Number system extending the rational numbers
3進整数と、その ポンチャギン双対 群上の対応する選択された文字 数論 において 、 素数 p が与えられた場合、 [注1] p 進 数は 有理数 の拡張を形成しますが、 実数 とは異なります 。ただし、いくつかの類似した性質を持ちます。p 進数は（おそらく 無限の ） 小数 に似た形式で表記できます が、桁は10ではなく素数 p に基づき、右ではなく左に拡張されます。
例えば、有理数の 3 進 展開と 3 進展開を比較すると 、 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = 0.01210121 … ( base 3 ) = 0 ⋅ 3 0 + 0 ⋅ 3 − 1 + 1 ⋅ 3 − 2 + 2 ⋅ 3 − 3 + ⋯ 1 5 = … 121012102 ( 3-adic ) = ⋯ + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 2 + 0 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 . {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}
正式には、素数 p が与えられた場合、 p進数は、 k が 整数 （負の場合もある）
で 、それぞれが 次の整数 である級数 として定義できます。p 進 整数 は、次の p 進数 です s = ∑ i = k ∞ a i p i = a k p k + a k + 1 p k + 1 + a k + 2 p k + 2 + ⋯ {\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots } a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < p . {\displaystyle 0\leq a_{i}<p.} k ≥ 0. {\displaystyle k\geq 0.}
一般に、 p 進数を表す級数は 通常の意味では 収束しませんが、 p 進絶対値 については収束します。ここで 、 k は（すべて が0の場合、 p進絶対値が 0 である0の p 進数を持つ） 最小の整数 i です。 | s | p = p − k , {\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},} a i ≠ 0 {\displaystyle a_{i}\neq 0} a i {\displaystyle a_{i}}
Every rational number can be uniquely expressed as the sum of a series as above, with respect to the p -adic absolute value. This allows considering rational numbers as special p -adic numbers, and alternatively defining the p -adic numbers as the completion of the rational numbers for the p -adic absolute value, exactly as the real numbers are the completion of the rational numbers for the usual absolute value.
p -adic numbers were first described by Kurt Hensel in 1897,[1] though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p -adic numbers.[note 2]
Motivation Roughly speaking, modular arithmetic modulo a positive integer n consists of "approximating" every integer by the remainder of its division by n , called its residue modulo n . The main property of modular arithmetic is that the residue modulo n of the result of a succession of operations on integers is the same as the result of the same succession of operations on residues modulo n .
When studying Diophantine equations , it's sometimes useful to reduce the equation modulo a prime p , since this usually provides more insight about the equation itself. Unfortunately, doing this loses some information because the reduction Z ↠ Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}
より多くの情報を保存する1つの方法は、より大きな素数冪、 p 2 、 p 3 、… などのより大きな法を使用することです。しかし、これは体ではないという欠点があり、体でない 場合、多くの代数的性質が失われます 。 [2] Z / p e {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p}
クルト・ヘンゼルは、素数を法 p とし、 ヘンゼルの補題を適用して p を法とする 解を p 2 、 p 3 、… を法とする解に持ち上げる方法を発見しました 。このプロセスは無限の留数列を作成し、 p 進数はそのような列の「極限」として定義されます。
本質的に、 p進数は「すべての e について 一度に p e を法として計算する」ことを可能にします。p 進 数と通常の法算術との違いは、 p 進数の集合が 体 を形成し、 p による除算が 可能になることです（ p e を法として計算する場合とは異なります）。さらに、写像は 単射で あるため、 p 進数 に簡約しても多くの情報は失われません。 [2] Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z ↪ Z p {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}
