5次元単体の修正

5単体	整流5単体	5単体複素数
A 5 コクセター平面における直交投影

5 次元幾何学において、修正 5 単体は凸状の一様 5 多面体であり、正則5 単体を修正したものである。

平行化には、0次である5次元単体を含む3つの一意の次数があります。平行化された5次元単体の頂点は、5次元単体の辺の中心に位置します。また、双平行化された5次元単体の頂点は、5次元単体の三角形の面の中心に位置します。

整流5単体

整流5単体 整流ヘキサテロン（rix）
タイプ	均一な5次元多面体
シュレーフリ記号	r{3 4 } または ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3\end{array}}\right\}}$
コクセター図	または
4面	12	6 {3,3,3} 6 r{3,3,3}
細胞	45	15 {3,3} 30 r{3,3}
顔	80	80 {3}
エッジ	60
頂点	15
頂点図形	{}×{3,3}
コクセターグループ	A 5、[3 4 ]、命令720
デュアル
基点	(0,0,0,0,1,1)
円周半径	0.645497
プロパティ	凸状、等角、等 軸

5次元 幾何学において、5次元正則化単体（ 5-symplex）は、 15個の頂点、60個の辺、80個の三角形 面、45個のセル（30個の正四面体、15個の正八面体）、12個の4面（6個の5-セルと6個の5-正則化単体）を持つ一様な5次元多面体である。これは、以下のように示される分岐コクセター・ディンキン図から、0 _3,1とも呼ばれる。。

EL Elteは1912年にこれを半正多面体として同定し、Sと名付けた。¹
₅。

別名

• 整流ヘキサテロン（略称：rix）（ジョナサン・バウワーズ）

座標

5次元正則単体の頂点は、6次元空間の超平面上に、より単純に(0,0,0,0,1,1)または(0,0,1,1,1,1)の順列として配置することができる。これらの構成は、それぞれ6次元正則複体または6次元双正則立方体の面として見ることができる。

構成として

この配置行列は、正則化された5次元単体を表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、および4次元面に対応します。対角数は、各要素が正則化された5次元単体全体にいくつ出現するかを示します。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。^{[1] [2]}

対角fベクトル数は、ウィトフ構成、すなわち部分群順序の完全群順序を1つずつ鏡像を取り除いて分割することによって導出される。^[3]

A5​		k面	f k	f 0	f 1	f 2		f 3		f 4		k桁	注記
A 3 A 1		（）	f 0	15	8	4	12	6	8	4	2	{3,3}×{ }	A 5 /A 3 A 1 = 6!/4!/2 = 15
A 2 A 1		{ }	f 1	2	60	1	3	3	3	3	1	{3}∨( )	A 5 /A 2 A 1 = 6!/3!/2 = 60
A 2 A 2		r{3}	f 2	3	3	20	*	3	0	3	0	{3}	A 5 /A 2 A 2 = 6!/3!/3! =20
A 2 A 1		{3}		3	3	*	60	1	2	2	1	{ }×（ ）	A 5 /A 2 A 1 = 6!/3!/2 = 60
A 3 A 1		r{3,3}	f 3	6	12	4	4	15	*	2	0	{ }	A 5 /A 3 A 1 = 6!/4!/2 = 15
A3​		{3,3}		4	6	0	4	*	30	1	1		A 5 / A 3 = 6!/4! = 30
A4​		r{3,3,3}	f 4	10	30	10	20	5	5	6	*	（）	A 5 / A 4 = 6!/5! = 6
A4​		{3,3,3}		5	10	0	10	0	5	*	6		A 5 / A 4 = 6!/5! = 6

画像

立体投影

球面形状の立体投影

正投影図

A k コクセター平面	A5​	A4​
グラフ
二面対称性	[6]	[5]
A k コクセター平面	A3​	A 2
グラフ
二面対称性	[4]	[3]

