一貫性基準

Property of electoral systems

投票制度が結合一貫性（強化基準とも呼ばれる）を満たすとは、2組の票を結合し、どちらもAをBより上位に選出した場合に、常に統合後の選挙区でAがBより上位になる場合である。^[1]これは参加基準のより強い形である。一貫性基準を満たさない制度（即時決選投票やコンドルセ方式など）は複数選挙区のパラドックス、つまり候補者が1つの選挙区も獲得せずに選挙に勝つことができる病的な行動の影響を受けやすい。 ^{[1]逆に、これは特にひどい種類の}ゲリマンダーを許すものと見なすことができる。つまり、選挙全体で勝利した候補者が1つの選挙区も獲得できないような境界線を引くことが可能である。^[1]

複数選挙区パラドックスの影響を受けやすい規則には、コンドルセ方式^[2]や決選投票（または順位付け投票）などが含まれる。影響を受けない規則には、順位投票（第一希望多数決やボルダカウントなど）やスコア投票、承認投票などが含まれる。

変種

結合一貫性には 3 つのバリエーションがあります。

1. 勝者の一貫性- 2 つの地区で同じ勝者Aが選出された場合、2 つの地区を統合して形成された新しい地区でもA が勝利します。
2. ランキングの一貫性- 2 つの地区が一連の候補者をまったく同じ方法でランキングした場合、統合された地区ではすべての候補者のランキングが同じになります。
3. 評価の一貫性- 2 つの地区が候補者に同じ総合評価を割り当てた場合、統合地区でもその候補者に同じ評価を割り当てます。

投票システムが勝者一貫性を持つためには、ポイント合計方式である必要があります。言い換えれば、それは位置投票システムまたはスコア投票（承認投票を含む）である必要があります。^{[3] [2]}

ケメニールールと多数決判断について以下に示すように、これら3つの変種は必ずしも互いに一致するわけではない（これは他の多くの投票基準とは対照的である）。ケメニールールは順位一貫性のある唯一のコンドルセ法であり、勝者一貫性のあるコンドルセ法は存在しない。^[2]

例

コープランド

この例は、コープランド法が一貫性基準に違反していることを示しています。A、B、C、D、Eという5人の候補者と、それぞれ27人の有権者が以下の選好をしていると仮定します。

設定	有権者
A > D > B > E > C	3
A > D > E > C > B	2
B > A > C > D > E	3
C > D > B > E > A	3
E > C > B > A > D	3
A > D > C > E > B	3
A > D > E > B > C	1
B > D > C > E > A	3
C > A > B > D > E	3
E > B > C > A > D	3

ここで、全投票者の集合は太線で2つのグループに分けられます。線より上の投票者は第1グループの投票者、それ以外の投票者は第2グループの投票者です。

最初の有権者グループ

以下に、最初の投票者グループのコープランドの勝者が決定されます。

設定	有権者
A > D > B > E > C	3
A > D > E > C > B	2
B > A > C > D > E	3
C > D > B > E > A	3
E > C > B > A > D	3

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ嗜好

X [注 1] Y [注 2]	あ	B	C	D	E
あ		9 5	6 8	3 11	6 8
B	5 9		8 6	8 6	5 9
C	8 6	6 8		5 9	8 6
D	11 3	6 8	9 5		3 11
E	8 6	9 5	6 8	11 3
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	3-0-1	2-0-2	2-0-2	2-0-2	1–0–3

1. 行のキャプションに記載されている候補者よりも、列のキャプションに記載されている候補者を支持した有権者を示します。
2. 行のキャプションに記載されている候補者を列のキャプションに記載されている候補者よりも支持した有権者を示します。

結果：最初の投票グループの投票により、Aは4人の対立候補のうち3人に勝利できる。一方、他のどの候補者も2人以上の対立候補に勝利することはできない。したがって、Aは最初の投票グループによってコープランドの勝者に選出される。

2番目の有権者グループ

これで、第2グループの投票者のコープランドの勝者が決定しました。

設定	有権者
A > D > C > E > B	3
A > D > E > B > C	1
B > D > C > E > A	3
C > A > B > D > E	3
E > B > C > A > D	3

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ選挙結果

X はい	あ	B	C	D	E
あ		6 7	9 4	3 10	6 7
B	7 6		6 7	4 9	7 6
C	4 9	7 6		7 6	4 9
D	10 3	9 4	6 7		3 10
E	7 6	6 7	9 4	10 3
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	3-0-1	2-0-2	2-0-2	2-0-2	1–0–3

結果：第2グループの投票のみを考慮すると、Aは4人の候補者のうち3人に勝利できる一方、他の候補者は2人以上の候補者に勝利することができません。したがって、Aは第2グループの投票者によってコープランドの勝者に選出されます。