p 進数を理解する方法は複数あります 。
基数として p 展開 p 進整数 を考える一つの方法は、「 p 」を基数として用いることです。例えば、すべての整数は pを 基数として表すことができます。
50 = 1212 3 = 1 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 {\displaystyle 50=1212_{3}=1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}
非公式には、 p 進整数は基数 p の整数と考えることができます が、桁は 左に無限に 拡張されます。 [2]
… 121012102 3 = ⋯ + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 2 + 0 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 {\displaystyle \ldots 121012102_{3}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}
p 進整数の加算と乗算は、基数 p の整数と同様に実行できます 。 [3]
たとえば、2つの p 進整数を加算する場合、 それらの桁は右から左に繰り上がりながら加算されます。 … 012102 3 + … 101211 3 {\displaystyle \ldots 012102_{3}+\ldots 101211_{3}}
1 1 1 ⋯ 0 1 2 1 0 2 3 + ⋯ 1 0 1 2 1 1 3 ⋯ 1 2 1 0 2 0 3 {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&&&_{1}&_{1}&&_{1}&\\&\cdots &0&1&2&1&0&2\,_{3}\\+&\cdots &1&0&1&2&1&1\,_{3}\\\hline &\cdots &1&2&1&0&2&0\,_{3}\end{array}}}
p 進整数 の乗算は、同様に 長乗算を介して行われます。p 進 整数では加算と乗算を実行できるため 、それらは 環 を形成し、 またはと表記されます 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}
一部の有理数は、真の意味で整数でなくても、 p 進整数になる可能性があることに注意してください。たとえば、有理数 1 / 5 は 3進整数であり、3進展開を持ちます 。しかし、 などの一部の有理数は p 進整数として書くことができません 。そのため、 p進整数はさらに p 進数へと一般化されます 。 1 5 = … 121012102 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}=\ldots 121012102_{3}} 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}
p 進数は、 小数点以下の桁数が有限である p 進整数 と考えることができます 。3進数の例は
… 121012.102 3 = ⋯ + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 + 1 ⋅ 3 − 1 + 0 ⋅ 3 − 2 + 2 ⋅ 3 − 3 {\displaystyle \ldots 121012.102_{3}=\cdots +1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{-1}+0\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}}
同様に、すべての p 進数は の形式を持ちます。 ここで、 xは p 進整数 です。 x p k {\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}
任意のp 進数 x に対して 、その 逆数も p 進数であり、 長除法 の変形を使用して計算できます 。 [3] このため、 p 進数は または と 表記される 体 を形成します。 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}
剰余の列として p k p 進整数を定義する別の方法は、 各整数 について剰余の 列 として表すことです 。 [2] x e {\displaystyle x_{e}} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e}
x = ( x 1 mod p , x 2 mod p 2 , x 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}
の 互換性関係を満たす 。この表記法では、 p 進整数の加算と乗算は成分ごとに定義される。 x i ≡ x j ( mod p i ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} i < j {\displaystyle i<j}
x + y = ( x 1 + y 1 mod p , x 2 + y 2 mod p 2 , x 3 + y 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}+y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}+y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )} x ⋅ y = ( x 1 ⋅ y 1 mod p , x 2 ⋅ y 2 mod p 2 , x 3 ⋅ y 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x\cdot y=(x_{1}\cdot y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\cdot y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\cdot y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}
これはp 進数の定義と同等です。なぜなら、 p 進数展開の 最後の k 桁は、 p k を法としてその値を一意に定義し、その逆も同様だからです。
この形式は、一部の有理数が整数でなくても p 進整数である理由も説明できます。例えば、 1 / 5 は 3進整数です。なぜなら、その3進展開は、 5を法として3、3 2、3 3、…の 逆数 で 構成 さ れるからです。
