アインシュタイン場の方程式

Field-equations in general relativity

一般相対性理論において、アインシュタイン場の方程式（EFE 、アインシュタイン方程式とも呼ばれる）は時空の幾何学とその中の物質の分布を関連付けます。^[1]

これらの方程式は、 1915年にアルバート・アインシュタインによってテンソル方程式^[2]の形で発表され、局所的な時空の曲率（アインシュタインテンソル）とその時空内の運動量応力エネルギーテンソル）^[3]

電磁場がマクスウェル方程式を介して電荷と電流の分布に関連付けられるのと同様に、EFE は時空形状を質量、エネルギー、運動量、応力の分布に関連付けます。つまり、 EFE は時空における応力、エネルギー、運動量の所定の配置に対して時空の計量テンソルを決定します。計量テンソルとアインシュタイン テンソルの関係により、このように使用すると EFE を一連の非線形偏微分方程式として記述できます。EFE の解は計量テンソルの成分です。結果として得られる形状における粒子と放射線の慣性軌道（測地線）は、測地線方程式を使用して計算されます。

EFEは局所的なエネルギー運動量保存則を意味するだけでなく、弱い重力場と光速よりもはるかに遅い速度の極限においてニュートンの万有引力の法則に帰着します。^[4]

EFEの厳密解は、対称性などの単純化された仮定の下でのみ求まります。回転するブラックホールや膨張宇宙など、多くの重力現象をモデル化するため、特殊な厳密解が最も頻繁に研究されています。時空を平坦時空からのわずかな偏差のみを持つものとして近似することで、さらなる単純化が達成され、線形化されたEFEが得られます。これらの方程式は、重力波などの現象の研究に用いられます。

数学的な形式

オランダ、ライデンのブールハーヴェ国立美術館の壁にある EFE

アインシュタイン場の方程式（EFE）は次の形式で表されます。^{[5] [1]}

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

ここで、G _μνはアインシュタインテンソル、g _μνは計量テンソル、T _μνは応力エネルギーテンソル、Λは宇宙定数、κはアインシュタイン重力定数です。

アインシュタインテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },}$

ここで、R _μνはリッチ曲率テンソル、Rはスカラー曲率です。これは、計量​​テンソルとその1次および2次導関数のみに依存する、対称な発散のない2次テンソルです。

アインシュタインの重力定数は次のように定義される^{[6] [7]}

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.07665\times 10^{-43}\,{\textrm {N}}^{-1},}$

ここで、 Gはニュートンの重力定数、cは真空中の光速です。

EFEは次のようにも書ける。

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }.}$

標準単位では、左側の各項の量の次元はL ⁻²です。

左側の式は計量によって決定される時空の曲率を表し、右側の式は時空の応力・エネルギー・運動量成分を表します。したがって、EFEは、応力・エネルギー・運動量がどのように時空の曲率を決定するかを規定する一連の方程式として解釈できます。

これらの方程式は、一般相対性理論の数学的定式化の中核を成す。これらの方程式は測地線方程式を容易に導き出し、^[8]自由落下する試験物体が時空をどのように移動するかを規定する。^[9]

EFEは、対称な4×4テンソルの集合を関連付けるテンソル方程式です。各テンソルは10個の独立成分を持ちます。4つのビアンキ恒等式により、独立方程式の数は10個から6個に減少し、計量には4つのゲージ固定 自由度が残ります。これは座標系を選択する自由度に対応します。

アインシュタイン場の方程式は当初4次元理論の文脈で定式化されましたが、一部の理論家はn次元におけるその帰結を研究してきました。^[10]一般相対論以外の文脈における方程式は、依然としてアインシュタイン場の方程式と呼ばれています。真空場の方程式（T _μνがどこでもゼロのときに得られる）は、アインシュタイン多様体を定義します。

