四分の一虚数基数

Non-standard numeral system

四分の一虚数記数法は、 1960年にドナルド・クヌースによって初めて提唱された記数法である。標準的な記数法では整数（10進数の10や2進数の2など）を基数とするが、この記数法では虚数（ ）を基数とする。この記数法では、0、1、2、3の数字のみを用いて、あらゆる複素数を（ほぼ）一意に表すことができる。^[1] 0未満の数は通常マイナス記号で表されるが、四分の一虚数記数法では数字列として表すことができる。例えば、-1は四分の一虚数記数法では「103」と表される。 ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle (2i)^{2}=-4}$

四分の一虚数の分解

基底の位置システムでは、 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots }$

を表す ${\displaystyle \dots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}+d_{-1}\cdot b^{-1}+d_{-2}\cdot b^{-2}+d_{-3}\cdot b^{-3}\dots }$

この記数法では、 ${\displaystyle b=2i}$

となるため、累乗の級数全体を2つの異なる級数に分離することができ、偶数桁（その桁の値に-4の累乗を掛けた値に簡約される桁）については に簡約され、虚数因子が残る桁については に簡約されます。これら2つの級数を足し合わせると、その数の合計値が得られます。 ${\displaystyle (2i)^{2}=-4}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}[\dots +d_{4}\cdot (-4)^{2}+d_{2}\cdot (-4)^{1}+d_{0}+d_{-2}\cdot (-4)^{-1}+\dots ]\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}2i\cdot [\dots +d_{3}\cdot (-4)^{1}+d_{1}+d_{-1}\cdot (-4)^{-1}+d_{-3}\cdot (-4)^{-2}+\dots ]\end{aligned}}}$

これら 2 つの級数が分離されているため、複素数の実数部と虚数部はそれぞれ -4 を底として簡単に表すことができます。 ${\displaystyle \ldots d_{4}d_{2}d_{0}.d_{-2}\ldots }$ ${\displaystyle 2\cdot (\ldots d_{5}d_{3}d_{1}.d_{-1}d_{-3}\ldots )}$

四分の一虚数からの変換

2の累乗i

け	(2 i ) k
−5	− i /32
−4	1/16
−3	i /8
−2	−1/4
−1	− i /2
0	1
1	2 i
2	−4
3	−8 i
4	16
5	32 i
6	−64
7	−128 i
8	256

四分の一虚数法の数字列を十進法に変換するには、位取り記数法の標準的な公式を使用することができます。これは、bを基数とする数字列を次の式で十進数に変換できること を示しています。 ${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}$

${\displaystyle \cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}}$

四分の一虚数系の場合、. ${\displaystyle b=2i}$

さらに、形式の文字列に対して、以下の式は、基数1の文字列の長さに対して使用できます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d_{w-1},d_{w-2},\dots d_{0}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle Q2D_{w}{\vec {d}}\equiv \sum _{k=0}^{w-1}d_{k}\cdot b^{k}}$

例

文字列を小数に変換するには、上記の数式を入力します。 ${\displaystyle 1101_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i}$

もう1つの長い例：10進法では ${\displaystyle 1030003_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13}$

四分の一虚数に変換する

10進数を4分の1虚数法の数値に変換することも可能です。すべての複素数（ a + biの形のすべての数）は4分の1虚数表現を持ちます。ほとんどの数は固有の4分の1虚数表現を持ちますが、1が10進数表記で2つの表現を持つのと同様に、 1 = 0.9なので、0.0001 _{2 i} = ⁠1/15⁠、番号⁠1/5⁠は2つの4分の1虚数表現0.0003 _{2 i} = 3· ⁠を持つ。1/15⁠ = ⁠1/5⁠ = 1 + 3· ⁠–4/15⁠ = 1. 0300 _{2 i} .

任意の複素数を1/4虚数に変換するには、その数を実数部と虚数部に分割し、それぞれを別々に変換し、その結果を桁を交互に加算するだけで十分です。例えば、 −1+4 iは −1 に 4 iを加えたものなので、 −1+4 iの1/4虚数部表現は −1 の1/4虚数部表現（つまり103）と 4 iの1/4虚数部表現（つまり20）を加算したものとなり、最終的な結果は −1+4 i = 123 _{2 i}となります。

虚数成分の4分の1虚数表現を求めるには、まずその成分に 2 iを掛けて実数を得ます。次にその実数の4分の1虚数表現を求め、最後に表現を1桁右にシフトします（つまり 2 iで割ります）。例えば、 6 iの4分の1虚数表現は、 6 i × 2 i = −12 （300 _{2 i} ）を掛けて計算します。これを1桁右にシフトすると、 6 i = 30 _{2 i}となります。

任意の実数の 4 分の 1 虚数表現を求めることは、以下に示すように連立方程式を解くことによって手動で行うことができますが、負の基数の記事で示されているように、実数と虚数のどちらに対してもより高速な方法があります。

