ガンマ関数

Extension of the factorial function

ガンマ
実軸の一部に沿ったガンマ関数
一般情報
一般定義	${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$
応用分野	微積分学、数学解析学、統計学、物理学

数学において、ガンマ関数（ Γ、ギリシャ文字の大文字ガンマで表される）は、階乗関数の複素数への最も一般的な拡張です。ダニエル・ベルヌーイによって導出されたガンマ関数は、非正の整数を除くすべての複素数とすべての正の整数に対して定義されています。ガンマ関数は、正の実部を持つ複素数の収束する仮積分によって定義できます。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$関数は、この積分関数の解析接続として複素平面上で定義されます。これは、零点と負の整数を除いて正則な有理型関数であり、負の整数では単純な極を持ちます。

ガンマ関数には零点がないため、逆ガンマ関数 は1/Γ( z ) は整関数です。実際、ガンマ関数は負の指数関数のメリン変換に対応します

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

階乗関数には他にも拡張されたものがありますが、ガンマ関数が最も一般的で有用です。ガンマ関数は、確率、統計、解析的数論、組合せ論の分野における様々な確率分布関数やその他の公式の因子として現れます

動機

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$階乗関数を非整数値に補間します

ガンマ関数は、階乗列の点を結ぶ滑らかな曲線を見つける補間問題の解として見ることができます。これは、 ⁠ ⁠のすべての正の整数値に対して当てはまります。階乗の単純な式x ! = 1 × 2 × ⋯ × x は、 xが正の整数の場合にのみ有効であり、この性質を持つ基本関数はありませんが、ガンマ関数は良い解です。[ 1 ^] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

ガンマ関数は滑らかであるだけでなく、解析的（非正の整数を除く）であり、いくつかの明示的な方法で定義できます。しかし、階乗を拡張する唯一の解析関数ではありません。整数⁠ ⁠など、正の整数でゼロになる任意の解析関数を追加できます。^[1]このような関数は擬ガンマ関数として知られており、最も有名なのはアダマール関数です。^[2] ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ ${\displaystyle m}$

青色のガンマ関数Γ( z )を、緑色のΓ( z )+sin(πz )とともにプロットしています。正の整数における交点に注目してください。どちらも、複素平面上の有理型関数への階乗の有効な拡張です。

より厳しい要件は、シフトされた階乗を補間する関数方程式です 。^{[3] [4]} ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ for all }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

しかし、これは、およびを持つ任意の周期関数（例えば 、⁠⁠ ）による乗算を許容するため、依然として一意の解を与えません。 ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$

この曖昧さを解決する一つの方法は、ボーア・モレルプ定理です。これは、正の実数上で定義された階乗の唯一の補間関数であり、対数的に凸であることを示しています。 ^[5]つまり、凸です。^[6] ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ ${\displaystyle y=\log f(x)}$

定義

主な定義

この表記法はルジャンドルによるものです。^[1]複素数 zの実部が正（）の場合、積分は絶対収束し、第二種オイラー積分として知られています。（第一種オイラー積分はベータ関数です。^[1]） ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

複素平面上のガンマ関数の絶対値（垂直）と偏角（色）

値は次のように計算できます。 ${\displaystyle \Gamma (1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1.\end{aligned}}}$$

部分積分を用いると、次のようになります。を（である限り）および を と認識すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to 0}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Thus we have shown that ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ for any positive integer n by induction.

The identity ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ can be used (or, yielding the same result, analytic continuation can be used) to uniquely extend the integral formulation for ${\displaystyle \Gamma (z)}$ to a meromorphic function defined for all complex numbers z, except integers less than or equal to zero.^[1] It is this extended version that is commonly referred to as the gamma function.^[1]

Alternative definitions

There are many equivalent definitions.

Euler's definition as an infinite product

For a fixed integer ⁠ ${\displaystyle m}$⁠, as the integer ${\displaystyle n}$ increases, we have that^[7] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

If ${\displaystyle m}$ is not an integer then this equation is meaningless since, in this section, the factorial of a non-integer has not been defined yet. However, in order to define the Gamma function for non-integers, let us assume that this equation continues to hold when ${\displaystyle m}$ is replaced by an arbitrary complex number ⁠ ${\displaystyle z}$⁠:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$Multiplying both sides by ${\displaystyle (z-1)!}$ gives $${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1)!&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdot 2\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$This infinite product, which is due to Euler,^[8] converges for all complex numbers ${\displaystyle z}$ except the non-positive integers, which fail because of a division by zero. In fact, the above assumption produces a unique definition of ${\displaystyle \Gamma (z)}$ as ⁠ ${\displaystyle (z-1)!}$⁠.

Intuitively, this formula indicates that ${\displaystyle \Gamma (z)}$ is approximately the result of computing ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ for some large integer ⁠ ${\displaystyle n}$⁠, multiplying by ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ to approximate ⁠ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$⁠, and then using the relationship ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ backwards ${\displaystyle n+1}$ times to get an approximation for ${\displaystyle \Gamma (z)}$; and furthermore that this approximation becomes exact as ${\displaystyle n}$ increases to infinity.

逆数の無限積は整関数であり、すべての複素数zに対して収束します。 $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$

ワイエルシュトラスの定義

ワイエルシュトラスによるガンマ関数の定義は、非正整数を除くすべての複素数に対しても有効です 。ここではオイラー・マスケロニ定数です。^[1]これはのアダマール積を書き直したものです。 ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$

3つの定義の同値性の証明

積分定義とワイエルシュトラス定義の同値性 積分定義、関係式、およびアダマール因数分解定理により、ある定数に対して、は位数 の整関数であるため成り立ちます。 として（またはの整数倍）であり、 であるため成り立ちます。 ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{c_{1}z+c_{2}}\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {z}{n}}}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle 1/\Gamma }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z\Gamma (z)\to 1}$ ${\displaystyle z\to 0}$ ${\displaystyle c_{2}=0}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-c_{1}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}}\right)\right)\\&=\exp \left(\lim _{N\to \infty }\left(\log(N+1)-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$ 、ある整数 に対して成り立ちます。として であるため成り立ちます。 ${\displaystyle c_{1}=\gamma +2\pi ik}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma (z)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle k=0}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {z}{n}}}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}$$ ワイエルシュトラス定義とオイラー定義の同値性 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }e^{z\left(\log(n+1)-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-\cdots -{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {e^{z\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}}{\left(1+z\right)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\left(1+z\right)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right)}}e^{z\log \left(n+1\right)}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!(n+1)^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}\end{aligned}}}$$

性質

一般

上記で議論した基本的な性質に加えて、ガンマ関数の他の重要な関数方程式は、 を意味するオイラーの反射公式と、ルジャンドル複製公式です。 $${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