すべての有権者

最終的に、投票者全員の中からコープランドの勝者が決定されます。

設定	有権者
A > D > B > E > C	3
A > D > C > E > B	3
A > D > E > B > C	1
A > D > E > C > B	2
B > A > C > D > E	3
B > D > C > E > A	3
C > A > B > D > E	3
C > D > B > E > A	3
E > B > C > A > D	3
E > C > B > A > D	3

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ選挙結果

X はい	あ	B	C	D	E
あ		15 12	15 12	6 21	12 15
B	12 15		14 13	12 15	12 15
C	12 15	13 14		12 15	12 15
D	21 6	15 12	15 12		6 21
E	15 12	15 12	15 12	21 6
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	2-0-2	3-0-1	4-0-0	1–0–3	0–0–4

結果: C がコンドルセの勝者なので、コープランドはC を勝者として選択します。

即時決選投票

この例は、即時決選投票が一貫性基準に違反していることを示しています。候補者A、B、Cの3人と、以下の優先順位を持つ23人の有権者を想定します。

設定	有権者
A > B > C	4
B > A > C	2
C > B > A	4
A > B > C	4
B > A > C	6
C > A > B	3

ここで、全投票者の集合は太線で2つのグループに分けられます。線より上の投票者は第1グループの投票者、それ以外の投票者は第2グループの投票者です。

最初の有権者グループ

以下に、最初のグループの投票者の即時決選投票の勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	4
B > A > C	2
C > B > A	4

Bは2票しか獲得していないため、最初に敗退します。Bの票はAに移ります。これでAは6票を獲得し、4票差のCに勝利します。

候補者	投票数
	1位	2位
あ	4	6
B	2
C	4	4

結果: B が敗退し、 A がC に勝利します。

2番目の有権者グループ

これで、第２グループの投票者の即時決選投票の勝者が決定した。

設定	有権者
A > B > C	4
B > A > C	6
C > A > B	3

Cは得票数が最も少なく、3票で敗退します。AはCの票をすべて獲得し、その恩恵を受けます。これで7票を獲得したAが、6票のBに勝利します。

候補者	投票数
	1位	2位
あ	4	7
B	6	6
C	3

結果: C が敗退し、 A がB に勝利します。

すべての有権者

最後に、全投票者の中から決選投票の勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	8
B > A > C	8
C > A > B	3
C > B > A	4

C は第一希望数が最も少ないため最初に排除され、その票は分割されます。4 票が B に、3 票が A に移されます。したがって、B は 12 票、A は 11 票を獲得して勝利します。

候補者	投票数
	1位	2位
あ	8	11
B	8	12
C	7

結果: C が敗退し、 B がA に勝利します。

結論

Aは、第一の投票者グループと第二の投票者グループの両方において、即時決選投票の勝者です。しかし、両グループを合わせると、即時決選投票の勝者としてBが選出されます。したがって、即時決選投票は一貫性基準を満たしていません。

ケメニー法

この例は、ケメニー法が一貫性基準に違反していることを示しています。候補者A、B、Cの3人と、以下の選好を持つ38人の有権者を想定します。

グループ	設定	有権者
1位	A > B > C	7
	B > C > A	6
	C > A > B	3
2位	A > C > B	8
	B > A > C	7
	C > B > A	7

ここで、全投票者の集合は太線で2つのグループに分けられます。線より上の投票者は第1グループの投票者、それ以外の投票者は第2グループの投票者です。

最初の有権者グループ

以下に、第 1 グループの投票者によるケメニーの勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	7
B > C > A	6
C > A > B	3

Kemeny 法では、ペア比較のカウントを次の集計表にまとめます。

選択肢のペア		支持する有権者
X	はい	X ÷ Y	どちらでもない	Y ÷ X
あ	B	10	0	6
あ	C	7	0	9
B	C	13	0	3

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

設定	1対2	1対3	2対3	合計
A > B > C	10	7	13	30
A > C > B	7	10	3	20
B > A > C	6	13	7	26
B > C > A	13	6	9	28
C > A > B	9	3	10	22
C > B > A	3	9	6	18

結果：ランキングスコアが最も高いのはA > B > Cです。したがって、AがBとCに先んじて勝利します。

2番目の有権者グループ

これで、第2グループの投票者のケメニー氏の勝者が決定した。

設定	有権者
A > C > B	8
B > A > C	7
C > B > A	7

Kemeny 法では、ペア比較のカウントを次の集計表にまとめます。

選択肢のペア		支持する有権者
X	はい	X ÷ Y	どちらでもない	Y ÷ X
あ	B	8	0	14
あ	C	15	0	7
B	C	7	0	15

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

設定	1対2	1対3	2対3	合計
A > B > C	8	15	7	30
A > C > B	15	8	15	38
B > A > C	14	7	15	36
B > C > A	7	14	7	28
C > A > B	7	15	8	30
C > B > A	15	7	14	36