関連する多面体

5次元平行化単体 0 _31は、コクセターによって1 _3k級数として表される一様多面体の次元級数の2番目の図形です。5番目の図形はユークリッドハニカム3 ₃₁であり、最後の図形は非コンパクト双曲型ハニカム 4 ₃₁です。各漸進的​​一様多面体は、前の図形を頂点図形として構成されます。

k ₃₁次元図形

n	4	5	6	7	8	9
コクセター グループ	A 3 A 1	A5​	D6​	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$= E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
コクセター 図
対称	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[3 1,3,1 ]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
注文	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	−1 31	0 31	1 31	2 31	3月31日	4 31

5単体複素数

双整列5単体 双整列ヘキサテロン（点）
タイプ	均一な5次元多面体
シュレーフリ記号	2r{3 4 } = {3 2,2 } または ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}}$
コクセター図	または
4面	12	12 r{3,3,3}
細胞	60	30 {3,3} 30 r{3,3}
顔	120	120 {3}
エッジ	90
頂点	20
頂点図形	{3}×{3}
コクセターグループ	A 5 ×2、[[3 4 ]]、注文番号1440
デュアル
基点	(0,0,0,1,1,1)
円周半径	0.866025
プロパティ	凸状、等角、等 軸

双平行化5単体は同位体であり、その12面すべてが平行化5セルである。頂点は20個、辺は90個、三角形の 面は120個、セルは60個（正四面体30個、正八面体30個）である。

EL Elteは1912年にこれを半正多面体として同定し、Sと名付けた。²
₅。

これは、次のように示される分岐コクセター・ディンキン図から0 _2,2とも呼ばれます。これは6次元1 ₂₂の頂点図形に見られる。。

別名

• 二等分ヘキサテロン
• ドデカテロン（頭字語：dot）（12面体ポリテロン）（Jonathan Bowers）

工事

正多面体の要素は配置行列で表現できる。行と列は頂点、辺、面、セルを参照し、対角要素はそれらの数（fベクトル）を表す。非対角要素は、列要素に接する行要素の数を表す。^{[4] [5]}

対角fベクトル数は、ウィトフ構成、すなわち部分群順序の完全群順序を1つずつ鏡像を取り除いて分割することによって導出される。^[6]

A5​		k面	f k	f 0	f 1	f 2		f 3			f 4		k桁	注記
A 2 A 2		（）	f 0	20	9	9	9	3	9	3	3	3	{3}×{3}	A 5 /A 2 A 2 = 6!/3!/3! = 20
A 1 A 1 A 1		{ }	f 1	2	90	2	2	1	4	1	2	2	{ }∨{ }	A 5 /A 1 A 1 A 1 = 6!/2/2/2 = 90
A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	60	*	1	2	0	2	1	{ }∨( )	A 5 /A 2 A 1 = 6!/3!/2 = 60
A 2 A 1				3	3	*	60	0	2	1	1	2
A 3 A 1		{3,3}	f 3	4	6	4	0	15	*	*	2	0	{ }	A 5 /A 3 A 1 = 6!/4!/2 = 15
A3​		r{3,3}		6	12	4	4	*	30	*	1	1		A 5 / A 3 = 6!/4! = 30
A 3 A 1		{3,3}		4	6	0	4	*	*	15	0	2		A 5 /A 3 A 1 = 6!/4!/2 = 15
A4​		r{3,3,3}	f 4	10	30	20	10	5	5	0	6	*	（）	A 5 / A 4 = 6!/5! = 6
A4​				10	30	10	20	0	5	5	*	6

画像

A5投影はメタトロンキューブと同一の外観を有する。^[7]

正投影図

A k コクセター平面	A5​	A4​
グラフ
二面対称性	[6]	[[5]]=[10]
A k コクセター平面	A3​	A 2
グラフ
二面対称性	[4]	[[3]]=[6]

2つの5単体の交差

立体投影

双平行化五元単体は、双対配置された二つの正五元単体の交差である。双平行化の頂点は、元の多面体の面の中心に位置する。この交差は、二つの正四面体が中心八面体で交差した3次元の星型八面体に類似している。一方、星型八面体は、頂点が元の辺の中心に位置する最初の平行化である。