オイラーの反射公式の導出

証明1 オイラーの無限積を用いてを計算します 。最後の等式は既知の結果です。同様の導出はワイエルシュトラス定義から始まります。 $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1+1/n)^{z}}{1+z/n}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1-z)\Gamma (z)}}={\frac {1}{(-z)\Gamma (-z)\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-z/n)(1+z/n)}{(1+1/n)^{-z}(1+1/n)^{z}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi z}{\pi }}\,,}$$ 証明2 まず、正の向きの長方形輪郭を考えます。頂点は⁠ ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠です。次に、留数定理により、を、長方形の上辺上の類似の積分とします。次に、および⁠ ⁠ ⁠となります。が長方形の右辺を表す場合、ある定数に対して、および⁠ ⁠ ⁠なので、積分は⁠ ⁠ ⁠に近づきます。同様に、長方形の左辺上の積分は⁠ ⁠ ⁠に近づきます。したがって、から 、そして、すべてに対する反射公式を証明することは、解析接続によってすべてに対して証明されます。 $${\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{a-1}}{1+v}}\,dv={\frac {\pi }{\sin \pi a}},\quad a\in (0,1).}$$ ${\displaystyle C_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle -R}$ ${\displaystyle R+2\pi i}$ ${\displaystyle -R+2\pi i}$ ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}}\,dz=-2\pi ie^{a\pi i}.}$$ $${\displaystyle I_{R}=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}}\,dx}$$ ${\displaystyle I_{R}'}$ ${\displaystyle I_{R}\to I}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ ${\displaystyle I_{R}'=-e^{2\pi ia}I_{R}}$ ${\displaystyle A_{R}}$ $${\displaystyle \left|\int _{A_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}}\,dz\right|\leq \int _{0}^{2\pi }\left|{\frac {e^{a(R+it)}}{1+e^{R+it}}}\right|\,dt\leq Ce^{(a-1)R}}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a<1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ $${\displaystyle I-e^{2\pi ia}I=-2\pi ie^{a\pi i},}$$ $${\displaystyle I={\frac {\pi }{\sin \pi a}},\quad a\in (0,1).}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{-z}\,du=t\int _{0}^{\infty }e^{-vt}(vt)^{-z}\,dv,\quad t>0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)\Gamma (1-z)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-t(1+v)}v^{-z}\,dv\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{-z}}{1+v}}\,dv\\&={\frac {\pi }{\sin \pi (1-z)}}\\&={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\quad z\in (0,1).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z\in (0,1)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

ルジャンドルの重複公式の導出

ベータ関数は次のように表すことができます $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.}$$ と設定すると ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=z}$ $${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.}$$ 置換後： ${\displaystyle t={\frac {1+u}{2}}}$ $${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{z-1}\,du.}$$ 関数は偶数なので、 ${\displaystyle (1-u^{2})^{z-1}}$ $${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}$$ 今 $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}.}$$ それから $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}$$ これは次のことを意味します $${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right).}$$ ルジャンドルの重複公式は次式に従うため ： $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

重複公式は乗法定理の特殊な場合です（  ^[9]式5.5.6を参照）： $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

極限定義からわかる、単純だが有用な性質は次のとおりです。 $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

特に、z = a + biの場合、この積は $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

実部が整数または半整数の場合、これは閉じた形で有限に表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

実部が整数または半整数の引数に対する絶対値公式の証明

まず、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle z=bi}$に適用される鏡映公式を考えます。第2項に漸化式を適用すると、簡単な整理で次のようになります 。 $${\displaystyle \Gamma (bi)\Gamma (1-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}}$$ $${\displaystyle -bi\cdot \Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{-bi\sin \pi bi}}={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}}$$ 次に、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+bi}$に適用される鏡映公式を考えます。 $${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma \left(1-({\tfrac {1}{2}}+bi)\right)=\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi ({\tfrac {1}{2}}+bi)}}={\frac {\pi }{\cos \pi bi}}={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}}$$ 実部が整数または半整数である他の値の公式は、正方向と負方向の漸化式を用いた帰納法によってすぐに導き出されます ${\displaystyle z}$

非整数引数におけるガンマ関数の最もよく知られた値はおそらく でしょう。これは、反射公式に を設定するか、下記のベータ関数との関係を⁠ ⁠と用いるか、あるいは単にガンマ関数の積分定義にを代入してガウス積分 を得ることで得られます。一般に、 の非負整数値に対しては、以下の式が成り立ちます。ここで、二重階乗⁠ ⁠です。計算値については、 「ガンマ関数の特定の値」を参照してください。 $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle t=u^{2}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

が有理数である他の個々の値に対する式を求めることで、 という結果を一般化することは魅力的であるかもしれない。特に、ガウスのディガンマ定理によれば、あらゆる有理数において密接に関連するディガンマ関数に対してそうすることが可能だからである。しかし、これらの数は、それ自体では基本関数を用いて表現できることは知られていない。 は超越数であり、任意の整数および各分数に対して から代数的に独立であることが証明されている。[ ^10]一般に、ガンマ関数の値を計算する場合、数値近似で妥協しなければならない。 ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

ガンマ関数の導関数は、 ポリガンマ関数ψ ⁽⁰⁾ ( z )で表されます。正の整数 mに対して、ガンマ関数の導関数は次のように計算できます。 $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

−2 − 2 iから6 + 2 iまでの複素平面におけるガンマ関数の偏角を示す色

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ここで、H(m) は m 次の調和数、γはオイラー・マスケローニ定数です

ガンマ関数の 階微分は、次の通りです。 （これは、ガンマ関数の積分形を について微分し、積分記号 の下での微分法を用いることで導出できます。） ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$ ${\displaystyle z}$

はリーマンゼータ関数、は階ベル多項式である恒等式を用いて 、ガンマ関数のローラン級数展開を特に得ることができます^[11]。 $${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$ ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

不等式

正の実数に限定すると、ガンマ関数は厳密に対数的に凸な関数です。この性質は、次の3つの同値な方法のいずれかで述べることができます。

• 任意の2つの正の実数と、および任意のに対して、 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• 任意の2つの正の実数と、および> ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• 任意の正の実数⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$に対して、 $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

これらの最後の記述は、本質的に定義により、 という記述と同じです。ここで、は1次のポリガンマ関数です。したがって、ガンマ関数の対数凸性を証明するには、 が正の実数xに対して、正の項のみで構成される級数表現を持つことを観察するだけで十分です。 ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

対数凸性とジェンセンの不等式を合わせると、任意の正の実数と に対して、 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

ガンマ関数の比にも上界があります。最もよく知られているのはガウチの不等式で、任意の正の実数xと任意のs ∈ ( 0, 1)に対して、 $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

スターリングの公式

複素平面におけるガンマ関数の表現。各点はの偏角に応じて色分けされています。係数の等高線図も表示されます。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

複素ガンマ関数の絶対値の3次元プロット

増加する正の実変数に対するの挙動は、スターリングの公式で与えられます。 ここで、記号は漸近収束を意味します。つまり、両辺の比は の極限で1に収束します。^[1]この増加は、 の任意の固定値に対して、 指数関数的な よりも速くなります。 ${\displaystyle \Gamma (x)}$ $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

