Property of all triangles on a Euclidean plane
正弦定理の成分がラベル付けされた2つの三角形。角度 α 、 β 、 γはそれぞれ頂点 A 、 B 、 C に関連付けられ、長さ a 、 b 、 c のそれぞれの辺は これらの頂点と反対側に位置します（例えば、辺 a は角度 α で頂点 A と反対側に位置します）。
三角法 において 、 正弦法則 （ 正弦公式 または 正弦定理 と呼ばれることもある）は、 三角形 の辺の 長さ とその 角度の 正弦 を 関連付ける 数式 です。この法則によれば、 a 、 b 、 c は 三角形の辺の長さ、 α 、 β 、 γ は対角（図 2 を参照）、 R は三角形の 外接円の 半径 です 。この法則は、式の最後の部分が使用されない場合は 逆数 を使用して表されることがあります。正弦法則は、
2 つの角度と 1 つの辺がわかっている場合に三角形の残りの辺を計算するために使用できます 。
この手法は、 三角 測量と呼ばれます。また、2 辺と、囲まれていない角度の 1 つがわかっている場合にも使用できます。このような場合、三角形はこのデータでは一意に決定されず（ あいまいなケース と呼ばれる）、この手法では囲まれた角度に対して 2 つの値が与えられます。 a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,} sin α a = sin β b = sin γ c . {\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}
正弦定理は、 不等辺三角形 の長さと角度を求めるために一般的に適用される 2 つの三角法則のうちの 1 つであり、もう 1 つは 余弦定理 です。
正弦定理は、一定の曲率を持つ表面上の高次元に一般化することができる。 [1]
証拠 長さa の辺を 底辺とすると、三角形の 高さは b sin γ または c sin β として計算できます 。これら2つの式を等しくすると、 三角形の底辺を
長さ b の辺または長さ c の辺
にした場合も同様の式が得られます。 b sin β = c sin γ , {\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,,}
三角形の解の曖昧なケース 正弦定理を用いて三角形の辺を求める際、与えられたデータから2つの別々の三角形が構築できる場合（つまり、三角形に2つの異なる解が存在する場合）は曖昧なケースとなります。下図の場合、それらは三角形 ABC と ABC′ です。
一般的な三角形が与えられた場合、ケースが曖昧になるためには次の条件を満たす必要があります。
三角形についてわかっている情報は、角度 α と辺 a および c だけです。 角度 α は鋭角 です (つまり、 α < 90°)。 辺 a は辺 c より短い(つまり、 a < c )。 辺 a は角度 βからの高さ h よりも長く 、ここで h = c sin α (つまり a > h ) です。 上記の条件がすべて真である場合、角度 β と β′ のそれぞれによって有効な三角形が生成され、次の両方が真であることを意味します。 γ ′ = arcsin c sin α a or γ = π − arcsin c sin α a . {\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}
そこから 、必要に応じて対応する β と b または β′ と b′を見つけることができます。ここで、 bは頂点 A と C で囲まれた辺であり 、 b′は A と C′ で囲まれた辺です 。
例 以下は正弦定理を使用して問題を解決する方法の例です。
例1 例1 辺 a = 20 、辺 c = 24 、角度 γ = 40° が与えられています。角度 α が求められます。
正弦定理を用いると、次の結論が得られる。 sin α 20 = sin ( 40 ∘ ) 24 . {\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.} α = arcsin ( 20 sin ( 40 ∘ ) 24 ) ≈ 32.39 ∘ . {\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
潜在的な解 α = 147.61°は、必然的に α + β + γ > 180° となるため除外されることに注意してください 。
例2 例2 三角形 a と bの2辺の長さが x に等しく 、3番目の辺の長さが cで、長さ a 、 b 、 c の辺に対向する角度が それぞれ α 、 β 、 γ である場合、 α = β = 180 ∘ − γ 2 = 90 ∘ − γ 2 sin α = sin β = sin ( 90 ∘ − γ 2 ) = cos ( γ 2 ) c sin γ = a sin α = x cos ( γ 2 ) c cos ( γ 2 ) sin γ = x {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}
外接円との関係 この恒等式において、 3つの分数の共通値は実際には 三角形の 外接円の 直径である。この結果は プトレマイオス にまで遡る 。 [2] [3] a sin α = b sin β = c sin γ , {\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}
証拠 外接直径に等しい正弦定理の比を導出します。三角形 ADBは、直径 d の外接円の中心を通ることに注意してください 。 図に示すように、円の中心Oを通る内接円と、円の中心 O を通る 内接円があるとします 。円 の 中心角 はで あり 、 タレスの定理 より となります 。 は直角三角形であるため、 は 三角形の外接円の半径です。 [3] 角 と は 同一円上にあり、 同じ 弦 c をなしています 。したがって、 内接角定理より と なります。 したがって 、 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} △ A D B {\displaystyle \triangle ADB} ∠ A O D {\displaystyle \angle AOD} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ∠ A B D = 90 ∘ {\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }} △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} sin δ = opposite hypotenuse = c 2 R , {\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},} R = d 2 {\textstyle R={\frac {d}{2}}} γ {\displaystyle {\gamma }} δ {\displaystyle {\delta }} γ = δ {\displaystyle {\gamma }={\delta }} sin δ = sin γ = c 2 R . {\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}