例: 実数

整数の例として、10進数の7（10進法の基数は10なので、7 ₁₀）の4分の1虚数を求めてみましょう。与えられた10進数の数字列の長さを正確に予測することは難しいため、かなり長い文字列を想定するのが安全です。この場合、6桁の文字列を選択できます。文字列の長さの初期推定値が最終的に不十分であることが判明した場合は、より長い文字列を使用できます。

表現を見つけるには、まず一般式を書き、項をグループ化します。

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}}$

7 は実数なので、d ₁、d ₃、d ₅はゼロであると結論付けることができます。次に、係数d ₀、d ₂、 d ₄の値を求めます。 d ₀ − 4 d ₂ + 16 d ₄ = 7 であり、4分の1虚数系の性質上、係数は0、1、2、または3のいずれかしか取れないため、係数の値は求められます。考えられる構成は、 d ₀ = 3、 d ₂ = 3、d _{4 = 1 です。この構成は、 7 10}の結果として得られる数字列です。

${\displaystyle 7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.}$

例: 虚数

純虚数整数∈ i Zの 4 分の 1 虚数表現を求める方法は、実数の場合の上述の方法と同様です。例えば、 6 iの表現を求めるには、一般的な公式を使用することができます。この場合、実部のすべての係数は 0 で、複素部は 6 になります。しかし、 6 iについては、式を見れば容易に分かるように、d ₁ = 3 で他のすべての係数が 0 であれば、 6 iの目的の文字列が得られます。つまり 、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}}$

別の変換方法

実数の場合、4分の1虚数表現は負の4進数（基数-4）と同じです。複素数x + iy は、 xとy /2 をそれぞれ負の4進数に変換することで4分の1虚数に変換できます。 xとyが両方とも有限の2進分数である場合、反復ユークリッド除算を用いた以下のアルゴリズムを使用できます。

例えば: 35+23i=121003.2 _2i

 35 23i/2i=11.5 11=12−0.5 35÷(−4)=−8、余り3 12/(−4)=−3、余り0 (−0.5)×(−4)=2 −8÷(−4)= 2、余り0 −3/(−4)= 1、余り1 2÷(−4)= 0、余り2 1/(−4)= 0、余り1 2 0 0 0 3 + 1 0 1 0 0 0 + 0.2 = 121003.2 32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

基数点 "."

10進法における基点は通常、数値の整数部と小数部を区切る点（ドット）です。1 /4虚数法でも基点を使用できます。数字列の場合、基点とはbの非負のべき乗と負のべき乗の区切りを表します。基点を用いると、一般的な式は次のようになります。 ${\displaystyle \dots d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}\dots }$

${\displaystyle d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}\end{aligned}}}$

例

複素数単位iの4分の1虚数表現を求める場合、基数点を除いた式では不十分です。したがって、上記の式を使用する必要があります。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}}$

特定の係数d _kについて、実部は必ずゼロとなるため、d ₄ = d ₂ = d ₀ = d ₋₂ = 0 となります。虚部については、d ₅ = d ₃ = d _{−3 = 0 かつ}d ₁ = 1、d ₋₁ = 2のとき、数字列を求めることができます。上記の係数を数字列に適用すると、結果は次のようになります。

${\displaystyle i=10.2_{2i}.}$

足し算と引き算

四分の一虚数法では、数を足したり引いたりすることができます。その際には、覚えておくべき2つの基本的なルールがあります。

1. 数が 3 を超える場合は、 4 を引いて、左に 2 桁繰り上げます。
2. 数が 0 未満になるたびに、 4 を加算し、左に 2 桁繰り上がります。

あるいは簡潔に言うと、「 4を足すと繰り上がり+1。4を引くと繰り上がり-1 」です。これは通常の長加算とは逆で、現在の列での「繰り上がり」は左隣の列に1を加算し、「繰り下がり」は減算を必要とします。1/4虚数演算では、「繰り上がり」は1つ前の列から減算し、「繰り下がり」は加算します。

例: 加算

以下に、4分の1虚数法による加算の例を 2 つ示します。

 1 − 2i 1031  1 − 2i 1031  ------ + <=> ---- +  2 − 4i 1022  3 − 4i 1023 1 − 8i 1001 ------ + <=> ----- + 4 −12i 12320

最初の例では、まず1列目（「1の位の列」）の2つの1を加算して2になります。次に、2列目（「2が位の列」）の2つの3を加算して6になります。6は3より大きいので、4を減算し（2列目の結果は2になります）、4列目に繰り上がり-1を加算します。3列目の0を加算すると0になり、最後に4列目の2つの1と繰り上がり-1を加算すると1になります。