の漸近近似のもう1つの有用な極限は次のとおりです。 ${\displaystyle x\to +\infty }$ $${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

誤差項を無限積として表す場合、スターリングの公式を使用してガンマ関数を定義できます。^[12] $${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right]}$$

負の非整数値への拡張

ガンマ関数の主な定義である第二種オイラー積分は、（実軸上で）正の引数に対してのみ有効ですが、その定義域は、オイラーの反射公式、またはのときの基本的性質のいずれかを使用して負の引数を正の値にシフトすることにより、解析接続^[13]によって負の引数に拡張できます。例えば、 $${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$ $${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$ ${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

留数

非正の整数に対する挙動はより複雑です。オイラー積分は に対して収束しませんが、正の複素半平面で定義される関数は、負の半平面への唯一の解析接続を持ちます。解析接続を見つける1つの方法は、正の引数に対してオイラー積分を使用し、漸化式[1]を繰り返し適用して定義域を負の数に拡張することです。 ^[1]は、 が正となるように選択します。が整数のいずれかに等しい場合、分母の積はゼロになります。したがって、ゼロ除算を避けるために、ガンマ関数はこれらの点で未定義でなければなりません。これは、非正の整数に単純な極を持つ有理型関数です。 [ 1 ] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

複素変数 の関数について、単純な極における の留数は次のように与えられます ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

単極 の場合、漸化式は次のように書き直すことができます。 ⁠ ⁠における分子は、分母は です。したがって、これらの点におけるガンマ関数の留数は次のようになります。^[14]ガンマ関数は実数直線上のどこでもゼロではありませんが、z → −∞のときに任意にゼロに近づきます。実際には となる複素数は存在しないため、逆ガンマ関数はでゼロとなる整関数となります。^[1] ${\displaystyle z=-n}$ $${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$ ${\displaystyle z=-n}$ $${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$ $${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

最小値と最大値

実数直線上では、ガンマ関数はz _min ≈ +1.46163 21449 68362 34126 ^[15]で極小値を持ち、 Γ( z _min ) ≈ +0.88560 31944 10888 70027の値を獲得します。^{[16]ガンマ関数はこの最小値のどちら側でも上昇します。} Γ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5)の解はz = +1.5であり、共通の値はΓ(1) = Γ(2) = +1です。 Γ( z − 1) = Γ( z + 1)の正の解はz = φ ≈ +1.618、黄金比であり、共通の値はΓ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φです。 ≈ +1.44922 96022 69896 60037 . ^[17]

ガンマ関数は、非正整数において極の符号が交互に変わる必要があります。これは、前方回帰式における積は、極の数が奇数の場合に奇数の負の因子を含み、極の数が偶数の場合に偶数の負の因子を含むためです。[ ^14] 非正整数間の実軸に沿ったガンマ関数の極値の値は次のとおりです。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( −0.50408 30082 64455 40925... ^[18] ) = −3.54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1.57349 84731 62390 45877... ^[19] ) = 2.30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2.61072 08684 44144 65000... ^[20] ) = −0.88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3.63529 33664 36901 09783... ^[21] ) = 0.24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4.65323 77617 43142 44171... ^[22] ) = −0.05277 96395 87319 40076...など

積分表現

第二種オイラー積分の他にも、ガンマ関数を積分として表す公式は数多くあります。例えば、zの実部が正の場合、^[23]と^{[24]で、3つの積分はそれぞれ、オイラーの第二積分の[25]}、^[26]の置換から得られます。特に最後の積分は、半整数引数におけるガンマ関数とガウス積分の関係を明確に示しています。つまり、 $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=cx^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$ $${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

Binet's first integral formula for the gamma function states that, when the real part of z is positive, then:^[27] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$The integral on the right-hand side may be interpreted as a Laplace transform. That is, $${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

Binet's second integral formula states that, again when the real part of z is positive, then:^[28] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Let C be a Hankel contour, meaning a path that begins and ends at the point ∞ on the Riemann sphere, whose unit tangent vector converges to −1 at the start of the path and to 1 at the end, which has winding number 1 around 0, and which does not cross [0, ∞). Fix a branch of ${\displaystyle \log(-t)}$ by taking a branch cut along [0, ∞) and by taking ${\displaystyle \log(-t)}$ to be real when t is on the negative real axis. Assume z is not an integer. Then Hankel's formula for the gamma function is:^[29] $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$where ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ is interpreted as ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$. The reflection formula leads to the closely related expression $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$again valid whenever z is not an integer.

Continued fraction representation

The gamma function can also be represented by a sum of two continued fractions:^[30][31] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$where ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$.

Fourier series expansion

The logarithm of the gamma function has the following Fourier series expansion for ${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$which was for a long time attributed to Ernst Kummer, who derived it in 1847.^[32][33] However, Iaroslav Blagouchine discovered that Carl Johan Malmsten first derived this series in 1842.^[34][35]

Raabe's formula

In 1840 Joseph Ludwig Raabe proved that $${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$In particular, if ${\displaystyle a=0}$ then $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$$

後者は、上記の乗算公式の対数を取ることで導出でき、これは被積分関数のリーマン和の式を与えます。の極限を取ると、次の式が得られます。 ${\displaystyle a\to \infty }$

円周率関数

ガウスによって導入された別の表記法は、ガンマ関数のシフト版である -関数です。したがって、すべての非負整数⁠ ⁠に対して、となります ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

π関数を用いると、鏡映関数の公式は 正規化されたsinc関数を用いると次のようになります。一方、乗法定理は次のようになります。 $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

シフトされた逆ガンマ関数は整関数と表記される ${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}}$こともあります。

半径r⁻¹ _、 …、r⁻¹のn楕円体の体積は次のように表すことができます 。 $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

他の関数との関係

• ガンマ関数を定義する最初の積分では、積分の極限は固定されています。上不完全ガンマ関数は、積分の下限を変化させることによって得られます。同様の下不完全ガンマ関数があります。 $${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$
• ガンマ関数は、オイラーのベータ関数と次の式で関連付けられています。 $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• ガンマ関数の対数微分はディガンマ関数と呼ばれ、高次の微分はポリガンマ関数と呼ばれます。
• 有限体または有限環上のガンマ関数の類似物は、指数和の一種であるガウス和です
• 逆ガンマ関数は整関数であり、特定のトピックとして研究されてきました。
• ガンマ関数は、リーマンゼータ関数との重要な関係にも現れます。また、次の式にも現れます。これは に対してのみ有効です ${\displaystyle \zeta (z)}$ $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$ $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$ ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  ガンマ関数の対数は、レルヒにより次の式を満たします。ここで、はフルヴィッツゼータ関数、はリーマンゼータ関数、プライム（′）は第1変数における微分を表します。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$ ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• ガンマ関数は、引き伸ばされた指数関数と関連しています。例えば、その関数のモーメントは $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

