Trigonometric values in terms of square roots and fractions
数学において、三角関数 の値は のように近似的に 、または のように正確に表すことができます 。 三角関数の表には多くの近似値が含まれていますが、特定の角度の正確な値は、四則演算と 平方根 の組み合わせによって表すことができます 。このように表せる三角関数の値を持つ角度は、 コンパスと定規 を使って作図できる角度とまったく同じであり、その値は 作図可能数 と呼ばれます。 cos ( π / 4 ) ≈ 0.707 {\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707} cos ( π / 4 ) = 2 / 2 {\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}
共通角度 15°、18°、または22.5°の倍数の角度の三角関数は、単純な代数値を持ちます。これらの値は、0°から45°までの角度について、以下の表に示されています [1] [2] （証明については下記を参照）。以下の表で、「未定義」というラベルは比を表します。 三角関数の余域を 実数 とすると、これらの要素は 未定義になりますが、余域を 射影拡張された実数 とすると 、これらの要素は値を取ります（ ゼロ除算を 参照 ）。 1 : 0. {\displaystyle 1:0.} ∞ {\displaystyle \infty }
ラジアン 学位 罪 コス 日焼け ベビーベッド 秒 csc 0 {\displaystyle 0} 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 未定義 1 {\displaystyle 1} 未定義 π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} 2 ( 3 − 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}{4}}} 2 ( 3 + 1 ) 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}{4}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} 2 ( 3 − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)} 2 ( 3 + 1 ) {\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)} π 10 {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}} 18 ∘ {\displaystyle 18^{\circ }} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 2 5 + 5 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{4}}} 5 5 − 2 5 5 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{5}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 10 5 − 5 5 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{5}}} 5 + 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}+1} π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} 22.5 ∘ {\displaystyle 22.5^{\circ }} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} 2 2 − 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}} 2 2 + 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 2 {\displaystyle 2} π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}} 36 ∘ {\displaystyle 36^{\circ }} 2 5 − 5 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{4}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 5 5 + 2 5 5 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{5}}} 5 − 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}-1} 10 5 + 5 5 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{5}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
この範囲外の角度については、 次のような 反射とシフトの恒等式を適用することで三角関数の値を求めることができます。
sin ( π 2 − θ ) = cos ( θ ) , sin ( 2 π + θ ) = sin ( π − θ ) = sin ( θ ) , sin ( π + θ ) = sin ( − θ ) = − sin ( θ ) , cos ( 2 π + θ ) = cos ( − θ ) = cos ( θ ) , cos ( π + θ ) = cos ( π − θ ) = − cos ( θ ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}
三角関数 三角 数は、 π ラジアンの 有理 倍 の 正弦または余弦 として表せる数である 。 [3] この定義では正弦は省略できる ため、任意の三角数は と表記できる。 ここで、 k と nは整数である。この数は 複素数 の実部と考えることができる 。 ド・モアブルの公式は 、この形式の数が 単位根 で あることを示す。 sin ( x ) = cos ( x − π / 2 ) , {\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),} cos ( 2 π k / n ) {\displaystyle \cos(2\pi k/n)} cos ( 2 π k / n ) + i sin ( 2 π k / n ) {\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}
