確率分布

この記事は、スチューデントのt分布の数学的な説明です。統計学におけるその用途については、「スチューデントのt検定」を参照してください。

学生のt
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \nu >0}$ 自由度（実数、ほとんどの場合正の整数）
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}+x{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\times \\&\qquad {}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right),\end{aligned}}}$ 超幾何関数は どこにあるか ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$
平均	${\displaystyle 0}$それ以外の場合は定義されていません ${\displaystyle \nu >1,}$
中央値	${\displaystyle 0}$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$それ以外の場合は未定義 ${\displaystyle \nu >2,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1<\nu \leq 2,}$
歪度	${\displaystyle 0}$それ以外の場合は定義されていません ${\displaystyle \ \nu >3\ ,}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$それ以外の場合は未定義 ${\displaystyle \nu >4,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 2<\nu \leq 4,}$
エントロピ	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}-\psi {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\right]\\&\quad +\ln \left[{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}\right]~{\text{(nats)}},\end{aligned}}}$ ここで、はディガンマ関数、はベータ関数である。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {B} }$
MGF	未定義
CF	${\displaystyle {\frac {{\big (}{\sqrt {\nu }}\,|t|{\big )}^{\nu /2}\,K_{\nu /2}{\big (}{\sqrt {\nu }}\,|t|{\big )}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\nu /2-1}}}}$のために、 ${\displaystyle \nu >0}$ ここで、第二種修正ベッセル関数[ 1 ] ${\displaystyle K_{\nu }}$
予想される不足額	${\displaystyle \mu +s\left({\frac {{\big (}\nu +[T^{-1}(1-p)]^{2}{\big )}\times \tau {\big (}T^{-1}(1-p){\big )}}{(\nu -1)(1-p)}}\right),}$ ここでは逆標準化スチューデント t CDF、 は標準化スチューデントt PDFである。[ 2 ] ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle \tau }$

確率論および統計学において、スチューデントt 分布（または単にt 分布）は、標準正規分布を一般化した連続確率分布です。後者と同様に、ゼロを中心に対称で、ベル型の形状をしています。 ${\displaystyle t_{\nu }}$

しかし、はより重い裾を持ち、裾の確率質量の量はパラメータ によって制御されます。 については、スチューデントt分布は標準的なコーシー分布となり、非常に「太い」裾を持ちます。一方、 については、非常に「細い」裾を持つ標準正規分布となります。 ${\displaystyle t_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle t_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu \to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1),}$

「Student」という名前は、ウィリアム・シーリー・ゴセットがアイルランドのダブリンのギネス醸造所で働いていたときに科学論文の発表で使用した仮名です。

スチューデントt分布は、2 つの標本平均値の差の統計的有意性を評価するスチューデントt検定、2 つの母集団平均値の差の信頼区間の構築、線形回帰 分析など、広く使用されている多くの統計分析で役割を果たします。

位置スケールt 分布 の形式では、正規分布が一般化され、分散パラメータを周辺化するときに複合分布として正規ファミリーのデータのベイズ分析でも発生します。 ${\displaystyle \operatorname {\ell st} (\mu ,\tau ^{2},\nu )}$

定義

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確率密度関数

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スチューデントt 分布の確率密度関数（PDF）は次式で表されます。ここでは自由度、はガンマ関数です。これは と表記されることもあります 。ここではベータ関数です。特に、自由度が整数値の場合、以下の式が成り立ちます。 $${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ ${\displaystyle \nu }$

そしてさらに、 ${\displaystyle \nu >1}$ $${\displaystyle {\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\nu }}}}\cdot {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2}}.}$$

奇数の場合、 ${\displaystyle \nu >1}$ $${\displaystyle {\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {\nu }}}}\cdot {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3}}.}$$

確率密度関数は対称であり、その全体的な形状は平均0、分散1の正規分布変数のベル型に似ていますが、やや低く幅が広いという点が異なります。自由度が大きくなるにつれて、t 分布は平均0、分散1の正規分布に近づきます。このため、 t分布は正規性パラメータとも呼ばれます。^{[ 3 ]} ${\displaystyle {\nu }}$

以下の画像は、 t分布の密度 を の値の増加ごとに示しています。正規分布は比較のために青い線で示されています。t分布（赤い線）は が増加するにつれて正規分布に近づくことに注意して ください。 ${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle \nu }$