特定の値

小数点以下20桁まで含めると、ガンマ関数の特定の値は次のとおりです。 （これらの数値はOEISに掲載されています。^{[36] [37] [38] [39] [40] [41]}ここで示されている値は四捨五入ではなく切り捨てです。）複素数値ガンマ関数は非正整数に対しては定義されていませんが、これらの場合、リーマン球面上では∞として定義できます。逆ガンマ関数はこれらの値（および複素平面全体） で明確に定義され、解析的です。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

対数ガンマ関数

解析関数logΓ( z )

ガンマ関数と階乗関数は、中程度の大きさの引数に対して非常に急速に増大するため、多くのコンピューティング環境には、ガンマ関数の自然対数を返す関数が含まれています。プログラミング環境やスプレッドシートでlgammaは、この関数は自然対数を返すことがよくあります。この関数は増大がはるかに緩やかで、組み合わせ計算では、非常に大きな値を乗算したり除算したりする代わりに、対数値を加算したり減算したりすることができます。これは多くの場合、次のように定義されます^[42]lngammagammaln $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

この関数の微分であるディガンマ関数もよく見られます。技術的および物理的な応用、例えば波動伝播の文脈では、関数方程式は $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$

−2 − 2i
から2 + 2iまでの複素平面における対数ガンマ関数（色付き）

は、 zの幅1の1つの帯状の関数値を隣接する帯状の関数値から決定できるため、よく使用されます。特に、 実部が大きいzに対する良好な近似から始めて、目的のzまで段階的に小さくすることができます 。カール・フリードリヒ・ガウスの指示に従って、ロックテシェル（1922）はlogΓ( z )に対して、大きなRe( z )に対する近似を提案しました。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

これは、（PEBöhmer, 1939）を介して 、 Re( z )が小さいzに対してlogΓ( z )を正確に近似するために使用できます。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

スターリング近似に基づくlogΓ( z )とΓ( z )の漸近展開からより多くの項を使用することで、より正確な近似を得ることができます $${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

定数| arg( z ) | < πで| z | → ∞となる。（ OEISのシーケンスA001163とA001164を参照。）

より「自然な」表現： $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

定数| arg( z ) | < πで| z | → ∞となる。（ OEISのシーケンスA046968とA046969を参照。）

最後の展開におけるz ^{1− k}のk > 1の項の係数は、単にB _kがベルヌーイ数である。 $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

ガンマ関数には、スターリング級数（ 1900年にシャルル・エルミートによって導出された）^[43]に等しい。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

性質

ボーア＝モレルプの定理は、階乗関数を正の実数に拡張したすべての関数の中で、ガンマ関数だけが対数凸関数、つまりその自然対数が正の実軸上で凸関数であることを述べています。別の特徴付けは、ヴィーラントの定理によって与えられます。

ガンマ関数は、同時に

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$、
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$非正整数を除くすべての複素数に対して、そして、 ${\displaystyle z}$
3. 整数nに対して、すべての複素数に対して。^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

ある意味では、対数ガンマ関数の方がより自然な形です。関数の固有の属性のいくつかがより明確になります。顕著な例は、1の周りのlogΓのテイラー級数です。 ここで、 ζ ( k )はkにおけるリーマンゼータ関数を表します。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

したがって、次の性質を用いると、対数ガンマ関数の積分表現は次のようになります。または、z = 1を設定してγの積分を得る場合、 γ項をその積分に置き換え、それを上記の式に組み込むと、次のようになります。 $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

有理数zに対するガンマ関数の対数には特別な公式も存在します。例えば、zとzが整数で、かつ ⁠ ⁠ の場合、[44] この公式は、積分関数が非常に急速に減少するため、数値計算で使用されることがあります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$

対数ガンマの積分

この積分は、 Barnes G関数^{[45] [46]}で表すことができます（証明についてはBarnes G関数を参照）。 ここで、Re( z ) > −1 です。 $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$

これは、 Hurwitzゼータ関数で表すこともできます。^{[47] [48]} $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

となる場合、となり 、これはRaabeの公式の結果でもあります。O. EspinosaとV. Mollは、の平方積分について同様の式を導出しました。^[49]ここで、はです。 ${\displaystyle z=1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

DH Baileyと共著者^{[50] は、} Tornheim–Wittenゼータ関数とその導関数を用いて、 のときの評価を与えました 。 $${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$ ${\displaystyle n=1,2}$

さらに、^{[51]であることも知られています。} $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

近似

ガンマ関数（青線）と階乗（青点）およびスターリング近似（赤線）の比較

ガンマ関数の複素値は、スターリング近似またはランチョス近似を使用して近似できます。 これは、| z |が無限大に 近づくにつれて、近似値と真の値の比が極限で 1 に近づくという意味で正確です。 $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

ガンマ関数は、オイラー積分に 部分積分を適用することにより、固定精度で計算できます。任意の正の数xに対して、ガンマ関数は次のように書き表すことができます。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Re( z )∈[1,2]かつのとき、最後の積分の絶対値はより小さくなります。十分に大きな を選択することにより、この最後の式は任意の所望の値 に対してより小さくすることができます。したがって、ガンマ関数は上記の級数を用いてビットの精度で評価できます。 ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

任意の代数的引数（有理数を含む）に対するオイラーガンマ関数を計算するための高速アルゴリズムは、EA Karatsubaによって構築されました。^{[52] [53] [54]}

の整数倍である引数については、1/24⁠、ガンマ関数は算術平均・幾何平均反復法を用いて迅速に評価することもできます（ガンマ関数の特定の値を参照）。 ^[55]

実用的な実装

正規分布などの他の多くの関数とは異なり、ガンマ関数に対して容易に実装できる、明白で高速かつ正確な実装は容易に見つかりません。したがって、潜在的な解決策を調査す​​る価値があります。速度が精度よりも重要な場合は、Online Wiley Libraryなどのインターネット検索で、公開されている表を簡単に見つけることができます。このような表は線形補間で使用できます。3次補間を使用すると、計算オーバーヘッドは大きくなりますが、より高い精度が得られます。表は通常、1から2までの引数値に対して公開されているため、この特性を利用して、すべての実数値とを範囲に迅速かつ簡単に変換し、1から2までの表形式の値のみを使用すれば済みます。^[56] ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z>2}$ ${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$ ${\displaystyle z}$

補間表が望ましくない場合は、上記のランチョス近似は、一般的に使用される小さなzの値に対して1桁から2桁の精度でうまく機能します。ランチョス近似の精度が十分でない場合は、ガンマ関数のスターリングの式を使用できます。

アプリケーション

ある著者はガンマ関数を「おそらく最も一般的な特殊関数、あるいは最も『特別』でない関数である。他の超越関数は[…]多くの専門的な数学の話題を避けることで、それらの一部を避けることができると考えられるため、『特別』と呼ばれている。一方、ガンマ関数Γ( z )は避けるのが最も難しい。」^{[57]と述べている。}