利回りの並べ替え 2 R = c sin γ . {\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}
他のポイントで 作成するプロセスを繰り返すと、 △ A D B {\displaystyle \triangle ADB}
a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R . {\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}
三角形の面積との関係 三角形の面積は で与えられ 、 は長さ a と b の辺で囲まれた角度です 。この式に正弦定理を代入すると、 T = 1 2 a b sin θ {\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta } θ {\displaystyle \theta } T = 1 2 a b ⋅ c 2 R . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}
外接 半径として [4] R {\displaystyle R}
T = a b c 4 R . {\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}
この等式は、 T が三角形の面積、 s が 半周長で ある
こと を意味することも示せる。 a b c 2 T = a b c 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}} s = 1 2 ( a + b + c ) . {\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}
上記の 2 番目の等式は、 面積に関する ヘロンの公式に簡単に簡略化されます。
正弦定理は三角形の面積を求める次の公式を導く際にも使える。角度の正弦の半和をとすれば 、 [ 5] S = 1 2 ( sin A + sin B + sin C ) {\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}
T = 4 R 2 S ( S − sin A ) ( S − sin B ) ( S − sin C ) {\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}
ここで 、外接円の半径は です 。 R {\displaystyle R} 2 R = a sin A = b sin B = c sin C {\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
球面正弦法則 球面正弦定理は、球面上の三角形で、その辺が 大円 の弧になっているものを扱います。
球の半径を1とします。 三角形の辺である大円弧の長さをそれぞれ a 、 b 、 cとします。球は単位球面であるため、 a 、 b 、 c は球の中心におけるこれらの円弧の角度（ラジアン）です。A 、 B 、 C は 、それぞれの辺の向かい合う角度です。これらは、 3 つの大円の平面間の 二面角です。
すると、球面正弦法則は次のようになります。 sin A sin a = sin B sin b = sin C sin c . {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}
ベクトル証明 原点から三角形の頂点に向かって引かれた3つの単位ベクトル OA 、 OB 、 OC を持つ単位球面を考えます。したがって、角度 α 、 β 、 γ はそれぞれ角度 a 、 b 、 c です。弧 BC は 中心で大きさ a の角度を成します。OA を z 軸に 、 OB を xz 平面に配置し、 z 軸と 角度 c を成す直交座標基底を導入します。ベクトル OC は xy 平面で ON に投影され、 ON と x 軸 の間の角度は A です。したがって、3つのベクトルは次の成分を持ちます。 O A = ( 0 0 1 ) , O B = ( sin c 0 cos c ) , O C = ( sin b cos A sin b sin A cos b ) . {\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}
スカラー 三重積 OA ⋅ ( OB × OC ) は、 球面三角形 OA 、 OB 、 OC の頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体 の体積です。この体積は、 OA 、 OB 、 OC を表すのに使用される特定の座標系に対して不変です。 スカラー三重積 OA ⋅ ( OB × OC ) の値は、 OA 、 OB 、 OC を行とする3 × 3 行列式 です 。 OAに沿った z 軸の場合 、この行列式の
2 乗は、 OB に沿った z 軸