 自由度1、2、3、5、10、30におけるt分布（赤）の密度を標準正規分布（青）と比較したグラフ。
以前のグラフは緑で表示されています。

1自由度

2自由度

3自由度

5つの自由度

10自由度

30自由度

累積分布関数

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累積分布関数（CDF）は、正規化不完全ベータ関数Iで表すことができます。t > 0の場合、

$${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},}$$

どこ

$${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.}$$

他の値は対称性によって得られる。 ${\displaystyle t^{2}<\nu \,,}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),}$$

ここで、は超幾何関数の特定のインスタンスです。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\ ;\ )}$

逆累積分布関数の詳細については、分位関数 § スチューデント t 分布を参照してください。

特殊なケース

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特定の値は、スチューデントの t 分布の単純な形を与えます。 ${\displaystyle \ \nu \ }$

${\displaystyle \ \nu \ }$	PDF	CDF	メモ
1	${\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)}$	コーシー分布を参照
2	${\displaystyle {\frac {1}{2\,{\sqrt {2}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\frac {t}{\sqrt {3}}}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}\right]}$
4	${\displaystyle {\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}\left[{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}\right]\left[1-{\frac {t^{2}}{12\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)}}\right]}$
5	${\displaystyle {\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan {\frac {t}{\sqrt {5}}}\right]}$
${\displaystyle \ \infty \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-t^{2}/2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$	正規分布、誤差関数を参照

プロパティ

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瞬間

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の場合、t分布の生のモーメント は ${\displaystyle \nu >1}$

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}}$$

秩序以上の瞬間は存在しない。^{[ 4 ]} ${\displaystyle \ \nu \ }$

の項（kは偶数）は、ガンマ関数の性質を使って次のように 簡略化できる。 ${\displaystyle 0<k<\nu }$

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$$

自由度t 分布の場合、期待値は次のようになります。分散は、次のようになります。歪度は0になります。過剰尖度は、次のようになります。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nu >1\,,}$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ ${\displaystyle \nu >2\,.}$ ${\displaystyle \nu >3}$ ${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ ${\displaystyle \nu >4\,.}$

t分布の発生原理 （特徴づけ）

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検定統計量の分布として

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自由度付きスチューデントのt分布は、確率変数Tの分布として定義される。^{[ 5 ] [ 6 ]} ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}$$

どこ

• Zは期待値が0 で分散が 1 の標準正規分布です。
• Vは自由度を持つカイ²乗分布（χ2分布）に従います。 ${\displaystyle \nu }$
• ZとVは独立しています。

異なる分布は、与えられた定数 μに対して、 によって 定義される確率変数の分布として定義されます。この確率変数は、非心度パラメータμを持つ非心t分布に従います。この分布は、スチューデントのt検定の検出力の研究において重要です。 $${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.}$$

導出

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X ₁ , ..., X _{n が}正規分布に従う確率変数Xの独立した実現であり、期待値がμで分散がσ ²であるとする。

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$$

標本平均であり、

$${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$$

標本からの分散の不偏推定値となる。確率変数は

$${\displaystyle V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}}$$

は自由度を持つカイ二乗分布に従う（コクランの定理による）。^{[ 7 ]} 量 ${\displaystyle \nu =n-1}$

$${\displaystyle Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}$$

標本平均は平均μ、分散σ ² / nの正規分布に従うため、平均0、分散1の正規分布に従う。さらに、これら2つの確率変数（正規分布に従うZとカイ2乗分布に従うV ）は独立であることを示すことも可能である。したがって^{[説明が必要] 、}重要な量は ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

$${\displaystyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},}$$

これはZとは異なり、正確な標準偏差σが標本標準誤差sに置き換えられており、上で定義したスチューデントのt分布に従う。未知の母分散σ ^{2は分子と分母の両方に存在するため}Tには現れず、打ち消されている点に注意されたい。ゴセットは上記の確率密度関数をn  − 1と等しく直感的に導き出し、フィッシャーは1925年にそれを証明した。 ^{[ 8 ]} ${\displaystyle \nu }$

検定統計量Tの分布はに依存しますが、μやσには依存しません。 μとσに依存しないことが、 t分布を理論と実践の両方で重要なものにしているのです。 ${\displaystyle \nu }$

t統計量の標本分布

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t分布はt統計量 の標本分布 として生じます 。以下では1標本t 統計量について論じますが、対応する2標本t 統計量についてはスチューデントのt検定を参照してください。