これらの方程式は見た目よりも複雑です。物質とエネルギーの分布が応力エネルギーテンソルの形で与えられた場合、EFEは計量テンソルg _μνの方程式であると理解されます。これは、リッチテンソルとスカラー曲率が両方とも計量に複雑な非線形的に依存するためです。EFEを完全に書き出すと、EFEは10個の結合した非線形双曲型楕円偏微分方程式系となります。^[11]

サインコンベンション

上記のEFEの形式は、ミスナー、ソーン、ウィーラー（MTW）によって確立された標準です。^[12]著者らは既存の慣習を分析し、3つの記号（[S1] [S2] [S3]）に従って分類しました。 $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

上記の 3 番目の記号は、リッチ テンソルの規則の選択に関連しています。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$$

これらの定義では、Misner、Thorne、Wheelerは自身を(+ + +)と分類していますが、Weinberg(1972) ^[13]は(+ − −)、Peebles(1980) ^[14]およびEfstathiou et al.(1990) ^[15]は(− + +)、Rindler(1977)、^{[引用が必要]} Atwater(1974)、^{[引用が必要]} Collins Martin & Squires(1989) ^[16]およびPeacock(1999) ^[17]は(− + −)です。

アインシュタインを含む著者は、リッチテンソルの定義で異なる符号を使用しており、その結果、右側の定数の符号は負になります。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$$

ここで採用されているMTW (−+ + +)メトリック符号規則ではなく、 (+ − − −)メトリック符号規則を使用すると、これら両方のバージョンで宇宙項の符号が変わります。

同等の定式化

EFEの両辺の計量に関してトレースをとると、次の式が得られます。ここでDは時空次元です。Rについて解き、これを元のEFEに代入すると、次の等価な「トレース反転」形式が得られます。 $${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T,}$$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right).}$$

D = 4次元ではこれは次のように簡約される。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$$

トレースを再度反転すると、元のEFEが復元されます。トレースを反転した形は、場合によってはより便利な場合があります（例えば、弱場極限に関心があり、右辺の式のg _μνをミンコフスキー計量に置き換えても精度が大幅に低下する場合など）。

宇宙定数

アインシュタインの場の方程式において、宇宙定数Λを含む項は、彼が最初に発表したバージョンには存在していませんでした。その後、アインシュタインは膨張も収縮もしていない宇宙を想定するため、この項を宇宙定数に含めました。しかし、この試みは失敗に終わりました。 その理由は以下の通りでした。 $${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$$

• この式で記述される任意の望ましい定常解は不安定であり、
• エドウィン・ハッブルの観測により、我々の宇宙は膨張していることが示されました。

アインシュタインはその後Λを放棄し、ジョージ・ガモフに「宇宙論の項の導入は彼の生涯最大の失敗だった」と述べた。^[18]

この項を加えても矛盾は生じません。長年にわたり、宇宙定数はほぼ普遍的にゼロであると仮定されてきました。近年の天文学的観測は宇宙の加速膨張を示しており、これを説明するにはΛの正の値が必要です。^{[19] [20]}銀河規模以下では、宇宙定数の影響は無視できます。

アインシュタインは宇宙定数を独立したパラメータとして考えていましたが、場の方程式におけるその項は代数的に反対側に移動して応力エネルギーテンソルの一部として組み込むこともできます。 $${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$$

このテンソルは、エネルギー密度ρ _vacと等方性圧力p _vacが固定定数で与えられる真空状態を表します。ここで、 Λの SI 単位は m ⁻²であり、κは上記のように定義されていると 仮定します。 $${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }=-p_{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$$

したがって、宇宙定数の存在は、真空エネルギーと反対符号の圧力の存在と等価である。このため、一般相対性理論では「宇宙定数」と「真空エネルギー」という用語が同じ意味で用いられるようになった。

特徴

エネルギーと運動量の保存

一般相対論は、エネルギーと運動量の局所的保存則と整合しており、次のように表される。 $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

