Probability distribution
非心 t 分布は、 非 心パラメータ を用いて スチューデント t 分布 を一般化したもの です。中心 確率分布は、 検定される差が帰無仮説である場合の 検定統計量 tの分布状態を表しますが、非心分布は、帰無仮説が偽である場合の t の分布状態を表します。そのため、統計学、特に 統計的検出力 の計算に用いられます。非心 t 分布は、単独非心 t分布とも呼ばれ、 統計的推論 における主な用途に加えて、 データ の ロバストモデリング にも用いられます 。
定義 Z が標準 正規分布に従う 確率変数であり、 V が Z とは独立した 自由度 νの カイ2乗分布に従う 確率変数である場合 、
T = Z + μ V / ν {\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}} は、自由度νと 非心度パラメータ μ≠0を持つ非心 t 分布に従う確率変数です。非心度パラメータは負になる場合があることに注意してください。
累積分布関数 自由度ν、非心度パラメータμを持つ 非心 t 分布の累積 分布関数は 、[1]のように表すことができます。
F ν , μ ( x ) = { F ~ ν , μ ( x ) , if x ≥ 0 ; 1 − F ~ ν , − μ ( x ) , if x < 0 , {\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}} ここで、
F ~ ν , μ ( x ) = Φ ( − μ ) + 1 2 ∑ j = 0 ∞ [ p j I y ( j + 1 2 , ν 2 ) + q j I y ( j + 1 , ν 2 ) ] , {\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],} I y ( a , b ) {\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)} は 正則化不完全ベータ関数 、 y = x 2 x 2 + ν , {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},} p j = 1 j ! exp { − μ 2 2 } ( μ 2 2 ) j , {\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},} q j = μ 2 Γ ( j + 3 / 2 ) exp { − μ 2 2 } ( μ 2 2 ) j , {\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},} Φは標準正規分布 の累積分布関数です 。
あるいは、非心 t分布のCDFは [ 要出典 ] のように表すことができます 。
F v , μ ( x ) = { 1 2 ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( − μ 2 ) j e − μ 2 2 Γ ( j + 1 2 ) π I ( v v + x 2 ; v 2 , j + 1 2 ) , x ≥ 0 1 − 1 2 ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( − μ 2 ) j e − μ 2 2 Γ ( j + 1 2 ) π I ( v v + x 2 ; v 2 , j + 1 2 ) , x < 0 {\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}} ここで、Γは ガンマ関数 、 Iは 正則化不完全ベータ関数 です 。
累積分布関数には他の形式もありますが、上記に示した最初の形式は 再帰計算 によって非常に簡単に評価できます。 [1] 統計ソフトウェア R では、累積分布関数は pt として実装されています。
確率密度関数 自由度ν > 0、非心パラメータμを持つ 非心 t 分布の確率 密度関数（pdf）は、いくつかの形式で表すことができます。
密度関数の 合流型超幾何関数 形は
f ( x ) = Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 ⏟ StudentT ( x ; μ = 0 ) exp ( − μ 2 2 ) { A ν ( x ; μ ) + B ν ( x ; μ ) } , {\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},} ここで
A ν ( x ; μ ) = 1 F 1 ( ν + 1 2 ; 1 2 ; μ 2 x 2 2 ( x 2 + ν ) ) , B ν ( x ; μ ) = 2 μ x x 2 + ν Γ ( ν 2 + 1 ) Γ ( ν + 1 2 ) 1 F 1 ( ν 2 + 1 ; 3 2 ; μ 2 x 2 2 ( x 2 + ν ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}} であり、 1 F 1は 合流型超幾何関数 です 。
別の積分形は [2]です。
f ( x ) = ν ν 2 exp ( − ν μ 2 2 ( x 2 + ν ) ) π Γ ( ν 2 ) 2 ν − 1 2 ( x 2 + ν ) ν + 1 2 ∫ 0 ∞ y ν exp ( − 1 2 ( y − μ x x 2 + ν ) 2 ) d y . {\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.} 密度関数の3番目の形は、累積分布関数を用いて次のように得られます。