結果：ランキングスコアが最も高いのはA > C > Bです。したがって、AがCとBに先んじて勝利します。

すべての有権者

最終的に、全投票者によるケメニー氏の勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	7
A > C > B	8
B > A > C	7
B > C > A	6
C > A > B	3
C > B > A	7

Kemeny 法では、ペア比較のカウントを次の集計表にまとめます。

選択肢のペア		支持する有権者
X	はい	X ÷ Y	どちらでもない	Y ÷ X
あ	B	18	0	20
あ	C	22	0	16
B	C	20	0	18

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

設定	1対2	1対3	2対3	合計
A > B > C	18	22	20	60
A > C > B	22	18	18	58
B > A > C	20	20	22	62
B > C > A	20	20	16	56
C > A > B	16	18	18	52
C > B > A	18	16	20	54

結果：ランキングスコアが最も高いのはB > A > Cです。つまり、BがAとCを抑えて勝利となります。

結論

Aは、第1投票グループと第2投票グループの両方において、ケメニー勝者です。しかし、両グループを合わせると、Bがケメニー勝者として選出されます。したがって、ケメニー法は強化基準を満たしていません。

ランキングの一貫性

ケメニー方式は、順位の一貫性を満たす。つまり、選挙民を任意に二つに分割し、それぞれの部分で別々の選挙を実施して同じ順位が選出された場合、選挙民全体での選挙でも同じ順位が選出される。実際、ケメニー方式は、順位の一貫性を満たす唯一のコンドルセ方式である。

非公式な証明

順位のケメニースコアは、各投票における順位と一致する一対比較の数を合計することによって計算されます。したがって、選挙区のケメニースコアは、選挙区を互いに素な部分集合（）に分割し、これらの部分集合のケメニースコアを計算し、それを合計することで計算できます。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$。

さて、選挙区 を持つ選挙を考えてみましょう。強化法の前提は、選挙区 を任意に2つの部分に分割し、それぞれの部分で同じ順位を選択することです。つまり、各選挙区における順位 のケメニースコアは、他のすべての順位 よりも大きくなります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}}$

ここで、選挙区全体のランキングのケメニー スコアが、他のすべてのランキングのケメニー スコアよりも大きいことを示す必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

したがって、Kemeny メソッドは完全なランキングに関して一貫しています。

多数決

この例は、多数決が強化則に反することを示しています。候補者AとBという2人の候補者と、以下の評価を持つ10人の有権者を想定します。

候補者		有権者
あ	B
素晴らしい	公平	3
貧しい	公平	2
公平	貧しい	3
貧しい	公平	2

ここで、全投票者の集合は太線で2つのグループに分けられます。線より上の投票者は第1グループの投票者、それ以外の投票者は第2グループの投票者です。

最初の有権者グループ

次に、最初の投票者グループの多数決勝者が決定されます。

候補者		有権者
あ	B
素晴らしい	公平	3
貧しい	公平	2

並べ替えられた評価は次のようになります。

候補者	↓ 中間点
あ
B
	素晴らしい  良い  公平  貧しい

結果：最初の投票者グループの投票により、Aは中央値で「優秀」、Bは中央値で「まずまず」の評価を得ました。したがって、最初の投票者グループによって、 Aが多数決で勝者に選出されました。

2番目の有権者グループ

これで、第 2 グループの投票者の多数決勝者が決定しました。

候補者		有権者
あ	B
公平	貧しい	3
貧しい	公平	2

並べ替えられた評価は次のようになります。

候補者	↓ 中間点
あ
B
	素晴らしい  良い  公平  貧しい

結果：第2グループの投票のみを考慮すると、Aの評価は中央値で「普通」、Bの評価は中央値で「悪い」となります。したがって、Aは第2グループの投票者によって多数決で勝者に選出されます。

すべての有権者

最終的に、投票者全員の多数決により勝者が決定されます。

候補者		有権者
あ	B
素晴らしい	公平	3
公平	貧しい	3
貧しい	公平	4

並べ替えられた評価は次のようになります。

候補者	↓ 中間点
あ
B
	素晴らしい  良い  公平  貧しい

AとBの評価の中央値はどちらも「普通」です。同点のため、中央値が異なるまで両方から「普通」の評価を除外します。それぞれの投票から20%の「普通」評価を除外した後、並べ替えられた評価は以下のようになります。