積分問題

ガンマ関数は、量子物理学、天体物理学、流体力学など、多様な分野で応用されている。^[58]ガンマ関数を用いて定式化されるガンマ分布は、統計学において、地震の発生間隔など、幅広いプロセスをモデル化するために使用される。[ 59 ^]

このような文脈でガンマ関数が有用である主な理由は、 時間または空間において指数関数的に減少する過程を記述するタイプの表現が広く普及していることです。このような表現の積分は、基本解が存在しない場合に、ガンマ関数を用いて解くことができます。例えば、fがべき関数でgが線形関数である場合、単純な変数変換によって次の評価が得られます。 ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

積分が正の実数直線全体にわたって実行されるという事実は、ガンマ関数が無限に続く時間依存過程の累積を記述していることを意味している可能性があります。あるいは、その値は無限空間における分布の合計である可能性があります。

もちろん、有限過程の累積を記述するために、0と∞以外の積分の極限を取ることはしばしば有用です。その場合、通常のガンマ関数はもはや解ではありません。その解は不完全ガンマ関数と呼ばれます。（正の実数直線全体にわたって積分することによって得られる通常のガンマ関数は、対比のために完全ガンマ関数と呼ばれることがあります。）

指数関数的に減少する関数の重要なカテゴリは、誤差関数のようなガウス関数とその積分です。これらの関数とガンマ関数の間には多くの相互関係があり、特に、評価によって得られる因子は、誤差関数と正規分布の正規化因子に見られるものと「同じ」です $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

これまで議論してきた積分は超越関数を含んでいますが、ガンマ関数は純粋に代数的な関数の積分からも生じます。特に、代数方程式で定義される曲線である楕円とレムニスケートの弧長は、楕円積分によって与えられ、特殊な場合にはガンマ関数を用いて評価できます。ガンマ関数は、 n次元超球面の「体積」と「面積」を計算するためにも使用できます。

積の計算

ガンマ関数の階乗積を一般化する能力は、数学の多くの分野、例えば組合せ論、さらには確率論やべき級数の計算などの分野への応用にすぐにつながります。連続する整数の積を含む多くの式は、階乗の組み合わせとして表すことができます。最も重要な例はおそらく二項係数でしょう。例えば、 | z | < 1の任意の複素数zとnに対して、 nが非負の整数である場合の二項係数によく似た式を書くことができます 。 $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$ $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

二項係数の例は、ガンマ関数を負の数に拡張した場合の性質が自然である理由を示しています。二項係数は、 n個の要素の集合からk個の要素を選択する方法の数を与えます。k > nの場合、もちろん方法はありません。k > n の場合、( n − k ) !は負の整数の階乗であり、したがってガンマ関数の階乗の定義を用いると無限大になります。つまり、無限大で割ると期待値は0になります

階乗をガンマ関数に置き換えることで、このような式を複素数に拡張することができます。一般的に、これは、各因数が添字変数の有理関数である任意の積に対して、有理関数を一次式に因数分解することによって機能します。PとQがそれぞれ根p ₁ , ..., p _mとq ₁ , ..., q _nを持つm次とn次の単項多項式である場合、次の式が成り立ちます $${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

ガンマ関数を数値的に計算する方法があれば、そのような積の数値を計算するのは非常に簡単です。右辺のガンマ関数の数は多項式の次数のみに依存するため、b − a が5であるか10 ⁵であるかは関係ありません。適切な極限を取ることで、左辺の積に零点や極が含まれている場合でも、方程式を成立させることができます。

極限を取ることで、無限個の因数を持つ特定の有理積もガンマ関数で評価できます。ワイエルシュトラスの因数分解定理により、解析関数は無限積として表すことができ、これらはガンマ関数の有限積または商として表すこともできます。すでに1つの顕著な例を見ました。反射公式は、基本的に正弦関数を2つのガンマ関数の積として表します。この式から始めて、指数関数だけでなく、すべての三角関数と双曲線関数もガンマ関数で表すことができます

超幾何関数とその特殊な場合を含む、さらに多くの関数は、ガンマ関数の積と商の複素積分、いわゆるメリン・バーンズ積分によって表すことができます。

解析的整数論

ガンマ関数の応用の一つに、リーマンゼータ関数の研究があります。リーマンゼータ関数の基本的な性質は、その関数方程式です。 $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

とりわけ、これは複素平面上の有理型関数へのゼータ関数の解析接続の明示的な形を提供し、ゼータ関数が実数直線上に無限個のいわゆる「自明な」零点を持つことを即座に証明します。Borweinらはこの式を「数学における最も美しい発見の一つ」と呼んでいます。^[60]この称号にふさわしいもう一つの候補は、 $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

どちらの公式も、ベルンハルト・リーマンが1859年に発表した画期的な論文「与えられた大きさより小さい素数の個数について」（ Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe ）で導き出されました。これは、数学的解析のツールを用いて素数を研究する数学の分野である解析的数論の発展における画期的な出来事の1つです。

歴史

ガンマ関数は、歴史上最も著名な数学者の何人かの関心を集めてきました。その歴史は、フィリップ・J・デイビスが1963年のショーヴネ賞を受賞した論文で特に記録されており、18世紀以降の数学における多くの主要な発展を反映しています。デイビスの言葉を借りれば、「各世代はガンマ関数について興味深いことを発見してきました。おそらく次の世代もそうするでしょう。」^[1]

18世紀：オイラーとスターリング

ダニエル・ベルヌーイからクリスチャン・ゴールドバッハへの手紙（1729年10月6日）

階乗を非整数の引数に拡張する問題は、 1720年代にダニエル・ベルヌーイとクリスチャン・ゴールドバッハによって初めて検討されたようです。特に、1729年10月6日付のベルヌーイからゴールドバッハへの手紙の中で、ベルヌーイは負の整数以外の実数xに対して明確に定義された積表現^{[61]を導入しました} $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

レオンハルト・オイラーは後に2つの異なる定義を与えた。1つ目は彼自身の積分ではなく、負の整数を除く すべての複素数nに対して明確に定義される無限積であり、 彼は1729年10月13日付の手紙でゴールドバッハにそのことを伝えた。彼は1730年1月8日に再びゴールドバッハに手紙を書き、複素数nの実部が-1よりも確実に大きい場合（すなわち）に有効な積分表現を発見したことを発表した。変数変換t = -ln sにより、これはよく知られているオイラー積分となる。オイラーは、 1729年11月28日にサンクトペテルブルクアカデミーに提出した論文「De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt」（「超越数列、すなわち一般項を代数的に与えることができないものについて」）でその結果を発表しました。 ^[62]オイラーはさらに、反射公式を含むガンマ関数の重要な関数特性のいくつかを発見しました。 $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$ $${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$ ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

