逆関数

Mathematical concept

関数fとその逆関数f ⁻¹ 。fはaを3に写像するので、逆関数f ⁻¹は3をaに写像します

数学において、関数fの逆関数（fの逆関数とも呼ばれる）は、 fの演算を元に戻す関数です。 fの逆関数は、 f が全単射である場合にのみ存在し、存在する場合は次のように表記されます。 ${\displaystyle f^{-1}.}$

関数の場合、その逆関数は明示的に記述できます。つまり、各要素をf ( x ) = yとなる唯一の要素に渡します。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

例として、実変数の実数値関数f ( x ) = 5 x − 7を考えてみましょう。 f は、入力に5を掛け、結果から7を引く関数と考えることができます。これを元に戻すには、入力に7を加算し、結果を5で割ります。したがって、 fの逆関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

定義

f がXをYに写像する場合、f ⁻¹はYをXに写像し戻します

f を、定義域が集合 X、閉域が集合Yである関数とする。このとき、YからXへの関数gが存在し、すべての に対して、かつすべての に対してとなるとき、 fは可逆である。^[1] ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

fが逆関数である場合、この性質を満たす関数gはちょうど1つ存在します。関数gはfの逆関数と呼ばれ、通常f ⁻¹と表記されます。これは1813年にジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェルによって導入された記法です。^{[2] [3] [4] [ 5] [6 ] [注 1]}

関数fが逆関数である場合、かつそれが全単射である場合に限ります。これは、すべての に対する条件がfが単射であることを意味し、すべての に対する条件がfが全単射であることを意味するためです。 ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

f ⁻¹からfへの逆関数は、明示的に関数として記述できます 。

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in X{\text{ such that }}f(x)=y)}$。

逆と合成

fが定義域Xと余定義域Yを持つ可逆関数である場合、

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$任意の に対して、任意のに対してとなることを思い出してください。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ ${\displaystyle y\in Y}$

関数の合成を用いて、このステートメントは関数間の次の式に書き直すことができます。

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$および ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

ここで、 id _Xは集合X上の恒等関数、つまり、引数を変更しない関数です。圏論では、このステートメントは逆射の定義として使用されます

関数合成について考えると、表記法f ⁻¹を理解するのに役立ちます。関数f : X → Xを自身と繰り返し合成することを反復と呼びます。値x から始めて f を n 回適用すると、これはf n ( ^x )と書きます。つまり、f ² ( x ) = f ( f ( x ))などとなります。 f ⁻¹ ( f ( x )) = xなので、f ⁻¹とf ⁿを合成するとf ^{n −1}となり、 fを 1 回適用した効果が「元に戻されます」。

表記法

f ⁻¹ ( x )という表記は誤解される可能性がありますが、^[1] ( f ( x )) ^{−1 は確かに}f ( x )の逆関数を表し、 fの逆関数とは何の関係もありません。^[6]この表記は、逆関数との曖昧さを避けるために逆関数に使用される場合があります。^[7] ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

一般的な表記法に従って、一部の英語の著者は、xに適用される正弦関数の逆関数（実際には部分逆関数。以下を参照）を表すためにsin ⁻¹ ( x )のような表現を使用しています。 ^{[8] [6]他の著者は、これが}sin ( x )の逆関数の表記法（(sin ( x )) ⁻¹と表記できる）と混同される可能性があると考えています。^[6]混乱を避けるために、逆三角関数はしばしば接頭辞「 arc」（ラテン語のarcusに由来）で示されます^{[9] [10]}例えば、正弦関数の逆関数は通常、逆正弦関数と呼ばれ、arcsin ( x )と表記されます。^{[9] [10]同様に、}双曲線関数の逆関数は接頭辞「ar」（ラテン語のāreaに由来）で示されます。^[10]例えば、双曲線正弦関数の逆関数は通常、arsinh ( x )と表記されます。^[10] sin ⁻¹ ( x )のような表現は、多値逆関数と部分逆関数を区別するのに役立ちます。他の逆特殊関数は、 f ⁻¹表記の曖昧さを避ける必要がある場合、接頭辞「inv」が付けられることがあります。 ^{[11] [10]} ${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

例

平方根関数と平方根関数

f ( x ) = x ²で与えられる関数f : R → [0,∞)は、すべての に対してであるため、単射ではありません。したがって、fは逆関数ではありません ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

関数の定義域が非負の実数に制限されている場合、つまり、前と同じ規則で関数をとる場合、関数は全単射であり、したがって可逆です。^[12]ここでの逆関数は（正の）平方根関数と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