f ( x ) = { ν x { F ν + 2 , μ ( x 1 + 2 ν ) − F ν , μ ( x ) } , if x ≠ 0 ; Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) exp ( − μ 2 2 ) , if x = 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}} これは、 R の dt 関数によって実装されるアプローチです 。
特性
非心 t 分布のモーメント 一般に、 非心 t 分布の k次の生のモーメントは [3]です。
E [ T k ] = { ( ν 2 ) k 2 Γ ( ν − k 2 ) Γ ( ν 2 ) exp ( − μ 2 2 ) d k d μ k exp ( μ 2 2 ) , if ν > k ; Does not exist , if ν ≤ k . {\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}} 特に、非心t 分布の平均と分散 は
E [ T ] = { μ ν 2 Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) , if ν > 1 ; Does not exist , if ν ≤ 1 , Var [ T ] = { ν ( 1 + μ 2 ) ν − 2 − μ 2 ν 2 ( Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ) 2 , if ν > 2 ; Does not exist , if ν ≤ 2. {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}} の優れた近似は であり 、両方の式で使用できます。 [4] [5] ν 2 Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}} ( 1 − 3 4 ν − 1 ) − 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}
非対称性 非心 t 分布は、μが0でない限り非対称、すなわち中心 t 分布です。さらに、自由度が大きいほど非対称性は小さくなります。μ > 0の場合、右裾は左裾よりも重くなり、その逆も同様です。しかし、通常の歪度は、この分布の非対称性の尺度として一般的に適切ではありません。なぜなら、自由度が3以下であれば、3次モーメントは全く存在しないからです。自由度が3より大きい場合でも、標本サイズが非常に大きくない限り、歪度の標本推定値は非常に不安定です。
最頻値 非心 t 分布は常に単峰性でベル型ですが、最頻値は解析的に得られません。ただし、μ ≠ 0の場合には [6]が成り立ちます。
ν ν + ( 5 / 2 ) < m o d e μ < ν ν + 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}} 特に、モードは常に非心度パラメータμと同じ符号を持ちます。さらに、モードの負の値は、 自由度νは同じだが非心度パラメータが−μである
非心 t分布のモードとまったく同じです。
モードはμとともに厳密に増加します（μを調整すると常に同じ方向に移動します）。極限において、μ → 0のとき、モードは次のように近似されます。
ν 2 Γ ( ν + 2 2 ) Γ ( ν + 3 2 ) μ ; {\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,} また、μ → ∞のとき、モードは次のように近似されます。
ν ν + 1 μ . {\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}
中心 t 分布：中心 t分布は 位置 ／ 尺度 族に変換できます 。この分布族は、データモデリングにおいて、様々な裾の挙動を捉えるために使用されます。中心 t分布の位置／尺度一般化は、この記事で議論されている非心 t 分布とは異なる分布です 。特に、この近似は非心 t 分布の非対称性を尊重しません。しかし、中心 t分布は非心 t 分布の近似として使用できます 。 [7] T が自由度νと非心パラメータμを持つ 非心 t分布であり、 F = T2 の 場合 、 Fは 分子の自由度が1、分母の自由度ν、非心パラメータμ2を持つ 非心 F 分布 を 持ち ます T が 自由度 ν 、非心パラメータ μ および を持つ 非心 t 分布に従う場合 、 Z は 平均 μ と単位分散を持つ正規分布に従います。 Z = lim ν → ∞ T {\displaystyle Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T} 二重非心t分布の 分母 の非心パラメータが0の場合、非心 t 分布になります。
特殊なケース
発生と応用
検出力分析での使用 独立かつ同一分布の標本 X 1 、…、 X n が あり、それぞれが平均θ、分散σ 2の正規分布に従うと仮定します。そして、 帰無仮説 θ = 0と 対立仮説 θ ≠ 0を検定することに関心があります。 検定統計量 を用いて 1標本 t 検定 を行うことができます
T = X ¯ σ ^ / n = X ¯ − θ ( σ / n ) + θ ( σ / n ) ( σ ^ 2 σ 2 / ( n − 1 ) ) / ( n − 1 ) {\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}} ここで 、は標本平均、 は不偏 標本分散 です。2番目の等式の右辺は、 上記の非心 t分布の特徴と完全に一致するため、 Tは自由度 n −1、非心パラメータを 持つ非心 t 分布を持ちます 。 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} σ ^ 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!} n θ / σ {\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}
