相対的内部

Generalization of topological interior

数学において、集合の相対内部は内部の概念を改良したもので、高次元空間に配置された低次元集合を扱うときにより有用となることが多い。

正式には、集合（ と表記）の相対内部は、 ^[1]のアフィン包の内部として定義されます。言い換えれば、はのアフィン包であり、 はを中心とする半径 の球体です。球体の構築には任意の計量を使用することができます。すべての計量は、相対内部として同じ集合を定義します。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ there exists }}\epsilon >0{\text{ such that }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$$ ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

集合が相対的に開いているとは、その相対的内部空間と等しいということである。ただし、ベクトル空間が完全ベクトル空間の閉部分空間である場合（完全ベクトル空間が有限次元である場合は常にそうである）、相対的に閉じていることは閉じていることと同義である。 ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$

任意の凸集合 に対して相対内部は^{[2] [3]}と同値に定義される。ここで [2]は、となるようなものが存在することを意味する。 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ for all }}y\in C,{\text{ there exists some }}\lambda >1{\text{ such that }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ for all }}y\neq x\in C,{\text{ there exists some }}z\in C{\text{ such that }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x\in (y,z)}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}$

内部との比較

• 少なくとも1次元の周囲空間における点の内部は空ですが、その相対的な内部は点そのものです

• 少なくとも 2 次元の周囲空間内の線分内部は空ですが、その相対的内部は端点のない線分です。

• 少なくとも 3 次元の周囲空間にあるディスクの内部は空ですが、その相対的な内部は円形の縁のない同じディスクです。

特性

定理—が空でなく凸である場合、その相対内部は空でないコンパクト凸部分集合の入れ子になった列の和集合である ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {relint} (A)}$ ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}$

証拠

のアフィンスパン WLOG まで常に移動できるので、相対内部の次元は です。ここで とします。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}$

定理^[4] —ここで「+」はミンコフスキー和を表す。

• ${\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}$一般集合の場合。両方が凸集合である場合も等しい。 ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

• が凸かつ相対的に開いている集合である場合、は凸かつ相対的に開いている。 ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}+S_{2}}$

定理^[5] —ここで は正の円錐を表す。つまり、 である。 ${\displaystyle \mathrm {Cone} }$ ${\displaystyle \mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}$

• ${\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))}$が凸の場合、それらは等しい。 ${\displaystyle S}$

参照

• 内部（位相）  - ある集合の最大開集合
• 代数的内部 – 位相的内部の一般化
• 準相対内部 – 代数的内部の一般化

参考文献

1. Zălinescu 2002, pp. 2–3.
2. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [初版1970年]. Convex Analysis . Princeton, NJ: Princeton University Press . p. 47. ISBN 978-0-691-01586-6。
3. ディミトリ・ベルツェカス(1999).非線形計画法（第2版）. マサチューセッツ州ベルモント: アテナ・サイエンティフィック. p. 697. ISBN 978-1-886529-14-4。
4. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [初版1970年].凸解析. プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. 系6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6。
5. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [初版1970年].凸解析.プリンストン大学出版局, ニュージャージー州. 定理6.9. ISBN 978-0-691-01586-6。

• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。

さらに詳しい参考文献

• ボイド、スティーブン、リーヴェン・ヴァンデンベルゲ（2004年）。凸最適化。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。23ページ。ISBN 0-521-83378-7。

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