(Q_{zx}+Q_{xz}\right)s\end{aligned}}}$$

行列に累積数値誤差などの重大な誤差が含まれている場合は、対称4×4行列を構築し、その最大固有値の固有ベクトル（x、y、z、w）を求めることができます。（ Qが回転行列である場合、その値は1になります。）このようにして得られた四元数は、与えられた行列に最も近い回転行列に対応します（Bar-Itzhack 2000）（注：引用文献の定式化は後置乗算であり、行ベクトルで機能します）。 $${\displaystyle K={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}&Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmatrix}},}$$

極性分解

n × n行列Mが非特異行列である場合、その列は線形独立なベクトルとなるため、グラム・シュミット過程によってそれらを直交基底に調整することができます。数値線形代数の観点から言えば、 QR分解を用いてM を直交行列Qに変換します。しかし、多くの場合、 Q はMに最も近いものとなることが望ましいのですが、この方法ではそれが実現できません。そのために必要なツールは極分解です(Fan & Hoffman 1955; Higham 1989)。

近似度を測るために、直交変換に対して不変な任意の行列ノルムを用いることができる。便利な選択肢として、フロベニウスノルム‖ Q − M ‖ _Fの2乗が挙げられる。これは要素間の差の2乗の和である。これをトレースTrで表すと、次のようになる。

Q ^T Q = Iを条件として、Tr( ( Q − M ) ^T ( Q − M ) )を最小化するQ を求めます。

目的関数は行列で書かれていますが、単なる二次多項式です。通常の方法、つまり導関数がゼロになる場所を見つけることで、これを最小化できます。3 ×3行列の場合、直交性制約はQの各要素が満たさなければならない6つのスカラー等式を意味します。この制約を組み込むために、標準的な手法であるラグランジュ乗数を対称行列Yとして組み込むことができます。したがって、この方法は以下のようになります。

Tr( ( Q − M ) ^T ( Q − M ) + ( Q ^T Q − I ) Y )をQ (の各要素) について微分し、ゼロにします。

2×2の例を考えてみましょう。制約条件を含めて、最小化することを目指します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(Q_{xx}-M_{xx}\right)^{2}+\left(Q_{xy}-M_{xy}\right)^{2}+\left(Q_{yx}-M_{yx}\right)^{2}+\left(Q_{yy}-M_{yy}\right)^{2}\\&\quad {}+\left(Q_{xx}^{2}+Q_{yx}^{2}-1\right)Y_{xx}+\left(Q_{xy}^{2}+Q_{yy}^{2}-1\right)Y_{yy}+2\left(Q_{xx}Q_{xy}+Q_{yx}Q_{yy}\right)Y_{xy}.\end{aligned}}}$$

Q _xx、Q _xy、Q _yx、Q _yyについて順に微分し、行列を組み立てます。 $${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}Q_{xx}-M_{xx}+Q_{xx}Y_{xx}+Q_{xy}Y_{xy}&Q_{xy}-M_{xy}+Q_{xx}Y_{xy}+Q_{xy}Y_{yy}\\Q_{yx}-M_{yx}+Q_{yx}Y_{xx}+Q_{yy}Y_{xy}&Q_{yy}-M_{yy}+Q_{yx}Y_{xy}+Q_{yy}Y_{yy}\end{bmatrix}}}$$

一般に、 Qは 直交、Sは対称となる方程式が成り立ちます。最小値を保証するためには、Y行列（およびS）は正定値でなければなりません。線型代数では、QSはMの極分解と呼ばれ、SはS ² = M ^T Mの正の平方根です。 $${\displaystyle 0=2(Q-M)+2QY,}$$ $${\displaystyle M=Q(I+Y)=QS,}$$ $${\displaystyle S^{2}=\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)=M^{\mathsf {T}}QQ^{\mathsf {T}}M=M^{\mathsf {T}}M}$$

Mが非特異な場合、極分解のQ 因子とS因子は一意に決定されます。しかし、 Sは正定値行列であるため、 S の行列式は正となり、 QはMの行列式の符号を継承します。つまり、Q は直交行列であることが保証されるだけで、回転行列である保証はありません。これは避けられないことです。負の行列式を持つMには、一意に定義された最も近い回転行列が存在しないからです。

軸と角度

角度θと単位軸uから回転行列Q を効率的に構築するには、要素内の対称性と歪対称性を利用することができます。x、y、z が軸を表す単位ベクトルの成分であり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\cos \theta \\s&=\sin \theta \\C&=1-c\end{aligned}}}$$

それから

$${\displaystyle Q(\theta )={\begin{bmatrix}xxC+c&xyC-zs&xzC+ys\\yxC+zs&yyC+c&yzC-xs\\zxC-ys&zyC+xs&zzC+c\end{bmatrix}}}$$