双対5単体（赤と青）と、それらの双平行化5単体交差（緑）をA5およびA4コクセター平面で表示。A5投影図では単体が重なり、マゼンタで描かれている。

これはまた、 6次元立方体と、その長対角線を直交する超平面との交点でもある。この意味で、これは正六角形、正八面体、および二分円化された5次元セルの5次元版である。この特徴付けにより、6次元空間における双平行化5次元単体の頂点の単純な座標、すなわち(1,1,1,−1,−1,−1)の20通りの異なる順列が得られる。

双平行化5次元単体の頂点は、6次元空間の超平面上に(0,0,0,1,1,1)の順列として配置することもできる。この構成は、双平行化6次元直交複体の面として見ることができる。

関連する多面体

け₂₂多面体

双平行化5単体0 _22は、コクセターによってk ₂₂級数として表される次元一様多面体の2番目の図形である。双平行化5単体は、3番目の図形1 ₂₂の頂点図形である。4番目の図形はユークリッドハニカム図形2 ₂₂であり、最後の図形は非コンパクト双曲型ハニカム図形 3 _{22 で}ある。各漸進的​​一様多面体は、前の図形を頂点図形として構成される。

n次元のk _22の図形

空間	有限			ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8
コクセター グループ	A 2 A 2	E 6	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$=E 6 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{7}}$=E 6 ++
コクセター 図
対称	[[3 2,2,-1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
注文	72	1440	103,680	∞
グラフ				∞	∞
名前	−1 22	0 22	1 22	2 22	3 22

同位体多面体

同位体均一切断単体

薄暗い。	2	3	4	5	6	7	8
名前 コクセター	六角形 ＝ t{3} = {6}	八面体 ＝ r{3,3} = {3 1,1 } = {3,4} ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\end{array}}\right\}}$	デカコロン 2t{3 3 }	ドデカテロン 2r{3 4 } = {3 2,2 } ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}}$	テトラデカペトン 3t{3 5 }	ヘキサデカエクソン 3r{3 6 } = {3 3,3 } ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3,3,3\end{array}}\right\}}$	オクタデカゼットン 4t{3 7 }
画像
頂点図形	（ ）∨（ ）	{ }×{ }	{ }∨{ }	{3}×{3}	{3}∨{3}	{3,3}×{3,3}	{3,3}∨{3,3}
ファセット		{3}	t{3,3}	r{3,3,3}	2t{3,3,3,3}	2r{3,3,3,3,3}	3t{3,3,3,3,3,3,3}
交差する 双対単体として	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

関連する均一5次元多面体

この多面体は、6-半立方体の頂点図形であり、均一な2 ₃₁多面体の辺図形です。

これは、 [3,3,3,3]コクセター群に基づく19個の均一多面体のうちの1つであり、これらはすべてA ₅コクセター平面正投影図で示されています。（頂点は投影の重なり順で色分けされており、頂点数が多い順に赤、オレンジ、黄、緑、シアン、青、紫となっています。）

A5多面体
t 0	t 1	t 2	t 0,1	t 0,2	t 1,2	t 0,3
t 1,3	t 0,4	t 0,1,2	t 0,1,3	t 0,2,3	t 1,2,3	t 0,1,4
t 0,2,4	t 0,1,2,3	t 0,1,2,4	t 0,1,3,4	t 0,1,2,3,4

参考文献

1. Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置
2. コクセター『複素正多面体』p.117
3. Klitzing, Richard. 「o3x3o3o3o - rix」.
4. Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 配置
5. コクセター『複素正多面体』p.117
6. Klitzing, Richard. 「o3o3x3o3o - ドット」。
7. メルキゼデク、ドゥルンヴァロ (1999). 『フラワー・オブ・ライフの古代の秘密』第1巻. ライトテクノロジー出版.p.160 図6-12

• HSMコクセター：
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, ドーバー, ニューヨーク, 1973
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.
• Klitzing, Richard. 「5D 均一多面体 (ポリテラ)」o3x3o3o3o - リックス、o3o3x3o3o - ドット

外部リンク

• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。
• 様々な次元の多面体、ジョナサン・バウワーズ
  • 整流均一ポリテラ（Rix）、ジョナサン・バウワーズ
• 多次元用語集

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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