最高平均値法

最高平均値法、除数法、または分割と四捨五入法^[1]は、議席配分規則の一種であり、議会の議席を複数のグループ（政党や州など）に公平に分配するためのアルゴリズムです。 ^[1]^[2]より一般的には、除数法は、合計の一部を固定分母（例えば、合計が100になるパーセンテージポイント）の分数に四捨五入するために使用されます。 ^[2]

これらの方法は、各政党の議席数と得票数の比率（または除数）を一定にすることで、議員が均等な数の有権者を代表するようにし、有権者を平等に扱うことを目的としています。 ^[3]^{: 30}このような方法では、得票数を議席あたりの得票数で割って最終的な配分を求めます。これにより、比例代表制が維持され、例えば得票数が2倍の政党は、約2倍の議席を獲得します。^[3]^{: 30}

除数法は、一般的に社会選択理論家や数学者によって最大剰余法よりも好まれています。なぜなら、ほとんどの指標でより比例的な結果を生み出し、配分パラドックスの影響を受けにくいからです。^[3]^[4]^[5]^[6]特に、除数法は最大剰余法とは異なり、人口パラドックスとスポイラー効果を回避します。^[5]

歴史

除数法は、各州の代表者を3万人につき1人までとするという憲法上の要件を満たすために、トーマス・ジェファーソンによって初めて考案されました。彼の解決策は、各州の人口を3万人で割り、切り捨てることでした。^[3]^{: 20}

配分は、特に表面的には合理的な多くの四捨五入規則に欠陥があることが発覚した後、議会で大きな議論の的となった。 ^[3]^{: 20}比例代表制の導入後、ヨーロッパでも同様の議論が起こったが、これは典型的には大政党が小政党の参入に基準やその他の障壁を設けようとしたことが原因だった。 ^[7]こうした配分は、1870 年の再配分で議会が共和党の州を有利にするために場当たり的な配分を使ったように、しばしば重大な結果をもたらす。 ^[8]各州の選挙人投票の合計がその州の獲得権利と正確に等しかった場合、または議会がウェブスター方式または最大剰余方式（1840 年以来使用されていた）を使用していた場合、1876 年の選挙はヘイズではなくティルデンが勝利していただろう。^[8]^[9]^[3]^{: 3, 37}

定義

これらの方法には、それぞれ異なる考え方、つまり「最高平均値」と「除数」という2つの名称が付けられています。これらは、それぞれが独立して考案された2つの方法論を反映しています。しかし、どちらの手順も同等であり、同じ答えが得られます。^[1]

除数法は、 $k$ $\leq post($ $k$ $) \leq$ $k$ $+1$ を満たす、記号列 $post ($ $k$ $)を用いて定義される$ 丸め規則に基づいています。各記号は自然数の境界を示し、その記号より小さい数値は切り捨てられます。^[2]

除数手続き

除数法は、除数または選挙人枠を求めることで議席を配分する。この除数は、政党が議会で1議席を追加獲得するために必要な票数、選挙区の理想的な人口、あるいは各議員が代表する有権者数と考えることができる。^[1]

各議員が同数の有権者を代表している場合、各州の議席数は人口を除数で割ることで算出できます。^[1]しかし、議席配分は整数でなければならないため、特定の州の議席配分を求めるには、除算後に（サインポスト法を用いて）四捨五入する必要があります。したがって、各政党の議席配分は以下の式で表されます。^[1]

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

通常、除数は当初、ヘア・クォータと等しくなるように設定されます。しかし、この手順では議席数が多すぎたり少なすぎたりする可能性があります。この場合、各州への配分は議会全体の規模と一致しません。適切な除数は試行錯誤によって見つけることができます。^[10]

最高平均値手順

最高平均アルゴリズムでは、各政党は議席を0から開始します。その後、各反復において、最も高い平均得票数を持つ政党、つまり議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を割り当てます。この方法は、すべての議席が割り当てられるまで続行されます。^[1]

しかし、議席を割り当てる前に投票平均を見るのが良いのか、議席を割り当てた後の平均がどうなるのか、あるいは連続性補正で妥協すべきなのかは不明です。これらのアプローチはそれぞれ、わずかに異なる配分をもたらします。^[1]一般的に、平均はサインポストシーケンスを使用して定義できます。

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

最高平均法では、各政党は議席を0から開始します。その後、各反復において、最も高い平均得票数を持つ政党、つまり議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を割り当てます。この方法は、すべての議席が割り当てられるまで続けられます。^[1]

具体的な方法

すべての除数法は共通の手順を採用していますが、指標となる順序の選択、ひいては四捨五入のルールが異なります。最初の指標が0である方法では、少なくとも1票を獲得したすべての政党が、どの政党も2議席目を獲得する前に議席を獲得することに注意してください。実際には、これは通常、何らかの選挙基準によって失格しない限り、すべての政党が少なくとも1議席を獲得する必要があることを意味します。^[2]