オイラーと同時代のジェームズ・スターリングも階乗の連続表現を見つけようと試み、現在スターリングの公式として知られるものを考案しました。スターリングの公式はn !の良好な推定値を与え、非整数に対しても正確な値を与えるわけではありません。この誤差を修正する彼の公式の拡張は、スターリング自身とジャック・フィリップ・マリー・ビネによって与えられました。

19世紀：ガウス、ワイエルシュトラス、ルジャンドル

オイラーの論文の最初のページ

カール・フリードリヒ・ガウスはオイラーの積を と書き直し、この式を用いてガンマ関数の新しい性質を発見しました。オイラーは複素変数理論の先駆者でしたが、複素数の階乗についてはガウスが最初に考慮したようには考えていなかったようです。^[63]ガウスはまた、ガンマ関数の乗法定理を証明し、ガンマ関数と楕円積分の関係を調査しました。 $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

カール・ワイエルシュトラスは、 γがオイラー・マスケローニ定数 である、さらに別の積表現から出発して、複素解析におけるガンマ関数の役割をさらに確立しましたワイエルシュトラスは当初、積を ⁠のものとして書きました。 $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$1/Γ⁠、この場合、関数の極ではなく零点に渡されます。この結果に触発されて、彼はワイエルシュトラスの因数分解定理として知られるものを証明しました。これは、任意の関数全体が複素平面における零点の積として表せるというものです。これは代数学の基本定理の一般化です。

ガンマ関数という名称と記号Γは、1811年頃にアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって導入されました。ルジャンドルはまた、オイラーの積分定義を現代的な形に書き直しました。記号はギリシャ語の大文字のガンマですが、関数名を「ガンマ関数」と書くべきか「ガンマ関数」と書くべきかについての標準的な標準はありません（一部の著者は単に「Γ関数」と書きます）。ガウスによる代替の「π関数」表記Π( z ) = z !は、古い文献で時々見られますが、現代の著作ではルジャンドルの表記が主流です

「通常の階乗」とガンマ関数を異なる記号で区別する必要がある理由、特にガンマ関数を単に「Γ(n) = n! 」ではなく「Γ(n + 1) = n! 」と正規化する必要がある理由を問うのは当然です。指数の表記法x nが、整数から複素数 x z にそのまま一般化されていることを考えてみてください。^{ルジャンドル}がこの^正規化を行った動機は不明であり、一部の人からは煩雑だと批判されています（例えば、20世紀の数学者コルネリウス・ランチョスはこれを「合理性を欠いている」と呼び、代わりにz !を使用しました）。^[64]ルジャンドルの正規化はいくつかの式を簡素化しますが、他の式を複雑にします。現代的な観点から見ると、ガンマ関数のルジャンドル正規化は、リー群R ⁺上のハール測度に関して、加法特性e ^{− x}と乗法特性x ^zの積分ですしたがって、この正規化により、ガンマ関数がガウス和の連続的な類似物であることがより明確になります。^[65] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

19世紀～20世紀：ガンマ関数の特徴付け

ガンマ関数には多数の定義が与えられていることに、多少の問題がある。それらは同じ関数を記述しているにもかかわらず、その等価性を証明するのは必ずしも容易ではない。スターリングは、彼の拡張された公式がオイラーのガンマ関数と完全に一致することを証明したことはない。証明は1900年にシャルル・エルミートによって初めて与えられた^。[66]それぞれの公式に特化した証明を求めるのではなく、ガンマ関数を同定する一般的な方法が存在することが望ましい。

同値性を証明する一つの方法は、ガンマ関数を特徴付ける微分方程式を見つけることです。応用数学における特殊関数のほとんどは、微分方程式の解として現れ、その解は一意です。しかし、ガンマ関数は単純な微分方程式を満たさないように見えます。オットー・ヘルダーは1887年、ガンマ関数が少なくとも代数微分方程式を満たさないことを証明しました。これは、そのような方程式の解がガンマ関数の漸化式を満たさず、超越的超越関数になることを示したためです。この結果はヘルダーの定理として知られています。

ガンマ関数の明確かつ一般的に適用可能な特徴付けは1922年まで示されていませんでした。ハラルド・ボーアとヨハネス・モレルプは、ボーア・モレルプ定理として知られるものを証明しました。すなわち、ガンマ関数は、正のzに対して正かつ対数的に凸であり、1における値が1である階乗漸化式に対する唯一の解であるということです（関数の対数が凸である場合、その関数は対数的に凸です）。別の特徴付けは、ヴィーラントの定理によって与えられます

ボーア＝モレルプ定理は、ガンマ関数を定義するために使用される様々な式のいずれにおいても、対数凸性を証明するのが比較的容易であるため有用です。さらに、ガンマ関数を特定の式で定義する代わりに、ボーア＝モレルプ定理の条件を定義として選択し、その条件を満たす任意の式をガンマ関数の研究の出発点として選ぶことができます。このアプローチはブルバキ・グループによって使用されました。

ボーウェインとコーレスは、ガンマ関数に関する3世紀にわたる研究をレビューしています。^[67]

参照表とソフトウェア

ヤーンケとエムデ著『高等関数表』より、複素ガンマ関数の絶対値の手描きグラフ [de]

ガンマ関数は、現代のコンピュータ（プログラム可能なポケット電卓でさえ）を使えば、数学的に単純な関数とほぼ同じくらい簡単に計算できますが、もちろん常にそうだったわけではありません。20世紀半ばまで、数学者は手書きの表に頼っていました。ガンマ関数の場合、特に1813年にガウスが計算した表と1825年にルジャンドルが計算した表が有名です。^[68]

ガンマ関数の複素数値の表と手描きのグラフは、 1909年にドイツで最初に出版されたヤーンケとエムデ による「 Tables of Functions With Formulas and Curves 」に掲載されています。マイケル・ベリーによると、「複素平面におけるガンマ関数の極を示す3次元グラフがJ&Eに掲載されたことは、ほぼ象徴的な地位を獲得した。」^[69]

1930年代まで、ガンマ関数の実数値以外の実用的なニーズはほとんどありませんでした。1950年代に複素ガンマ関数の応用が理論物理学で発見されるまでは。1950年代に電子計算機が表の作成に利用可能になると、複素ガンマ関数の詳細な表がいくつか出版され、需要を満たすようになりました。その中には、米国国立標準規格協会による小数点以下12桁の精度の表も含まれていました。^[1]

JanhkeとEmdeによる有名な複素グラフ（Tables of Functions with Formulas and Curves、第4版、Dover、1945年）の再現。-4.5 - 2.5iから4.5 + 2.5iまでのガンマ関数のグラフです

