複素数基底システム

Positional numeral system

算術において、複素数基数システムとは、基数が虚数（1955年にドナルド・クヌースによって提案された[ 1 ^{] [2]}）または複素数（1964年にS.クメルニクによって提案された^[3]、1965年にウォルター・F・ペニーによって提案された^{[4] [5] [6]} ）である位置の記数システムである。

一般的に

を整域とし、その上の（アルキメデスの）絶対値をとします。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$

位取り記数法における数は展開として表される ${\displaystyle X\in D}$

${\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}$

どこ

${\displaystyle \rho \in D}$		は の基数（または底）であり、 ${\displaystyle |\rho |>1}$
${\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }$		指数（位置または場所）です。
${\displaystyle x_{\nu }}$		は、通常、有限の数字集合から選択される数字です。 ${\displaystyle Z\subset D}$ ${\displaystyle |x_{\nu }|<|\rho |.}$

基数は 分解レベルと呼ばれます。 ${\displaystyle R:=|Z|}$

位置番号システムまたはコード体系は、

${\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }$

基数と数字の集合を持ち、数字の標準の集合は次のように 書きます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}$

次のような機能を備えたコーディング システムが望ましいです。

• のすべての数値、たとえば整数、ガウス整数、整数 は、おそらく符号±を伴う有限コードとして一意に表現可能です。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]}$
• 分数体 の あらゆる数は、または を生じることによって与えられた計量に対して完備化される可能性があり、に対して収束する無限級数として表現可能であり、複数の表現を持つ数の集合の測度は 0 です。後者は、集合が最小であること、すなわち、実数の場合は、複素数の場合は であることを要求します。 ${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle K:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle K:=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \nu \to -\infty }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R=|\rho |}$ ${\displaystyle R=|\rho |^{2}}$

実数では

この表記法では、標準的な10進法の表記は次のように表されます。

${\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}$

標準的な二進法は

${\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}$

負のバイナリシステムは

${\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}$

そしてバランスのとれた三元系^[2]は

${\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}$

これらすべてのコーディング システムには、およびに対して前述の機能があり、最後の 2 つには符号は必要ありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

複素数では

複素数のよく知られた位置記数法には、次のようなものがあります（は虚数単位）。 ${\displaystyle \mathrm {i} }$

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$例えば^[1]と ${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }$[ ^{2] 1955年に}ドナルド・クヌースによって提案された四分の一虚数基数。

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$そして

${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }$^{[3] [5]}（以下の基数-1±iのセクションも参照）。

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }$ここで、は正の整数であり、与えられた において複数の値を取ることができる。^[7]との場合、これはシステム ${\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}$ ${\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}$ ${\displaystyle \beta _{}^{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle R=2}$

${\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }$. ^[8]
• ${\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }$ここで、集合は複素数、および数値から構成されます。例: ${\displaystyle A_{R}^{2}}$ ${\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }$ ${\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}$

${\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .}$^[8]

• ${\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }$ここで^[9] ${\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}$ 

連星系

複素数の2進符号化システム、すなわち数字 のシステムは実用上興味深い。^[9]以下に、いくつかの符号化システム（すべて上記のシステムの特殊なケース）と、それぞれ（10進）数−1、2、−2、iのコードを示す。比較のために、標準2進法（符号を必要とする、1行目）と「負の2進法」（2行目）も示す。これらのシステムにはi の真の展開はない。 ${\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }$

いくつかの基底といくつかの表現^[10]

基数	–1 ←	2 ←	–2 ←	私←	双子と三つ子
2	–1	10	–10	私	1 ←	0.1 = 1.0​
–2	11	110	10	私	⁠1/3⁠ ←	0.01 = 1.10​
${\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}$	101	10100	100	10.101010100... [11]	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}}$←	0.0011 = 11.1100​
${\displaystyle {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}$	111	1010	110	11.110001100... [11]	${\displaystyle {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}}$←	1. 011 = 11. 101 = 11100. 110
${\displaystyle \rho _{2}}$	101	10100	100	10	⁠1/3⁠  +  ⁠1/3⁠ i ←	0.0011 = 11.1100​
–1+ i	11101	1100	11100	11	⁠1/5⁠  +  ⁠3/5⁠ i ←	0.010 = 11.001 = 1110.100​
2 i	103	2	102	10.2	⁠1/5⁠  +  ⁠2/5⁠ i ←	0. 0033 = 1. 3003 = 10. 0330 = 11. 3300