不偏分散推定

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平均と分散を持つ正規分布から独立かつ同一に分布するサンプルを とします。サンプル平均と不偏サンプル分散は次のように与えられます。 ${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}$$

結果として得られる（1標本の）t 統計量は次のように与えられる。

$${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ s/{\sqrt {n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.}$$

自由度 を持つスチューデントのt 分布に従って分布します。 ${\displaystyle \ n-1\ }$

したがって、推論の目的において、平均と分散が未知の母数パラメータである場合、 t統計量は、 t統計量がいずれ にも依存しない確率分布を持つという意味で、 有用な「重要な量」である。 ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

ML分散推定

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不偏推定値の代わりに、最大尤度推定値を使用して統計量を得る こともできる。これは位置スケールt 分布に従って分布する。 ${\displaystyle \ s^{2}\ }$ $${\displaystyle \ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ }$$ $${\displaystyle \ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.}$$ $${\displaystyle t_{\mathsf {ML}}\sim \operatorname {\ell st} (0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.}$$

正規分布と逆ガンマ分布の複合分布

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位置スケールt 分布は、平均と未知の分散を持つガウス分布(正規分布)と、その分散上にパラメータ と を持つ逆ガンマ分布を合成して生成されます。言い換えると、ランダム変数Xは、未知の分散が逆ガンマとして分布するガウス分布を持つと仮定され、その後、分散が周辺化(統合) されます。 ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\textstyle a={\frac {\nu }{2}}}$ ${\textstyle b={\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\,.}$

同様に、この分布は、パラメータを持つスケーリングされた逆カイ二乗分布とガウス分布を組み合わせた結果である。スケーリングされた逆カイ二乗分布は、逆ガンマ分布とまったく同じ分布であるが、パラメータ化が異なる。すなわち、 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$ ${\displaystyle \nu =2a,\;\tau ^{2}={\frac {b}{a}}\,.}$

この特徴付けが有用な理由は、ベイズ統計学において逆ガンマ分布はガウス分布の分散の共役事前分布であるためである。その結果、位置尺度t 分布は多くのベイズ推論問題において自然に現れる。^{[ 9 ]}

最大エントロピー分布

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スチューデントのt 分布は、特定の値を持つランダム変数Xの最大エントロピー確率分布です。^{[ 10 ] [説明が必要] [より良い情報源が必要]これは、pdfが十分な統計量として}指数族形式で表すことができるという観察から直接導かれます。 ${\textstyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ln(\nu +X^{2})\right\}}$ ${\displaystyle \nu +X^{2}}$

スチューデントの確率密度関数の積分とp値

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関数A ( t | ν )は、 t ≥ 0の場合の、スチューデントの確率密度関数f ( t )の-tとtの間の  積分です。したがって、観測データから計算された値よりも小さいtの値が偶然に発生する確率を示します。そのため、関数A ( t | ν )は、2 つのデータ セットの平均の差が統計的に有意かどうかをテストするときに使用できます。これは、2 つのデータ セットが同じ母集団から抽出された場合のtの対応する値とその発生確率を計算することにより行います。これはさまざまな状況で使用されますが、特にt 検定で使用されます。自由度がνの統計量tの場合、A ( t | ν )は、2 つの平均が同じである場合にt が観測値よりも小さくなる確率です(小さい方の平均から大きい方の平均を引いてt ≥ 0 とする場合)。これは、 t分布の累積分布関数F _ν ( t )から簡単に計算できます 。

$${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

ここでI _x ( a , b )は正規化された不完全ベータ関数である。

統計的仮説検定では、この関数を使用してp値を構築します。

関連ディストリビューション

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一般的に

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• 非心t 分布は、t分布を一般化し 、非心パラメータを含むようにしたものです。非標準化t 分布とは異なり、非心t分布は対称ではありません（中央値と最頻値は異なります）。
• 離散スチューデントt 分布は、 rにおける確率質量関数が次式に比例する形で定義される： ^{[ 11 ]}ここでa、b、kはパラメータである。この分布は、連続分布に対するピアソン分布と同様の離散分布系の構築から生じる。^{[ 12 ]} $${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$
• 正規分布とχ²分布の平方根から変数の比を取ることで、Student A ( t | ν ) サンプルを生成できます。正規分布の代わりに、例えばアーウィン・ホール分布を使用すると、正規分布、一様分布、三角分布、スチューデント t分布、コーシー分布を含む、全体として対称的な4パラメータ分布が得られます。これは、正規分布の他の対称的な一般化よりも柔軟性に優れています。
• t分布は比率分布 の一例です。
• t _nに分布するランダム変数の二乗は 、スネデコールの F 分布 F _{1, n}に従って分布します。

