相関関数（量子場理論）

Expectation value of time-ordered quantum operators

量子場の理論において、相関関数（しばしば相関子あるいはグリーン関数と呼ばれる）は、場の演算子の時間順序積の真空期待値である。相関関数は量子場の理論における重要な研究対象であり、 S行列要素などのさまざまな観測量の計算に使用できるが、それ自体は観測可能ではない。相関関数はゲージ不変である必要はなく、また一意でもなく、異なる相関関数が同じS行列を生じ、したがって同じ物理特性を記述するからである。^{[1]相関関数は}ランダム変数間の相関関数と密接に関連しているが、ミンコフスキー時空と量子演算子上で定義される異なるオブジェクトであることには変わりない。

意味

時空における各事象xにおいて単一の場と真空状態を持つスカラー場の理論では、 n点相関関数はハイゼンベルク描像におけるn個の場の演算子の時間順序積の真空期待値である。 ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

ここで、 の時間順序付け演算子 は、より早い時間の場の演算子が、より遅い時間の場の演算子の右側に現れるように、場の演算子を順序付けます。場と状態を相互作用描像に変換することにより、これは^[2]と書き直されます。ここで、は自由理論の基底状態、は作用です。テイラー級数を使用して展開すると、n 点相関関数は、相互作用描像の相関関数の和になり、これはウィックの定理を使用して評価できます。結果として得られる和を図式的に表す方法は、ファインマン図を使用することです。この図では、各項を位置空間ファインマン規則を使用して評価できます。 ${\displaystyle T\{\cdots \}}$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},}$$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle S[\phi ]}$ ${\displaystyle e^{iS[\phi ]}}$

から生じる図式系列は、すべての真空泡図式、つまり外脚を持たない図式の集合である。一方、はちょうどn本の外脚を持つすべての可能な図式の集合によって与えられる。これには真空泡を持つ不連続な図式も含まれるため、その和は次のように因数分解される。 ${\displaystyle \langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$ ${\displaystyle \langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$

(すべてのバブルダイアグラムの合計) (バブルのないすべてのダイアグラムの合計)。 ${\displaystyle \times }$

最初の項は分母の正規化係数と相殺され、n点相関関数は真空泡を除くすべてのファインマン図の合計となる。

$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.}$$

真空泡は含まれませんが、合計には切断されたダイアグラムが含まれます。切断されたダイアグラムとは、少なくとも1つの外部レッグが他のすべての外部レッグと何らかの接続経路で接続されていないダイアグラムです。これらの切断されたダイアグラムを除外することで、代わりに接続されたn点相関関数が定義されます。 $${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}}$$

非連結なダイアグラムは連結されたダイアグラムの積に過ぎないため、これらのダイアグラムには完全な相関関数が持つすべての情報が含まれているため、これらのダイアグラムを直接扱う方が望ましい場合が多い。他のダイアグラムの集合を除外することで、一粒子既約相関関数などの他の相関関数を定義することができる。

経路積分定式では、n点相関関数は関数平均として表される。 $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.}$$

これらは、相関関数に対する生成関数として作用する分割関数 を用いて評価することができる。 ${\displaystyle Z[J]}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

^{同様に、 [注1]}を使用して連結相関関数を生成することができる。 ${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$ $${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

との関係S-マトリックス

散乱振幅は相関関数を用いてLSZ縮約式を通してS行列に関連付けることで計算できる。 $${\displaystyle \langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

ここで、初期状態の粒子は指数関数の符号を持ち、最終状態の粒子はを持つ。相関関数のファインマン図展開におけるすべての項は、各外部脚に対して1つのプロパゲータを持つ。つまり、一方の端が で、もう一方の端が内部頂点 にあるプロパゲータである。この式の意味は、これらの外部脚にクライン・ゴルドン作用素を適用することで明らかになる。 ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle +i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).}$$

これは、外部レッグプロパゲーターを除去し、外部状態をオンシェルに置くことでダイアグラムを切断すると言われています。相関関数からのその他のオフシェル寄与はすべて消滅します。結果として得られるデルタ関数を積分した後、LSZ縮約式に残るのは、外部レッグプロパゲーターが付加された内部点の位置を積分する単なるフーリエ変換演算です。この形式では、縮約式はS行列が、切断された相関関数とオンシェル外部状態のフーリエ変換であることを示しています。 ${\displaystyle x}$

運動量空間相関関数 を直接扱うのが一般的です。これは相関関数のフーリエ変換によって定義され^[3]、慣例的に運動量は図の内側に向けられます。散乱振幅を計算する際に計算すると便利な量は、S行列から行列要素によって定義されます。行列要素は 外部運動量です。LSZ縮約式から、行列要素は、適切に配向された外部運動量を持つ切断された連結運動量空間相関関数と等価であることが分かります^[4]。 ${\displaystyle {\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})}$ $${\displaystyle (2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle \langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}}$$ ${\displaystyle p_{i}}$ $${\displaystyle i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.}$$

非スカラー理論の場合、縮約公式は光子の分極ベクトルやフェルミオンのスピノル状態といった外部状態項も導入する。連結相関関数を用いる必要があるのは、クラスター分解から生じる。これは、大きな距離で起こる散乱過程は互いに干渉しないため、別々に扱うことができるためである。^[5]

参照

• 効果的な行動
• グリーン関数（多体理論）
• 分配関数（数学）
• ソースフィールド

注記

1. の定義における係数は慣例であり、連結されたすべてのファインマン図の和は によって表される。 ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle W'[J]=iW[J]}$

参考文献

1. Manohar, AV (2018). 「有効場の理論入門」. arXiv : 1804.05863 [hep-ph].
2. シュワルツ, MD「7」.量子場の理論と標準模型. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107034730。
3. Năstase, H. (2019). "9".場の量子論入門. ケンブリッジ大学出版局. p. 79. ISBN 978-1108493994。
4. Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "12".量子場の理論（第2版）. John Wiley & Sons. p. 254. ISBN 9780471496847。
5. Weinberg, S. (1995). "6".場の量子論：基礎. 第1巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 270. ISBN 9780521670531。

さらに読む

• Altland, A.; Simons, B. (2006).凝縮物質場の理論. Cambridge University Press .
• Peskin, M.; Schroeder, DV (2018) 『量子場の理論入門』Addison-Wesley .

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