確率空間

Mathematical concept

確率論において、確率空間または確率三組は、 ランダムな過程または「実験」の形式的なモデルを提供する数学的構成概念です。例えば、サイコロを投げる動作をモデル化する確率空間を定義することができます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

確率空間は3つの要素から構成される: ^{[1] [2]}

1. サンプル空間、は、検討中のランダムプロセスのすべての可能な結果の集合です。 ${\displaystyle \Omega }$
2. イベント空間はイベントの集合であり、イベントはサンプル空間内の結果のサブセットです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
3. 確率関数は、イベント空間内の各イベントに、0 から 1 までの範囲の数値である確率を割り当てます。 ${\displaystyle P}$

確率のモデルを提供するには、これらの要素が確率公理を満たしている必要があります。

標準的なサイコロを投げる例では、

1. 標本空間とは、通常、各要素がラベルであり、そのラベルにサイコロが止まった場合の出目を表す集合です。例えば、はサイコロが1に止まった場合の出目を表します。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ ${\displaystyle 1}$
2. イベント空間は、サンプル空間のすべてのサブセットの集合である可能性があり、これには「サイコロが 5 になる」などの単純なイベントだけでなく、「サイコロが偶数になる」などの複雑なイベントも含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{5\}}$ ${\displaystyle \{2,4,6\}}$
3. 確率関数は、各イベントをそのイベントの結果の数を 6 で割った値にマッピングします。つまり、たとえば、は にマッピングされ、は にマッピングされます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{5\}}$ ${\displaystyle 1/6}$ ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ ${\displaystyle 3/6=1/2}$

実験が行われると、標本空間から正確に一つの結果がもたらされます。選択された結果を含む事象空間内のすべての事象は「発生した」とみなされます。確率関数は、実験を任意の回数繰り返した場合、各事象の発生回数が実験の総回数の割合として、その事象に割り当てられた確率に最も近づくように定義する必要があります。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle P}$

ソ連の数学者アンドレイ・コルモゴロフは1930年代に確率空間の概念と確率公理を導入した。現代の確率論では、確率変数代数など、公理化のための代替的なアプローチが存在する。

導入

サイコロを 2 回続けて投げた場合の確率空間: 標本空間は、36 通りの結果すべてで構成されます。3 つの異なるイベント (色付きの多角形) が、それぞれの確率とともに表示されます (離散一様分布を想定)。 ${\displaystyle \Omega }$

確率空間とは、現実世界の特定の状況のクラスに対するモデルを提示する数学的な三つ組です。他のモデルと同様に、確率空間の作者は最終的に、、、がどの要素を含むかを定義します。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$

• 標本空間 とは、すべての可能な結果の集合です。結果は、モデルを1回実行した結果です。結果には、自然状態、可能性、実験結果などが含まれます。現実世界の状況（または実験の実行）におけるすべてのインスタンスは、必ず1つの結果を生成します。実験の異なる実行結果が何らかの重要な点で異なる場合、それらは異なる結果です。どの違いが重要かは、行う分析の種類によって異なります。これにより、標本空間の選択が異なります。 ${\displaystyle \Omega }$
• σ-代数は 、考察対象となるすべての事象の集合です。この集合には、基本事象のそれぞれが含まれる場合と含まれない場合があります。ここで「事象」とは、0個以上の結果の集合、つまり標本空間の部分集合です。ある事象は、実験中に「発生した」とみなされます。これは、後者の結果がその事象の要素となる場合です。同じ結果が複数の事象の要素となる可能性があるため、単一の結果に対して複数の事象が発生する可能性が考えられます。例えば、2つのサイコロを振るという試行の場合、合計が7の目になるすべての結果の集合が1つの事象を構成する可能性があり、奇数の目になる結果は別の事象を構成する可能性があります。結果が、最初のサイコロが2つの目、2番目のサイコロが5つの目になるという基本事象の要素である場合、「7の目」と「奇数の目」の両方の事象が発生したとみなされます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• 確率測度 は、イベントの確率を返す集合関数です。確率は、0 (あり得ないイベントの確率は 0 ですが、確率 0 のイベントは必ずしもあり得ないわけではありません) から 1 (イベントはほぼ確実に、ほぼ完全な確実性で発生します) までの実数です。したがって、は関数 です。確率測度関数では、次の 2 つの簡単な要件を満たす必要があります。まず、互いに排他的なイベントの可算な和の確率は、これらの各イベントの確率の可算な和に等しくなければなりません。たとえば、コインを 1 回投げるランダム実験で、互いに排他的なイベントと の和の確率は、 の確率と の確率の合計です。2番目に、標本空間の確率は1 に等しくなければなりません (これは、モデルを実行すると、何らかの結果が発生するという事実を説明しています)。前の例では、結果の集合の確率は1 に等しくなければなりません。なぜなら、1 回のコイン投げで結果が または (モデルはその他の可能性を無視します) になることが完全に確実だからです。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1].}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$ ${\displaystyle P({\text{Head}}\cup {\text{Tail}})}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$ ${\displaystyle P({\text{Head}})+P({\text{Tail}})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P(\{{\text{Head}},{\text{Tail}}\})}$ ${\displaystyle {\text{Head}}}$ ${\displaystyle {\text{Tail}}}$

