スタードメイン

ユークリッド空間における点集合の性質

スタードメイン（同様に、スター凸集合またはスター型集合）は、通常の意味では必ずしも凸であるとは限りません。

環状領域は星の領域ではありません。

幾何学において、ユークリッド空間内の集合は 、からへのすべての線分に対して が存在するとき、スタードメイン（またはスター凸集合、星型集合^[1] 、放射状凸集合）と呼ばれます。この定義は、任意の実ベクトル空間または複素ベクトル空間に直ちに一般化できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$

直感的に、壁に囲まれた領域を と捉えると、内の任意の点が視線方向に入るような 内の有利な点が にあるとき、 はスタードメインです。類似しているが異なる概念として、放射状集合があります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

意味

ベクトル空間（ユークリッド空間など）に2点とが与えられたとき、の凸包は、端点を と とする閉区間と呼ばれ、任意のベクトルに対して で表される。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{ty+(1-t)x:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],}$$ ${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle z.}$

ベクトル空間の部分集合が、任意の閉区間に対して、において星型であるとは、集合が星型で あり、において星型であるような点が存在するとき、星型領域と呼ばれる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}.}$

原点において星型になっている集合は、スター集合と呼ばれることがあります。^{[2]このような集合は}ミンコフスキー汎関数と密接に関連しています。

例

• 内の任意の線または平面はスター ドメインです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 1 つの点が削除された直線または平面は、スター ドメインではありません。
• が 内の集合である場合、内のすべての点を原点に接続することによって得られる集合はスター領域です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle A}$
• 十字形の図形はスター領域ですが、凸型ではありません。
• 星型多角形は、境界が接続された線分のシーケンスである星型領域です。

プロパティ

• 凸性：空でない 凸集合はスター領域である。集合が凸集合であるためには、その集合内の各点に関してスター領域となる必要がある。
• 閉包と内部:スター ドメインの閉包はスター ドメインですが、スタードメインの内部は必ずしもスター ドメインであるとは限りません。
• 縮約：すべてのスター領域は、直線ホモトピーを介して縮約可能な集合である。特に、任意のスター領域は単連結集合である。
• 縮小: すべての星の領域、そして星の領域のみが「それ自身に縮小」することができる。つまり、あらゆる膨張率において、膨張した星の領域が元の星の領域に含まれるような比率で星の領域を膨張させることができる。^[3] ${\displaystyle r<1,}$ ${\displaystyle r}$
• 結合と交差: 2 つのスター ドメインの結合または交差は、必ずしもスター ドメインであるとは限りません。
• バランス:集合（ただし、はすべての単位長さのスカラーにわたって範囲）が与えられたとき、は原点で星型である（つまり、すべての および に対してであり、である）ときはいつでもバランスの取れた集合です。 ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W}$
• 微分同相写像：の空でない開星領域は、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• 二項演算子：とがスタードメインであれば、直積 もスタードメインであり、和 もスタードメインです。^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A+B}$
• 線型変換： がスタードメインであれば、 のすべての線型変換もスタードメインである。^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

参照

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達できるように「膨らませる」ことができるセット
• アートギャラリーの問題 – 数学の問題
• バランスセット – 機能分析における構成
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• 放射状集合 – 位相集合
• 星型多角形 – 正非凸多角形
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• 星型の好み

参考文献

1. ブラガ・デ・フレイタス、シンヴァル;オリーロ、ハイメ。ソーサ、ウィルフレド (2020-11-01)。「アロー・ドゥブルー条件から星形の好みまで」。最適化。69 (11): 2405–2419。土井:10.1080/02331934.2019.1576664。ISSN  0233-1934。
2. シェクター1996年、303ページ。
3. Drummond-Cole, Gabriel C. 「どのような多角形が縮小して自身に収まるか？」Math Overflow . 2014年10月2日閲覧。

• イアン・スチュワート、デイヴィッド・トール『複素解析』ケンブリッジ大学出版局、1983年、ISBN 0-521-28763-4、MR  0698076
• CR Smith,星型集合の特徴づけ, American Mathematical Monthly , Vol. 75, No. 4 (1968年4月). p. 386, MR  0227724, JSTOR  2313423
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• シェクター、エリック（1996年）『分析とその基礎ハンドブック』サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

外部リンク

• ハンフリーズ、アレクシス. 「スター凸」. MathWorld .

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