でこの計算を繰り返すと、 (sin c sin a sin B ) 2 となり 、 OCに沿った z 軸 では、 (sin a sin b sin C ) 2 と なります 。これらの式を等しくし、全体を (sin a sin b sin c ) 2 で割ると、球面三角形の頂点の位置ベクトルによって形成される平行六面体 の体積 V が得られます 。 したがって、結果は次のようになります。 ( O A ⋅ ( O B × O C ) ) 2 = ( det ( O A O B O C ) ) 2 = | 0 0 1 sin c 0 cos c sin b cos A sin b sin A cos b | 2 = ( sin b sin c sin A ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}} sin 2 A sin 2 a = sin 2 B sin 2 b = sin 2 C sin 2 c = V 2 sin 2 ( a ) sin 2 ( b ) sin 2 ( c ) , {\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}
小さな球面三角形の場合、球の半径が三角形の辺よりもはるかに大きいときに、この式が極限で平面方程式になることは容易にわかります。これは sin b と sin c についても同様であるためです 。 lim a → 0 sin a a = 1 {\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}
幾何学的証明 次の単位球を考えます。 O A = O B = O C = 1 {\displaystyle OA=OB=OC=1}
点 と点を 次のように作図する。 D {\displaystyle D} E {\displaystyle E} ∠ A D O = ∠ A E O = 90 ∘ {\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}
点を 次のように構築する A ′ {\displaystyle A'} ∠ A ′ D O = ∠ A ′ E O = 90 ∘ {\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}
したがって 、 ∠ A D A ′ = B {\displaystyle \angle ADA'=B} ∠ A E A ′ = C {\displaystyle \angle AEA'=C}
は平面 へ の投影である ことに注目してください 。したがって、 A ′ {\displaystyle A'} A {\displaystyle A} O B C {\displaystyle OBC} ∠ A A ′ D = ∠ A A ′ E = 90 ∘ {\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}
基本的な三角法によれば、次のようになります。 A D = sin c A E = sin b {\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}
しかし A A ′ = A D sin B = A E sin C {\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}
これらを組み合わせると次のようになります。 sin c sin B = sin b sin C ⇒ sin B sin b = sin C sin c {\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}
同様の推論を適用すると、球面正弦法則が得られます。 sin A sin a = sin B sin b = sin C sin c {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
その他の証拠 球面余弦定理 から、純粋に代数的な証明を構築することができます 。 の恒等式 と 球面余弦定理から
の明示的な表現から 、右辺は の巡回置換に対して不変であるため、 の球面正弦定理が直ちに得られます。 sin 2 A = 1 − cos 2 A {\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A} cos A {\displaystyle \cos A} sin 2 A = 1 − ( cos a − cos b cos c sin b sin c ) 2 = ( 1 − cos 2 b ) ( 1 − cos 2 c ) − ( cos a − cos b cos c ) 2 sin 2 b sin 2 c sin A sin a = [ 1 − cos 2 a − cos 2 b − cos 2 c + 2 cos a cos b cos c ] 1 / 2 sin a sin b sin c . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}} a , b , c {\displaystyle a,\;b,\;c}
上記の幾何学的証明で使用した図は、Banerjee [6]によって使用され、またBanerjee [6] にも示されています（この論文の図3を参照）。これは、初等線形代数と射影行列を使用して正弦定理を導くためです。
双曲型の場合 双曲幾何学において 曲率が−1のとき、 正弦定理は次のようになる。 sin A sinh a = sin B sinh b = sin C sinh c . {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}
B が直角である 特別な場合には、 sin C = sinh c sinh b {\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}
これは、角度の正弦を対辺を斜辺で割ったものとして表すユークリッド幾何学の公式に類似しています。
一定曲率の曲面の場合 実パラメータにも依存する一般化正弦関数を定義します 。 κ {\displaystyle \kappa } sin κ ( x ) = x − κ 3 ! x 3 + κ 2 5 ! x 5 − κ 3 7 ! x 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n κ n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 . {\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}.}
定曲率正弦 定理は [1] κ {\displaystyle \kappa } sin A sin κ a = sin B sin κ b = sin C sin κ c . {\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}