標準的な逆関数

次の表は

逆算術関数

関数f ( x )	逆関数f  −1 ( y )	注記
x + a	y − a
a − x	a − y
mx	⁠y/m⁠	m ≠ 0
⁠1/x⁠ (つまりx −1 )	⁠1/y⁠ (つまりy −1 )	x ,  y ≠ 0
x p	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$(つまりy 1/ p )	整数p > 0 ; pが偶数の場合、 x ,  y ≥ 0
a x	log a  y	y > 0かつa > 0かつa ≠ 1
x e x	W  ( y )	x ≥ −1かつy ≥ −1/ e
三角関数	逆三角関数	様々な制約（下の表を参照）
双曲線関数	逆双曲線関数	様々な制約
ロジスティック関数	ロジット

逆関数の公式

代数式で与えられる多くの関数は、その逆関数の公式を持ちます。これは、可逆関数の逆関数が次のように明示的に記述される ためです。 ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$。

これにより、代数式で与えられる多くの関数の逆関数を簡単に決定できます。例えば、fが関数の 場合

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

実数yを決定するには、 (2 x + 8) ³ = yとなる唯一の実数xを見つけなければなりません。この方程式は次のように解くことができます。 ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

したがって、逆関数f ⁻¹は次の式で与えられます 。

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

関数の逆関数は、閉じた形式の式で表現できない場合があります。例えば、fが関数の 場合

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

すると、fは一対一関数であり、したがって逆関数f ⁻¹を持ちます。この逆関数の式は、無限和として表現されます。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

性質

関数は二項関係の特殊な型であるため、逆関数の特性の多くは逆関係の特性に対応します。

一意性

与えられた関数fに対して逆関数が存在する場合、それは一意です。^[13]これは、逆関数が逆関係でなければならないためであり、逆関係はfによって完全に決定されます。

対称性

関数とその逆関数の間には対称性があります。具体的には、f が定義域Xと余定義域Yを持つ可逆関数である場合、その逆関数f ⁻¹は定義域Yと像Xを持ち、f ⁻¹の逆関数は元の関数fです。記号で表すと、関数f : X → Y とf ⁻¹ : Y → Xの場合、^[13]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$および ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

この記述は、 f が可逆であるためには全単射でなければならないという含意から生じます。逆関数の逆関数の性質は^、[14]によって簡潔に表現できます

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

g  ∘  fの逆関数はf ⁻¹  ∘  g ⁻¹です。

関数の合成の逆関数は^{[15]で与えられます。}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

gとfの順序が逆になっていることに注意してください。fの後にgを元に戻すには、まずg を元に戻し、次にfを元に戻す必要があります。

例えば、f ( x ) = 3 x、g ( x ) = x + 5とします。すると、合成g  ∘  fは、最初に3を掛け、次に5を加算する関数になります。

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

このプロセスを逆にするには、まず5を引いて、次に3で割る必要があります。

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

これは合成( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ )( x )です。

自己逆関数

Xが集合の場合、 X上の恒等関数はそれ自身の逆関数である。

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

より一般的には、関数f  : X → X がそれ自身の逆関数と等しいのは、合成f  ∘  fが_Xと等しい場合のみである。このような関数は反転と呼ばれる。

逆関数のグラフ

y = f ( x )とy = f ⁻¹ ( x )のグラフ。点線はy = xである。

fが可逆である場合 、関数のグラフは

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

方程式のグラフと同じである。

${\displaystyle x=f(y).}$

これは、 xとyの役割が逆になっていることを除いて、 fのグラフを定義する方程式y = f ( x )と同一です。したがって、 x 軸とy軸の位置を入れ替えることで、 f のグラフからf ⁻¹のグラフを得ることができます。これは、グラフを直線 y = x を挟んで反転することと同等です。^{[16] [1]}

逆関数と微分関数

逆関数定理によれば、一変数の連続関数（ただし）がその値域（像）上で逆関数となるのは、それが厳密に増加または減少する（極大値または極小値を持たない）場合のみです。例えば、関数 ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

は逆関数です。なぜなら、導関数f′ ( x ) = 3 x ² + 1は常に正だからです

関数fが区間Iで微分可能であり、各x ∈ Iについてf′ ( x ) ≠ 0 である場合、逆関数f ^−1はf ( I )で微分可能です。^[17] y = f ( x ) の場合、逆関数の導関数は逆関数定理によって与えられます。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

ライプニッツの記法を用いると、上記の式は次のように書ける

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

この結果は連鎖律から導かれます（逆関数と微分に関する記事を参照）。

逆関数定理は、多変数関数に一般化できます。具体的には、連続微分可能な多変数関数 f : R ⁿ → R ⁿは、点pにおけるfのヤコビ行列が逆行列である限り、点pの近傍において逆行列です。この場合、 f ( p )におけるf ⁻¹のヤコビアンは、 pにおけるfのヤコビアンの逆行列です。