( cos ( 2 π k n ) + i sin ( 2 π k n ) ) n = cos ( 2 π k ) + i sin ( 2 π k ) = 1 {\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1} 単位根は 多項式 x n − 1 の根であるため、 代数的 で ある 。三角数は単位根とその 複素共役 の平均であり、代数的数は算術演算で閉じているため、すべての三角数は代数的である。 [3] 三角数の最小多項式は 明示的に列挙する ことができる。 [4] 対照的に、 リンデマン・ワイエルシュトラス の定理により、任意の非ゼロ代数的数の正弦または余弦は常に超越的である。 [5]
任意の1の根の実部は三角関数の数である。 ニーヴンの定理 によれば、有理数三角関数の数は0、1、-1、1/2、-1/2のみである。 [6]
構築可能性 角度をコンパスと定規で作図できるのは、その角度の正弦（または等価の余弦）が算術演算と整数の平方根の組み合わせで表せる場合のみです。 [7] [ ページ必要 ] さらに、ラジアンの有理倍数の角度をラジアン で表すと 、 a と b が 互いに素な 整数である場合、 分母 bの素因数 分解が 2 の べき乗と任意の数の異なる フェルマー素数 （フェルマー素数とは 2 のべき乗より 1 大きい素数）の積になる場合にのみ、作図可能です。 [ 7 ] : 46 π {\displaystyle \pi } a π / b {\displaystyle a\pi /b}
例えば、 15はフェルマー素数3と5の積であるため、構成可能な角です。同様に、 12は2の累乗（4）とフェルマー素数（3）の積であるため、構成可能な 角です。しかし、は構成可能な角ではありません。なぜなら、 は3を因数として2回含むため、 異なる フェルマー素数の積ではないからです。また、 7はフェルマー素数ではないため、も同様です。 [8] 2 π / 15 = 24 ∘ {\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }} π / 12 = 15 ∘ {\displaystyle \pi /12=15^{\circ }} π / 9 = 20 ∘ {\displaystyle \pi /9=20^{\circ }} 9 = 3 ⋅ 3 {\displaystyle 9=3\cdot 3} π / 7 ≈ 25.714 ∘ {\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}
上記の特徴から、整数度の角度は、この度数が 3 の倍数である場合にのみ構成可能であることがわかります。
構築可能な値
45° 反射恒等式 から 、が得られる。 ピタゴラスの三角関数の恒等式 に代入すると 、 最小多項式 が得られる。正の根を取ると が得られる 。 cos ( 45 ∘ ) = sin ( 90 ∘ − 45 ∘ ) = sin ( 45 ∘ ) {\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })} sin ( 45 ∘ ) 2 + cos ( 45 ∘ ) 2 = 1 {\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1} 2 sin ( 45 ∘ ) 2 − 1 = 0 {\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0} sin ( 45 ∘ ) = cos ( 45 ∘ ) = 1 / 2 = 2 / 2 {\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}
45°の正弦または余弦を求める幾何学的な方法は、辺の長さが1の直角二等辺三角形を考えることです。二等辺三角形の2つの角は等しいので、直角三角形の残りの角が90°であれば、2つの等しい角はそれぞれ45°になります。そして、ピタゴラスの定理により、このような三角形の斜辺の長さは です 。三角形の斜辺の長さが1になるように拡大縮小し、その長さを で割ると 、上記の45°の正弦または余弦と同じ値が得られます。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
30°と60° 正弦と余弦の値が30度と60度であることは、 正三角形 の解析によって導かれます。正三角形では、3つの角は等しく、その和は180度なので、各角の角度は60度です。1つの角を二等分すると、30度、60度、 90度の角度を持つ 特別な直角三角形 が得られます。対称性により、二等分された辺は正三角形の辺の半分なので、 と結論付けられます 。ピタゴラスの定理と鏡映の定理から が得られます 。 sin ( 30 ∘ ) = 1 / 2 {\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2} sin ( 60 ∘ ) = cos ( 30 ∘ ) = 1 − ( 1 / 2 ) 2 = 3 / 2 {\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}
18°、36°、54°、72° の値は 正弦と余弦の 倍角公式 を使って導くことができる。 [9] 正弦の倍角公式によって： sin ( 18 ∘ ) {\displaystyle \sin(18^{\circ })}
sin ( 36 ∘ ) = 2 sin ( 18 ∘ ) cos ( 18 ∘ ) {\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })} 余弦の三倍角の公式により：
cos ( 54 ∘ ) = cos 3 ( 18 ∘ ) − 3 sin 2 ( 18 ∘ ) cos ( 18 ∘ ) = cos ( 18 ∘ ) ( 1 − 4 sin 2 ( 18 ∘ ) ) {\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))} sin(36°) = cos(54°)なので、これら2つの式を等しくし、cos(18°)の係数を消去します。