軸と角度の決定は、四元数の決定と同様に、符号までしかできません。つまり、( u、θ )と(− u、 − θ )は、 qと− qと同様に、同じ回転行列に対応します。さらに、軸と角度の抽出にはさらなる困難があります。角度は 0° から 180° に制限できますが、角度は 360° の倍数では形式的に曖昧です。角度が 0 の場合、軸は未定義です。角度が 180° の場合、行列は対称になり、軸の抽出に影響を及ぼします。180° の倍数付近では、数値的な問題を回避するために注意が必要です。角度の抽出では、θに等しいatan2 (sin θ、 cos θ )を持つ2 つの引数の逆正接によって、 arccos の鈍感性を回避できます。また、単位の大きさを強制するために軸の大きさを計算する場合、力ずくのアプローチではアンダーフローによって精度が失われる可能性があります (Moler & Morrison 1983)。

部分的なアプローチは次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=Q_{zy}-Q_{yz}\\y&=Q_{xz}-Q_{zx}\\z&=Q_{yx}-Q_{xy}\\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\\theta &=\operatorname {atan2} (r,t-1)\end{aligned}}}$$

軸の x 成分、 y 成分、 z 成分は r で除算されます。完全に堅牢なアプローチでは、t （行列Qのトレース）が負の場合、クォータニオン抽出と同様に、異なるアルゴリズムが使用されます。角度がゼロであるためrがゼロの場合、軸は行列以外の何らかのソースから提供する必要があります。

オイラー角

変換の複雑さは、オイラー角（ここでは広義で使用）とともに増大します。最初の困難は、直交座標軸の順序の 24 種類のバリエーションのうちのどれを使用するかを決めることです。3 つの角度がθ ₁、θ ₂、θ ₃であるとします。物理学と化学ではこれらを と解釈し、航空機力学では を使用する場合があります 。1つの体系的なアプローチは、右端の軸を選択することから始まります。( x、y、z )のすべての順列の中で、その軸を最初に置くのは 2 つだけです。1 つは偶数順列で、もう 1 つは奇数です。したがって、パリティを選択すると、中央の軸が確立されます。これにより、左端の軸については、最初の軸を複製するかどうかの 2 つの選択肢が残ります。これら 3 つの選択肢から、3 × 2 × 2 = 12種類のバリエーションが得られます。静的軸または回転軸を選択すると、これは 2 倍の 24 になります。 $${\displaystyle Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{1})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3}),}$$ $${\displaystyle Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {x} }(\theta _{1}).}$$

角度から行列を構築するにはこれで十分ですが、様々な点で異なる3つの要素が同じ回転行列を生成することもあります。例えば、上記のzyz規則を用いると、以下の等価なペアが得られます。

（90°、	45°、	−105°）	≡	（−270°、	−315°、	255°）	360°の倍数
（72°、	0°、	0°)	≡	（40°、	0°、	32°）	特異な配置
（45°、	60°、	−30°）	≡	（−135°、	−60°、	150°）	双安定フリップ

簡潔な共通ルーチンを使用して、任意の順序の角度を見つけることができます (Herter & Lott 1993; Shoemake 1994)。

特異点アライメントの問題は、物理的なジンバルロックの数学的類似物であり、中間の回転が最初の回転と最後の回転の軸と一致するときに発生します。これは、90°の偶数倍または奇数倍のあらゆる軸順序に影響します。これらの特異点は回転行列自体に固有のものではなく、オイラー角を使用する場合にのみ発生します。

回転行列を角度ではなく、直交行列の行ベクトル（3Dアプリケーションでは、右ベクトル、上ベクトル、および出力ベクトルと呼ばれることが多い）として扱い、操作することで、特異点を回避できます。また、四元数を扱う際にも、特異点を回避できます。

ベクトルからベクトルへの定式化

場合によっては、あるベクトルが別のベクトルに最短経路（最小角）でどのように写像されるかを指定することで回転を記述することが興味深い。これにより、関連する回転行列が完全に記述される。一般に、x , y ∈ ⁿが与えられたとき、この行列はSO( n + 1)に属し、x をyに写像する。^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ $${\displaystyle R:=I+yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}+{\frac {1}{1+\langle x,y\rangle }}\left(yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}\right)^{2}}$$

フォークト記法

材料科学においては、4次元の剛性テンソルとコンプライアンステンソルは、しばしばフォークト記法を用いて2次元行列に簡略化される。この記法で角度による回転変換を適用すると、回転行列は^[23]で与えられる。 ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta &\sin ^{2}\theta &2\sin \theta \cos \theta \\\sin ^{2}\theta &\cos ^{2}\theta &2\sin \theta \cos \theta \\-\sin \theta \cos \theta &\sin \theta \cos \theta &\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$$