、、 を 代入すると 、 それぞれ 、、、、、 つまり上で述べた正弦定理のユークリッド、球面、双曲の場合が得られます。 [1] κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} κ = − 1 {\displaystyle \kappa =-1} sin 0 ( x ) = x {\displaystyle \sin _{0}(x)=x} sin 1 ( x ) = sin x {\displaystyle \sin _{1}(x)=\sin x} sin − 1 ( x ) = sinh x {\displaystyle \sin _{-1}(x)=\sinh x}
一定曲率の空間における 半径 の円の円周を とします 。 すると となります 。したがって、正弦定理は次のように表すこともできます。 p κ ( r ) {\displaystyle p_{\kappa }(r)} r {\displaystyle r} κ {\displaystyle \kappa } p κ ( r ) = 2 π sin κ ( r ) {\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)} sin A p κ ( a ) = sin B p κ ( b ) = sin C p κ ( c ) . {\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}
この公式は János Bolyai によって発見されました。 [7]
高次元 正 四面体 には4つの三角形の 面 がある。正四面体の 頂点を 共有する3つの面への 法線ベクトルの 極正弦 （ psin ） の 絶対値 を4番目の面の面積で割った値は、どの頂点を選んだかには依存しない。 [8]
| psin ( b , c , d ) | A r e a a = | psin ( a , c , d ) | A r e a b = | psin ( a , b , d ) | A r e a c = | psin ( a , b , c ) | A r e a d = ( 3 V o l u m e t e t r a h e d r o n ) 2 2 A r e a a A r e a b A r e a c A r e a d . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}
より一般的には、 n 次元 ユークリッド空間における n 次元 単体 （ 三角形 （ n = 2 ）、 四面体 （ n = 3 ）、 五面体 （ n = 4 ）など）の場合 、頂点で交わる面の法線ベクトルの極正弦の絶対値を、その頂点の反対側の面の超面積で割った値は、頂点の選択とは無関係である。n次元単体の超体積をV、その（n − 1）次元面の超面積の積をPと書くと 、 公 比 は 次 の よう に なる 。 | psin ( b , … , z ) | A r e a a = ⋯ = | psin ( a , … , y ) | A r e a z = ( n V ) n − 1 ( n − 1 ) ! P . {\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}
選択された頂点から他の各頂点への ベクトル v 1 , ..., v n が行列V の列である場合、行列の列は、 選択された頂点で交わる面の外向きの法線ベクトルとなることに注意してください。この式は、ベクトルが m > n のm 次元空間にある場合にも適用されます 。m = n で V が 正方 行列である場合 、式は次のように簡略化されます 。 N = − V ( V T V ) − 1 det V T V / ( n − 1 ) ! {\displaystyle N=-V(V^{T}V)^{-1}{\sqrt {\det {V^{T}V}}}/(n-1)!} N = − ( V T ) − 1 | det V | / ( n − 1 ) ! . {\displaystyle N=-(V^{T})^{-1}|\det {V}|/(n-1)!\,.}
歴史 三角形の辺の長さは対角の2倍の弦 の長さに比例するという正弦の法則に相当するものは、 2世紀のヘレニズム時代の天文学者 プトレマイオスにも知られており、彼の 著書『アルマゲスト』 でも時折使われていた 。 [9]
正弦法則に関する記述は、7世紀インドの数学者 ブラフマグプタ の天文学と三角法の著作に見られる。ブラフマグプタは『ブラフマスフタシッダーンタ』の中で 、 三角形の円周半径を2辺の積を高度の2倍で割ったものとして表現している 。 正弦法則は、高度を一方の底角とその対辺の積の正弦として交互に表現し、得られた2つの変形を等しくすることで導くことができる。 [10] 現代の正弦法則にさらに近い式が、ブラフマグプタの 『カーンダカーディヤカ』 に、周転円 に沿って地球と惑星間の距離を求める方法に登場している 。しかし、ブラフマグプタは正弦法則を独立した主題として扱ったり、三角形を解くために体系的に使用したりすることはなかった。 [11]
球面正弦法則は、10世紀の学者 アブー・マフムード・フジャンディー や アブー・アル・ワファー （彼の 著書『アルマゲスト 』に登場する）に帰せられることもあるが、 アブー・ナスル・マンスール の 『球面弧の決定に関する論文』で重点的に取り上げられており、また、彼の弟子 アル・ビールーニーの著書 『天文学の鍵』 でも アブー・ナスル・マンスールに帰せられている 。 [12] イブン・ムアード・アル・ジャイヤーニー の11世紀の 著書『球面の未知の弧に関する書』 にも球面正弦法則が含まれている。 [13]
13世紀のペルシャの数学者 ナスィール・アッディーン・アル・トゥーシーは、 正弦の平面法則を述べ、証明した。 [14]
任意の平面三角形において、辺の比は、その辺に対向する角の正弦の比に等しい。つまり、三角形ABCでは、AB : AC = Sin(∠ACB) : Sin(∠ABC) となる。
アル＝トゥーシは正弦定理を用いることで、2つの角度と1つの辺が既知であるか、2つの辺とそれらの対角が与えられている三角形を解くことができた。2辺と内角を持つ三角形については、直角三角形に分割して解くことができた。3辺が与えられている場合は、垂直線を引いてユークリッドの 『原論』の命題II-13（ 余弦定理 の幾何学的版 ）を用いた。アル＝トゥーシは、2つの弧の和または差とそれらの正弦比が与えられれば、弧を計算できるという重要な結果を確立した。 [15]