除数の公式
方法	道標	座席の丸め	おおよその最初の値
アダムス	$け$	上	$0.00 1.00 2.00 3.00$
ディーン	$2÷( .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ k + 1 ⁄ k +1 )$	ハーモニック	$0.00 1.33 2.40 3.43$
ハンティントン・ヒル	${\sqrt {k(k+1)}}$	幾何学的	$0.00 1.41 2.45 3.46$
定常（例： $r = 1 ⁄ 3$ ）	$k + r$	加重	$0.33 1.33 2.33 3.33$
ウェブスター/サント・ラグエ	$k + 1 ⁄ 2$	算術	$0.50 1.50 2.50 3.50$
検出力平均（例： $p = 2$ ）	${\textstyle {\sqrt[{p}]{(k^{p}+(k+1)^{p})/2}}}$	パワー平均	$0.71 1.58 2.55 3.54$
ジェファーソン/ドント	$k + 1$	下	$1.00 2.00 3.00 4.00$

ジェファーソン（ドント）法

トーマス・ジェファーソンは1792年に初めて除数法を提案しました。^[1]その後、1878年にベルギーの政治学者ヴィクトル・ドントによって独自に開発されました。この方法では、投票終了時に最も代表者が少ないリストに代表者が割り当てられます。^[1]これは今日でも比例代表制において最も一般的な方法です。 ^[1]

ジェファーソンの方法は、（1、2、3、…）という数列を使用するため、 ^[11]常に政党の配分を切り捨てることを意味します。^[1] $\operatorname {post} (k)=k+1$

ジェファーソンの議席配分は、理想的な枠の下限を下回ることはなく、議会における過剰代表の最悪のケースを最小限に抑えます。^[1]しかし、他のほとんどの比例基準で判断すると、そのパフォーマンスは低くなります。^[12]このルールは、通常、大政党に過剰な議席を与え、議席シェアはしばしばその議席数を切り上げたものを超えます。^[3]^{: 81}

この病理は、ジェファーソンの方式ではニューヨーク州の40.5議席を42議席に「切り上げて」しまう可能性があることが判明すると、ジェファーソンの方式に対する広範な嘲笑を招き、マロン・ディッカーソン上院議員は、その追加議席は「亡くなった議員の亡霊」から生まれるに違いないと述べた。^[3]^{: 34}

アダムス法

アダムズ方式は、ジェファーソン方式では小規模な州に議席が少なすぎることに気づいたジョン・クィンシー・アダムズによって考案された。 ^[13]これはジェファーソン方式の逆とも言える。つまり、新しい議席が追加される前に、議席あたりの得票数が最も多い政党に議席を与える。除数は $post(k) = k$ であり、これは常に切り上げとなる。^[12]

アダムズの配分は、理想的な枠の上限を超えることはなく、最悪の場合の過少代表を最小限に抑えます。^[1]しかし、ジェファーソンの方法と同様に、アダムズの方法は、ほとんどの比例基準で不十分な結果を示しています。^[12]また、下限議席数に違反することがよくあります。^[14]

アダムズの方法は、ケンブリッジ妥協案の一部として提案され、逓減比例性を満たすことを目的として、加盟国への欧州議会の議席の配分について提案された。^[15]

ウェブスター (サントラグエ) 法

サント＝ラグー法、あるいはウェブスター法は、1832年にアメリカの政治家で上院議員のダニエル・ウェブスターによって初めて提唱され、後に1910年にフランスの数学者アンドレ・サント＝ラグによって独立して提唱された。この方法では、フェンスポスト列 $post(k) = k +.5$ （すなわち0.5、1.5、2.5）が用いられる。これは標準的な丸め規則に対応する。同様に、奇数（1、3、5…）を用いて平均値を計算することもできる。^[1]^[16]

ウェブスター方式は、ほぼすべての不正確さの基準において、ジェファーソン方式よりも適切な比例配分を生み出す。^[17]そのため、政治学者や数学者は、少なくとも操作が困難または可能性が低い状況（大規模な議会など）では、ドント方式よりもウェブスター方式を好む傾向がある。^[18]また、非常に少数の議席を獲得した政党を扱う場合でも、議席の偏りを最小限に抑えることができることでも注目に値する。 ^[19]ウェブスター方式は理論的には理想的なフレームに違反する可能性があるが、これは中規模議会でも非常にまれである。米国の議会の議員定数配分において、ウェブスター方式がクォータに違反したことは一度も確認されていない。^[18]

閾値のない小規模な選挙区では、政党はウェブスター選挙区を操作するために、複数のリストに分割し、各リストがヘアークォータの票数よりも少ない票数で議席を獲得するように仕向けることができます。この問題に対処するために、最初の除数をわずかに大きく（多くの場合0.7または1）変更し、暗黙の閾値を設定することがよくあります。^[20]

ハンチントン・ヒル法

ハンティントン・ヒル法では、サインポスト列は $post(k) = \sqrt k (k +1)$ であり、これは隣接する数の幾何平均です。概念的には、この方法は相対差（パーセント）が最小となる整数に切り上げます。例えば、2.47と3の差は約19%ですが、2との差は約21%なので、2.47が切り上げられます。この方法は、米国下院の議席を各州に割り当てる際に用いられます。^[1]

ハンティントン＝ヒル方式は、ウェブスター方式と非常によく似た結果をもたらす傾向があるが、各州または政党に少なくとも1議席を保証するという点が異なる（最高平均値方式§ゼロ議席配分参照）。下院の議席配分に初めて使用された際、この2つの方式は同一の結果となった。2度目に使用された際には、ミシガン州またはアーカンソー州に1議席ずつ割り当てられるという点のみが異なっていた。^[3]^{: 58}