1 5 = ( 1 5 mod 3 , 1 5 mod 3 2 , 1 5 mod 3 3 , 1 5 mod 3 4 , … ) = ( 2 mod 3 , 2 mod 3 2 , 11 mod 3 3 , 65 mod 3 4 , … ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{5}}&=({\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3,~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{2},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{3},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\\&=(2\operatorname {mod} 3,~2\operatorname {mod} 3^{2},~11\operatorname {mod} 3^{3},~65\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\end{aligned}}}
定義 p 進数には同等の定義がいくつかあります 。以下に示す2つのアプローチは比較的初歩的です。
p 進整数 は、 それぞれが 「p進数の桁」を表す 形式 の 正式 な冪級数 として定義されることがよくあります r = ∑ i = 0 ∞ a i p i = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + a 3 p 3 + ⋯ {\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+\cdots } a i ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}}
p 進単位 とは、 最初 の桁が0でない p進整数、すなわち である。すべての p 進整数の集合は 通常 と表記される 。 [4] a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{0}\neq 0} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
p 進数は 、 vが （負の場合もある）整数 で、各がである 形式の 形式ローラン級数 として定義されます 。 [5] 同様に、 p 進数は、 x がp進整数で ある形式のものです 。 r = ∑ i = v ∞ a i p i = a v p v + a v + 1 p v + 1 + a v + 2 p v + 2 + a v + 3 p v + 3 + ⋯ {\displaystyle r=\sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{v}p^{v}+a_{v+1}p^{v+1}+a_{v+2}p^{v+2}+a_{v+3}p^{v+3}+\cdots } a i ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}} x p k {\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}
r において桁 がゼロでない 最初の添え字 vは、 r の p 進値 と呼ばれ 、 と表記される 。 の場合 、そのような添え字は存在しないため、慣例により となる 。 a v {\displaystyle a_{v}} v p ( r ) {\displaystyle v_{p}(r)} r = 0 {\displaystyle r=0} v p ( 0 ) = ∞ {\displaystyle v_{p}(0)=\infty }
この定義では、 p 進数の加算、減算、乗算、除算は、 p を基数とする数と同様に実行され 、「繰り上がり」または「借り」は右から左ではなく左から右に移動します。 [6] の例として 、 Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}
1 1 1 2 ⋅ 3 0 + 0 ⋅ 3 1 + 1 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 3 + 1 ⋅ 3 4 + ⋯ + 1 ⋅ 3 0 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 3 + 0 ⋅ 3 4 + ⋯ 0 ⋅ 3 0 + 2 ⋅ 3 1 + 0 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{lllllllllll}&&&_{1}&&&&_{1}&&_{1}\\&2\cdot 3^{0}&+&0\cdot 3^{1}&+&1\cdot 3^{2}&+&2\cdot 3^{3}&+&1\cdot 3^{4}&+\cdots \\+&1\cdot 3^{0}&+&1\cdot 3^{1}&+&2\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&0\cdot 3^{4}&+\cdots \\\hline &0\cdot 3^{0}&+&2\cdot 3^{1}&+&0\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&2\cdot 3^{4}&+\cdots \end{array}}}
p 進数の除算は、 形式的な冪級数の除算を 介して「形式的に」実行することもできますが 、「繰り上がり」について多少注意が必要です。 [5]
これらの演算により、 p 進数 の集合は 体 を形成し、これは と表記されます 。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
同値類として p 進数は、実数を コーシー列 の同値類として定義するのと同様に、同値類として定義することもできます 。これは基本的に次の補題に基づいています。
すべての非零有理数 rは、 v 、 m 、 n が整数であり、 m も nも p で割り切れない とき、次のように 表すことができます 。 r = p v m n , {\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},} 指数 vは r によって一意に決定され、 p 進付値 と呼ばれ 、 と表記されます 。この補題の証明は、 算術の基本定理 から直接得られます。 v p ( r ) {\displaystyle v_{p}(r)}
