セナリー

Base-6 numeral system

6進法（/ ˈ s iː n ər i、ˈ s ɛ n ər i / ）記数法（6進法、 16進法、または6進法とも呼ばれる）は、6を底とする。これは少数の文化で独自に採用されてきた。10進法の基数と同様に、この基数は半素数であるが、連続する2つの数（2と3）の積として唯一、素数である。6は優れた合成数であるため、 12進法を支持する多くの議論は6進法にも当てはまる。

正式な定義

6進法における標準的な数字集合は であり、その線形順序は である。を のクリーネ閉包とする。ここで はに対する文字列連結の演算である。自然数の6進法は、ショートレックス順序を備えた商集合であり、同値類はである。 はショートレックス順序を持つため、自然数 と同型である。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace }$ ${\displaystyle 0<1<2<3<4<5}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

数学的性質

六進法の掛け算表

×	1	2	3	4	5	10
1	1	2	3	4	5	10
2	2	4	10	12	14	20
3	3	10	13	20	23	30
4	4	12	20	24	32	40
5	5	14	23	32	41	50
10	10	20	30	40	50	100

6進法で表すと、2と3以外のすべての素数は最後の桁が1または5になります。6進法では、素数は次のように表記されます。

2、3、5、11、15、21、25、31、35、45、51、101、105、111、115、125、135、141、151、155、201、211、215、225、241、245、251、255、301、305、331、335、345、351、405、411、421、431、435、445、455、501、515、521、525、531、551、...（OEISのシーケンスA004680）

つまり、3 より大きいすべての素数pに対して、 p ≡ 1 または 5 (mod 6) (つまり、6 はp  − 1 またはp − 5 を割り切る) というモジュラー算術関係があり 、最後の数字は 1 または 5 です。これは背理法によって証明されます。

任意の整数nについて:

• n ≡ 0 (mod 6)の場合、6 | n
• n ≡ 2 (mod 6)の場合、2 | n
• n ≡ 3 (mod 6)の場合、3 | n
• n ≡ 4 (mod 6)の場合、2 | n

さらに、最小の 4 つの素数 (2、3、5、7) は 6 の約数または近傍数であるため、6 進法では多くの数に対して簡単な割り切れるかどうかのテストが行​​えます。

さらに、6 以外のすべての偶数完全数は、 6 進数で表すと最後の 2 桁が 44 になります。これは、すべての偶数完全数が2 ^{p – 1} (2 ^p – 1)の形式 ( 2 ^p − 1は素数) であるという事実によって証明されています。

六進法は、1とr − 1以外の整数を持たないr基数の中で最大の数であり 、その乗算表はそのサイズに対して非常に規則的であるため、表を暗記するのに必要な労力は最小限に抑えられます。この性質により、整数乗算の結果が0になる確率は、その因数がどちらも0にならない場合に最大になります。

ある数が2で割り切れる場合、その数の6進法で表した最後の桁は0、2、または4です。ある数が3で割り切れる場合、その数の6進法で表した最後の桁は0または3です。その数の最後から2番目の桁が奇数で最後の桁が2の場合、または最後から2番目の桁が偶数で最後の桁が0または4の場合、その数は4で割り切れます。その数の6進法の桁の合計が5で割り切れる場合（10進法で9を消すのと同じ）、その数は5で割り切れます。ある数が6で割り切れる場合、その数の最後の桁は0です。ある数が7で割り切れるかどうかを判断するには、その数の1桁おきの合計を足し、その合計を減算します。結果が7で割り切れる場合、その数は7で割り切れます。これは、10進法における「11」の割り切れるかどうかの判定に似ています。

分数

6は最初の2つの素数の積であり、次の2つの素数と隣接しているため、多くの6進分数は単純な表現となります。下の表は、10進法と6進法の両方における分数と位取りの表現を示しており、セルは複雑さのレベルに応じて色分けされています。薄い灰色のセル長さ1または2の繰り返し周期を持つ有理数を表す。濃い灰色のセル2 桁を超える繰り返しサイクルを示し、色付けされていない白いセルは繰り返しサイクルがまったくないことを示します。