2番目の例では、まず3+1を加算して4になります。4は3より大きいので、4を減算して0になり、3列目（「-4s列」）に-1を繰り上げます。次に、2列目に2+0を加算して2になります。3列目は、繰り上げにより0+0+(-1)になります。-1は0より小さいので、4を加算して3列目の結果は3になり、5列目に+1を「借り入れ」ます。4列目では、1+1は2になり、5列目の繰り上げにより1になり、結果は となります。 ${\displaystyle 12320_{2i}}$

例: 減算

減算は、上で説明した2つのルールを使用する点で加算と似ています。以下に例を示します。

 − 2 − 8i 1102 1 − 6i 1011 ------- <=> ----- − 3 − 2i 1131

この例では、 から引き算をします。右端の桁は 2−1 = 1 です。右から2番目の桁は -1 となるので、4 を足して 3 とし、2桁左に繰り上がり +1 します。右から3番目の桁は 1−0 = 1 です。すると、左端の桁は 1−1 に繰り上がりの 1 を足して 1 になります。最終的な答えは となります。 ${\displaystyle 1011_{2i}}$ ${\displaystyle 1102_{2i}}$ ${\displaystyle 1131_{2i}}$

乗算

四分の一虚数法における長乗算にも、上記の2つの規則が適用されます。数値を乗算する際は、最初の文字列に2番目の文字列の各桁を順に乗算し、その結果の文字列を加算します。乗算ごとに、2番目の文字列の1桁を最初の文字列に乗算します。乗算は2番目の文字列の右端の桁から始まり、1桁ずつ左に移動し、各桁を1桁ずつ左にシフトして行います。次に、得られた部分積を加算します。この加算は、それぞれを1桁ずつ左にシフトして行います。例：

 11201 20121 × --------------- 11201 ←––– 1 × 11201 12002 ←––– 2 × 11201 11201 ←––– 1 × 11201 00000 ←––– 0 × 11201 12002 + ←––– 2 × 11201 --------------- 120231321

これは の乗算に相当します。 ${\displaystyle (9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i}$

表形式の変換

以下に、いくつかの 10 進数と複素数、およびそれらの 4 分の 1 虚数に対応する表を示します。

10進数 2進数i 1  1 2  2 3  3 4  10300 5  10301 6  10302 7  10303 8  10200 9  10201 10  10202 11  10203 12  10100 13  10101 14  10102 15  10103 16  10000

10進数 2進数i −1  103 −2  102 −3  101 −4  100 −5  203 −6  202 −7  201 −8  200 −9  303 −10  302 −11  301 −12  300 −13  1030003 −14  1030002 −15  1030001 −16  1030000

10進数 2進数i 1 i 10.2 2 i 10.0 3私 20.2 4私 20.0 5 i 30.2 6 i 30.0 7 i 103000.2 8 i 103000.0 9 i 103010.2 10 i 103010.0 11 i 103020.2 12 i 103020.0 13私 103030.2 14私 103030.0 15 i 102000.2 16私 102000.0

10進数 2進数i −1 i 0.2 −2 i 1030.0 −3 i 1030.2 −4 i 1020.0 −5 i 1020.2 −6 i 1010.0 −7 i 1010.2 −8 i 1000.0 −9 i 1000.2 −10 i 2030.0 −11 i 2030.2 −12 i 2020.0 −13 i 2020.2 −14 i 2010.0 −15 i 2010年2月 −16 i 2000.0

例

以下に、小数から 4 分の 1 虚数への変換の他の例をいくつか示します。

${\displaystyle 5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}}$

${\displaystyle i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}}$

${\displaystyle 7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}}$

Zオーダー曲線

表現

${\displaystyle z=\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}}$

任意の複素数の射影写像 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{k}\in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{array}{llcl}\varphi \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {R} \\&\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}&\mapsto &\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot r^{-k}\\\end{array}}}$

適切なものをいくつか使用してください。ここでは、 ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r=4}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k>0}3\cdot (2i)^{-k}={\tfrac {-3-6i}{5}}\;\;\;\;\neq \;\;\;\;1=\sum _{k>0}3\cdot 4^{-k}.}$

この像は カントール集合であり、 Z次曲線と同様に線形に順序付けることができます。像は不連続であるため、連続ではありません。 ${\displaystyle \varphi (\mathbb {C} )\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi }$

参照

• 第四進法
• 複素数基底システム
• 負の塩基

参考文献

1. ドナルド・クヌース(1960年4月). 「虚数系」. Communications of the ACM . 3 (4): 245–247 . doi : 10.1145/367177.367233 . S2CID  16513137.

さらに読む

• ドナルド・アービン・クヌース著「位置数システム」『コンピュータプログラミングの技法』第2巻（第3版）アディソン・ウェスレー社、205頁。
• ウォーレン・ジュニア、ヘンリー・S. (2013) [2002]. Hacker's Delight (第2版). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. p. 309. ISBN 978-0-321-84268-80-321-84268-5。

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