特性の比較

ゼロ議席配分

ハンティントン＝ヒル法、ディーン法、アダムス法はいずれも最初のフェンスポストの値が0であるため、平均値は∞となる。したがって、閾値がなければ、少なくとも1票を獲得したすべての政党は、少なくとも1議席を獲得することになる。^{[1]この特性は、望ましい場合（}州に議席を割り当てる場合など）もあれば、望ましくない場合（選挙で政党名簿に議席を割り当てる場合など）もあり、望ましくない場合は、最初の除数を調整して自然な閾値を作成することができる。^[21]

バイアス

議席偏向の指標は数多く存在する。ウェブスター法は「唯一」偏りがないと表現されることもあるが^[18] 、この唯一性は偏りの技術的な定義に基づいており、これは州の議席数とその議席保有数の平均差として定義される。言い換えれば、ある州が獲得する議席数が、多くの選挙を平均してその州の議席保有数と等しい場合、その方法は偏りがないと言える。^[18]

この定義によれば、ウェブスター法は最も偏りの少ない配分方法であるが^[19] 、ハンティントン・ヒル法は小規模政党に若干の偏りを示している。^{[18]しかし、他の研究者は、一般的に}パーセント誤差に基づく、わずかに異なる偏りの定義では逆の結果が得られると指摘している（ハンティントン・ヒル法は偏りがないが、ウェブスター法は大規模政党にわずかに偏っている）。^[19]^[22]

実際には、複数の議席を持つ政党や州を扱う場合、これらの定義の違いは小さい。^[19]そのため、ハンティントン＝ヒル法とウェブスター法はどちらも、（ジェファーソン法やアダムズ法とは異なり）偏りのない、あるいは偏りの少ない方法であると考えられる。^[19]^{[22] 1929年に}米国科学アカデミーが議会に提出した報告書では、ハンティントン＝ヒル法が推奨されたが、^[23]最高裁判所は、この選択は意見の問題であると判決を下した。^[22]

比較と例

例: ジェファーソン

以下の例は、ジェファーソンの方法が、ウェブスター法のようなバイアスの少ない方法と大きく異なることを示しています。この選挙では、最大政党が得票率46%を獲得しましたが、議席数は52.5%を獲得し、他のすべての政党による連合（得票率合計54%）に対して過半数を獲得するのに十分な議席数を獲得しました。さらに、これはクォータ違反です。最大政党は9.7議席しか獲得できないにもかかわらず、11議席を獲得しています。最大の選挙区は、最小の選挙区のほぼ2倍の面積です。ウェブスター法はこれらの特性を全く示さず、最大誤差は22.6%でした。


ジェファーソン							ウェブスター
パーティー	黄色	白	赤	緑	紫	合計	パーティー	黄色	白	赤	緑	紫	合計
投票数	4万6000	25,100	12,210	8,350	8,340	10万	投票数	4万6000	25,100	12,210	8,350	8,340	10万
座席	11	6	2	1	1	21	座席	9	5	3	2	2	21
理想的	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21	理想的	9.660	5.271	2.564	1.754	1.751	21
投票数/議席	4182	4183	6105	8350	8340	4762	投票数/議席	5111	5020	4070	4175	4170	4762
％エラー	13.0%	13.0%	-24.8%	-56.2%	-56.0%	（100％）	（％範囲）	-7.1%	-5.3%	15.7%	13.2%	13.3%	（22.6％）
座席	平均					道標	座席	平均					道標
1	4万6000	25,100	12,210	8,350	8,340	1.00	1	92,001	50,201	24,420	16,700	16,680	0.50
2	23,000	12,550	6,105	4,175	4,170	2.00	2	30,667	16,734	8,140	5,567	5,560	1.50
3	15,333	8,367	4,070	2,783	2,780	3.00	3	18,400	10,040	4,884	3,340	3,336	2.50
4	11,500	6,275	3,053	2,088	2,085	4.00	4	13,143	7,172	3,489	2,386	2,383	3.50
5	9,200	5,020	2,442	1,670	1,668	5.00	5	10,222	5,578	2,713	1,856	1,853	4.50
6	7,667	4,183	2,035	1,392	1,390	6.00	6	8,364	4,564	2,220	1,518	1,516	5.50
7	6,571	3,586	1,744	1,193	1,191	7.00	7	7,077	3,862	1,878	1,285	1,283	6.50
8	5,750	3,138	1,526	1,044	1,043	8.00	8	6,133	3,347	1,628	1,113	1,112	7.50
9	5,111	2,789	1,357	928	927	9.00	9	5,412	2,953	1,436	982	981	8.50
10	4,600	2,510	1,221	835	834	10.00	10	4,842	2,642	1,285	879	878	9.50
11	4,182	2,282	1,110	759	758	11時00分	11	4,381	2,391	1,163	795	794	10.50