局所エネルギー・運動量保存則の導出

微分ビアンキ恒等式をg ^αβで縮約すると、計量テンソルが共変定数、すなわちg ^αβ _{; γ} = 0であるという事実を用いて、 $${\displaystyle R_{\alpha \beta [\gamma \delta ;\varepsilon ]}=0}$$ $${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }+{R^{\gamma }}_{\beta \varepsilon \gamma ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

リーマンテンソルの反対称性により、上記の式の 2 番目の項は次のように書き直すことができます。 これは、リッチテンソルの定義を使用することと同等です。 $${\displaystyle {R^{\gamma }}_{\beta \gamma \delta ;\varepsilon }-{R^{\gamma }}_{\beta \gamma \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$ $${\displaystyle R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}$$

次に、この指標を使って再度契約を結ぶと、 $${\displaystyle g^{\beta \delta }\left(R_{\beta \delta ;\varepsilon }-R_{\beta \varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}$$ $${\displaystyle {R^{\delta }}_{\delta ;\varepsilon }-{R^{\delta }}_{\varepsilon ;\delta }+{R^{\gamma \delta }}_{\delta \varepsilon ;\gamma }=0.}$$

リッチ曲率テンソルとスカラー曲率の定義は次のように書き直せる ことを示している。 $${\displaystyle R_{;\varepsilon }-2{R^{\gamma }}_{\varepsilon ;\gamma }=0,}$$ $${\displaystyle \left({R^{\gamma }}_{\varepsilon }-{\tfrac {1}{2}}{g^{\gamma }}_{\varepsilon }R\right)_{;\gamma }=0.}$$

g ^εδとの最終的な縮約は次式を与える 。括弧内の項の対称性とアインシュタインテンソルの定義により、添え字を書き換えると次式が与えられる。 $${\displaystyle \left(R^{\gamma \delta }-{\tfrac {1}{2}}g^{\gamma \delta }R\right)_{;\gamma }=0,}$$ $${\displaystyle {G^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0.}$$

EFEを使用すると、次の式が直ちに得られます。 $${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}$$

これは応力エネルギーの局所的な保存則を表しています。この保存則は物理的な要件です。アインシュタインは場の方程式を用いて、一般相対性理論がこの保存則と整合することを保証しました。

非線形性

EFEの非線形性は、一般相対論を他の多くの基礎物理理論と区別するものです。例えば、電磁気学のマクスウェル方程式は、電場と磁場、そして電荷と電流の分布において線形です（つまり、2つの解の和もまた解です）。別の例として、量子力学のシュレーディンガー方程式は波動関数において線形です。

対応原理

EFEは、弱場近似と低速度近似の両方を用いることで、ニュートンの重力法則に帰着します。EFEに現れる定数Gは、これら2つの近似を用いることで決定されます。

ニュートンの重力法則の導出

ニュートンの重力は、スカラー場の理論として記述することができ、これは重力場のジュール/キログラム単位の重力ポテンシャルである。ガウスの重力の法則を参照のこと。ここでρは質量密度である。自由落下する粒子の軌道は、 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle g=-\nabla \Phi }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \left({\vec {x}},t\right)=4\pi G\rho \left({\vec {x}},t\right)}$$ $${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}(t)={\vec {g}}=-\nabla \Phi \left({\vec {x}}(t),t\right)\,.}$$

テンソル表記では、これらは $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{,ii}&=4\pi G\rho \\{\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-\Phi _{,i}\,.\end{aligned}}}$$

一般相対論では、これらの方程式は、ある定数Kに対するトレース反転形のアインシュタイン場の方程式と測地線方程式に置き換えられる。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=K\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}$$

後者が前者にどのように帰着するかを見るために、試験粒子の速度がほぼゼロであり、したがって計量とその導関数がほぼ静的であり、ミンコフスキー計量からの偏差の二乗が無視できると仮定する。これらの単純化仮定を測地線方程式の空間成分に適用すると、次の式が得られる。ここで、2つの因子は⁠ $${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx \left({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}$$dt/dτ⁠が分割されました。これはニュートン力学の対応するものに還元されます。 $${\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={\tfrac {1}{2}}g^{i\alpha }\left(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}$$