2 sin ( 18 ∘ ) = 1 − 4 sin 2 ( 18 ∘ ) {\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })} この二次方程式には正の根が 1 つだけあります。
sin ( 18 ∘ ) = 5 − 1 4 {\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} ピタゴラスの定理から が得られ 、2倍角と3倍角の公式から、それぞれ36°、54°、72°の正弦と余弦が得られます。そして となり 、ここで は 黄金比 です 。 cos ( 18 ∘ ) {\displaystyle \cos(18^{\circ })} cos ( 36 ∘ ) = ( 5 + 1 ) / 4 = φ / 2 {\displaystyle \cos(36^{\circ })=({\sqrt {5}}+1)/4=\varphi /2} φ {\displaystyle \varphi }
残りの3°の倍数 ウィキメディア コモンズには、 これらの正確な値の表が記載された ファイルがあります。 0°から90°までの間の3°の倍数である他のすべての角度の正弦と余弦は、上記の角度と 和と差の公式 から導くことができる。具体的には、 [10]
3 ∘ = 18 ∘ − 15 ∘ , 24 ∘ = 54 ∘ − 30 ∘ , 51 ∘ = 60 ∘ − 9 ∘ , 78 ∘ = 60 ∘ + 18 ∘ , 6 ∘ = 36 ∘ − 30 ∘ , 27 ∘ = 45 ∘ − 18 ∘ , 57 ∘ = 30 ∘ + 27 ∘ , 81 ∘ = 45 ∘ + 36 ∘ , 9 ∘ = 45 ∘ − 36 ∘ , 33 ∘ = 60 ∘ − 27 ∘ , 63 ∘ = 45 ∘ + 18 ∘ , 84 ∘ = 54 ∘ + 30 ∘ , 12 ∘ = 30 ∘ − 18 ∘ , 39 ∘ = 30 ∘ + 9 ∘ , 66 ∘ = 36 ∘ + 30 ∘ , 87 ∘ = 60 ∘ + 27 ∘ . 15 ∘ = 45 ∘ − 30 ∘ , 42 ∘ = 60 ∘ − 18 ∘ , 69 ∘ = 60 ∘ + 9 ∘ , 21 ∘ = 30 ∘ − 9 ∘ , 48 ∘ = 30 ∘ + 18 ∘ , 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ , {\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}} たとえば、 なので 、その余弦は余弦差の公式によって導くことができます。 24 ∘ = 60 ∘ − 36 ∘ {\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}
cos ( 24 ∘ ) = cos ( 60 ∘ ) cos ( 36 ∘ ) + sin ( 60 ∘ ) sin ( 36 ∘ ) = 1 2 5 + 1 4 + 3 2 10 − 2 5 4 = 1 + 5 + 30 − 6 5 8 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\[4mu]&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\[6mu]&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}
半角 分母 bに2の因数を掛けると、 半角の公式 を用いて正弦と余弦を求めることができます 。例えば、22.5°（ π /8ラジアン）は45°の半分なので、その正弦と余弦は次のようになります。 [11]
sin ( 22.5 ∘ ) = 1 − cos ( 45 ∘ ) 2 = 1 − 2 2 2 = 1 2 2 − 2 {\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}} cos ( 22.5 ∘ ) = 1 + cos ( 45 ∘ ) 2 = 1 + 2 2 2 = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}} 半角の公式を繰り返し適用すると、 入れ子になった根号 、具体的には という 形式の 2 の入れ子になった平方根 が得られます。一般に、 形式のほとんどの角度の正弦と余弦は、 の項で 2 の入れ子になった平方根を使用して表すことができます。具体的には、 のときに および が -1、0、または 1 である 角度を と書くことができる場合 、 [12] となり、のときは [12] となります。 例えば、となる ので、次式 が得られます。 2 ± ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}} β / 2 n {\displaystyle \beta /2^{n}} β {\displaystyle \beta } α = π ( 1 2 − ∑ i = 1 k ∏ j = 1 i b j 2 i + 1 ) = π ( 1 2 − b 1 4 − b 1 b 2 8 − b 1 b 2 b 3 16 − … − b 1 b 2 … b k 2 k + 1 ) {\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)} b k ∈ [ − 2 , 2 ] {\displaystyle b_{k}\in [-2,2]} b i {\displaystyle b_{i}} i < k {\displaystyle i<k} cos ( α ) = b 1 2 2 + b 2 2 + b 3 2 + … + b k − 1 2 + 2 sin ( π b k 4 ) {\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}} b 1 ≠ 0 {\displaystyle b_{1}\neq 0} sin ( α ) = 1 2 2 − b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 + … + b k − 1 2 + 2 sin ( π b k 4 ) {\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}} 13 π 32 = π ( 1 2 − 1 4 + 1 8 + 1 16 − 1 32 ) {\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)} ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = ( 1 , − 1 , 1 , − 1 ) {\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)} cos ( 13 π 32 ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 sin ( − π 4 ) = 1 2 2 − 2 + 2 − 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}} sin ( 13 π 32 ) = 1 2 2 + 2 + 2 − 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}
