ダストソリューション

Class of exact solutions to Einstein's field equations

一般相対性理論において、ダスト解は流体解であり、アインシュタイン場の方程式の厳密解の一種である。この方程式では、重力場は、正の質量密度を持ち圧力がゼロである完全流体の質量、運動量、応力密度によってのみ生成される。ダスト解は、一般相対性理論における流体解の重要な特殊ケースである。

ダストモデル

完全で圧力のない流体は、局所的に協調して運動し、重力によってのみ相互作用するダスト粒子の構成のモデルとして解釈することができ、これが名前の由来です。このため、ダスト モデルは宇宙論においておもちゃの宇宙のモデルとしてよく使用され、その中でダスト粒子は銀河、銀河団、または超銀河団の非常に理想化されたモデルであると考えられます。天体物理学では、ダスト モデルは重力崩壊のモデルとして使用されてきました。ダスト ソリューションは、ダスト粒子の有限の回転ディスクをモデル化するためにも使用できます。いくつかの例を次に示します。真空に囲まれた流体の球で構成される恒星モデルに何らかの方法で重ね合わせれば、ダスト ソリューションを使用して大質量オブジェクトの周りの降着円盤をモデル化できますが、回転する降着円盤をモデル化するそのような正確なソリューションは、その構築が数学的に極めて困難であるため、まだわかっていません。

数学的な定義

相対論的無圧力流体の応力エネルギーテンソルは、次のような単純な形で表される。

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho _{0}U^{\mu }U^{\nu }.}$

ここで、ダスト粒子の世界線は4元速度 の積分曲線であり、ダストの静止系における物質密度はスカラー関数⁠ ⁠によって与えられます。 ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

固有値

応力エネルギーテンソルは階数1の行列なので、簡単な計算で特性多項式が

${\displaystyle \chi (\lambda )=\lambda ^{4}+a_{3}\,\lambda ^{3}+a_{2}\,\lambda ^{2}+a_{1}\,\lambda +a_{0}}$

塵の溶液中のアインシュタインテンソルは次の形をとる。

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\lambda ^{3}.}$

この積を掛け合わせると、係数は次の 3 つの代数的に独立した（かつ不変の）条件を満たす必要があることがわかります。

${\displaystyle a_{0}\,=a_{1}=a_{2}=0.}$

ニュートンの恒等式を、根の累乗の合計（固有値）の観点から使用すると、これはアインシュタイン テンソル自体の累乗の跡でもあるため、これらの条件は次のようになります。

${\displaystyle t_{2}={t_{1}}^{2},\;\;t_{3}={t_{1}}^{3},\;\;t_{4}={t_{1}}^{4}}$

テンソル指数表記では、これはリッチスカラーを使用して次のように記述できます。

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}}$

この固有値基準は、一般相対論では、ダスト解として解釈できるロレンツ多様体は非常に少ないことを示しているため、ダスト解の探索に役立つことがあります。

例

ヌルダストソリューション

ヌルダスト解は、アインシュタインテンソルがヌルであるダスト解である。^{[さらなる説明が必要]}

ビアンキダスト

ビアンキダストモデルは、キリングベクトル場のリー代数のさまざまな^{[どの? ]}タイプを示します。

特殊なケースとしては、FLRWとカスナーダストがある。^{[さらなる説明が必要]}

カスナーダスト

カスナーダストは、異方性膨張を示す最も単純な宇宙モデルである^{[誰が提唱したのか？ ]}。^{[さらなる説明が必要]}

FLRWダスト

フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）ダストは均質かつ等方性である。これらの解はしばしば物質優位FLRWモデルと呼ばれる。

回転する塵

ファン・シュトックム塵は円筒対称の回転塵です。

ノイゲバウアー・マイネル・ダストは、軸対称の真空外部に適合した回転するダスト円盤をモデル化する。この解は^{[誰によると？ ]}、カー真空以来発見された最も注目すべき厳密解と呼ばれている。

その他の解決策

注目すべき個別のダストソリューションは次のとおりです。

• ルメートル・トルマン・ボンディ（LTB）ダスト（最も単純な不均質宇宙モデルの一つで、重力崩壊のモデルとしてよく用いられる）
• カントフスキー・サックスダスト（ FLRWモデルからの摂動を示す宇宙論モデル）
• ゲーデル計量

参照

• ローレンツ群

参考文献

• シュッツ、バーナード・F.（2009）「4. 特殊相対論における完全流体」一般相対論入門（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88705-2
• ステファニー、H.クレイマー、D.マッカラム、M.ヘネセラース、C.ヘルト、E. (2003)。アインシュタインの場方程式の正確な解 (第 2 版)。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46136-7。 正確なダストソリューションの例を多数示します。

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