整数環

Algebraic construction

数学において、代数的数体の整数環とは、に含まれるすべての代数的整数の環のことである。^[1]代数的整数とは、整数係数を持つ単項多項式の根である。^[2]この環はしばしばまたは で表される。任意の整数はに属し、の整元であるため、環は常にの部分環となる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$ ${\displaystyle O_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle O_{K}}$

整数環は、整数の環の中で最も単純な環です。^[a]つまり、有理数体 です。[ ^3] そして実際、代数的整数論では、の元は、このことから「有理整数」と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

次に単純な例は、実部と虚部が整数である複素数からなるガウス整数 環 です。これは、実部と虚部が有理数である複素数からなるガウス有理数体における整数環です。有理数と同様に、はユークリッド域です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

代数体の整数環は、その体における唯一の最大位数である。それは常にデデキント整域となる。^[4]

プロパティ

整数環O _Kは有限生成 -加群である。実際、これは自由- 加群であり、したがって整数基底、すなわち-ベクトル空間Kの基底b ₁ , ..., b _n ∈ O _Kを持ち、 O _Kの各元 x は次のように一意に表現できる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

^ここで、O _Kの自由加群としての 階数nはKの 上の次数に等しい。 ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

例

計算ツール

代数体における整数環の整閉包を計算するための便利なツールとして、判別式がある。K が 上で n 次であり、 上で の基底を形成する場合、と設定する。すると、はによって張られる- 加群の部分加群となる。^{[6] 33 ページ。}実際、d が平方自由であれば、 はの整基底を形成する。^{[6] 35 ページ。} ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

円分的拡張

pが素数で、ζ がp乗根で対応する円分体である場合、 の整基底は(1,  ζ ,  ζ ² , ...,  ζ ^{p −2} )で与えられる。^[7] ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\mathbb {Z} [\zeta ]}$

二次拡張

が平方自由整数で、が対応する二次体である場合、は二次整数の環であり、その積分基底は、 d ≡ 1 ( mod 4)の場合に で与えられ、d ≡ 2, 3 (mod 4)の場合に で与えられます。^[8]これは、である任意の元の最小多項式を計算することで求めることができます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \left(1,{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle (1,{\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$

乗法構造

整数環では、すべての元は既約元への因数分解を持つが、環は必ずしも一意に因数分解できるわけではない。例えば、整数環では、元6は本質的に異なる2つの既約元への因数分解を持つ。^{[4] [9]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

整数環は常にデデキント域であるため、イデアルの素イデアルへの因数分解は一意である。^[10]

整数環O _Kの単位元は、ディリクレの単位元定理により有限生成アーベル群となる。捩れ部分群はKの単位根から構成される。捩れのない生成元の集合は基本単位元の集合と呼ばれる。^[11]

一般化

非アルキメデス的局所体 Fの整数環は、絶対値が≤ 1であるFのすべての元の集合として定義される。これは強三角不等式により環となる。^[12] F が代数的数体の完備化である 場合、その整数環は後者の整数環の完備化となる。代数的数体の整数環は、すべての非アルキメデス的完備化において整数となる元の集合として特徴付けられる。^[3]

たとえば、p進整数は p進数の整数環です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

参照

• 最小多項式（場の理論）
• 積分閉包– 積分閉包を計算するための手法を提供する

注記

1. 整数環は、体を特定しない場合、「通常の」整数の環、すなわちそれらすべての環の原型となる対象を指す。これは、抽象代数学における「整数」という語の曖昧さから生じる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

引用

1. Alaca & Williams 2003、p.110、定義6.1.2-3。
2. Alaca & Williams 2003、p.74、定義4.1.1-2。
3. Cassels 1986、192ページを参照。
4. サミュエル 1972、49ページ。
5. カッセルズ（1986）193ページ
6. Baker. 「代数的数論」（PDF） pp.  33– 35.
7. サミュエル 1972、43ページ。
8. サミュエル 1972、35ページ。
9. アーティン、マイケル (2011).代数。プレンティス・ホール。 p. 360.ISBN​ 978-0-13-241377-0。
10. サミュエル 1972年、50ページ。
11. サミュエル 1972、59–62ページ。
12. カッセルズ 1986、41ページ。

参考文献

• アラカ、サバン、ウィリアムズ、ケネス・S. (2003). 代数的数論入門.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780511791260。
• Cassels, JWS (1986). 局所体. ロンドン数学会学生テキスト. 第3巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• サミュエル、ピエール(1972).代数的数論. ヘルマン/カーショウ.

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