17の分母 17はフェルマー素数であるため、正 17角形は 構成可能であり、これはラジアンなどの角度の正弦と余弦を 平方根で表せることを意味します。特に、1796年に カール・フリードリヒ・ガウスは 以下を示しました。 [13] [14] 2 π / 17 {\displaystyle 2\pi /17}
cos ( 2 π 17 ) = − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 170 + 38 17 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}} ラジアンを測定する関連する構築可能な角度（整数 と の場合）の正弦と余弦は、 これから導くことができます。 k π / ( 17 ⋅ 2 n ) {\displaystyle \textstyle k\pi /(17\cdot 2^{n})} k {\displaystyle k} n {\displaystyle n}
1°の非構成性 § 構成可能性で述べたように、ラジアンの有理倍である特定の角度のみが、 平方根で表せる三角関数の値を持ちます。角度1°は ラジアンであるため、分母に3の繰り返し因数を持つため、平方根だけでは表せません。関連する疑問として、立方根で表せるかどうかがあります。以下の2つのアプローチが考えられますが、どちらも 複素数の立方根 を含む式になります 。 π {\displaystyle \pi } π / 180 = π / ( 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ) {\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)} sin ( 1 ∘ ) {\displaystyle \sin(1^{\circ })}
三重角の恒等式を用いると、 を 3次多項式の根として同定できる 。この多項式の3つの根は 、、、 である 。 は構成可能なので、その式を カルダノの公式 に代入しての式を得ることができる。しかし、3次多項式の3つの根はすべて実数であるため、これは casus irreducilis の例であり 、この式では複素数の3乗根を求める必要がある。 [15] [16] sin ( 1 ∘ ) {\displaystyle \sin(1^{\circ })} sin ( 3 ∘ ) = − 4 x 3 + 3 x {\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x} sin ( 1 ∘ ) {\displaystyle \sin(1^{\circ })} sin ( 59 ∘ ) {\displaystyle \sin(59^{\circ })} − sin ( 61 ∘ ) {\displaystyle -\sin(61^{\circ })} sin ( 3 ∘ ) {\displaystyle \sin(3^{\circ })} sin ( 1 ∘ ) {\displaystyle \sin(1^{\circ })}
あるいは、 ド・モアブルの公式 によれば：
( cos ( 1 ∘ ) + i sin ( 1 ∘ ) ) 3 = cos ( 3 ∘ ) + i sin ( 3 ∘ ) , ( cos ( 1 ∘ ) − i sin ( 1 ∘ ) ) 3 = cos ( 3 ∘ ) − i sin ( 3 ∘ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}} 立方根をとり、方程式を足したり引いたりすると、次の式が得られます。 [16]
cos ( 1 ∘ ) = 1 2 ( cos ( 3 ∘ ) + i sin ( 3 ∘ ) 3 + cos ( 3 ∘ ) − i sin ( 3 ∘ ) 3 ) , sin ( 1 ∘ ) = 1 2 i ( cos ( 3 ∘ ) + i sin ( 3 ∘ ) 3 − cos ( 3 ∘ ) − i sin ( 3 ∘ ) 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}
参照
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![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4cf143ee3b93a226e0425adf0ae0e47c931b1f)
ウィキメディア コモンズには、これらの正確な値の表が記載されたファイルがあります。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\[4mu]&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\[6mu]&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe5be661b77918d0dad22aaf360bc7db6b7556c)
![{\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc21b4dd99199febd2dd8c064e315fbf9a226e)
-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8718420d2717a35847030ebabf0235feb97794d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ea6252703ab5dc769ffd04f3ed4c184787c0f8)