10 進法の基数 基数の素因数: 2、5 基数より1小さい数の素因数: 3基数より1大きい数の素因数: 11			6進 数の底の素因数: 2 , 3 底より1つ下の数の素因数: 5 底より1つ上の数の素因数: 7 (=11 6 )
分数	分母の素因数	位置表現	位置表現	分母の素因数	分数
⁠1/2⁠	2	0.5	0.3	2	⁠1/2⁠
⁠1/3⁠	3	0.3333 ... = 0.3	0.2	3	⁠1/3⁠
⁠1/4⁠	2	0.25	0.13	2	⁠1/4⁠
⁠1/5⁠	5	0.2	0.1111 ... = 0.1	5	⁠1/5⁠
⁠1/6⁠	2、3​​	0.1 6	0.1	2、3​​	⁠1/10⁠
⁠1/7⁠	7	0. 142857	0.05​	11	⁠1/11⁠
⁠1/8⁠	2	0.125	0.043	2	⁠1/12⁠
⁠1/9⁠	3	0.1​	0.04	3	⁠1/13⁠
⁠1/10⁠	2、5​​	0.1	0.0 3	2、5​​	⁠1/14⁠
⁠1/11⁠	11	0.09​	0. 0313452421	15	⁠1/15⁠
⁠1/12⁠	2、3​​	0.08 3	0.03	2、3​​	⁠1/20⁠
⁠1/13⁠	13	0.076923​	0. 024340531215	21	⁠1/21⁠
⁠1/14⁠	2、7​​	0.0 714285	0.0 23	2、11​​	⁠1/22⁠
⁠1/15⁠	3、5​​	0.0 6	0.0 2	3、5​​	⁠1/23⁠
⁠1/16⁠	2	0.0625	0.0213	2	⁠1/24⁠
⁠1/17⁠	17	0. 0588235294117647	0. 0204122453514331	25	⁠1/25⁠
⁠1/18⁠	2、3​​	0.0 5	0.02	2、3​​	⁠1/30⁠
⁠1/19⁠	19	0. 052631578947368421	0.015211325​	31	⁠1/31⁠
⁠1/20⁠	2、5​​	0.05	0.01 4	2、5​​	⁠1/32⁠
⁠1/21⁠	3、7​​	0.047619​	0.0 14	3、11​​	⁠1/33⁠
⁠1/22⁠	2、11​​	0.0 45	0.0 1345242103	2、15​​	⁠1/34⁠
⁠1/23⁠	23	0. 0434782608695652173913	0. 01322030441	35	⁠1/35⁠
⁠1/24⁠	2、3​​	0.041 6	0.013	2、3​​	⁠1/40⁠
⁠1/25⁠	5	0.04	0.01235​	5	⁠1/41⁠
⁠1/26⁠	2、13​​	0.0 384615	0.0 121502434053	2、21​​	⁠1/42⁠
⁠1/27⁠	3	0.037​	0.012	3	⁠1/43⁠
⁠1/28⁠	2、7​​	0.03 571428	0.01 14	2、11​​	⁠1/44⁠
⁠1/29⁠	29	0. 0344827586206896551724137931	0. 01124045443151	45	⁠1/45⁠
⁠1/30⁠	2、3、5​​​​	0.0 3	0.0 1	2、3、5​​​​	⁠1/50⁠
⁠1/31⁠	31	0. 032258064516129	0.010545​	51	⁠1/51⁠
⁠1/32⁠	2	0.03125	0.01043	2	⁠1/52⁠
⁠1/33⁠	3、11​​	0.03​	0.0 1031345242	3、15​​	⁠1/53⁠
⁠1/34⁠	2、17​​	0.0 2941176470588235	0.0 1020412245351433	2、25​​	⁠1/54⁠
⁠1/35⁠	5、7​​	0.0 285714	0.01​	5、11​​	⁠1/55⁠
⁠1/36⁠	2、3​​	0.02 7	0.01	2、3​​	⁠1/100⁠

指で数える

34_六進法= 22_十進法、六進法指算法

通常の人間の手には、拳、1 本の指を伸ばした状態、2 本の指、3 本の指、4 本の指、そして 5 本の指すべてを伸ばした状態という、6 つの明確な位置があると言えます。

右手で単位（0から5）を表し、左手で6の倍数を表すと、通常の指を使った10ではなく、0から55 （10_進法で35）までの値を指で表すことが可能になります。例えば、左手に3本の指、右手に4本の指を伸ばすと、 6_進法で34を表します。これは3 × 6 + 4に相当し、10_進法で22になります。

さらに、この方法は両手を使って数える方法の中で最も抽象度が低く、位置記法の概念を反映しています。ある位置から次の位置への動きは、片手からもう片方の手に切り替えることで行われるからです。先進文化圏の多くでは、5本指まではほぼ同様の方法で数えますが、5本指を超えると、中国の数字のジェスチャーなど、非西洋文化圏では西洋の方法から逸脱します。6本指の数え方も同様に5本指を超えると西洋の方法から逸脱するため、この数え方は伝統的な数え方と同等の簡便性を備えており、これは若い生徒に位置記法を教える際に重要な意味を持つ可能性があります。

どちらの手が「6」でどちらの手が一を表すかは、計算する側の好みによりますが、計算する側の視点から見ると、左手を最上位桁として使用することは、同じ 6 進数の表記と相関します。「6」の手を裏返すと、どちらの手が「6」を表し、どちらが一を表すかがさらに明確になります。ただし、6 進数で数えることの欠点は、事前の合意がないと、どちらの手が 6 を表し、どちらの手が 1 を表しているかわからないため、2 者がこのシステムを使用できないことです。一方、10 進数ベースの数え方 (5 を超える数は開いた手のひらと追加の指で表します) は、基本的に1 進数システムであるため、もう 1 者は伸ばした指の本数を数えるだけで済みます。

NCAAバスケットボールでは、選手のユニフォームの番号は最大2桁の6進数に制限されており、審判はこの指カウントシステムを使用してどの選手が違反を犯したかを知らせることができる。^[1]