位置スケールt分布

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場所規模の変革

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スチューデントt分布は、位置パラメータと尺度パラメータを導入することで 、3パラメータの位置尺度t 分布に一般化されます。 位置尺度ファミリー変換により、次の式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\displaystyle \ \tau ~.}$ $${\displaystyle \ T\sim t_{\nu }\ }$$ $${\displaystyle \ X=\mu +\tau \ T\ }$$ $${\displaystyle X\sim \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.}$$

結果として得られる分布は、非標準化スチューデントのt 分布とも呼ばれます。

密度と最初の2つのモーメント

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位置尺度t分布の密度は次のように定義される: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\tau {\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\tau }}\right)^{2}\right)^{-(\nu +1)/2}}$$

同様に、密度は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \tau ^{2}}$

$${\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau ^{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {\pi \nu \tau ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\tau ^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}}$$

このバージョンのディストリビューションの他の特性は次のとおりです。^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}}$$

特殊なケース

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• が位置尺度t 分布に従う場合、に対しては平均と分散で正規分布する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\,\tau ^{2},\,\nu \right)}$ ${\displaystyle \nu \to \infty }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {N} {\left(\mu ,\tau ^{2}\right)}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau ^{2}\,.}$
• 自由度のある位置尺度t 分布はコーシー分布と同等である。 ${\displaystyle \ \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\ }$ ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.}$
• との位置スケールt 分布は、スチューデントのt 分布に帰着する。 ${\displaystyle \operatorname {\ell st} \left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\ }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \ \tau ^{2}=1\ }$ ${\displaystyle \ t_{\nu }~.}$

発生と応用

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頻度主義的統計的推論では

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スチューデントt 分布は、データが加法誤差を伴って観測される状況において、平均値などの未知のパラメータを推定することを目的とする様々な統計推定問題で用いられます。（ほぼすべての実用的な統計作業と同様に）これらの誤差の母標準偏差が未知であり、データから推定する必要がある場合、この推定から生じる追加の不確実性を考慮するためにt分布がよく用いられます。このような問題のほとんどにおいて、誤差の標準偏差が既知であれば、 t分布 ではなく正規分布が用いられます 。

信頼区間と仮説検定は、特定の統計量（例えば標準得点）の標本分布の分位点が必要となる2つの統計手法です。この統計量がデータの線形関数であり、それを標準偏差の通常の推定値で割った場合、得られた値はスチューデントのt 分布に従うように再尺度化および中心化されます。平均値、加重平均値、回帰係数を含む統計分析はすべて、この形式の統計量となります。

教科書の問題では、母集団の標準偏差が既知であるかのように扱われ、スチューデントのt分布を用いる必要がない場合がよくあります。こうした問題は一般的に2種類あります。(1) 標本サイズが非常に大きいため、データに基づく分散 の推定値が確実であるかのように扱える問題、(2) 数学的推論を例示する問題で、著者や講師が解説する点が標準偏差の推定ではないため、標準偏差の推定の問題が一時的に無視される問題です。

仮説検定

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多くの統計量は、関心のある帰無仮説 の下では中程度の標本数に対してt分布を示すことが示されており、 t分布は有意性検定の基礎となる。例えば、帰無仮説（相関ゼロ）の場合のスピアマンの順位相関係数ρ の分布は、標本数が約20を超える場合のt分布によってよく近似される。 ^[要出典]

信頼区間

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数Aが次のように選ばれると 仮定する。

$${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<T<A\ \right\}=0.9\ ,}$$

Tが自由度n − 1のt 分布に従うとき、対称性により、これはAが  

$${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,}$$

つまりAはこの確率分布の「95パーセンタイル」であり、 ${\displaystyle \ A=t_{(0.05,n-1)}~.}$

$${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,}$$

ここでS _n は観測値の標本標準偏差である。これは次式と等価である。

$${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.}$$

したがって、端点が

$${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ }$$

はμの90%信頼区間です。したがって、正規分布に従うと合理的に期待できる観測値集合の平均を求める場合、t分布を用いて、その平均の信頼限界に理論的に予測される値（例えば帰無仮説 で予測される値）が含まれているかどうかを調べることができます。