p進級 数 とは 、 が（負の場合もある）整数であり、 が零であるか、または非負の付値を持つ（つまり、 の分母が p で割り切れない ） 有理数である、 という形式の形式 的 な
ローラン級数です ∑ i = v ∞ r i p i , {\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},} v {\displaystyle v} r i {\displaystyle r_{i}} r i {\displaystyle r_{i}}
すべての有理数は、 単一の非ゼロ項を持つ p進級数と見なすことができます。これは、 m と nが 両方ともpと互いに素である 形式 の 因数分解で構成されます。 p k m n , {\displaystyle p^{k}{\tfrac {m}{n}},}
2つの p 進級数 とnは、 任意の 整数に対して有理数 がゼロであるか、 n より大きい p進値を持つような整数 N が存在する場合、 同値 です 。 ∑ i = v ∞ r i p i {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}} ∑ i = w ∞ s i p i {\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}} n > N , {\displaystyle n>N,} ∑ i = v n r i p i − ∑ i = w n s i p i {\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}
p 進級数は すべてが 整数で、nとnがすべてゼロである 場合 、または すべてがゼロである場合、 正規化され ます 。後者の場合、級数は 零級数 と呼ばれます。 ∑ i = v ∞ a i p i {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}} a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < p , {\displaystyle 0\leq a_{i}<p,} a v > 0 , {\displaystyle a_{v}>0,} a i {\displaystyle a_{i}}
すべての p 進級数は、ちょうど1つの正規化された級数と同値です。この正規化された級数は、級数の同値である一連の変換によって得られます。以下の§p進級数の正規化を参照してください。
言い換えれば、 p進級数の同値性は 同値関係 であり 、各 同値類にはちょうど1つの正規化された p 進級数 が含まれます
級数の通常の演算（加算、減算、乗算、除算）は、 p 進級数の同値性と互換性があります。つまり、 S 、 T 、 U が非ゼロの p 進級数で あり、 次が成り立つ
場合、同値を ~で表します。 S ∼ T , {\displaystyle S\sim T,} S ± U ∼ T ± U , S U ∼ T U , 1 / S ∼ 1 / T . {\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}
これにより、 p 進数は p 進級数 の 同値類 として定義されます。
正規化の一意性により、任意の p 進数を対応する正規化された p 進級数で一意に表すことができます。級数同値の互換性は、ほぼ即座に p 進数の基本特性につながります。
p 進数の 加算 、 乗算 、 逆数は、 形式的冪級数 に対してのように定義され 、その後に結果の正規化が続きます。 これらの演算により、 p 進数は有理数の 拡大体 で ある体 を形成します 非ゼロ p 進数 x の値 は 通常、 対応する正規化された級数の最初の非ゼロ項における p の指数と表記されます。ゼロの値は次のとおりです。 v p ( x ) {\displaystyle v_{p}(x)} v p ( 0 ) = + ∞ {\displaystyle v_{p}(0)=+\infty } 非ゼロp進数xの p 進 絶対 値 は 、 ゼロ p進数の場合 、 | x | p = p − v ( x ) ; {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};} | 0 | p = 0. {\displaystyle |0|_{p}=0.}
の正規化 p 進級数 級数から始めて、の p 進値 (valuation) が0 に なるような同値級数を求めます 。そのためには、最初の 0 でない を考えます。 その p進値 (valuation) が 0 の場合、 v を i に 変更するだけで十分です。つまり、 v から合計を開始します 。それ以外の場合、 の p 進値 (valuation)は で あり、 の値 (valuation) は0 です。したがって、 を 0 に、を に 変更することで同値級数が得られます。このプロセスを繰り返す と 、おそらく無限に多くのステップを経た後、最終的に、 0 級数であるか、 の値 (valuation) が 0 である級数であるかのいずれかの同値級数が得られます 。 ∑ i = v ∞ r i p i , {\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},} r v {\displaystyle r_{v}} r i . {\displaystyle r_{i}.} r i {\displaystyle r_{i}} j > 0 , {\displaystyle j>0,} r i = p j s i {\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}} s i {\displaystyle s_{i}} r i {\displaystyle r_{i}} r i + j {\displaystyle r_{i+j}} r i + j + s i . {\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.} r v {\displaystyle r_{v}}
次に、級数が正規化されていない場合、 区間 内の整数ではない最初の非ゼロの を考えます 。ベズーの補題 を用いて 、これを と書きます。 ここで、 とは非負の付値を持ちます。次に、 を で置き換え 、 を に加える ことで同値な級数が得られます。 このプロセスを、おそらく無限回繰り返すことで、最終的に目的の正規化された p 進級数が得られます。 r i {\displaystyle r_{i}} [ 0 , p − 1 ] . {\displaystyle [0,p-1].} r i = a i + p s i {\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i}} a i ∈ [ 0 , p − 1 ] {\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]} s i {\displaystyle s_{i}} r i {\displaystyle r_{i}} a i , {\displaystyle a_{i},} s i {\displaystyle s_{i}} r i + 1 . {\displaystyle r_{i+1}.}