例: アダムス

次の例は、アダムス方式では 55% の票を獲得した政党に過半数を与えることができず、やはり割り当て資格に違反するケースを示しています。


アダムス法							ウェブスター法
パーティー	黄色	白	赤	緑	紫	合計	パーティー	黄色	白	赤	緑	紫	合計
投票数	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	10万	投票数	55,000	17,290	16,600	5,560	5,550	10万
座席	10	4	3	2	2	21	座席	11	4	4	1	1	21
理想的	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21	理想的	11.550	3.631	3.486	1.168	1.166	21
投票数/議席	5500	4323	5533	2780	2775	4762	投票数/議席	4583	4323	5533	5560	5550	4762
％エラー	-14.4%	9.7%	-15.0%	53.8%	54.0%	（99.4％）	（％範囲）	3.8%	9.7%	-15.0%	-15.5%	-15.3%	（28.6％）
座席	平均					道標	座席	平均					道標
1	∞	∞	∞	∞	∞	0.00	1	110,001	34,580	33,200	11,120	11,100	0.50
2	55,001	17,290	16,600	5,560	5,550	1.00	2	36,667	11,527	11,067	3,707	3,700	1.50
3	27,500	8,645	8,300	2,780	2,775	2.00	3	2万2000	6,916	6,640	2,224	2,220	2.50
4	18,334	5,763	5,533	1,853	1,850	3.00	4	15,714	4,940	4,743	1,589	1,586	3.50
5	13,750	4,323	4,150	1,390	1,388	4.00	5	12,222	3,842	3,689	1,236	1,233	4.50
6	11,000	3,458	3,320	1,112	1,110	5.00	6	10,000	3,144	3,018	1,011	1,009	5.50
7	9,167	2,882	2,767	927	925	6.00	7	8,462	2,660	2,554	855	854	6.50
8	7,857	2,470	2,371	794	793	7.00	8	7,333	2,305	2,213	741	740	7.50
9	6,875	2,161	2,075	695	694	8.00	9	6,471	2,034	1,953	654	653	8.50
10	6,111	1,921	1,844	618	617	9.00	10	5,790	1,820	1,747	585	584	9.50
11	5,500	1,729	1,660	556	555	10.00	11	5,238	1,647	1,581	530	529	10.50
座席	10	4	3	2	2		座席	11	4	4	1	1

例: すべてのシステム

以下は、すべての投票システムにおける計算例です。ハンティントン＝ヒル方式とアダムズ方式では、ウェブスター方式やジェファーソン方式とは異なり、各政党に1議席ずつ割り当ててから、さらに議席を割り当てる点に注目してください。


	ジェファーソン法						ウェブスター法						ハンチントン・ヒル法						アダムス法
パーティー	黄色	白	赤	緑	青	ピンク	黄色	白	赤	緑	青	ピンク	黄色	白	赤	緑	青	ピンク	黄色	白	赤	緑	青	ピンク
投票数	47,000	16,000	15,900	1万2000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	1万2000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	1万2000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	1万2000	6,000	3,100
座席	5	2	2	1	0	0	4	2	2	1	1	0	4	2	1	1	1	1	3	2	2	1	1	1
投票数/議席	9,400	8,000	7,950	1万2000	∞	∞	11,750	8,000	7,950	1万2000	6,000	∞	11,750	8,000	15,900	1万2000	6,000	3,100	15,667	8,000	7,950	1万2000	6,000	3,100
シート	座席割り当て						座席割り当て						座席割り当て						座席割り当て
1	47,000						47,000						∞						∞
2	23,500							16,000						∞						∞
3		16,000							15,900						∞						∞
4			15,900				15,667									∞						∞
5	15,667									1万2000							∞						∞
6				1万2000			9,400											∞						∞
7	11,750						6,714						33,234						47,000
8	9,400										6,000		19,187						23,500
9		8,000						5,333					13,567							16,000
10			7,950						5,300					11,314							15,900

文房具電卓

以下の表は、任意の定常サインポスト関数の配分を計算します。つまり、投票平均が選択したバーを上回る場合、配分を四捨五入します。

プロパティ

単調性

除数法は一般に、最大剰余法よりも数学者に好まれる。^[24]なぜなら、除数法は配分パラドックスの影響を受けにくいからである。^[5]特に、除数法は人口の単調性を満たす。つまり、ある政党に投票しても議席を失うことはない。^[5]このような人口パラドックスは選挙人枠を増やすことで発生し、各州の剰余が不規則に反応する可能性がある。^[3]^{: Tbl.A7.2}除数法は、資源や議院の単調性も満たす。つまり、議会の議席数を増やしても、州が議席を失うことはないはずである。^[5]^[3]^{: Cor.4.3.1}

最小最大不等式

あらゆる除算法は最小最大不等式を用いて定義できる。括弧を配列のインデックスとすると、割り当ては次を満たす場合にのみ有効となる。^[1]^{: 78–81}

$最大.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠投票[政党]/投稿(席[パーティー])⁠ ≤ 分⁠投票[政党]/投稿(席数[パーティー]+1)⁠$

言い換えれば、ある政党から別の政党に議席を振り替えることで、最高得票数を下げることは不可能である。この範囲のあらゆる数は、約数となり得る。不等式が厳密であれば、解は一意である。そうでない場合、最終的な配分段階で同票となる。^[1]^{: 83}