この結果はスチューデントのt 検定で使用されます。2 つの正規分布からのサンプルの平均の差自体が正規分布するため、t 分布を使用して、その差が合理的にゼロであると想定できるかどうかを調べることができます。

データが正規分布している場合、平均値の片側（1 − α）上側信頼限界（UCL）は次の式を使用して計算できます。

$${\displaystyle {\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.}$$

結果として得られるUCLは、与えられた信頼区間と母集団サイズにおいて発生する最大の平均値となります。言い換えれば、UCLは観測値集合の平均であるため、分布の平均がUCL _{1 − α}より小さい確率は、信頼水準1 − αに等しくなります。 ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

予測区間

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t分布は、平均値と分散が不明な正規分布から、観測されていないサンプルの予測区間 を構築するために使用できます。

ベイズ統計学では

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スチューデントt 分布、特に3パラメータ（位置スケール）版は、正規分布との関連からベイズ統計学で頻繁に用いられる。正規分布に従う確率変数の分散が未知であり、その上に逆ガンマ分布に従う共役事前分布が配置される場合、結果として得られる変数の周辺分布はスチューデントt分布に従う。 同じ結果をもたらす同等の構成としては、分散上の共役スケール逆カイ二乗分布、または精度上の共役ガンマ分布が挙げられる。⁠1/ σ²​ ⁠を分散の上に置くと、t 分布も生じます。これは、正規分布する変数の平均が既知であるか、共役正規分布の事前分布に従って未知であるか、あるいは不適正な定数事前分布に従って未知であるかに関わらず当てはまります。

t 分布が生成される関連する状況は次のとおりです。

• 上記のモデルに従い、事前平均と分散が不明な、正規分布変数の平均が不明な場合の周辺事後 分布。
• 一連の独立した同一に分布する正規分布データ ポイントが観測された場合の、新しい正規分布データ ポイントの事前予測分布と事後予測分布。事前平均と事後分散は上記のモデルと同じです。

堅牢なパラメトリックモデリング

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t分布 は、正規分布よりも裾が厚いデータに対するモデルとして、正規分布の代替としてよく用いられます。例えば、Lange et al. ^{[ 14 ]}を参照してください。従来のアプローチは、外れ値を特定し（例えば、Grubbsの検定を用いて）、何らかの方法でそれらを除外または重み付けを下げることでした。しかし、外れ値を特定することは必ずしも容易ではなく（特に高次元の場合）、t分布はそのようなデータに対する自然なモデル選択であり、ロバスト統計 へのパラメトリックなアプローチを提供します。

ベイズ的な説明はGelmanら^{[ 15 ]}に示されています。自由度パラメータは分布の尖度を制御し、尺度パラメータと相関しています。尤度は複数の極大値を持つ可能性があるため、自由度をかなり低い値に固定し、これを既知として他のパラメータを推定することがしばしば必要になります。一部の著者^[引用要]は、3から9の間の値がしばしば良い選択であると報告しています。VenablesとRipley ^[引用要]は、5がしばしば良い選択であると示唆しています。

スチューデントのt 過程

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実用的な回帰と予測のニーズのために、関数に対するスチューデントt分布 の一般化であるスチューデントt過程が導入されました。ガウス過程がガウス分布から構築されるの と同じように、 スチューデントt 過程はスチューデントt分布から構築されます。ガウス過程の場合、すべての値のセットは多次元ガウス分布を持ちます。同様に、過程（）の対応する値が結合多変量スチューデントt 分布を持つ場合、は 区間上のスチューデントt過程です。^{[ 16 ]}これらの過程は、回帰、予測、ベイズ最適化、および関連問題に使用されます。多変量回帰と多出力予測のために、多変量スチューデントt 過程が導入され、使用されています。^{[ 17 ]} ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$ ${\displaystyle t_{i}\in I}$

選択された値の表

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以下の表は、片側または両側の臨界領域の範囲における自由度νのt 分布の値を示しています。最初の列はν、上部のパーセンテージは信頼水準、表本体の数値は信頼区間のセクションで説明されている係数です。 ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$

無限のνを持つ最後の行は、正規分布の臨界点を示します。これは、 無限の自由度を持つt分布が正規分布であるためです。(上記の関連分布を参照)。

一方的な	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
両面	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657	127.321	318.309	636.619
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.089	22.327	31.599
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.215	12.924
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291
一方的な	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
両面	50%	60%	70%	80%	90%	95%	98%	99%	99.5%	99.8%	99.9%

