路盤

Collection of subsets that generate a topology

数学の位相幾何学において、位相空間( X , τ )の位相τの部分基底（または部分基底、前基底、前基底）とは、を開集合として含む最小の位相という意味でを生成するの部分集合である。一部の著者は若干異なる定義を用いており、この定義には他の有用な同等の定式化が存在する。これらについては以下で論じる。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$

サブベースは、トポロジのベースの概念よりも弱い概念です。

意味

を位相空間とし、の位相Aの部分基底は通常、次の 3 つの同値条件のいずれかを満たす の部分集合として定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle \tau }$は を含む最小の位相である。を含む任意の位相にはも含まれている必要がある。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau ^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. ${\displaystyle \tau }$を含むすべての位相の交差である ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$
3. の開集合の集合と の元の有限交点の集合は、 の基底を形成する。^{[1] [注 1]}これは、のすべての適切な開集合はの元の有限交点の和集合として表すことができることを意味する。明示的に、開集合内の点が与えられたとき、これらの集合の交点が を含み、 に含まれるようなの集合が有限個存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subsetneq X,}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$

さらに が をカバーすると仮定するか、または零項交差規則を使用する場合は、3 番目の定義に を含める必要はありません。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

が のサブベースである場合、 が位相を生成すると言います。この用語は、上記の 2 番目または 3 番目の定義を使用してを明示的に構築することに由来します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$

部分基底の元は部分基底（開）集合と呼ばれる。部分基底集合からなる被覆は部分基底（開）被覆と呼ばれる。

冪集合の任意の部分集合に対して、 を部分基底とする位相が一意に存在します。これは、 を含む 上のすべての位相の共通部分です。しかし、一般に逆は成り立ちません。つまり、与えられた位相に対して一意の部分基底は存在しません。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

このように、固定された位相から始めてその位相の部分基底を求めることもできるし、また、冪集合の任意の部分集合から始めて、その部分集合によって生成される位相を形成することもできる。上記のどちらの等価な定義も自由に用いることができる。実際、多くの場合、3つの条件のうちの1つが他の条件よりも有用である。 ${\displaystyle \wp (X)}$

代替定義

あまり一般的ではないが、サブベースのわずかに異なる定義が与えられており、サブベースが^[2]を覆うことを要求する 。この場合、は に含まれるすべてのセットの和集合である。これは、定義におけるヌル集合の交差の使用に関して混乱が生じないことを意味する。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

しかし、この定義は必ずしも上記の3つの定義と等価ではありません。位相 の部分集合を持つ位相空間が存在し、そのような位相空間で は を含む最小の位相ですが、 はをカバーしません。例えば、とに対してを持つ位相空間を考えてみましょう。明らかにはの部分基底ですが、が少なくとも 個の元を持つ限りははカバーしません。実際には、これはまれなケースです。例えば、少なくとも2つの点を持ち、T ₁分離公理を満たす空間の部分基底は、その空間のカバーでなければなりません。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{p\},X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\}\}}$ ${\displaystyle p\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$

例

任意の部分集合（空集合を含む）によって生成される位相は、自明な位相と等しい。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

が上の位相でがの基底である場合、によって生成される位相はである。したがって、位相の任意の基底は の部分基底でもある。が の任意の部分集合である 場合、 によって生成される位相はの部分集合となる。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau .}$

実数 上の通常の位相は、またはの形式の半無限開区間すべてからなる部分基底を持つ。ここで、 と は実数である。これらを合わせると通常の位相が生成される。なぜなら、 の共通部分は通常の位相を生成するからである。2つ目の部分基底は、 とが有理数である部分族を取ることで形成される。2つ目の部分基底も通常の位相を生成する。なぜなら、 が有理数である開区間は通常のユークリッド位相の基底となるからである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (b,\infty ),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$

の形の半無限開区間全体からなる部分基底（ただしは実数）は、通常の位相を生成しない。結果として得られる位相は、を含むすべての開集合が も含む場合、T ₁分離公理を満たさない。 ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

各関数が位相を持つ関数の族によって定義される上の初期位相は、各 が連続となるような 上の最も粗い位相である。連続性は開集合の逆像によって定義できるため、これは 上の初期位相が、のすべての開部分集合上の範囲となるすべての を部分基底として取ることによって与えられることを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i},}$

Two important special cases of the initial topology are the product topology, where the family of functions is the set of projections from the product to each factor, and the subspace topology, where the family consists of just one function, the inclusion map.