クォータルール違反

マイナス面としては、除数法は割当ルールに違反する可能性があります。つまり、一部のエージェントに下限割当量よりも少ない割当量（割当量を切り捨て）または上限割当量よりも多い割当量（割当量を切り上げ）を与える可能性があります。これは、割当量上限付き除数法を使用することで修正できますが、人口の単調性は失われます。

シミュレーション実験では、異なる除数法ではクォータ違反の確率が大きく異なることが示されています（投票数が指数分布によって選択される場合）。

Adams と D'Hondt の確率は 98% です。
最小要件が 1 である D'Hondt の確率は 78% です。
ディーン校の確率は約 9%、ハンティントンヒル校の確率は約 4% です。
Webster/Sainte-Laguë の確率は最も小さく、わずか 0.16% です。

除数法は、その除数が実数に対しての形をとるとき、定常的と呼ばれます。アダムス、ウェブスター、Dホントの方法は定常ですが、ディーンとハンティントン・ヒルの方法は定常ではありません。

メソッドファミリー

上で説明した除数法は、ファミリーに一般化できます。

一般平均

一般に、サインポスト関数を $post($ $k$ $)=avg($ $k$ $,$ $k$ $+1)と定義することで、任意の一般化$ 平均関数から配分法を構築することができます。^[1]

静止した家族

除数法は定常的と呼ばれる^[25]^{: 68 。}ある実数に対して、その指標がの形をとる場合である。アダムス法、ウェブスター法、ドント法は定常的であるが、ディーン法とハンティントン・ヒル法は定常的ではない。定常法とは、数値が $k$ と $k$ $+1$ の加重算術平均を超える場合に数値を切り上げることである^[1]。rの値が小さいほど $、$ 少人数のグループにとって都合が良い。^[19] $r\in [0,1]$ $d(k)=k+r$

デンマークの選挙では、州レベルの議員選挙区において、議席を均等配分する。これは、複数議員選挙区における政党の得票数を0.33、1.33、2.33、3.33などで割るものである。フェンスポスト数列は $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ で与えられ、これは厳密に比例配分するのではなく、より均等に議席を割り当てることを目的としている。^[26]

権力は家族を意味する

べき乗平均法のファミリーには、アダムス法、ハンティントン＝ヒル法、ウェブスター法、ディーン法、ジェファーソン法（直接法または極限法）が含まれます。与えられた定数 $p$ に対して、べき乗平均法は標識関数 $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ $を持ちます。ハンティントン＝ヒル法はp が$ 0 に近づくときの極限に対応しますが、アダムス法とジェファーソン法は $p$ が負の無限大または正の無限大に近づくときの極限に対応します。^[1]

このファミリーには、調和平均に対応する $p$ $=-1$ に対する、あまり一般的ではないディーン法も含まれます。ディーン法は、最も近い平均値に丸めることに相当します。つまり、各州の議席数は、平均的な選挙区の規模と理想的な選挙区の規模の差が最小になるように丸められます。例えば、^[3]^：29

1830年のマサチューセッツ州の人口は610,408人でした。もし12議席を獲得した場合、平均選挙区の規模は50,867人になります。13議席を獲得した場合、平均選挙区の規模は46,954人になります。したがって、ポークの提案のように47,700を除数とした場合、マサチューセッツ州は13議席を獲得することになります。なぜなら、46,954は50,867よりも47,700に近いからです。

相対誤差が最小となる投票平均値に丸めると、再びハンティントン・ヒル法となる。なぜなら $、| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ 、すなわち相対差は可逆だからである。この事実は、エドワード・V・ハンティントンが不当表示の測定において絶対誤差ではなく相対誤差を用いたこと、そして彼がヒルの法則を提唱した理由の中心であった。^[27]ハンティントンは、配分方法の選択は平等な代表性を示す式をどのように並べ替えるかに依存すべきではなく、相対誤差（ヒルの法則によって最小化される）のみがこの性質を満たすと主張した。^[3]^{: 53}

ストラースキーは家族を意味する

同様に、ストラースキー平均は、不正確表示の一般化エントロピー指数を最小化する除数法の族を定義するために用いることができる。^[28]この族には、対数平均、幾何平均、同値平均、算術平均が含まれる。ストラースキー平均は、情報理論研究において非常に重要なこれらの不正確表示指標を最小化するものとして正当化される。^[29]

変更点

閾値

多くの国では、政党が代表権を得るための選挙基準が設けられており、政党が代表権を得るには一定割合の票を獲得しなければならない。代表権に必要な基準よりも得票数が少ない政党は排除される。^[20]他の国では、最初の除数を修正して自然な基準を導入している。ウェブスター方式を使用する場合、最初の除数は0.7または1.0に設定されることが多い（後者は完全議席修正と呼ばれる）。^[20]

多数派維持条項

過半数維持条項は、過半数の票を獲得した政党が議会の議席の少なくとも半数を獲得することを保証する。^[20]このような条項がない場合、得票数が過半数をわずかに上回る政党が、議席の過半数をわずかに下回る議席しか獲得できない可能性がある（ドント方式以外の方法を用いる場合）。^[20]これは通常、議会の過半数を維持する配分が見つかるまで、議会に議席を追加することによって達成される。^[20]