実世界の例

• fを摂氏温度を華氏温度に変換する関数とすると、その逆関数は華氏温度を摂氏温度に変換します。^[18]なぜなら、 $${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$ $${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• fが家族の各子供に生年を割り当てるとします。逆関数は、特定の年にどの子供が生まれたかを出力します。しかし、家族に同じ年に生まれた子供（例えば、双子や三つ子など）がいる場合、入力が共通の生年である場合、出力はわかりません。同様に、子供が生まれていない年が指定された場合、子供に名前を付けることはできません。しかし、各子供が別々の年に生まれ、子供が生まれた3年間に着目すると、逆関数が存在します。例えば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• Rをある量のxパーセント上昇をもたらす関数とし、Fをxパーセント下落をもたらす関数とします。x = 10%の100ドルに適用すると、最初の関数の後に2番目の関数を適用しても、元の100ドルの価値は復元されないことがわかります。これは、見た目に反して、これら2つの関数は互いに逆ではないことを示しています
• 溶液のpHを計算する式は、pH = −log ₁₀ [H ⁺ ]です。多くの場合、pH測定値から酸の濃度を求める必要があります。逆関数[H ⁺ ] = 10 ^−pHが使用されます。

一般化

部分逆関数

xの平方根はf ( x ) = x ²の部分逆数です。

関数f が1対1でなくても、定義域を制限することでfの部分逆関数を定義できる場合があります。例えば、関数

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

はx ² = (− x ) ²なので1対1ではありません。しかし、定義域x ≥ 0に制限すると関数は1対1になります。その場合、

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

（代わりに定義域x ≤ 0に制限すると、逆関数はyの平方根の負になります。）

完全逆関数

この3次関数の逆関数には3つの分岐があります。

あるいは、逆関数が多価関数であることに満足する場合は、定義域を制限する必要はありません

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

この多値逆関数はfの完全逆関数と呼ばれることもあり、その部分（ √ xや−√ xなど）は枝と呼ばれます。多値関数の最も重要な枝（例えば、正の平方根）は主枝と呼ばれ、yにおけるその値はf ⁻¹ ( y )の主値と呼ばれます。

実数直線上の連続関数の場合、各極値の間に1つの枝が必要です。例えば、極大値と極小値を持つ3次関数の逆関数には3つの枝があります（隣の図を参照）。

三角関数の逆関数

逆正弦関数は正弦関数の部分逆関数です。

上記の考慮事項は、三角関数の逆関数を定義する上で特に重要です。例えば、正弦関数は1対1ではありません。なぜなら

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

すべての実数xに対して（より一般的にはすべての整数nに対してsin( x + 2 π n ) = sin( x ) ）。ただし、正弦は区間[− ⁠ π/2⁠、  ⁠π/2⁠ ]であり、対応する部分逆関数は逆正弦と呼ばれます。これは逆正弦の主枝とみなされるため、逆正弦の主値は常に − ⁠π/2⁠と⁠の間になりますπ/2⁠。次の表は、各逆三角関数の主枝を示しています。^[19]

関数	通常の主値の範囲
逆正弦	− ⁠π/2⁠ ≤ sin −1 ( x ) ≤ ⁠π/2⁠
逆余弦	0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π
逆正接	− ⁠π/2⁠ < tan −1 ( x ) < ⁠π/2⁠
逆正接	0 < cot −1 ( x ) < π
逆秒	0 ≤ sec −1 ( x ) ≤ π
逆三角関数	− ⁠π/2⁠ ≤ csc −1 ( x ) ≤ ⁠π/2⁠

左逆関数と右逆関数

左と右の 関数合成は一致する必要はありません。一般に、条件は

1. 「 g ( f ( x ))= xとなるような関数gが存在する」および
2. 「 f ( g ( x ))= xとなるような関数gが存在する」

はfの異なる性質を意味します。例えば、f : R → [0,∞)を平方写像と書き、R内のすべてのxに対してf ( x )= x^ ²とします。また、 g : [0,∞) → Rを平方根写像と書き、x≥0のすべてのxに対してg(x)=√xとします。すると、f(g(x))=xが[0,∞)内のすべてのxに対して成り立ちます。つまり、gはfの右逆写像です。しかし、例えばg ( f ( −1 ) ) =1≠−1であるため、gはfの左逆写像ではありません。

左逆写像

f : X → Yの場合、fの左逆写像（またはfの逆写像）は関数g : Y → Xであり、fとgを左から合成すると恒等関数^[20]が得られます。 つまり、関数gは次の規則を満たします $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

f ( x ) = yならば、g ( y ) = xです。

関数gはfの像におけるfの逆関数と等しくなければなりませんが、像にないYの要素については任意の値をとることができます。

空でない定義域を持つ関数fが単射的であるためには、左逆関数が存在する必要がある。^[21] 基本的な証明は以下のとおりである。

• gがfの左逆関数であり、f ( x ) = f ( y )ならば、g ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = yです