候補者	↓ 中間点
あ
B

結果：Aの評価の中央値は「悪い」、Bの評価の中央値は「普通」です。したがって、Bが多数決で勝者となります。

結論

Aは、最初の投票者グループと2番目の投票者グループの両方において、多数決の勝者です。しかし、両グループを合わせた多数決の勝者としてBが選出されました。したがって、多数決は一貫性基準を満たしていません。

ランク付けされたペア

この例では、順位付けペア法が一貫性基準に違反していることを示しています。3人の候補者A、B、Cが39人の有権者から以下の選好を受けていると仮定します。

設定	有権者
A > B > C	7
B > C > A	6
C > A > B	3
A > C > B	9
B > A > C	8
C > B > A	6

ここで、全投票者の集合は太線で2つのグループに分けられます。線より上の投票者は第1グループの投票者、それ以外の投票者は第2グループの投票者です。

最初の有権者グループ

次に、最初の投票者グループの順位付けされたペアの勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	7
B > C > A	6
C > A > B	3

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ選挙結果

X はい	あ	B	C
あ		6 10	9 7
B	10 6		3 13
C	7 9	13 3
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	1-0-1	1-0-1	1-0-1

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

ペア	勝者
B (13) 対 C (3)	B13
A (10) 対 B (6)	A 10
A (7) 対 C (9)	C9

結果: 最初に B > C と A > B が確定し (その後は C > A は確定できません)、完全な順位は A > B > C となります。したがって、最初の投票者グループによってAが順位付けペアの勝者として選出されます。

2番目の有権者グループ

これで、第 2 グループの投票者のランキング ペアの勝者が決定しました。

設定	有権者
A > C > B	9
B > A > C	8
C > B > A	6

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ選挙結果

X はい	あ	B	C
あ		14 9	6 17
B	9 14		15 8
C	17 6	8 15
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	1-0-1	1-0-1	1-0-1

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

ペア	勝者
A (17) 対 C (6)	A 17
B (8) 対 C (15)	C 15
A (9) 対 B (14)	B14

結果: 2 番目のグループの投票のみを考慮すると、最初に A > C と C > B が確定します (その後は B > A は確定できません)。したがって、完全な順位は A > C > B となります。したがって、 2 番目の投票者グループによって、 A が順位付けペアの勝者として選出されます。

すべての有権者

最後に、投票者全員の順位付けされたペアの勝者が決定されます。

設定	有権者
A > B > C	7
A > C > B	9
B > A > C	8
B > C > A	6
C > A > B	3
C > B > A	6

結果は次のように表にまとめられます。

ペアワイズ選挙結果

X はい	あ	B	C
あ		20 19	15 24
B	19 20		18 21
C	24 15	21 18
ペアワイズ選挙結果 （勝ち・引き分け・負け）	1-0-1	2-0-0	0–0–2

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

ペア	勝者
A (25) 対 C (15)	24
B (21) 対 C (18)	B 21
A (19) 対 B (20)	B 20

結果：これで、3つのペア（A > C、B > C、B > A）すべてが循環なしで確定しました。完全な順位はB > A > Cです。したがって、順位付けされたペアは循環がないため、 Bを勝者、つまりコンドルセの勝者とします。

結論

Aは、第1投票グループと第2投票グループの両方において、順位付けペア方式の勝者です。しかし、両グループを合わせた順位付けペア方式の勝者はBです。したがって、順位付けペア方式は一貫性基準を満たしていません。

参考文献

1. Franceschini, Fiorenzo; Maisano, Domenico A. (2022-06-01). 「設計上の決定におけるパラドックスの分析：複数地区パラドックスの事例」. International Journal on Interactive Design and Manufacturing (IJIDeM) . 16 (2): 677– 689. doi : 10.1007/s12008-022-00860-x . ISSN  1955-2505.
2. Young, HP; Levenglick, A. (1978). 「コンドルセの選挙原理の一貫した拡張」(PDF) . SIAM Journal on Applied Mathematics . 35 (2): 285– 300. doi :10.1137/0135023. ISSN  0036-1399. JSTOR  2100667.
3. ミシェル・バリンスキー;ララキ、リダ (2011-01-28)。多数決の判決。 MITプレス。土井：10.7551/mitpress/9780262015134.001.0001。ISBN 978-0-262-01513-4。

1. ^ John H Smith、「変動有権者による選好の集約」、 Econometrica、第41巻（1973年）、1027-1041頁。
2. ^ DR Woodall、「優先選挙ルールの特性」、 Voting matters、第3号（1994年12月）、8～15ページ。
3. ^ HP Young、「社会的選択スコアリング関数」、 SIAM応用数学ジャーナル第28巻第4号（1975年）、824〜838頁。

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