The compact-open topology on the space of continuous functions from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ has for a subbase the set of functions $${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$where ${\displaystyle K\subseteq X}$ is compact and ${\displaystyle U}$ is an open subset of ${\displaystyle Y.}$

Suppose that ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a Hausdorff topological space with ${\displaystyle X}$ containing two or more elements (for example, ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ with the Euclidean topology). Let ${\displaystyle Y\in \tau }$ be any non-empty open subset of ${\displaystyle (X,\tau )}$ (for example, ${\displaystyle Y}$ could be a non-empty bounded open interval in ${\displaystyle \mathbb {R} }$) and let ${\displaystyle \nu }$ denote the subspace topology on ${\displaystyle Y}$ that ${\displaystyle Y}$ inherits from ${\displaystyle (X,\tau )}$ (so ${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$). Then the topology generated by ${\displaystyle \nu }$ on ${\displaystyle X}$ is equal to the union ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ (see the footnote for an explanation),^{[note 2]}where ${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$ (since ${\displaystyle (X,\tau )}$ is Hausdorff, equality will hold if and only if ${\displaystyle Y=X}$). Note that if ${\displaystyle Y}$ is a proper subset of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ is the smallest topology on ${\displaystyle X}$ containing ${\displaystyle \nu }$ yet ${\displaystyle \nu }$ does not cover ${\displaystyle X}$ (that is, the union ${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$ is a proper subset of ${\displaystyle X}$).

Results using subbases

One nice fact about subbases is that continuity of a function need only be checked on a subbase of the range. That is, if ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a map between topological spaces and if ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a subbase for ${\displaystyle Y,}$ then ${\displaystyle f:X\to Y}$ is continuous if and only if ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ is open in ${\displaystyle X}$ for every ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ A net (or sequence) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ converges to a point ${\displaystyle x}$ if and only if every subbasic neighborhood of ${\displaystyle x}$ contains all ${\displaystyle x_{i}}$ for sufficiently large ${\displaystyle i\in I.}$

Alexander subbase theorem

The Alexander Subbase Theorem is a significant result concerning subbases that is due to James Waddell Alexander II.^[3] The corresponding result for basic (rather than subbasic) open covers is much easier to prove.

Alexander subbase theorem:^[3][1] Let ${\displaystyle (X,\tau )}$ be a topological space, and ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ be a subbase of ${\displaystyle \tau .}$ If every cover of ${\displaystyle X}$ by elements from ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ has a finite subcover, then ${\displaystyle X}$ is compact.

この定理の逆も成り立つ（の元によるの被覆はすべて の開被覆であるため） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

を位相空間とし、をのサブベースとします。がコンパクトであれば、からの要素によるのすべてのカバーには有限のサブカバーが存在します。 ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

