5次元単体

5単体ヘキサテロン（hix）
種類	一様5次元多面体
シュレーフリ記号	{3 ⁴ }
コクセター図
4面体	6	6 {3,3,3}
セル	15	15 {3,3}
面	20	20 {3}
辺	15
頂点	6
頂点図形	5次元セル
コクセター群	A ₅ , [3 ⁴ ], 位数 720
双対	自己双対
基点	(0,0,0,0,0,1)
外接半径	0.645497
性質	凸状、等角正則、自己双対

5次元幾何学において、5次元単体は自己双対正則 5次元多面体です。6つの頂点、15の辺、20の三角形面、15の四面体セル、6つの5次元セル面を持ちます。二面角はcos ⁻¹ ( ⁠1/5⁠ )、つまり約78.46°です

5次元単体は、「15本のマッチ棒を使って20個の正三角形を作り、各辺がちょうど1本のマッチ棒である」という問題の解法です。

別名

5次元の6面体多面体として、ヘキサトロン、またはヘキサ5トープと呼ばれることもあります。ヘキサトロンという名前は、6つの面を持つことを意味する「ヘキサ」と、 4次元の面を持つことを意味する「テロン」（ teron、 ter-はtetra-の訛り）に由来しています

ジョナサン・バウアーズによって、ヘキサトロンはhixという頭字語で呼ばれています。^[1]

配置として

この配置行列は5次元単体を表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、および4次元面に対応します。対角数は、5次元単体全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。この自己双対単体の行列は、180度回転したものと同一です。^[2]^[3]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}6&5&10&10&5\\2&15&4&6&4\\3&3&20&3&3\\4&6&4&15&2\\5&10&10&5&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

正ヘキサトロンの直交座標

ヘキサトロンは、5次元セルの他のすべての頂点から等距離になるように6番目の頂点を追加することで、5次元セルから構成できます。

辺の長さが2である原点中心の正ヘキサトロンの頂点の直交座標は次のとおりです

{\begin{aligned}&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ -{\tfrac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\​​ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)\\[5pt]&\left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)\end{aligned}}

5次元単体の頂点は、6次元空間の超平面上に、(0,0,0,0,0,1)または(0,1,1,1,1,1)の順列として、より単純に配置することができます。これらの構成は、それぞれ6次元正多面体または修正6次元立方体の面として見ることができます。

投影像

正射影
A _k コクセター平面	A ₅	A ₄
グラフ
二面対称性	[6]	[5]
A _k コクセター平面	A ₃	A ₂
グラフ
二面対称性	[4]	[3]

シュレーゲル図の4次元から3次元への立体射影、ヘキサテロンの5次元から4次元への立体射影。

下対称形

下対称形は、5セルピラミッド{3,3,3}∨( )で、[3,3,3]対称位数は120で、4次元超平面上の 5セルの底面と、超平面上の頂点として構築されます。ピラミッドの5つの側面は5セルのセルで構成されています。これらは、切頂6次元立方体のような、切頂正6次元多面体の頂点図形として見られます

別の形式は{3,3}∨{ }で、[3,3,2,1]対称位数48で、直交二角形と正四面体の結合であり、直交オフセットされており、すべての頂点ペアが相互に接続されています。別の形式は{3}∨{3}で、[3,2,3,1]対称位数36、拡張対称[[3,2,3],1]、位数72です。これは、2つの直交三角形の結合であり、直交オフセットされており、すべての頂点ペアが相互に接続されています。

形式{ }∨{ }∨{ }は、対称[2,2,1,1]、位数8を持ち、3つの線分を[3[2,2],1]または[4,3,1,1]、位数48に並べ替えることで拡張されています

これらは、二面切断正6次元多面体と三面切断正6次元多面体の頂点図形に見られます。例えば、二面切断6次元立方体と三面切断6次元単体です。ここでの辺ラベルは、その方向に沿った面の種類を表し、異なる辺の長さを表します。

全切断5次元単体ハニカムの頂点図形は、5つの長辺を持つペトリ多角形閉路を持つ5次元単体です。その対称性は、二面体群Dih ₆または単純回転群[6,2] ⁺、位数12と同型です。

一様6次元多面体の頂点図形
結合	{3,3,3}∨( )	{3,3}∨{ }	{3}∨{3}	{ }∨{ }∨{ }
対称性	[3,3,3,1] 位数120	[3,3,2,1] 位数48	[[3,2,3],1] 位数72	[3[2,2],1,1]=[4,3,1,1] 位数48	~[6] または ~[6,2] ⁺ 位数12
図
多面体	切頂6単体	二切頂6単体	三切頂6単体	3-3-3 プリズム	全切頂5単体ハニカム

複合

2つの5単体の双対配置の複合は、このA6コクセター平面投影で見ることができます。赤と青の5単体の頂点と辺があります。この複合は[[3,3,3,3]]対称性を持ち、位数は1440です。これらの2つの5単体の交差は、一様双平行化5単体です。＝∩。

参照

11セル

注釈

^ Klitzing, Richard. "5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o3o — hix".
^ Coxeter 1973, §1.8 配置
^ Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901.