これは、積層板の特性を等方性に近づけるために層を特定の角度で回転させることが多い複合積層板設計で特に役立ちます。

一様ランダム回転行列

一様分布するランダム回転行列を生成する必要がある場合があります。2次元では、回転角が0から2πの間で一様分布するということは直感的に明らかです。この直感は正しいのですが、高次元には当てはまりません。例えば、3×3の回転行列を軸-角度の形で分解すると、角度は一様分布しないはずです。角度（の大きさ）が最大でθである確率は、⁠1/π⁠ ( θ − sin θ )、 0 ≤ θ ≤ πの場合。

SO( n )は連結かつ局所コンパクト・リー群であるため、一様性に関する単純な標準基準、すなわち、任意の回転（リー群の「平行移動」）を加えても分布が変化しないことが成り立つ。この定義は、いわゆるハール測度に対応する。León、Massé、Rivest (2006) は、この基準に従ってケーリー変換を用いて行列を生成および検定する方法を示している。

Diaconis & Shahshahani (1987) のサブグループアルゴリズムを用いて、任意の次元で均一分布を生成することもできます。これは、 SO( n )の入れ子になった次元群構造を以下のように再帰的に利用します。均一な角度を生成し、2 × 2回転行列を構築します。nからn + 1にステップするには、 n球面S ⁿ上に均一に分布するベクトルvを生成し、 n × n行列を次の大きなサイズに最後の列(0, ..., 0, 1)で埋め込み、大きな行列を回転させて最後の列がvになるようにします。

いつものように、3×3の場合にも特別な代替案があります。これらの方法はいずれも、単位区間上に一様分布する3つの独立した乱数スカラーから開始します。Arvo (1992) は、奇数次元を利用してハウスホルダー反射を反転による回転に変換し、これを用いて一様平面回転の軸を定めます。

別の方法としては、単位四元数を使用する方法があります。回転行列の乗算は四元数の乗算と準同型であり、単位四元数による乗算は単位球面を回転させます。準同型は局所等長変換であるため、 SO(3) 上の一様分布を生成するにはS ³上の一様分布を使用すればよいことがすぐにわかります。実際には、各要素が正規分布のサンプリングである 4 要素ベクトルを作成します。その長さを正規化すると、一様サンプリングされたランダム回転を表す一様サンプリングされたランダム単位四元数が得られます。前述のことは次元 3 の回転にのみ適用されることに注意してください。四元数の一般的な考え方については、Rotorsを参照してください。

オイラー角も使用できますが、各角度が均一に分布しているわけではありません (Murnaghan 1962、Miles 1965)。

軸-角度形式では、軸は方向の単位球面S ²上に均一に分布しますが、角度は前述の[0, π ]上で非均一に分布します（Miles 1965）。

参照

• オイラー・ロドリゲスの公式
• オイラーの回転定理
• ロドリゲスの回転公式
• 回転面
• 軸と角度の表現
• 回転群SO(3)
• 3次元における回転形式
• 回転演算子（ベクトル空間）
• 変換行列
• ヨー・ピッチ・ロールシステム
• カブシュアルゴリズム
• 等長法
• 剛体変換
• 4次元ユークリッド空間における回転
• 三角関数の恒等式
• ヴェルサー

備考

1. 回転ベクトルではなく、基準フレームを回転させる場合、 sin θ項の符号が反転することに注意してください。基準フレーム A を原点を中心に反時計回りに角度θ回転させて基準フレーム B を作成すると、 R _x (符号反転) は基準フレーム A 座標で記述されたベクトルを参照フレーム B 座標に変換します。航空宇宙、ロボット工学、その他の分野における座標フレーム変換は、回転行列のこの解釈を用いて行われることがよくあります。
2. ロドリゲスの記法では、 $${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ={\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}+{\mathbf {I} }}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta ){\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}.}$$
3. この歪対称行列から回転行列への指数写像は、前述のケイリー変換とはまったく異なり、3 次まで異なります。逆に、ケイリー写像を通じて回転行列を指定する歪対称行列A は、写像exp(2 artanh A )を通じて同じ回転行列を指定します。 $${\displaystyle e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\tfrac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} \left(A^{4}\right).}$$
4. 詳細な導出については、指数写像の微分を参照してください。この級数のリー代数の右元への収束の問題は、ここでは無視されます。収束は、 ‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2かつ‖ Z ‖ < log 2のときに保証されます。これらの条件が満たされない場合でも、級数は収束する可能性があります。検討中のケースでは、 expは全射^{[明確化が必要]}であるため、解は常に存在します。

注記

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外部リンク

• 「回転」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Mathworldの回転行列
• 2000 年数学啓発月間インタラクティブ デモ ( Javaが必要)
• MathPagesの回転行列
• （イタリア語）一般化オイラー角によるSOn(R)のパラメータ化
• 任意の点を中心とした回転

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