余剰投票合意

スイス、イスラエル、デンマークの欧州議会選挙などの一部の選挙制度では、議席配分の目的で 2 つ以上の政党を単一のブロックとみなす余剰票協定が認められており、このブロック内で協定当事者間で 2 度目の議席配分が行われます。

割当上限除数方式

クォータキャップ付き除数法とは、まず各州に下限議席を割り当てる配分方法である。次に、議席当たりの得票数の平均が最も高い州に、議席を一つずつ追加していく。ただし、追加議席によって当該州の上限議席数を超えないことが条件となる。^[30]しかし、クォータキャップ付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反するため、政党がより多くの票を獲得した結果、議席を失う可能性がある。^[3]^{: 表A7.2}

参考文献

^ abcdefghijklmnopqrstu vw Pukelsheim, Friedrich (2017). 「除数法による配分：分割と四捨五入」.比例代表：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 71– 93. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。
^ abcd Pukelsheim, Friedrich (2017). 「実数から整数へ：丸め関数と丸めルール」.比例代表：配分法とその応用. Springer International Publishing. pp. 59– 70. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。
^ abcdefghijklmn Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). 『公正な代表制：一人一票の理想の実現』ニューヘイブン：イェール大学出版局. ISBN 0-300-02724-9。
^ リッカ・フェデリカ、スコッツァーリ・アンドレア、セラフィーニ・パオラ (2017). 「議席配分と選挙区割りの数学ガイドツアー」。エンドリス・ウレ編『計算的社会選択の動向』Lulu.com、pp. 49– 68. ISBN 978-1-326-91209-3. 2024年10月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年10月8日閲覧。
^ abcde Pukelsheim, Friedrich (2017). 「システムの一貫性確保：一貫性とパラドックス」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 159– 183. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ Dančišin, Vladimír (2017-01-01). 「スロバキアの政党名簿比例代表制における無投票投票のパラドックス」『ヒューマン・アフェアーズ』27 (1): 15–21 . doi :10.1515/humaff-2017-0002. ISSN 1337-401X.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017). 「手法の暴露：2014年欧州議会選挙」.比例代表制：配分方法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 1– 40. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_1. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年7月3日閲覧。
^ ab Argersinger, Peter H. 編 (2012)、「不正義と不平等：配分の政治、1870–1888」、『 19世紀後期アメリカにおける代表と不平等：配分の政治』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. 8– 41、doi :10.1017/cbo9781139149402.002、ISBN 978-1-139-14940-2, 2018年6月7日にオリジナルからアーカイブ、 2024年8月4日閲覧。議席配分は、議会における各州の権限を決定するだけでなく、選挙人の割り当ても行うため、大統領選挙に直接影響を与えた。実際、議席配分方法を定める当時の法律に違反して採用された1872年の特異な議席配分は、1876年のラザフォード・B・ヘイズ大統領の一般投票少数派当選に直接的な影響を与えた。もし以前の方法が採用されていたならば、選挙管理委員会でさえヘイズ大統領をホワイトハウスに選出することはできなかっただろう。
^ Caulfield, Michael J. (2012). 「What If? How Apportionment Methods Choose Our Presidents」. The Mathematics Teacher . 106 (3): 178– 183. doi :10.5951/mathteacher.106.3.0178. ISSN 0025-5769. JSTOR 10.5951/mathteacher.106.3.0178.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017). 「家の大きさをターゲットにする：不一致の分布」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 107– 125. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_6. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ ギャラガー、マイケル (1991). 「比例性、不比例性、そして選挙制度」(PDF) .選挙研究. 10 (1): 33– 51. doi :10.1016/0261-3794(91)90004-C. 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ abc ギャラガー、マイケル (1992). 「比例代表制選挙制度の比較：クォータ制、閾値、パラドックス、そして多数派制」(PDF) .ブリティッシュ・ジャーナル・オブ・ポリティカル・サイエンス. 22 (4): 469– 496. doi :10.1017/S0007123400006499. ISSN 0007-1234. S2CID 153414497.
^ “米国議会における代表者の配分 - アダムズ方式 | アメリカ数学協会”. www.maa.org . 2024年6月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ 市森哲夫 (2010). 「新しい配分方法とその割当特性」.応用数学レターズ. 2 : 33–36 . doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617.
^ EU加盟国間の欧州議会議席配分（PDF）（報告書）。欧州議会。2011年。2024年5月12日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。 2024年1月26日閲覧。
^ ウェブスター、アンドレ。「比例比例とカレのやり方」。 2024 年 5 月 15 日にウェイバックマシンにアーカイブされました。 Vol. 27. 1910年。
^ Pennisi, Aline (1998年3月). 「不均衡指標と比例配分方式の堅牢性」 .選挙研究. 17 (1): 3– 19. doi :10.1016/S0261-3794(97)00052-8. 2024年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年5月10日閲覧。
^ abcde Balinski, ML; Young, HP (1980年1月). 「サント＝ラグー法による配分」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 77 (1): 1– 4. Bibcode :1980PNAS...77....1B. doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424. PMC 348194. PMID 16592744 .
^ abcdef Pukelsheim, Friedrich (2017). 「一部の議員を優遇し、他の議員を犠牲にする：議席バイアス」.比例代表制：配分方法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 127– 147. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_7. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ abcdef Pukelsheim, Friedrich (2017). 「特異性の追跡：投票閾値と多数決条項」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 207– 223. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_11. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ Pukelsheim, Friedrich (2017). 「議席範囲の切り捨て：最小・最大制限」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 225– 245. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_12. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ abc Ernst, Lawrence R. (1994). 「下院議員選挙における議席配分方法と裁判所の異議申し立て」. Management Science . 40 (10): 1207– 1227. doi :10.1287/mnsc.40.10.1207. ISSN 0025-1909. JSTOR 2661618. 2024年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年2月10日閲覧。
^ ハンティントン、エドワード・V. (1929). 「米国科学アカデミーの再配分に関する報告書」. Science . 69 (1792): 471– 473. Bibcode :1929Sci....69..471H. doi :10.1126/science.69.1792.471. ISSN 0036-8075. JSTOR 1653304. PMID 17750282.
^ Pukelsheim, Friedrich (2017). 「クォータ方式による配分：分割と順位付け」.比例代表制：配分方式とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 95– 105. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_5. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。
^ Pukelsheim, Friedrich (2017). 「実数から整数へ：丸め関数と丸めルール」.比例代表：配分法とその応用. 出版社: Springer International Publishing. pp. 59– 70. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。
^ 「デンマークの議会選挙制度」。2016年8月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ Lauwers, Luc; Van Puyenbroeck, Tom (2008). 「最小不比例代表：一般化エントロピー法とストラースキー平均除数法による配分」 . SSRN電子ジャーナル. doi : 10.2139/ssrn.1304628 . ISSN 1556-5068. S2CID 124797897.
^ 和田純一郎 (2012-05-01). 「コルム・アトキンソン社会福祉関数と一般化エントロピーに基づく除数配分法」 .数理社会科学. 63 (3): 243– 247. doi :10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002. ISSN 0165-4896.
^ アグニュー, ロバート A. (2008年4月). 「議会の最適配分」 .アメリカ数学月刊. 115 (4): 297– 303. doi :10.1080/00029890.2008.11920530. ISSN 0002-9890. S2CID 14596741.
^ Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). 「割当方式による配分」 .アメリカ数学月刊誌. 82 (7): 701– 730. doi :10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.