標本空間のすべての部分集合が必ずしも事象とみなされるわけではありません。一部の部分集合は単に興味の対象ではなく、また他の部分集合は「測定」できません。これはコイントスのような場合にはそれほど明白ではありません。別の例として、やり投げの距離を考えてみましょう。この場合、事象は典型的には「60メートルから65メートルの間」のような区間やそのような区間の和集合であり、「60メートルから65メートルの間の無理数」のような集合ではありません。 ${\displaystyle \Omega }$

意味

簡単に言えば、確率空間は、空間全体の測度が 1 に等しい測度空間です。

拡張された定義は次のようになります: 確率空間は次の 3 つから構成される 3 つ組です。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

• 標本空間 – 任意の空でない集合、 ${\displaystyle \Omega }$
• σ-代数 （σ-体とも呼ばれる） - のサブセットの集合で、次の条件を満たす事象と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$標本空間が含まれます: 、 ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は補集合に関して閉じている： ならばもまた、 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は可算 和に関して閉じている： の場合、もまた ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • 前の2つの性質とド・モルガンの法則からの系は、可算交差に関しても閉じていることである。に対してならば、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i=1,2,\dots }$ ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• 確率測度 – 次のような関数: ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
  • Pは可算加法（σ加法とも呼ばれる）である。 が互いに素な集合の可算な集合である場合、 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • 標本空間全体の測度は 1 に等しくなります。 ${\displaystyle P(\Omega )=1}$

離散的なケース

離散確率論では、最大で可算な標本空間のみが必要である。確率は、 となるような確率質量関数によっての点に帰属できる。 のすべての部分集合は事象として扱うことができる（したがって、は冪集合である）。確率測度は単純な形をとる。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$ ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

$${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\quad {\text{for all }}A\subseteq \Omega .}$$

⁎

最大σ-代数は完全な情報を記述します。一般に、σ-代数は有限または可算な分割に対応し、事象の一般形は です。例も参照してください。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$

このケースは定義では許可されていますが、サンプル空間から安全に除外できるため、めったに使用されません。 ${\displaystyle p(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega }$

一般的なケース

Ωが非可算な場合でも、一部のωに対してP ( ω ) ≠ 0 となる可能性があります。このようなωは原子と呼ばれます。原子は最大で可算な（空である可能性もある）集合であり、その確率はすべての原子の確率の和です。この和が1に等しい場合、他のすべての点は標本空間から安全に除外でき、離散的なケースに戻ります。そうでない場合、すべての原子の確率の和が0と1の間であれば、確率空間は離散的な（原子的な）部分（空である可能性もある）と非原子的な部分に分解されます。

非原子的なケース

すべてのω ∈ ΩについてP ( ω ) = 0の場合（この場合、 Ω は非可算でなければなりません。そうでなければP(Ω) = 1が満たされないからです）、式 ( ⁎ ) は成り立ちません。集合の確率は、必ずしもその要素の確率の合計ではありません。これは、和が可算な数の要素に対してのみ定義されているためです。これにより、確率空間理論がはるかに技術的になります。和よりも強力な定式化として、測度論が適用できます。最初に、確率はいくつかの「生成」集合に帰属します（例を参照）。次に、極限手順により、生成集合のシーケンスの極限、または極限の極限などである集合に確率を割り当てることができます。これらの集合はすべて σ 代数 です。技術的な詳細については、カラテオドリの拡張定理 を参照してください。 に属する集合は可測と呼ばれます。一般に、それらは生成集合よりもはるかに複雑ですが、非可測集合よりはるかに優れています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

完全確率空間

確率空間が完全確率空間であるとは、すべての に対して が成り立ち、すべての が成り立つことを意味する。確率空間の研究は、完全確率空間に限定されることが多い。 ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(B)=0}$ ${\displaystyle A\;\subset \;B}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