チサンボップやフィンガーバイナリーといったより抽象的な指数え方では、方法によっては99、1023、あるいはそれ以上の数まで数えることができます（ただし、必ずしも6進法である必要はありません）。イギリスの修道士で歴史家のベーダは、著書『時間論』（ De temporum ratione）（725年）の第一章「指の感覚における計算法の理論（ Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum）」の中で、両手で9,999まで数えられると記しています。^{[2] [3]}

自然言語

大きな数量を6でまとめる文化は稀であるが、数値体系の発展を検討すると、数の閾値は6（おそらく「全体」、「拳」、「5本の指を超える」と概念化されている^[4]）であり、1から6は純粋な形であることが多く、それ以降の数字は構築または借用されている^{[5] 。}

インドネシア、ニューギニア西部のンドム語には6進法の数字があると言われています。^{[6] [7]} Merは6を意味し、mer an thefは6×2 = 12を意味し、nifは36を意味し、nif thefは36×2 = 72を意味します。

パプアニューギニアのもう一つの例は、ヤム語族です。これらの言語では、数え方は儀式化されたヤム数えと結びついています。これらの言語は6を基数とし、6の累乗を表す言葉を用いて数えます。言語によっては6の^{6乗まで数えます。例えば、}コムンゾ語では、以下の数字が用いられます：nibo（6の¹）、fta（6の² [36]）、taruba（6の³ [216]）、damno（6の⁴ [1296]）、wärämäkä（6の⁵ [7776]）、wi（6の⁶ [46656]）。

ニジェール・コンゴ語族の一部の言語では、十進法や20進法などの他の記数法に加えて、6進法を使用していると報告されている。^[5]

祖ウラル語にも6進法の数字があったと疑われており、7の数字は後から借用されたが、10から引き算してより大きな数字（8と9）を構成した証拠はそうではないことを示唆している。^[5]

6進圧縮としての36進数

用途によっては、6進法は小さすぎて扱いにくい場合があります。この問題は、6進法の平方根である36（六十進法）を使用することで回避できます。この場合は、以下の置き換えを行うだけで簡単に変換できます。

小数点	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6進数	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25
基数36	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H
小数点	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
6進数	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55
基数36	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z

したがって、36進数WIKI ₃₆は6進数52303230 ₆に等しくなります。10進数では1,517,058です。

基数として36を選んだのは、アラビア数字の0～9とラテン文字のA～Zを使って数字を表現できるという点で便利であり、これがbase36符号化方式の基盤となっています。36は6の平方であるため、圧縮効果により、多くのパターンや表現が36基数では短くなります。

⁠1/9 ₁₀⁠ = 0.04 ₆ = 0.4 ₃₆

⁠1/16 ₁₀⁠ = 0.0213 ₆ = 0.29 ₃₆

⁠1/5 ₁₀⁠ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

⁠1/7 ₁₀⁠ = 0.05 ₆ = 0.5 ₃₆

参照

• 6 進値を発音可能なパスワードにエンコードするDicewareメソッド。
• Base36エンコード方式
• ADFGVX暗号はテキストを実質的に6進数の数字列に暗号化する

参考文献

1. Schonbrun, Zach (2015年3月31日). 「Crunching the Numbers: College Basketball Players Can't Wear 6, 7, 8 or 9」 . The New York Times . ISSN  0362-4331 . 2022年8月31日閲覧。
2. Bloom, Jonathan M. (2002年春). 「Hand sums: The ancient art of counting with your fingers」.ボストンカレッジ. 2011年8月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年5月12日閲覧。
3. “Dactylonomy”. Laputan Logic. 2006年11月16日. 2012年3月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年5月12日閲覧。
4. ブレビンズ、ジュリエット（2018年5月3日）「北コスタノ語のʃak:en 'six'の起源：ウティ語における6進法の再考」国際アメリカ言語学ジャーナル71 ( 1): 87– 101. doi :10.1086/430579. JSTOR  10.1086/430579. S2CID  144384806.
5. Plank, Frans (2009年4月26日). 「これまでの6年間の要約」(PDF) .言語類型論. 13 (2). doi :10.1515/LITY.2009.016. S2CID 55100862. 2016年4月6日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) . 2022年8月31日閲覧。
6. Owens, Kay (2001年4月). 「パプアニューギニアとオセアニアの計数システムに関するGlendon Leanの研究」 .数学教育研究ジャーナル. 13 (1): 47– 71. Bibcode :2001MEdRJ..13...47O. doi :10.1007/BF03217098. ISSN  1033-2170. S2CID  161535519. 2022年8月31日閲覧– Springer経由.
7. Owens, Kay (2001), 「パプアニューギニアとオセアニアの計数システムに関するGlendon Leanの研究」、Mathematics Education Research Journal、13 (1): 47– 71、Bibcode :2001MEdRJ..13...47O、doi :10.1007/BF03217098、S2CID  161535519、2015年9月26日時点のオリジナルよりアーカイブ

外部リンク

• 包括的な6進数リソース
• シャックの6進法の方言
• 6元ベースの変換
• 数値基数変換ツール (Sooeet)
• 電卓
• 6進法のカレンダー、時間と日付

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