アルキメデスの絶対値を持つすべての位取り記数法と同様に、複数の表現を持つ数も存在します。そのような数の例は表の右列に示されています。これらはすべて循環分数であり、循環分数の上に水平線が引かれています。

数字のセットが最小の場合、そのような数字のセットの測定値は0 になります。これは、前述のすべてのコーディング システムに当てはまります。

比較のために、ほぼ二進法に近い四分の一虚数システムを一番下の行に示します。ここでは、実数部と虚数部が交互に配置されています。

ベース−1 ± i

i -1を基数とする複素数で整数部がすべてゼロであるもの

特に興味深いのは、以下で説明する4分の1虚数基数（基数2 i）と基数-1 ± iのシステムです。どちらも、符号なしのガウス整数を有限に表現するために使用できます。

0と1の数字を使用する基数-1± iは、1964年にS. Khmelnikによって提案され^[3]、1965年にWalter F. Penneyによって提案されました。 ^{[4] [6]}

ツインドラゴンとのつながり

整数の丸め領域、つまりこのシステムで表現される整数部分を共有する複素数（非整数）の集合は、複素平面でフラクタルな形状、つまりツインドラゴン（図を参照）を示します。この集合は、定義により、として表記できるすべての点です。は、と同型の 16 個の部分に分解できます。を反時計回りに 135° 回転させると、であるため、と同型の 2 つの隣接集合が得られることに注意してください。中央の長方形は、次の点で座標軸と反時計回りに交差します。、、および。したがって、 には絶対値 ≤ ⁠のすべての複素数が含まれます。  ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}$ ${\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}$ ${\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}$ ${\displaystyle R\subset S}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}$ ${\displaystyle S}$1/15⁠ . ^[12]

その結果、複素長方形の注入が生じる。

${\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }$

実数の区間 に写像することによって ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}$

と。^[13] ${\displaystyle b>2}$

さらに、2つのマッピングがあります

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}$

どちらも射影的であり、射影的（したがって空間充填）写像を生じる。

${\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}$

しかし、これは連続ではないため、空間充填曲線ではありません。しかし、非常に近い類縁関係にあるデイビス・クヌース・ドラゴンは連続であり、空間充填曲線です。

参照

• ドラゴンカーブ

参考文献

1. Knuth, DE (1960). 「虚数システム」. Communications of the ACM . 3 (4): 245– 247. doi : 10.1145/367177.367233 . S2CID  16513137.
2. ドナルド・クヌース(1998). 「位置数システム」.コンピュータプログラミングの技法. 第2巻 (第3版). ボストン: アディソン・ウェスレー. p. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC  48246681。
3. Khmelnik, SI (1964). 「複素数演算用の特殊デジタルコンピュータ」.無線電子工学の質問（ロシア語） . XII (2).
4. W. Penney、「複素数の「2進」システム」、JACM 12 (1965) 247-248。
5. Jamil, T. (2002). 「複素二進数システム」. IEEE Potentials . 20 (5): 39– 41. Bibcode :2002IPot...20e..39J. doi :10.1109/45.983342.
6. Duda, Jarek (2008-02-24). 「複素数基数体系」. arXiv : 0712.1309 [math.DS].
7. Khmelnik, SI (1966). 「複素数の位置符号化」.無線電子工学の質問（ロシア語） . XII (9).
8. Khmelnik, SI (2004). 複素数とベクトルの符号化（ロシア語）（PDF） . イスラエル: Mathematics in Computer. ISBN 978-0-557-74692-7。
9. Khmelnik, SI (2001). 複素数を処理する方法およびシステム. 米国特許, US2003154226 (A1).
10. ウィリアム・J・ギルバート、「複素数基数における算術」数学雑誌第57巻第2号、1984年3月
11. 無限非繰り返し配列
12. クヌース 1998 p.206
13. と の両方が であるため、基数は取れません。ただし、   は と等しくありません   。 ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle \textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i} }$

外部リンク

• 「複素数基数を用いた数体系」Jarek Duda著、Wolframデモンストレーションプロジェクト
• 「周期反復関数系の境界」Jarek Duda著、Wolframデモンストレーションプロジェクト
• 「3D の数値システム」、Jarek Duda、Wolfram デモンストレーション プロジェクト
• Jarek Duda 著「複素数基数体系の大規模入門」Mathematica ソース付き

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