ブールの不等式

Inequality applying to probability spaces

確率論において、ブールの不等式（和界）は、有限または可算な 事象の集合に対して、少なくとも1つの事象が発生する確率は、個々の事象の確率の和よりも大きくならないことを述べています。この不等式は、可算な数の事象のうち少なくとも1つの事象が発生する確率の上限を、個々の事象の確率を用いて示します。ブールの不等式は、発見者であるジョージ・ブールにちなんで名付けられました。^[1]

正式には、可算なイベント集合A ₁、A ₂、A ₃、…に対して、

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

測度論的に言えば、ブールの不等式は、測度（そしてもちろん任意の確率測度）がσ -劣加法性であるという事実から導かれる。したがって、ブールの不等式は確率測度 だけでなく、 を任意の有限測度に置き換えた場合にも、より一般的に成立する。 ${\displaystyle {\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle {\mathbb {P} }}$

証拠

帰納法を用いた証明

ブールの不等式は、帰納法を用いて有限個の事象の集合に対して証明することができる。^[要出典] ${\displaystyle n}$

この場合、 ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

の場合、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

であり、和集合演算は結合的であるので、 ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

以来

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

確率の第一公理により、

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

帰納法を使わない証明

確率空間における事象が与えられているとする。測度の可算加法性は、事象が互いに素な対である場合、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i}).}$

セット

${\displaystyle B_{i}:=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}$

は互いに素である。我々は以下を主張する。 ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}.}$

一つの包含関係は明らかである。実際、すべての i について であるので、したがって。 ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

もう一方の包含については、 が与えられているとします。となる最小の正の整数を書きます。すると。したがって。 ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in A_{k}}$ ${\displaystyle x\in A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}=B_{k}}$ ${\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}$

したがって

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}),}$

ここで、最後の不等式は、すべての i に対して が成り立つことを意味するため成立します。 ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B_{i})\leq \mathbb {P} (A_{i}),}$

ボンフェローニ不等式

有限個の事象に対するブールの不等式は、事象の有限和の確率の特定の上限と下限に一般化することができる。 ^{[2]これらの境界は、}カルロ・エミリオ・ボンフェローニにちなんでボンフェローニ不等式として知られている。ボンフェローニ（1936）を参照。

させて

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

{1, ..., n }内のすべての整数kについて。

では、いつが奇数なのでしょうか: ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

が成り立ち、偶数の場合は次のようになります。 ${\displaystyle K\leq n}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}}$

保持します。

不等式は包含排他原理から導かれ、ブールの不等式は の特殊なケースです。包含排他原理の証明には の有限加法性（および非負性）のみが求められるため、ボンフェローニの不等式はより一般的には成り立ち、 は測度論の意味で任意の有限内容に置き換えられます。 ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

奇数Kの証明

とします。ここで、各 に対してです。これらの分割は標本空間を で表し、各 に対して はそれに含まれるか、それと素です。 ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A_{i}}$

の場合、不等式の両辺に 0 が寄与します。 ${\displaystyle E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}}$ ${\displaystyle E}$

そうでなければ、が のちょうど に含まれると仮定する。すると は不等式の右辺に ちょうど寄与するが、 は に寄与する。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)}$

不等式の左辺に。しかし、パスカルの定理によれば、これは

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{\Big (}{L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}{\Big )}\mathbb {P} (E)}$

望遠鏡で

${\displaystyle {\Big (}1+{L-1 \choose K}{\Big )}\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)}$

したがって、不等式はすべてのイベント に対して成立し、 について合計すると、目的の不等式が得られます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Big )}}$

偶数の証明もほぼ同じである。^[3] ${\displaystyle K}$

例

ランダムサンプルに基づいて5つのパラメータを推定し、各パラメータを個別に制御できるとします。5つのパラメータすべてを95%の確率で良好な推定値にしたい場合、各パラメータに対してどのような処理を行えばよいでしょうか？

各パラメータが良好となる確率を95%以内に調整するだけでは不十分です。なぜなら、「すべてが良好」は各事象「推定値iが良好」の部分集合だからです。この問題はブール不等式を用いて解くことができます。「5つすべてが良好」という事象の補集合を求めることで、この質問を別の条件に置き換えることができます。

P (少なくとも 1 つの推定値が悪い) = 0.05 ≤ P ( A ₁が悪い) + P ( A ₂が悪い) + P ( A ₃が悪い) + P ( A ₄が悪い) + P ( A ₅が悪い)

一つの方法は、それぞれの推定値を0.05/5 = 0.01、つまり1%に等しくすることです。言い換えれば、全体の推定値が95%の確率で正しいことを保証するためには、それぞれの推定値が99%の精度で正確であることを保証しなければなりません（例えば、99%信頼区間を構築するなど）。これは同時推論のボンフェローニ法と呼ばれます。

参照

• 希釈された包含排除原則
• シュッテ・ネスビットの式
• ブール・フレシェ不等式
• 独立した事象の和集合の確率

参考文献

1. ブール、ジョージ（1847年）『論理の数学的分析』哲学図書館、ISBN 9780802201546。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
2. Casella, George; Berger, Roger L. (2002). 統計的推論. Duxbury. pp.  11– 13. ISBN 0-534-24312-6。
3. ベンカテシュ、サントシュ（2012年）『確率論』ケンブリッジ大学出版局、  94～ 99頁、113～ 115頁。ISBN 978-0-534-24312-8。

その他の関連記事

• Bonferroni、Carlo E. (1936)、「Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità」、Pubbl。 DRイスト。素晴らしい。ディサイエンス。経済的。 E Commerciali di Firenze (イタリア語)、8 : 1– 62、Zbl  0016.41103
• ドーメン、クラウス（2003）「抽象チューブによる改良ボンフェローニ不等式。包含・排除型の不等式と恒等式」数学講義ノート、第1826巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、pp. viii+113、ISBN 3-540-20025-8、MR  2019293、Zbl  1026.05009
• ガランボス、ヤノス；シモネッリ、イタロ（1996年）、ボンフェローニ型不等式とその応用、確率とその応用、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. x+269、ISBN 0-387-94776-0、MR  1402242、Zbl  0869.60014
• ガランボス、ヤノス(1977)、「ボンフェローニ不等式」、確率年報、5 (4): 577– 581、doi : 10.1214/aop/1176995765、JSTOR  2243081、MR  0448478、Zbl  0369.60018
• ガランボス、ヤノス(2001) [1994]、「ボンフェローニ不等式」、数学百科事典、EMSプレス

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