[Pukelsheim-2017-1-1] qrstu vw Pukelsheim, Friedrich (2017). 「除数法による配分：分割と四捨五入」.比例代表：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 71– 93. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_4. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。

[Pukelsheim-2017-5-2] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「実数から整数へ：丸め関数と丸めルール」.比例代表：配分法とその応用. Springer International Publishing. pp. 59– 70. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。

[Balinski-1982-3] Balinski, Michel L.; Young, H. Peyton (1982). 『公正な代表制：一人一票の理想の実現』ニューヘイブン：イェール大学出版局. ISBN 0-300-02724-9。

[Ricca-2017-4] リッカ・フェデリカ、スコッツァーリ・アンドレア、セラフィーニ・パオラ (2017). 「議席配分と選挙区割りの数学ガイドツアー」。エンドリス・ウレ編『計算的社会選択の動向』Lulu.com、pp. 49– 68. ISBN 978-1-326-91209-3. 2024年10月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年10月8日閲覧。

[Pukelsheim-2017-7-5] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「システムの一貫性確保：一貫性とパラドックス」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 159– 183. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_9. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Dancisin-2017-6] Dančišin, Vladimír (2017-01-01). 「スロバキアの政党名簿比例代表制における無投票投票のパラドックス」『ヒューマン・アフェアーズ』27 (1): 15–21 . doi :10.1515/humaff-2017-0002. ISSN 1337-401X.

[Pukelsheim-2017-0-7] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「手法の暴露：2014年欧州議会選挙」.比例代表制：配分方法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 1– 40. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_1. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年7月3日閲覧。

[Argersinger-2012-8] Argersinger, Peter H. 編 (2012)、「不正義と不平等：配分の政治、1870–1888」、『 19世紀後期アメリカにおける代表と不平等：配分の政治』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. 8– 41、doi :10.1017/cbo9781139149402.002、ISBN 978-1-139-14940-2, 2018年6月7日にオリジナルからアーカイブ、 2024年8月4日閲覧。議席配分は、議会における各州の権限を決定するだけでなく、選挙人の割り当ても行うため、大統領選挙に直接影響を与えた。実際、議席配分方法を定める当時の法律に違反して採用された1872年の特異な議席配分は、1876年のラザフォード・B・ヘイズ大統領の一般投票少数派当選に直接的な影響を与えた。もし以前の方法が採用されていたならば、選挙管理委員会でさえヘイズ大統領をホワイトハウスに選出することはできなかっただろう。

[Caulfield-2012-9] Caulfield, Michael J. (2012). 「What If? How Apportionment Methods Choose Our Presidents」. The Mathematics Teacher . 106 (3): 178– 183. doi :10.5951/mathteacher.106.3.0178. ISSN 0025-5769. JSTOR 10.5951/mathteacher.106.3.0178.