• 空でないf : X → Yが単射ならば、左逆g : Y → Xを次のように構成する。すべてのy ∈ Yに対して、y がfの像に含まれるならば、 f ( x ) = yとなるようなx ∈ Xが存在する。g ( y ) = xとする。fは単射であるため、この定義は一意である。そうでない場合、g ( y )をXの任意の元とする。

  すべてのx ∈ Xに対して、f ( x )はfの像に含まれる。構成により、g ( f ( x )) = xとなり、これは左逆の条件である

古典数学では、空でない定義域を持つすべての単射関数f は必然的に左逆関数を持つ。しかし、構成数学ではこれが成り立たない。例えば、実数における2元集合の包含 {0,1} → Rの左逆関数は、実数直線を集合{0,1}に引き込むことで分解不可能性に違反する。^[22]

右逆関数

非単射な全射関数による右逆関数の例

f（またはfの切断）の右逆関数は、関数h : Y → Xであって、

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

つまり、関数hは次の規則を満たす 。

ならば ${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

したがって、h ( y )は、 fの下でyに写像されるXの任意の要素である。

関数f が右逆関数を持つのは、それが全射である場合に限ります（この同値性は、選択公理が成り立つ場合に限り成り立ちます）。

hがfの右逆関数である場合、fは全射です。すべての に対して、となるような関数が存在します。 ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

fが全射的ならば、fは右逆hを持つ。これは次のように構成できる。すべての に対して、 となるような関数が少なくとも1つ存在する（fは全射的であるため）。したがって、そのうちの1つをh ( y )の値として選択する。^[23] ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

両側逆関数

左逆関数と右逆関数の両方である逆関数（両側逆関数）は、存在する場合、一意でなければなりません。実際、関数が左逆関数と右逆関数を持つ場合、それらはどちらも同じ両側逆関数であるため、逆関数と呼ぶことができます。

が の左逆関数と右逆関数である場合、すべての、に対して。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

関数が両側逆関数を持つのは、それが全単射である場合に限ります。

全単射関数fは単射であるため、左逆関数を持ちます（fが空関数である場合、はそれ自身の左逆関数です）。fは全射であるため、右逆関数を持ちます。上記により、左逆関数と右逆関数は同じです。 ${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

f が両側逆関数gを持つ場合、gはfの左逆関数と右逆関数であるため、fは単射かつ全射です。

逆像

f : X → Y が任意の関数（必ずしも逆関数ではない）である場合、要素y ∈ Yの逆像（または逆像）は、 yに写像されるXのすべての要素の集合として定義されます。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

yの逆像は、関数fの（多値）完全逆関数によるyの像と考えることができます。

この概念は、値域の部分集合に一般化できます。具体的には、SがYの任意の部分集合である場合、 Sの逆像は と表記され、 Sに写るXのすべての元の集合です。 ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

例えば、関数f : R → R ; x ↦ x ²を考えます。この関数は単射ではないため可逆ではありませんが、例えば、終域の部分集合に対して逆像を定義することができます。

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$。

元の概念とその一般化は、恒等式によって関連付けられています。単一の元y ∈ Y（単集合{ y }  ）の逆像は、 yのファイバーと呼ばれることがあります。Yが実数集合である場合、f ⁻¹ ({ y })を準集合と呼ぶのが一般的です。 ${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$

参照

• ラグランジュの逆定理は、解析関数の逆関数のテイラー級数展開を与えます。
• 逆関数の積分
• 逆フーリエ変換
• 可逆計算

注記

1. 非ゼロの実数の逆数を取るなどの数値指数演算と混同しないでください。

参考文献

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12. Lay 2006, p. 69, 例7.24
13. Wolf 1998, p. 208, 定理7.2
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20. Dummit; Foote. Abstract Algebra
21. マックレーン、サンダース著『働く数学者のためのカテゴリー』
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• フレッチャー、ピーター；パティ、C. ウェイン（1988年）『高等数学の基礎』 PWS-ケント。ISBN 0-87150-164-3。
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• トーマス・ジュニア、ジョージ・ブリントン (1972) 『微積分と解析幾何学 第1部：一変数関数と解析幾何学（別版）』アディソン・ウェスリー
• ウルフ、ロバート・S. (1998). 『証明、論理、そして予想 / 数学者の道具箱』WHフリーマン・アンド・カンパニー ISBN 978-0-7167-3050-7。

参考文献

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• スピヴァック、マイケル (1994). 『微積分学』（第3版）. 『Publish or Perish』. ISBN 0-914098-89-6。
• スチュワート、ジェームズ(2002). 『微積分学』（第5版）.ブルックス・コール. ISBN 978-0-534-39339-7。

外部リンク

• 「逆関数」,数学百科事典, EMS Press , 2001 [1994]

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