我々の仮定はα = iと時間(0)微分がゼロになることを強制する。したがってこれは次のように簡略化され、これは次のように満たされる。 $${\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}\left(-g_{00,j}\right)\approx -g_{00,i}\,}$$ $${\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}$$

アインシュタイン方程式に目を向けると、低速と静的場の仮定から、 時間-時間成分だけが必要です。 $${\displaystyle R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)}$$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \operatorname {diag} \left(T_{00},0,0,0\right)\approx \operatorname {diag} \left(\rho c^{4},0,0,0\right)\,.}$$

それでこうして $${\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx -{\frac {1}{c^{2}}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}$$ $${\displaystyle K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx K\left(\rho c^{4}-{\tfrac {1}{2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}\,.}$$

リッチテンソルの定義から $${\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}$$

我々の単純化した仮定により、Γの2乗は時間微分とともに消える。 $${\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}$$

上記の式を組み合わせると、ニュートン力学の場の方程式に帰着します。これは、 $${\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K\left(T_{00}-{\tfrac {1}{2}}Tg_{00}\right)\approx {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}=4\pi G\rho ,}$$ $${\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}$$

真空場方程式

1979 年のスイスの記念硬貨。宇宙定数がゼロである真空場の方程式が描かれている (上)。

エネルギー運動量テンソルT _μνが対象領域においてゼロである場合、場の方程式は真空場の方程式とも呼ばれる。トレース反転場の方程式においてT _μν = 0と設定することにより、真空場の方程式（「アインシュタイン真空方程式」（EVE）とも呼ばれる）は次のように書ける。 $${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,.}$$

宇宙定数がゼロでない場合、方程式は $${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$$

真空場方程式の解は真空解と呼ばれます。平坦ミンコフスキー空間は真空解の最も単純な例です。自明でない例としては、シュワルツシルト解やカー解などがあります。

ゼロとなるリッチテンソルR _μν = 0を持つ多様体はリッチ平坦多様体と呼ばれ、計量に比例するリッチテンソルを持つ多様体はアインシュタイン多様体と呼ばれます。

アインシュタイン・マクスウェル方程式

エネルギー運動量テンソルT _μνが自由空間における電磁場のテンソルである場合、すなわち電磁応力エネルギーテンソルが使用される場合、アインシュタイン場の方程式はアインシュタイン・マクスウェル方程式と呼ばれます（宇宙定数Λは、従来の相対性理論ではゼロとされています）。 $${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$$ $${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$$

さらに、共変マクスウェル方程式は自由空間にも適用可能である：^[21]ここで、セミコロンは共変微分を表し、括弧は反対称化を表す。最初の式は2形式Fの4次元発散がゼロであることを主張し、2番目の式はその外微分がゼロであることを主張する。後者から、ポアンカレの補題により、座標チャートにおいて、電磁場ポテンシャルA _α^{を導入することが可能であり、 [21]}ここで、コンマは偏微分を表す。これは、導出元の共変マクスウェル方程式と等価であるとしばしば解釈される。^[22]しかし、この方程式には、大域的に定義されたポテンシャルを持たない大域解が存在する。^[23] $${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$$

ソリューション

アインシュタイン場の方程式の解は時空の計量である。これらの計量は、時空における物体の慣性運動を含む時空構造を記述する。場の方程式は非線形であるため、必ずしも完全に（すなわち近似なしに）解けるわけではない。例えば、2つの質量体を含む時空（例えば連星系の理論モデル）の完全な解は知られていない。しかし、このような場合には通常近似が行われる。これらは一般にポストニュートン近似と呼ばれる。それでもなお、場の方程式が完全に解けた例はいくつかあり、それらは厳密解と呼ばれている。^[10]