[Pukelsheim-2017-3-10] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「家の大きさをターゲットにする：不一致の分布」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 107– 125. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_6. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Gallagher-1991-11] ギャラガー、マイケル (1991). 「比例性、不比例性、そして選挙制度」(PDF) .選挙研究. 10 (1): 33– 51. doi :10.1016/0261-3794(91)90004-C. 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[Gallagher-1992-12] ギャラガー、マイケル (1992). 「比例代表制選挙制度の比較：クォータ制、閾値、パラドックス、そして多数派制」(PDF) .ブリティッシュ・ジャーナル・オブ・ポリティカル・サイエンス. 22 (4): 469– 496. doi :10.1017/S0007123400006499. ISSN 0007-1234. S2CID 153414497.

[MAA-2020-13] “米国議会における代表者の配分 - アダムズ方式 | アメリカ数学協会”. www.maa.org . 2024年6月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Ichimori-2010-14] 市森哲夫 (2010). 「新しい配分方法とその割当特性」.応用数学レターズ. 2 : 33–36 . doi : 10.14495/jsiaml.2.33 . ISSN 1883-0617.

[EU-2011-15] EU加盟国間の欧州議会議席配分（PDF）（報告書）。欧州議会。2011年。2024年5月12日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。 2024年1月26日閲覧。

[Sainte-2024-16] ウェブスター、アンドレ。「比例比例とカレのやり方」。 2024 年 5 月 15 日にウェイバックマシンにアーカイブされました。 Vol. 27. 1910年。

[Pennisi-1998-17] Pennisi, Aline (1998年3月). 「不均衡指標と比例配分方式の堅牢性」 .選挙研究. 17 (1): 3– 19. doi :10.1016/S0261-3794(97)00052-8. 2024年4月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年5月10日閲覧。

[Balinski-1980-18] Balinski, ML; Young, HP (1980年1月). 「サント＝ラグー法による配分」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 77 (1): 1– 4. Bibcode :1980PNAS...77....1B. doi : 10.1073/pnas.77.1.1 . ISSN 0027-8424. PMC 348194. PMID 16592744 .

[Pukelsheim-2017-2-19] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「一部の議員を優遇し、他の議員を犠牲にする：議席バイアス」.比例代表制：配分方法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 127– 147. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_7. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Pukelsheim-2017-8-20] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「特異性の追跡：投票閾値と多数決条項」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 207– 223. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_11. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Pukelsheim-2017-9-21] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「議席範囲の切り捨て：最小・最大制限」.比例代表制：配分法とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 225– 245. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_12. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Ernst-1994-22] Ernst, Lawrence R. (1994). 「下院議員選挙における議席配分方法と裁判所の異議申し立て」. Management Science . 40 (10): 1207– 1227. doi :10.1287/mnsc.40.10.1207. ISSN 0025-1909. JSTOR 2661618. 2024年5月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年2月10日閲覧。

[Huntington-1929-23] ハンティントン、エドワード・V. (1929). 「米国科学アカデミーの再配分に関する報告書」. Science . 69 (1792): 471– 473. Bibcode :1929Sci....69..471H. doi :10.1126/science.69.1792.471. ISSN 0036-8075. JSTOR 1653304. PMID 17750282.

[Pukelsheim-2017-6-24] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「クォータ方式による配分：分割と順位付け」.比例代表制：配分方式とその応用. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp. 95– 105. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_5. ISBN 978-3-319-64707-4. 2024年5月10日閲覧。

[Pukelsheim-2017-4-25] Pukelsheim, Friedrich (2017). 「実数から整数へ：丸め関数と丸めルール」.比例代表：配分法とその応用. 出版社: Springer International Publishing. pp. 59– 70. doi :10.1007/978-3-319-64707-4_3. ISBN 978-3-319-64707-4. 2021年9月1日閲覧。

[Denmark-2016-26] 「デンマークの議会選挙制度」。2016年8月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Lauwers-2008-27] Lauwers, Luc; Van Puyenbroeck, Tom (2008). 「最小不比例代表：一般化エントロピー法とストラースキー平均除数法による配分」 . SSRN電子ジャーナル. doi : 10.2139/ssrn.1304628 . ISSN 1556-5068. S2CID 124797897.

[Wada-2012-28] 和田純一郎 (2012-05-01). 「コルム・アトキンソン社会福祉関数と一般化エントロピーに基づく除数配分法」 .数理社会科学. 63 (3): 243– 247. doi :10.1016/j.mathsocsci.2012.02.002. ISSN 0165-4896.

[Agnew-2008-29] アグニュー, ロバート A. (2008年4月). 「議会の最適配分」 .アメリカ数学月刊. 115 (4): 297– 303. doi :10.1080/00029890.2008.11920530. ISSN 0002-9890. S2CID 14596741.

[Balinski-1975-30] Balinski, ML; Young, HP (1975-08-01). 「割当方式による配分」 .アメリカ数学月刊誌. 82 (7): 701– 730. doi :10.1080/00029890.1975.11993911. ISSN 0002-9890.

Party	Yellow	White	Red	Green	Blue	Pink	Total
Votes	4600	1600	1550	1200	600	450
Vote share	%	%	%	%	%	%	100%
Seats
Entitlement							Round x >	0.5
votes⁄seat							Divisor:	600