関数のグラフ

Representation of a mathematical function

関数のグラフ ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.}$

数学において、関数のグラフ とは、の順序付きペアの集合である。一般的に、 と が実数である場合、これらのペアは平面上の点の直交座標であり、しばしば曲線を形成する。関数のグラフのグラフィカル表現は、プロットとも呼ばれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

2変数関数（つまり、定義域がペアで構成される関数）の場合、グラフは通常、 となる順序付き3つ組の集合を指します。これは3次元空間の部分集合です。2つの実変数からなる連続実数値関数の場合、そのグラフは面を形成し、面プロットとして視覚化できます。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$

科学、工学、技術、金融などの分野において、グラフは様々な目的で使用されるツールです。最も単純なグラフでは、ある変数を別の変数の関数としてプロットし、通常は長方形の軸を使用します。詳細については「プロット（グラフィックス）」を参照してください。

関数のグラフは関係の特殊なケースです。現代の数学の基礎、そして典型的には集合論では、関数は実際にはそのグラフに等しいです。^{[1]しかし、関数を}マッピングとして見ることがしばしば有用です。マッピングは、入力と出力の関係だけでなく、どの集合が定義域でどの集合が余領域であるかで構成されます。たとえば、関数が全射 (射影) であるかどうかを言うには、余領域を考慮する必要があります。関数のグラフそれ自体は余領域を決定しません。関数と関数のグラフの両方の用語を使用することが一般的です^[3]。これは、同じオブジェクトと見なされても、異なる視点から見ていることを示すためです。

区間[−2,+3]における関数のグラフ。区間内の2つの実根と極小値も示されている。 ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$

意味

集合X（定義域）から集合Y（余定義域）への関数 が与えられたとき、その関数のグラフは、直積の部分集合である集合^{[4]である。}集合論における関数の定義では、関数をそのグラフと同一視するのが一般的であるが、正式には関数は定義域、余定義域、グラフの三つ組によって構成される。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$ ${\displaystyle X\times Y}$

例

1変数関数

関数のグラフ ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).}$

によって定義される関数のグラフは集合の部分集合である。 ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

グラフから、定義域はグラフの各ペアの最初の要素の集合として復元されます。同様に、値域は として復元できます。しかし、グラフのみから定義域を決定することはできません。 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

実数直線上の3次多項式のグラフは $${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$ $${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

この集合を直交平面上にプロットすると、結果は曲線になります (図を参照)。

2変数の関数

グラフのプロット。下部の平面に投影された勾配も表示されます。 ${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

三角関数のグラフは $${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$ $${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

この集合を3 次元の直交座標系にプロットすると、結果は表面になります (図を参照)。

多くの場合、関数の勾配と複数の等高線をグラフで示すと便利です。等高線は関数面上に写像することも、底面に投影することもできます。2番目の図は、関数のグラフをこのように描いたものです。 $${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

参照

• 漸近線
• チャート
• プロット
• 凹関数
• 凸関数
• 等高線図
• 臨界点
• デリバティブ
• 碑文
• グラフの法線
• スロープ
• 静止点
• テトラビュー
• 垂直翻訳
• y切片

参考文献

1. ピンター、チャールズ・C. (2014) [1971]. 集合論の書. ドーバー出版. p. 49. ISBN 978-0-486-79549-2。
2. Apostol, TM (1981). 『数学的解析』Addison-Wesley. p. 35.
3. PR ハルモス (1982)。ヒルベルト空間の問題集。スプリンガー・フェルラーク。 p. 31.ISBN​ 0-387-90685-1。
4. ブリッジズ、DS（1991年）『実解析と抽象解析の基礎』シュプリンガー、p.285、ISBN 0-387-98239-6。

さらに読む

• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。

外部リンク

• Weisstein, Eric W.「関数グラフ」。MathWorld—Wolfram Web リソースより。

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