証拠

矛盾を避けるために、空間はコンパクトではない（つまり無限集合はコンパクトではない）と仮定するが、 からのすべての部分基底被覆は有限部分被覆を持つ。の有限部分被覆を持たない の開被覆全体の集合を と表記する。 は部分集合包含によって 部分的に順序付けられ、ゾルンの補題を用いての最大元となる元を求める 。以下の点に注意する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$ の定義によりはの開被覆であり、 が被覆するの有限部分集合は存在しない(したがって特に は無限である)。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ におけるの最大性は、が の開集合であって、 が有限部分被覆を持つ場合 、の有限部分集合に対して という形式になることを意味している（この有限部分集合は の選択に依存する）。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\not \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cup \{V\}}$ ${\displaystyle \{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle V}$ まず、が の被覆ではないことを示す。 がの被覆であると 仮定する。特に がの元による の被覆であることを意味する 。 の定理の仮定は、 の有限部分集合が存在し、 がの元によるの有限部分被覆でもあることを意味する（ より）。しかし、これは がを被覆しないことを証明する と矛盾する。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X.}$ は をカバーしないので、 によってカバーされない（つまり、のどの元にも含まれない）が存在する。しかし、は をカバーするので、のようなも存在する。 従って が成り立つ。そうでなければ はの有限部分被覆、つまり と矛盾する部分被覆を持つことになるからである。 とはの位相（と共に）を生成する部分基底なので、 によって生成される位相の定義から、 を持つ部分基底開集合の有限集合が存在し、そのような集合が存在するはずである。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle U\neq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U\}=\{X\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$ ${\displaystyle U\neq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ $${\displaystyle x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.}$$ ここで、背理法により、任意の について、 がである 場合、 も となるため、 が によってカバーされることを意味し、これは がどのようにが選択されたかと矛盾します ( はによってカバーされないように特別に選択されたことを思い出してください)。 ${\displaystyle S_{i}\not \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x\in S_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ 前述のように、におけるの最大性は、任意のに対して、の有限部分集合が存在し、それがの有限被覆を形成することを意味する。の有限部分集合であると 定義する 。任意のに対してはの有限被覆である ことに注目し、したがって、任意のを次のように置き換える。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}.}$ （ の開部分集合）のすべての集合の和集合をで表し、 がにおけるの補集合を で表すものとします。 任意の部分集合に対して がを覆うことと、その場合に限ります 。特に、任意 のに対してが を覆うという事実は、 が任意であることを意味します。 が成り立つ ことを思い出してください。したがって はの被覆であることと同等です 。 さらに、は の有限被覆です。したがって にはの有限部分被覆があり、はという事実と矛盾します。 したがって、 がコンパクトではないという最初の仮定は間違っているはずであり、これはがコンパクトであることを証明しています。 ${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subseteq A.}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subseteq S_{i}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.}$ ${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,}$ ${\displaystyle Z\subseteq U,}$ ${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

この証明はツォルンの補題を用いているが、選択原理の完全な適用を必要としない。代わりに、中間的な超濾過原理に依拠している。^[3]

この定理を上記の部分基底と組み合わせることで、 における有界閉区間がコンパクトであることを非常に簡単に証明できます。より一般的には、空でないコンパクト空間の積がコンパクトであることを述べるティコノフの定理は、アレクサンダー部分基底定理を用いれば簡単に証明できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

証拠

上の積位相は、定義により、ある因子における開集合の逆射影である円筒集合からなる部分基底を持つ。有限部分被覆を持たない積の部分基底族が与えられれば、与えられた因子空間に対応する円筒集合からなる部分族に分割することができる。仮定により、が有限部分被覆を持たない場合、 は有限部分被覆を持たない。 が円筒集合であるため、 への射影には有限部分被覆がなく、それぞれがコンパクトであるため、の への射影によって覆われない点を見つけることができる。しかし、 はによって覆われない。 ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\cup _{i}C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ 最後のステップでは、選択公理（実際にはゾルンの補題と同等）を暗黙的に使用して、 ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}.}$

参照

• ベース（トポロジー）  - トポロジーを定義するために使用される開集合の集合

注記

1. ルディンの定義は我々の定義よりも一般性に欠ける。なぜなら、事実上、 が を覆うことを要求しているからである（以下の「代替定義」の節を参照）。ここではこの要求を省略し、 がの任意の部分集合であると仮定する。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$
2. は 上の位相であり、はの開部分集合であるため、が 上の位相であることは容易に証明できます。特に、は であるため、和集合と有限集合交差に関して閉じています。しかし、は上の位相ではないため、 は を含む 上の最小の位相であることは明らかです。 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X\not \in \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$

引用

1. Rudin 1991、p. 392 付録A2。
2. ムンクレス 2000、82ページ。
3. Muger, Michael (2020).働く数学者のための位相幾何学.

参考文献

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966). 『トポロジー』 ボストン: アリン・アンド・ベーコン. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485。
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

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