例

離散的な例

例1

実験が公平なコインを1回投げるだけの場合、結果は表か裏のいずれかになります。σ-代数には、（「表」）、（「裏」）、（「表でも裏でもない」）、 （「表か裏のどちらか」）というイベントが含まれます。言い換えると、表が出る確率は50%、裏が出る確率は50%です。 したがって、この例の確率測度は、、、、となります。 ${\displaystyle \Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle \{{\text{H}}\}}$ ${\displaystyle \{{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \{{\text{H}},{\text{T}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}}$ ${\displaystyle P(\{\})=0}$ ${\displaystyle P(\{{\text{H}}\})=0.5}$ ${\displaystyle P(\{{\text{T}}\})=0.5}$ ${\displaystyle P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1}$

例2

公平なコインを3回投げます。結果は8通り考えられます：Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} （ここで例えば「HTH」は、1回目にコインが表、2回目に裏、そして最後に再び表になったことを意味します）。完全な情報は、 2の^8乗= 256個のイベントからなるσ代数で記述され、各イベントはΩのサブセットです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$

アリスは2回目のトスの出目しか知らない。したがって、彼女の不完全な情報は、分割Ω = A ₁ ⊔ A ₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT} （ここで、⊔ は互いに素な和）と、それに対応するσ-代数 で記述される。ブライアンは表の総数しか知らない。彼の分割は4つの部分を含む：Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ B ₂ ⊔ B ₃ = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}。したがって、彼のσ-代数には2 ⁴ = 16個のイベントが含まれる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

2 つの σ 代数は比較できません。 も でもなく、両方とも 2 ^Ωのサブ σ 代数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

例3

カリフォルニア州の全有権者から100人を無作為に抽出し、知事選で誰に投票するかを尋ねる場合、カリフォルニア州の有権者100人のすべてのシーケンスの集合が標本空間Ωとなる。ここでは非復元抽出法を用いるものとし、100人の異なる有権者のシーケンスのみを許容する。簡単のため、順序付きサンプル、つまりシーケンス(Alice, Bryan)はシーケンス(Bryan, Alice)とは異なるものと仮定する。また、各潜在的有権者は将来の選択を正確に知っている、つまり無作為に選択するわけではないと仮定する。

アリスはアーノルド・シュワルツェネッガーが60票以上を獲得したかどうかしか知りません。彼女の不完全情報はσ代数によって記述され、σ代数は(1) Ωにおいてシュワルツェネッガーに60人以上が投票したすべてのシーケンスの集合、(2) シュワルツェネッガーに60人未満が投票したすべてのシーケンスの集合、(3) Ωの標本空間全体、そして(4) 空集合∅を含みます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}}$

ブライアンはシュワルツェネッガーに投票する有権者の正確な数を知っています。彼の不完全情報は対応する分割Ω = B ₀ ⊔ B ₁ ⊔ ⋯ ⊔ B ₁₀₀で記述され、σ-代数は2 ^{101 個の}イベントで構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

この場合、アリスのσ-代数はブライアンのσ-代数のサブセットです。ブライアンのσ-代数は、2 ^{n ( n −1)⋯( n −99)}個のイベントで構成される、はるかに大きな「完全情報」σ-代数 2 ^Ωのサブセットです。ここで、nはカリフォルニア州のすべての潜在的な有権者の数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}}$

非原子的な例

例4

0から1までの数が一様にランダムに選択される。ここでΩ = [0,1]はΩ上のボレル集合のσ-代数であり、Pは[0,1]上のルベーグ測度である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

この場合、0 < a < b < 1となる( a , b )の形の開区間を生成集合としてとることができる。このような集合にはそれぞれ、確率P (( a , b )) = ( b − a )が帰属され、これは[0,1] 上のルベーグ測度とΩ 上のボレルσ-代数を生成する。

例5

公平なコインを無限に投げ続ける。ここで、Ω = {0,1} ^∞、すなわち0と1の無限数列全体の集合をとることができる。円筒集合 {( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ Ω : x ₁ = a ₁ , ..., x _n = a _n } を生成集合として用いることができる。このような集合はそれぞれ、最初のn回の投げで固定された数列( a ₁ , ..., a _n )が得られ、残りの数列は任意であるような事象を記述する。このような事象には、当然ながら確率 2 ^{− n}を与えることができる。

これら 2 つの非原子的な例は密接に関連しています。つまり、シーケンス( x ₁ , x ₂ , ...) ∈ {0,1} ^∞は、数2 ⁻¹ x ₁ + 2 ⁻² x ₂ + ⋯ ∈ [0,1]につながります。ただし、これは{0,1} ^{∞と [0,1] の間の}1 対 1 対応ではありません。これは、ゼロを法とする同型であり、2 つの確率空間を同じ確率空間の 2 つの形式として扱うことができます。実際、すべての非病的な非原子的確率空間はこの意味で同じです。これらは、いわゆる標準確率空間です。確率空間の基本的なアプリケーションは、標準性には影響されません。ただし、非離散的条件付けは、標準確率空間では簡単かつ自然です。そうでない場合は、わかりにくくなります。

