E9ハニカム

幾何学において、E ₉ハニカムは、 9 次元双曲空間における均一な多面体のモザイク状配置です。また、(E ₁₀ ) はパラコンパクト双曲群であるため、面または頂点図形のいずれも境界が定められません。 ${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$

E _{10 は}、長さが 6, 2, 1 の二分岐したコクセター・ディンキン図を持つコクセター群の系列の最後です。コクセター・ディンキン図のあらゆる組み合わせにより、 E _{10 の}ハニカムは 1023 通り存在します。コクセター図は非線形グラフであるため、この族には正則なハニカムは存在しませんが、3つの枝の先端に単一の環を持つ最も単純なハニカムが3つあります。6 ₂₁、2 ₆₁、1 ₆₂です。

6₂₁ハニカム

6 21ハニカム
家族	k 21多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3,3,3,3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	6 21
コクセター・ディンキン 図
9面	6 11 、{3 8 }
8面	{3 7 }
7つの顔	{3 6 }
6面	{3 5 }
5面	{3 4 }
4面	{3 3 }
細胞	{3 2 }
顔	{3}
頂点図形	5月21日
対称群	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$, [3 6,2,1 ]

6 ₂₁ハニカムは、 E _{10コクセター群の対称性内で交互に並ぶ}9 単体面と9 直交複合面から構成されます。

_{このハニカムは、その対称群 (アフィン E 9}ワイル群) がk ≤ 7のk面に対して推移的に作用するという意味で、非常に正則です。k ≤ 8 のk面はすべて単体です。

このハニカムは、1900年にソロルド・ゴセットによって列挙されたk ₂₁多面体シリーズの最後であり、完全に規則的な面で構成された多面体とハニカムをリストしていますが、彼のリストは8次元のユークリッドハニカム5 ₂₁で終わります。^[1]

工事

これは、9 次元双曲空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

2 長さの枝の末端のノードを除去すると、9 オルソプレックス、 6 ₁₁が残ります。

長さ 1 の枝の端にあるノードを削除すると、9 単体が残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5 ₂₁ハニカムが形成されます。

辺図形は、頂点図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、4 ₂₁多面体が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、辺図形から決定されます。これにより、3 ₂₁多面体が作成されます。

面図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、セル図形が決定されます。これにより、2 21多面体_が作成されます。

関連する多面体とハニカム

6 _{21 は、1900年に}ソロルド・ゴセットによって同定された、半正多面体とハニカムの次元系列の最後です。この系列の各要素は、前の要素を頂点図形としています。これらの多面体のすべての面は、正多面体、すなわち単体と正多面体です。

n次元のk 21個の図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
エン​	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	−1 21	0 21	1 21	2 21	3月21日	4 21	5月21日	6 21

2₆₁ハニカム

2 61ハニカム
家族	2 k 1多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3 6,1 }
コクセターシンボル	2 61
コクセター・ディンキン 図
9面タイプ	2 51、 {3 8 }
8面タイプ	2 41 、{3 7 }
7面タイプ	2 31 、{3 6 }
6面タイプ	2 21 、{3 5 }
5面タイプ	2 11 、{3 4 }
4面タイプ	{3 3 }
細胞	{3 2 }
顔	{3}
頂点図形	1 61
コクセターグループ	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$, [3 6,2,1 ]

2 ₆₁ハニカムは、 2 _{51 の}9ハニカム面と9 単体 面から構成されます。これは2 _{k 1}族の最後の図形です。

工事

これは、9 次元双曲空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

短い枝のノードを削除すると、9 単体が残ります。

長さ6の枝の端のノードを除去すると、2 _{51 の}ハニカムが残ります。E10 はパラコンパクト双曲群であるため、これは無限面です。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、9次元半立方体、1 ₆₁が得られます。

辺図形は辺図形の頂点図形です。これにより、平行化8単体は0 ₅₁となります。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、エッジ図形から決定されます。これにより、5単体プリズムが作成されます。

関連する多面体とハニカム

2 _61は、均一な多面体とハニカムの次元シリーズの最後です。

n次元の2 k 1図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	384	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	2 −1,1	201​	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

1₆₂ハニカム

1 62ハニカム
家族	1 k 2多面体
シュレーフリ記号	{3,3 6,2 }
コクセターシンボル	1 62
コクセター・ディンキン 図
9面タイプ	1 52 , 1 61
8面タイプ	1 42 、1 51
7面タイプ	1 32 、1 41
6面タイプ	1 22 、{3 1,3,1 } 、 {3 5 }
5面タイプ	1 21 、{3 4 }
4面タイプ	1 11 、{3 3 }
細胞	{3 2 }
顔	{3}
頂点図形	t 2 {3 8 }
コクセターグループ	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$, [3 6,2,1 ]

1 ₆₂ハニカムは、 1 _{52 面}（ 9 ハニカム面）と1 ₆₁ 面（9 デミキューブ 面）から構成されます。これは1 _{k 2}多面体族の最終図形です。

工事

これは、9 次元空間内の 10 個の超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

長さ 2 の枝の端にあるノードを削除すると、9 デミキューブ(1 ₆₁₎が残ります。

長さ 6 の枝の端にあるノードを削除すると、1 ₅₂のハニカムが残ります。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、双平行化9単体、0 ₆₂が得られます。

関連する多面体とハニカム

1 _62は、均一な多面体とハニカムの次元シリーズの最後です。

n次元の1k2図形​​
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称性 （秩序）	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	103,680	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

注記

1. コンウェイ、2008年、「ゴセットシリーズ」、413ページ

参考文献

• 物事の対称性、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、（2008年）、テイラー＆フランシス・グループ、 ISBN 978-1-56881-220-5
• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成）
• コクセター 正多面体（1963年）、マクミラン社
  • 正多面体、第3版、（1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8（第5章：万華鏡）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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