参考文献

ゴセット, T. (1900). 「n次元空間における正則図形と半正則図形について」. メッセンジャー・オブ・マスマティクス. マクミラン. pp. 43–.
Coxeter, HSM :
- — (1973). 「表 I (iii): 正多面体、n次元における3つの正多面体 (n≥5)」.正多面体（第3版）. ドーバー. pp. 296. ISBN 0-486-61480-8.
- シャーク, F. アーサー; マクマレン, ピーター; トンプソン, アンソニー C.; ワイス, アジア・アイビック編 (1995). カレイドスコープ：コクセターHSM選集. ワイリー. ISBN 978-0-471-01003-6.
  - （論文22）—（1940年）「正則多面体と半正則多面体 I」Math. Zeit . 46 : 380–407 . doi :10.1007/BF01181449. S2CID 186237114.
  - （論文23）—（1985年）「正則多面体と半正則多面体 II」Math. Zeit . 188 (4): 559–591 . doi :10.1007/BF01161657. S2CID 120429557
  - （論文24）—（1988）「正則多面体と半正則多面体III」Math. Zeit . 200 : 3–45 . doi :10.1007/BF01161745. S2CID 186237142.
コンウェイ、ジョン・H .；バーギエル、ハイディ；グッドマン＝シュトラウス、チャイム（2008）「26. 半立方体：1 _n1」『事物の対称性』p. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
ジョンソン、ノーマン（1991）「均一多面体」（原稿）。ノーマン・ジョンソン
- ジョンソン、NW（1966）「均一多面体とハニカムの理論（博士号）」トロント大学

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ。「単体」。ハイパースペース用語集。2007年2月4日原本からのアーカイブ。
様々な次元の多面体、ジョナサン・バウアーズ
多次元用語集

v t e 2～10次元における基本的な凸正多面体および一様多面体
族	$A n$	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	正方形	p角形	六角形	五角形
一様多面体	四面体	八面体・立方体	半立方体		十二面体・二十面体
一様多面体	五面体	16細胞・四面体	半二次元立方体	24細胞	120細胞・600細胞
一様5次元多面体	5次元単体	5次元正複体・5次元立方体	5次元半立方体
一様	6次元単体	6次元正複体・6次元立方体	6次元半立方体	1 ₂₂ 2 21
一様	7次元単体	7次元正複体・7次元立方体	7次元半立方体	1 ₃₂ 2 31 ₃ 21
一様8次元多面体	8次元単体	8次元正複体・8次元立方体	8次元半立方体	1 ₄₂ 2 41 ₄ 21
一様9次元多面体	9次元単体	9次元正多面体・9次元立方体	9次元半立方体
一様10次元多面体	10次元単体	10次元正多面体・10次元立方体	10次元
一様n次元多面体	n次元	n次元正多面体・n次元立方体	n次元半立方体	1 _k2・2 _k1・k ₂₁	n次元五角形多面体
トピック：多面体族・正多面体・正多面体と複合多面体の一覧・多面体演算

[1] Klitzing, Richard. "5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o3o — hix".

[2] Coxeter 1973, §1.8 配置

[3] Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901.

空間	有限				ユークリッド	双曲的
n	4	5	6	7	8	9
コクセター群	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
コクセター図
対称性	[3 ⁻¹ , 3, 1 ]	[ 3 0, 3 ^{, 1} ]	[ 3 1, ³ , 1 ]	[ 3 2, ^{3 ,} 1 ]	[[3 3, 3, 1 ]]	[3 4, 3, 1 ]
次数	48	720	23,040	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名称	1 _{3, -1}	130	1 31	1 ₃₂	1 ₃₃	134

空間	有限				ユークリッド	双曲的
n	4	5	6	7	8	9
コクセター群	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
コクセター図
対称性	[3 ⁻¹ , 3, 1 ]	[ 3 0, 3 ^{, 1} ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[ 3 2, ^{3 ,} 1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 4, 3, 1 ]
次数	48	720	46,080	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名称	3 _1,-1		3 11	3 ₂₁	3 ₃₁	341

空間	有限			ユークリッド	双曲的
n	4	5	6	7	8
コクセター群	A ₂ A ₂	A ₅	E ₆	${\tilde {E}}_{6}$ =E ₆⁺	E ₆⁺⁺
コクセター図
グラフ				∞	∞
名称	2 _2,-1	220	2 ₂₁	2 ₂₂	223

A 5多面体
t0	t ₁	t ₂	t _0,1	t _0,2	t _1,2	t _0,3
t _1,3	t _0,4	t _0,1,2	t _0,1,3	t _0,2,3	t _1,2,3	t _0,1,4
t _0,2,4	t _0,1,2,3	t _0,1,2,4	t _0,1,3,4	t _0,1,2,3,4