検定手順が帰無仮説を棄却する場合 、ここでが 事前に指定されたα∈(0, 1)に対する （中心）スチューデント t 分布 の上限α/2分位数である場合、この検定の検出力は次のように与えられます。 | T | > t 1 − α / 2 {\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!} t 1 − α / 2 {\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}
1 − F n − 1 , n θ / σ ( t 1 − α / 2 ) + F n − 1 , n θ / σ ( − t 1 − α / 2 ) . {\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).} 非心 t 分布の同様の応用は、一般的な正規理論 線型モデルの 検出力分析 に見られ 、これには上記の 1標本 t 検定 が特別なケースとして含まれています。
許容区間での使用 片側正規 許容区間は、非心 t 分布 に基づいて、標本平均と標本分散に関して正確な解を持ちます。 [8] これにより、ある信頼水準で、標本母集団の指定された割合が含まれる統計区間を計算することができます。
参照
参考文献 ^ ab Lenth, Russell V (1989). "Algorithm AS 243: Cumulative Distribution Function of the Non-central t Distribution". Journal of the Royal Statistical Society, Series C . 38 (1): 185– 189. JSTOR 2347693 ^ Scharf, L. (1991). 統計的信号処理 . 参考文献: Addison-Wesley. p. 177. ISBN 0-201-19038-9 . ^ Hogben, D; Pinkham, RS; Wilk, MB (1961). 「非心 t 分布のモーメント」. Biometrika . 48 ( 3–4 ): 465–468 . doi :10.1093/biomet/48.3-4.465. hdl : 2027/coo.31924001119068 . JSTOR 2332772. ^ Hedges, Larry V. (1981年6月). 「グラスの効果量推定量と関連推定量のための分布理論」. Journal of Educational Statistics . 6 (2): 107–128 . doi :10.3102/2F10769986006002107. ^ Tothfalusi, Laszlo; Endrenyi, Laszlo (2016年3月1日). 「基準尺度平均生物学的同等性の評価のための正確な手順」. The AAPS Journal . 18 (2): 476–489 . doi : 10.1208 / s12248-016-9873-6 . PMC 4779113 ^ van Aubel, A; Gawronski, W (2003). 「非心分布の解析的性質」. 応用数学と計算 . 141 : 3–12 . doi :10.1016/S0096-3003(02)00316-8. ^ Helena Chmura Kraemer; Minja Paik (1979). 「非心t分布の中心t近似」. Technometrics . 21 (3): 357–360 . doi :10.1080/00401706.1979.10489781. JSTOR 1267759 ^ Derek S. Young (2010年8月). 「tolerance: An R Package for Estimating Tolerance Intervals」. Journal of Statistical Software . 36 (5): 1– 39. ISSN 1548-7660 . 2013年 2月19日 閲覧 . 、p.23
外部リンク Eric W. Weisstein. 「非心スチューデントのt分布」. MathWorld—Wolfram Web Resourceより 生命科学または科学のための高精度計算：非心t分布 カシオ計算機より
離散 一変数
連続 一変数
有界区間 で支持される 半無限 区間 に支持される 実数直線 全体で 支持されている 支持 の種類が変化する
混合単変量
多変量 （結合） 方向性 退化 と特異 族
![{\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7972cec4038f87c7260ec14df8ec820506d215)
![{\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu}{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu}{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{存在しない}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99045700eca611bd7fb16108037fa11b0fd951b5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{存在しない}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{存在しない}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33451ac57f3c884055e037a7f497990f7bfdf874)