関連概念

確率分布

確率変数

ランダム変数Xは、標本空間Ωから状態空間と呼ばれる別の測定可能な空間Sへの測定可能な関数 X : Ω → Sです。

A ⊂ Sの場合、表記 Pr( X ∈ A ) は の一般的に使用される省略形です。 ${\displaystyle P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})}$

標本空間の観点からイベントを定義する

Ω が可算な場合、ほとんどの場合、 をΩ の冪集合として定義します。つまり、 は自明に σ-代数であり、Ω を用いて作成できる最大の σ-代数です。したがって、 を省略して単に (Ω,P) と書くことで確率空間を定義できます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

一方、Ωが非可算でを用いると、確率測度Pの定義が困難になります。これは が「大きすぎる」ためです。つまり、一意の測度を割り当てることが不可能な集合がしばしば存在することになります。この場合、より小さなσ-代数、例えばΩのボレル代数を用いる必要があります。これは、すべての開集合を測度可能にする最小のσ-代数です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

条件付き確率

コルモゴロフの確率空間の定義は、条件付き確率という自然な概念を生み出します。確率がゼロでない（つまり、P ( A ) > 0 ）集合Aは、その空間上の別の確率測度を定義します 。これは通常、「 Aが与えられた場合にBが生ずる確率」と発音されます。 $${\displaystyle P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}}$$

P ( A )>0となるような任意のイベントAに対して、すべてのイベントBに対してQ ( B )= P ( B  |  A )で定義される関数Qは、それ自体が確率測度である。

独立

2つの事象AとBは、P ( A∩B )= P ( A ) P ( B )のとき独立しているといわれます。

2つの確率変数XとY は、 Xによって定義される任意の事象がYによって定義される任意の事象から独立している場合、独立していると言われます。正式には、これらは独立σ-代数を生成します。ここで、 Fの部分集合である2つのσ-代数GとHは、 Gの任意の要素がHの任意の要素から独立している場合、独立していると言われます。

相互排他性

二つの事象AとBは、一方の事象の発生が他方の事象の非発生を意味する場合、すなわちそれらの交差が空である場合、互いに排他的または互いに素であると言われます。これは、それらの交差の確率がゼロであるよりも強い条件です。

AとBが互いに素な事象である場合、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )が成り立ちます。これは、（有限または可算無限の）事象列にも当てはまります。しかし、可算でない事象集合の和の確率は、それらの確率の和ではありません。例えば、Zが正規分布する確率変数である場合、 P ( Z = x )は任意のxに対して 0 となりますが、P ( Z ∈ R ) = 1 となります。

イベントA ∩ Bは「 AかつB 」と呼ばれ、イベントA ∪ Bは「AまたはB」と呼ばれます。

参照

• 宇宙（数学）
• 空間を測る
• ファジィ測度理論
• フィルタリングされた確率空間
• タラグランドの濃度不平等

参考文献

1. ロエヴ、ミシェル. 確率論第1巻. ニューヨーク: D. ヴァン・ノストランド社, 1955年.
2. Stroock, DW (1999). 確率論：分析的視点. ケンブリッジ大学出版局.

参考文献

• ピエール・シモン・ド・ラプラス（1812）『確率の解析理論』

微積分と確率論を融合した最初の主要な論文、原文はフランス語: Théorie Analytique des Probabilités。

• アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ（1950）『確率論の基礎』

確率論の現代の測度理論的基礎。オリジナルのドイツ語版 ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) は 1933 年に出版されました。

• ハロルド・ジェフリーズ（1939）『確率論』

確率論の基礎に対する経験主義的、ベイズ的アプローチ。

• エドワード・ネルソン（1987）『根本的に初等的な確率論』

非標準解析に基づく確率論の基礎。ダウンロード可能。http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• パトリック・ビリングスリー：確率と測定、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク、トロント、ロンドン、1979年。
• ヘンク・タイムス（2004）確率の理解

初心者のための確率論のわかりやすい入門書、ケンブリッジ大学出版局。

• デビッド・ウィリアムズ (1991)マルチンゲールによる確率

測度理論的確率の学部生向け入門、ケンブリッジ大学出版局。

• ガット、アラン（2005年）『確率論：大学院課程』シュプリンガー、ISBN 0-387-22833-0。

外部リンク

• サゾノフ、VV（2001）[1994]、「確率空間」、数学百科事典、EMSプレス
• サイコロの確率空間を示すアニメーション
• 確率と統計の仮想実験室（主著者カイル・シーグリスト）、特に確率空間
• シチズンディウム
• 完全確率空間
• ワイスタイン、エリック・W.「確率空間」。MathWorld。

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