信頼区間の計算

 標本サイズ11、標本平均10、標本分散2の標本があるとします。自由度10で90%の信頼度を得るには、表の片側t値は1.372です。そして、信頼区間は次のように計算されます。

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,}$$

我々は90%の信頼度で真の平均値が以下の値にあると判断した。

$${\displaystyle 10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.}$$

つまり、特定のサンプルからこの方法で上限しきい値を計算すると、その上限しきい値が真の平均を超える回数は 90% になります。

そして90%の信頼度で真の平均値は上にあります

$${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$$

言い換えれば、この方法で特定のサンプルから下限しきい値が計算された場合、その下限しきい値は 90% の確率で真の平均を下回ります。

したがって、80%の信頼度（100% − 2 × (1 − 90%) = 80%から計算）では、真の平均は区間内に存在する。

$${\displaystyle \left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.}$$

この方法で特定のサンプルから上限と下限の閾値を計算すると、80% の確率で真の平均値が上限閾値を下回り、下限閾値を上回るということは、この方法で計算された特定の上限と下限の閾値の間に真の平均値が位置する確率が 80% であるということとは異なります。「信頼区間」と「検察官の誤謬」を参照してください。

現在では、 R プログラミング言語などの統計ソフトウェアや、多くのスプレッドシート プログラムで使用できる関数により、表を使用せずにt分布とその逆分布の値が計算されます 。

計算方法

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モンテカルロサンプリング

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スチューデントt 分布からランダム標本を構築するには様々なアプローチがある。問題は、標本が単独で必要なのか、それとも一様標本に分位関数を適用して構築するのか（例えば、コピュラ依存性の多次元応用における）によって異なる。^[要出典]単独標本抽出の場合、ボックス・ミュラー法とその極形式の拡張は容易に展開できる。^{[ 18 ]}この方法の利点は、自由度νが0に近い場合に他の多くの候補手法が失敗するのに対し、この方法はすべての正の実数に対して同様に適用できる点である。^{[ 18 ]}

歴史

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統計学者ウィリアム・シーリー・ゴセット（通称「学生」）

統計学において、t分布は1876年にヘルメルト^{[ 19 ] [ 20 ] [} 21]とリュロス^{[ 22 ]}によって事後分布 として初めて導出されました。^{[ 23 ] [ 24 ]}このように、スチューデントのt分布はスティグラーのエポニミー法則の一例です。t分布は、カール・ピアソン^{の1895年の論文において、} より一般的な形でピアソンIV型分布として登場しました。^{[ 25 ]}

英語文献では、この分布は、ウィリアム・シーリー・ゴセットがアイルランドのダブリンにあるギネス醸造所で働いていた当時、「Student」というペンネームで1908年にバイオメトリカ誌に発表した論文に由来するとされています。^{[ 26 ]}ペンネームの由来に関する一説は、ゴセットの雇用主が、科学論文を発表する際には実名ではなくペンネームを使うことをスタッフに望んでいたため、彼は身元を隠すために「Student」という名前を使ったというものです。また、ギネスが競合他社にt 検定を用いて原材料の品質を判断していることを知られたくなかったという説もあります。^{[ 27 ] [ 28 ]}

ゴセットはギネスで働き、少量サンプルの問題、例えば大麦の化学的性質など、サンプル数が3個程度しかない場合の問題に関心を持っていました。ゴセットの論文では、この分布を「正規母集団から抽出されたサンプルの標準偏差の頻度分布」と呼んでいます。この分布はロナルド・フィッシャーの研究によって広く知られるようになりました。フィッシャーはこの分布を「スチューデント分布」と呼び、検定値を文字tで表しました。^{[ 8 ] [ 29 ]}

参照

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• 数学ポータル

• F分布
• 折り畳み t分布と半 t分布
• ホテリングのT²分布
• 多変量学生分布
• 標準正規分布表（Z分布表）
• t 統計量
• タウ分布（内部スチューデント化残差の場合）
• ウィルクスのラムダ分布
• ウィシャート分布
• 修正半正規分布^{[ 30 ]}のpdfは次のように与えられ、ここで はフォックス・ライトのプサイ関数を表す。 ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}\ ,}$ ${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$

注記

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参考文献

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外部リンク

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