ガンマ関数とその対数の倍精度浮動小数点実装は、TK Solver、Matlab、GNU Octave、GNU Scientific Libraryなど、ほとんどの科学計算ソフトウェアと特殊関数ライブラリで利用可能です。ガンマ関数はC標準ライブラリ（math.h）にも追加されました。任意精度実装は、MathematicaやMapleなど、ほとんどのコンピュータ代数システムで利用可能です。PARI /GP、MPFR、MPFUNには、無料の任意精度実装が含まれています。Windows CalculatorやGNOME Calculatorなどの一部のソフトウェア計算機では、入力xが整数値以外の場合、階乗関数はΓ( x + 1)を返します。 ^{[70] [71]}

関連項目

• 昇順階乗
• カーン・メリン積分
• 楕円ガンマ関数
• レムニスケート定数
• 擬ガンマ関数
• アダマールのガンマ関数
• 逆ガンマ関数
• ランチョス近似
• 多重ガンマ関数
• 多変数ガンマ関数
• p進ガンマ関数
• ポッホハマーのk記号
• ポリガンマ関数
• qガンマ関数
• ラマヌジャンのマスター定理
• スポージの近似
• スターリングの近似
• バーガヴァの階乗

注釈

1. Davis, PJ (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function". American Mathematical Monthly . 66 (10): 849– 869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. 2012年11月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2016年12月3日閲覧。
2. "Is the Gamma function misdefined? Or: Hadamard versus Euler — Who found the better Gamma function?"
3. Beals, Richard; Wong, Roderick (2010). Special Functions: A Graduate Text. Cambridge University Press. p. 28. ISBN 978-1-139-49043-6。28ページの抜粋
4. Ross, Clay C. (2013). Differential Equations: An Introduction with Mathematica (illustrated edition). Springer Science & Business Media. p. 293. ISBN 978-1-4757-3949-7。293ページの式G.2
5. Kingman, JFC (1961). 「正行列の凸性」. The Quarterly Journal of Mathematics . 12 (1): 283– 284.書誌コード:1961QJMat..12..283K. doi :10.1093/qmath/12.1.283.
6. Weisstein, Eric W.「ボーア・モレルプ定理」. MathWorld .
7. Davis, Philip. 「レオンハルト・オイラーの積分：ガンマ関数の歴史的概要」(PDF) . maa.org .
8. Bonvini, Marco (2010年10月9日). 「ガンマ関数」( PDF) . Roma1.infn.it
9. Askey, RA ; Roy, ​​R. (2010)、「級数展開」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
10. Waldschmidt, M. (2006). 「周期の超越：最先端技術」（PDF） . Pure Appl. Math. Quart . 2 (2): 435– 463. doi : 10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 . 2006年5月6日時点のオリジナルからのアーカイブ（PDF） 。
11. 「$z=0$付近のガンマ関数のローラン展開を得るには？」. Mathematics Stack Exchange . 2022年8月17日閲覧
12. Artin, Emil (2015). The Gamma Function . Dover. p. 24.
13. Oldham, Keith; Myland, Jan; Spanier, Jerome (2010). 「第43章 ガンマ関数」An Atlas of Functions (第2版). New York, NY: Springer Science & Business Media. ISBN ${\displaystyle \Gamma (\nu )}$ 9780387488073。
14. Weisstein, Eric W.「ガンマ関数」. MathWorld .
15. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A030169 (y = Gamma(x) が最小値となるような実数 x の小数展開)」. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation
16. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A030171 (y = Gamma(x) が最小となる実数 y の小数展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
17. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A178840 (黄金比の階乗の小数展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
18. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A175472 (区間 [ -1, 0] におけるガンマ関数の極大値の横座標の絶対値の小数展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation
19. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A175473 (区間 [ -2, -1] におけるガンマ関数の極小値の横座標の絶対値の小数展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
20. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A175474 (区間 [ -3, -2] におけるガンマ関数の極大値の横座標の絶対値の小数展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation
21. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A256681 (区間 [-4, -3] におけるガンマ関数の極小値の [負の] 横座標の 10 進展開)」. オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
22. ^ Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A256682 (区間 [-5, -4] におけるガンマ関数の極大の[負の] 横座標の 10 進展開)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation
23. Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2007). Table of Integrals, Series, and Products (Seventh ed.). Academic Press. p. 893. ISBN 978-0-12-373637-6.
24. Whittaker and Watson, 12.2 example 1.
25. Detlef, Gronau. 「ガンマ関数はなぜそうなっているのか？」(PDF) . Imsc.uni-graz.at .
26. Pascal Sebah, Xavier Gourdon. 「ガンマ関数入門」(PDF) . Numbers Computation . 2023年1月30日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2023年1月30日閲覧。
27. Whittaker and Watson, 12.31.
28. Whittaker and Watson, 12.32.
29. Whittaker and Watson, 12.22.
30. 「指数積分E：連分数表現（式06.34.10.0005）」
31. 「指数積分E：連分数表現（式06.34.10.0003）」
32. ベイトマン、ハリー；エルデーリ、アーサー (1955).高等超越関数．マグロウヒル．OCLC 627135.  
33. スリヴァスタヴァ、HM；チョイ、J. (2001).ゼータ関数および関連関数に関するシリーズ．オランダ：クルーワー・アカデミック．ISBN   0-7923-7054-6。
34. ブラグーチン、イアロスラフ・V. (2014). 「マルムステン積分の再発見、等高線積分法による評価、および関連する結果」．ラマヌジャン誌．35 ( 1): 21–110 . doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474
35. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). 「マルムステン積分の再発見、等高線積分法による評価、および関連するいくつかの結果」への訂正と補遺」. Ramanujan J. 42 ( 3): 777– 781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685.
36. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A245886 (ガンマ(-3/2) の十進展開、ここでガンマはオイラーのガンマ関数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation
37. スローン、N. J. A.（編）「数列A019707（sqrt(Pi)/5の10進展開）」。オンライン整数列百科事典。OEIS財団
38. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A002161 (円周率の平方根の10進展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation.
39. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A019704 (sqrt(Pi)/2 の10進展開)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation
40. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A245884 (ガンマ(5/2)の10進展開。ガンマはオイラーのガンマ関数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
41. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A245885 (ガンマ(7/2)の10進展開。ガンマはオイラーのガンマ関数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
42. 「対数ガンマ関数」. Wolfram MathWorld . 2019年1月3日閲覧
43. 「レオンハルト・オイラーの積分：ガンマ関数の歴史的概要」（PDF）。2014年9月12日時点のオリジナルからアーカイブ（PDF） 。 2022年4月11日閲覧。
44. Blagouchine, Iaroslav V. (2015). 「有理数引数における最初の一般化スティルチェス定数の閉形式の評価といくつかの関連する総和に関する定理」Journal of Number Theory . 148 : 537–592 . arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009
45. Alexejewsky, WP (1894). 「ガンマ関数に類似した関数のクラスについて」ライプツィヒ・ワイドマン出版. 46 : 268–275
46. G関数の理論」. Quart. J. Math . 31 : 264–314 .
47. Adamchik, Victor S. (1998). "Polygamma functions of negative order". J. Comput. Appl. Math . 100 (2): 191–199 . doi : 10.1016/S0377-0427(98) 00192-7
48. Gosper, RW (1997 ) . 「特殊関数、q級数および関連トピック」. J. Am. Math. Soc . 14 ${\displaystyle \textstyle \int _{n/4}^{m/6}\log F(z)\,dz}$
49. Espinosa, Olivier; Moll, Victor H. (2002). 「フルヴィッツ・ゼータ関数を含むいくつかの積分について：パート1」The Ramanujan Journal . 6 (2): 159– 188. doi :10.1023/A:1015706300169. S2CID  128246166
50. Bailey, David H.; Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2015). 「オイラー対数ガンマ積分とTornheim-Wittenゼータ関数について」. The Ramanujan Journal . 36 ( 1–2 ): 43–68 . doi :10.1007/s11139-012-9427-1. S2CID  7335291.
51. Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Manna, Dante V.; Moll, Victor H. (2011). 「loggamma のべき乗の積分」Proc. Amer. Math. Soc . 139 (2): 535–545 . doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 .
52. EA Karatsuba, 超越関数の高速評価. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No. 4, pp. 339–360 (1991).
53. EA Karatsuba, 超越関数の高速評価のための新しい手法について. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246–247 (1991).
54. EA Karatsuba「高速アルゴリズムとFEE法」
55. Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). 「第一種完全楕円積分を用いた小さな有理分数のガンマ関数の高速評価」IMA Journal of Numerical Analysis . 12 (4): 519– 526. doi :10.1093/IMANUM/12.4.519.
56. Werner, Helmut; Collinge, Robert (1961). 「ガンマ関数のチェビシェフ近似」Math. Comput . 15 (74): 195– 197. doi :10.1090/S0025-5718-61-99220-1. JSTOR  2004230
57. Michon, GP「三角法と基本関数」Wayback Machineで2010年1月9日にアーカイブ。Numericana。 2007年5月5日閲覧。
58. Chaudry, MA; Zubair, SM (2001). On A Class of Incomplete Gamma Functions with Applications . Boca Raton: CRC Press. p. 37. ISBN 1-58488-143-7。
59. Rice, JA (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis (Second ed.). Belmont: Duxbury Press. pp.  52– 53. ISBN 0-534-20934-3。
60. Borwein, J.; Bailey, DH & Girgensohn, R. (2003). Experimentation in Mathematics . AK Peters. p. 133. ISBN 978-1-56881-136-9。
61. 「自然階乗n!の補間、または実階乗関数の誕生（1729年 - 1826年）」。
62. オイラーの論文はCommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57に掲載されました。E19「De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt」（オイラー・アーカイブより）を参照してください。原著論文のスキャンコピーが含まれています。
63. Remmert, R. (2006).複素関数論の古典的話題. Kay, LD 訳. Springer. ISBN 978-0-387-98221-2。
64. Lanczos, C. (1964). 「ガンマ関数の高精度近似」. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis . 1 (1): 86. Bibcode :1964SJNA....1...86L. doi :10.1137/0701008.
65. Ilker Inam; Engin Büyükaşşk (2019). Notes from the International Autumn School on Computational Number Theory. Springer. p. 205. ISBN 978-3-030-12558-5。205ページの抜粋
66. Knuth, DE (1997).コンピュータプログラミングの芸術第1巻（基礎アルゴリズム）. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4。
67. Borwein, Jonathan M. ; Corless, Robert M. (2017). 「月刊誌におけるガンマと階乗」. American Mathematical Monthly . 125 (5). Mathematical Association of America: 400–24 . arXiv : 1703.05349 . Bibcode :2017arXiv170305349B. doi :10.1080/00029890.2018.1420983. S2CID  119324101.
68. 「ガンマ関数の歴史とは？」. yearis.com . 2022年11月5日閲覧.
69. Berry, M. (2001年4月). 「特殊関数はなぜ特別なのか？」. Physics Today
70. "microsoft/calculator". GitHub . 2020年12月25日閲覧。
71. "gnome-calculator". GNOME.org . 2023年3月3日閲覧。