グレン・ヴァン・ブルメレン によれば 、「正弦定理は、 レギオモンタヌス が第4巻で直角三角形を解くための基礎であり、これらの解は今度は一般三角形を解くための基礎となっている。」 [16] レギオモンタヌスは15世紀のドイツの数学者であった。
参照
参考文献 ^ abc 「一般化された正弦法則」 。mathworld 。 ^ Coxeter, HSMとGreitzer, SL Geometry Revisited . ワシントンD.C.: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967 ^ ab 「正弦の法則」 。www.pballew.net 。2002年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2018年9月18日 閲覧。 ^ Mr. Tの数学ビデオ（2015年6月10日）、三角形の面積と外接円の半径、2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2018年9月18日 取得 ^ ミッチェル、ダグラス W.、「正弦関数によるヘロン型の面積公式」、 Mathematical Gazette 93、2009年3月、108-109ページ。 ^ Banerjee, Sudipto (2004)、「直交投影法による球面三角法の再検討」 (PDF) 、 The College Mathematics Journal 、 35 (5)、Mathematical Association of America: 375– 381、 doi :10.1080/07468342.2004.11922099、 2004年10月29日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ、 2024年2月8日 取得 ^ カトク、スヴェトラーナ (1992)。 フクシアン グループ 。シカゴ: シカゴ大学出版局。 p. 22.ISBN 0-226-42583-5 。 ^ エリクソン、フォルケ (1978)。 「四面体と n 単純体の正弦の法則」。 ジオメトリエ・デディカタ 。 7 (1): 71–80 . 土井 :10.1007/bf00181352。 ^ トゥーマー、ジェラルド・J. 編（1998年）『 プトレマイオスのアルマゲスト 』プリンストン大学出版局、pp. 7, fn. 10, 462, fn. 96. ^ ウィンター、ヘンリー・ジェイムズ・ジャック（1952年）『イースタン・サイエンス』 ジョン・マレー 、p.46。
コールブルック、ヘンリー・トーマス（1817年）『ブラフメーグプタ語とバースカラ語のサンスクリット語による代数学、算術、測量法』ロンドン： ジョン・マレー社、 299～ 300頁 。 ^ ヴァン・ブルメレン、グレン （2009年） 『天と地の数学』 プリンストン大学出版局、pp. 109– 111. ISBN 978-0-691-12973-0 。
ブラフマグプタ (1934)。 カンダカディヤカ: ブラフマグプタの天文学的論文 。セングプタ、プラボディ・チャンドラ訳。カルカッタ大学。 ^ セシアーノ、ジャック (2000)。 「イスラム数学」。セリンでは、ヘレイン。ダンブロージオ、ユビラタン（編）。 文化を超えた数学: 非西洋数学の歴史 。スプリンガー。 137 ～ 157 ページ 。ISBN 1-4020-0260-2 。
ヴァン・ブルメレン、グレン （2009年） 『天と地の数学』 プリンストン大学出版局、 183-185 頁 。ISBN 978-0-691-12973-0 。 ^ オコナー、ジョン・J.; ロバートソン、エドマンド・F. 、「アブ・アブドゥッラー・ムハンマド・イブン・ムアズ・アル・ジャヤニ」、 MacTutor数学史アーカイブ 、 セントアンドリュース大学 ^ 「ナシル・アル＝ディーン・アル＝トゥースィー - 伝記」。 数学史。 2025年3月10日 閲覧 。 ^ Katz, Victor J. (2017-03-21). 『数学史入門』ピアソン社. p. 315. ISBN 978-0-13-468952-4 。 ^ ヴァン・ブルメレン、グレン（2009年）『天と地の数学：三角法の初期の歴史』 プリンストン大学出版局 、259頁 。ISBN 978-0-691-12973-0 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c04742b006ecbfdbe47aa89107f544c1941a5c)
.svg/1280px-Sinelaw_radius_(Greek_angles).svg.png)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0791f9e5aaf7e592ffdd98ae27e4b34555d1a68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cea5e52de68d1a8f7e1580b11fc867bdd7daf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e3a1ba99b4e218fe49d60329e8dc43b300c769)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {面積} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {面積} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {面積} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {面積} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {体積} _{\mathrm {四面体} })^{2}}{2~\mathrm {面積} _{a}\mathrm {面積} _{b}\mathrm {面積} _{c}\mathrm {エリア} _{d}}}\,.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847a5b9caece041bf05089e9474acadfc0194ae3)
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