アインシュタインの場の方程式の厳密解の研究は宇宙論の研究分野の一つであり、ブラックホールの予測や宇宙の進化に関する様々なモデルの構築につながります。

エリスとマッカラムが開拓した直交座標系法を用いて、アインシュタイン場の方程式の新しい解を発見することもできる。^[24]このアプローチでは、アインシュタイン場の方程式は、結合した非線形常微分方程式の集合に帰着する。スーとウェインライトが論じたように、^{[25]アインシュタイン場の方程式の自己相似解は、結果として得られる}力学系の不動点となる。これらの方法を用いて、ルブラン^[26]やコーリとハスラム^[27]も新しい解を発見している。

線形化EFE

EFEの非線形性は、厳密な解を求めることを困難にする。場の方程式を解く一つの方法は、近似を行うことである。すなわち、重力物質の源から遠く離れた場所では重力場は非常に弱く、時空はミンコフスキー空間のそれに近似する。この場合、計量はミンコフスキー計量と、真の計量とミンコフスキー計量との偏差を表す項の和として表され、高次項は無視される。この線形化手順は、重力放射現象の調査に用いることができる。

多項式形式

EFEは計量テンソルの逆テンソルを含んでいますが、計量テンソルを多項式形式で含み、逆テンソルを含まない形で整理することができます。まず、4次元における計量の行列式はレヴィ・チヴィタ記号を用いて表すことができます。そして、4次元における計量の逆テンソルは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \det(g)={\tfrac {1}{24}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}$$ $${\displaystyle g^{\alpha \kappa }={\frac {{\tfrac {1}{6}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}$$

この計量の逆表現を方程式に代入し、両辺に適切なdet( g )のべき乗を乗じて分母から消去すると、計量テンソルとその1次および2次導関数に関する多項式方程式が得られる。これらの方程式を導出するアインシュタイン・ヒルベルト作用も、体を適切に再定義することで多項式形式で表すことができる。^[28]

参照

• 共形時空
• アインシュタイン・ヒルベルト作用
• 等価原理
• 一般相対論における厳密解
• 一般相対性理論のリソース
• 一般相対性理論の歴史
• ハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式
• 一般相対性理論の数学
• 数値相対論
• リッチ計算

注記

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6. κ = 8 πG / c ⁴を選択したため、式の右辺の応力エネルギーテンソルの各成分はエネルギー密度（すなわち体積あたりのエネルギー、つまり圧力）の単位で表記される必要がある。アインシュタインの原著論文ではκ = 8 πG / c ²が選択されており、この場合、応力エネルギーテンソルの各成分は質量密度の単位を持つ。
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21. ここで、カンマで示される偏導関数を含む完全な式は、個々の項が共変ではないにもかかわらず、完全に共変です。
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参考文献

一般相対性理論のリソースを参照してください。

• ミスナー、チャールズ・W. ;ソーン、キップ・S. ;ウィーラー、ジョン・アーチボルド(1973). 『重力』 サンフランシスコ: WHフリーマン. ISBN 978-0-7167-0344-0。
• ワインバーグ、スティーブン（1972年）『重力と宇宙論』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社、ISBN 0-471-92567-5。
• ピーコック、ジョン・A. (1999).宇宙物理学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-41072-4。

外部リンク

• 「アインシュタイン方程式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 相対性理論に関する Caltech チュートリアル — アインシュタインの場の方程式の簡単な入門。
• アインシュタインの方程式の意味 — アインシュタインの場の方程式、その導出、そしていくつかの帰結の説明
• MIT物理学教授エドモンド・バーツィンガーによるアインシュタインの場方程式に関するビデオ講義。
• アーチと足場：アインシュタインが場の方程式を発見した経緯 Physics Today 2015年11月号、場の方程式の発展の歴史

外部画像

• ライデン中心部にあるブールハーヴェ博物館の壁に描かれたアインシュタインの場の方程式
• スザンヌ・インバー、「アタカマ砂漠における一般相対性理論の影響」、ボリビアの列車側面に描かれたアインシュタイン場の方程式。

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