• この記事には、 Citizendiumの記事「ガンマ関数」の資料が組み込まれています。この記事はクリエイティブ・コモンズ 表示-継承3.0 非移植ライセンスの下でライセンスされていますが、 GFDLの下ではライセンスされていません。

さらに読む

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・A. 編 (1972)「第6章」『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』ニューヨーク：ドーバー。
• アンドリュース、GE、アスキー、R.、ロイ、R. (1999).「第1章（ガンマ関数とベータ関数）」.特殊関数. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-78988-2。
• エミル・アルティン(2006).「ガンマ関数」. ローゼン、マイケル (編).エミル・アルティンによる解説：選集. 数学史. 第30巻. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会
• アスキー, R.、ロイ, R. (2010), 「ガンマ関数」.オルバー, フランク W.、ロジエ, ダニエル M.、ボワヴェール, ロナルド F.、クラーク, チャールズ W. (編) 著, NIST 数学関数ハンドブック, ケンブリッジ大学出版局, ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• バーコフ、ジョージ・D. (1913). 「ガンマ関数に関するノート」. Bull. Amer. Math. Soc . 20 (1): 1– 10. doi : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . MR  1559418.
• ベーマー, PE (1939).微分方程式と定積分.ライプツィヒ: ケーラー出版
• デイビス、フィリップ・J. (1959). 「レオンハルト・オイラーの積分：ガンマ関数の歴史的概要」アメリカ数学月刊誌. 66 (10): 849–869 . doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• ポスト、エミール (1919). 「一般化ガンマ関数」. Annals of Mathematics . 第2集. 20 (3): 202–217 . doi :10.2307/1967871. JSTOR  1967871
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「セクション6.1. ガンマ関数」.数値レシピ：科学計算の芸術（第3版）. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88068-8。
• Rocktäschel, OR (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument .ドレスデン：ドレスデン工科大学.
• Temme, Nico M. (1996). Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics . New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3。
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). A Course of Modern Analysis . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2
• Li, Xin; Chen, Chao-Ping (2017). 「ガンマ関数の漸近性に関連するパデ近似」. J. Inequal. Applic . 2017 (1): 53. doi : 10.1186/s13660-017-1315-1 . PMC  5331117. PMID  28303079.

外部リンク

• NIST数学関数デジタルライブラリ：ガンマ関数
• Pascal SebahとXavier Gourdon.ガンマ関数入門。PostScriptとHTML形式。
• std::tgammaのC++リファレンス
• Postgresバージョン18でC99から公開されたgamma()とlgamma()
• ガンマ関数に関する問題の例は、Exampleproblems.comでご覧いただけます
• 「ガンマ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994]
• Wolframガンマ関数評価器（任意精度）Wayback Machineに2019年10月28日アーカイブ
• 「ガンマ」。Wolfram関数サイト
• MathPagesのn次元球面の体積とガンマ関数

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gamma_function&oldid=1321165161"