その他の同値な定義 その他の同等の定義としては、 離散付値環 の 完備化 （§ p進整数を参照）、 距離空間の完備化 （§ 位相的性質を参照）、または 逆極限（ § モジュラー性質を参照）が用いられます。
p進数は、 正規化された p 進級数 として定義できます 。一般的に使用されている他の同値な定義があるため、正規化された p 進級数は p進数 である と言う代わりに、 p 進数 を表すと言う ことが よくあります
すべてのp 進級数は一意の正規化されたp進級数と同値である ため 、任意の p進級数は p 進数を表すと も言えます。これは p 進数の演算（加算、減算、乗算、除算）を定義するのに役立ちます 。このような演算の結果は、級数に対する対応する演算の結果を正規化することによって得られます。級数演算は p 進級数の同値性と互換性があるため、これは p 進数
の演算を適切に定義します
これらの演算により、 p 進数は p 進数 体と 呼ばれる 体 を形成し、 または と表記されます 。有理数から p進数への 体準同型は 唯一存在し 、これは有理数をその p 進展開に写します。この準同型の 像は 、一般に有理数体と同一視されます。これにより、 p 進数を有理数の 拡大体 、有理数を p 進数の 部分体 として考えることができます。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p . {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}
非ゼロ p 進数 x の値 （一般的には xを表すすべての p 進級数 の 最初の非ゼロ項における p の指数）は 、慣例により、 つまり、ゼロの値は 次のようになります。この値は 離散的な値 です。この値の有理数への制限は、 の p 進値、つまり、 n と dの 両方が p と 互いに素 であるような有理数の因数分解における指数 v です。 v p ( x ) , {\displaystyle v_{p}(x),} v p ( 0 ) = ∞ ; {\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;} ∞ . {\displaystyle \infty .} Q , {\displaystyle \mathbb {Q} ,} n d p v , {\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}
表記 p 進展開の表記にはいくつかの異なる規則があります 。この記事ではこれまで、p進展開の表記法を使用してきました 。 この表記法では、 p の べき乗 は右から左に増加します。この右から左への表記法では 、例えばの3進展開は次のように書きます
。 1 5 , {\displaystyle {\tfrac {1}{5}},} 1 5 = … 121012102 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}
この表記法で演算を行う場合、桁は 左に 繰り上がります。p進展開 を、 p のべき乗が左から右に増加し、桁が右に繰り上がるように書くことも可能です。この左から右への表記法では、 の 3進展開は 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = 2.01210121 … 3 or 1 15 = 20.1210121 … 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}
p 進展開は、 {0, 1, ..., p − 1 }の代わりに 他の桁のセット で書くこともできます。例えば、の 3 進展開は、 1 が負の1を表す
、 バランスの取れた3 進数 { 1 , 0, 1 } を使用して次のように書くことができます 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} 1 5 = … 1 _ 11 11 _ 11 11 _ 11 1 _ 3 . {\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}
実際、pを法とする異なる剰余類に属するp個の整数の任意の集合は、 p 進 数字 として 使用 でき ます。数論では、 タイヒ ミュラー表現が 数字として使用されることがあります。 [7]
引用符記法は 、 1979年に エリック・ヘーナー と ナイジェル・ホースプール 有理数 p 進表現 の変形であり 、これらの数を用いた（正確な）算術をコンピュータ上で実装するためのものです。 [8] これは、無限周期の数字列を持つ有理数を表すためのコンパクトな方法として使用できます。この記法では、引用符（'）を使用して、繰り返し部分と非繰り返し部分を区切ります。 1 5 = 1210 ′ 2 3 {\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}
p 有理数のp進展開 正の 有理数の 小数展開は 、 が整数で、それぞれが となる 整数で ある 級数 として 表現されます。この展開は 、分子を分母で 長除算する こと で計算できます。この定理自体は、次の定理に基づいています。 が 有理数で、 となり 、 と なる整数が存在する場合 、 小数展開は、この結果を剰余に繰り返し適用することで得られ、剰余は 反復処理において元の有理数の役割を担います 。 r {\displaystyle r} r = ∑ i = k ∞ a i 10 − i , {\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},} k {\displaystyle k} a i {\displaystyle a_{i}} 0 ≤ a i < 10. {\displaystyle 0\leq a_{i}<10.} r = n d {\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}} 0 ≤ r < 1 , {\displaystyle 0\leq r<1,} a {\displaystyle a} 0 ≤ a < 10 , {\displaystyle 0\leq a<10,} 10 r = a + r ′ , {\displaystyle 10r=a+r',} 0 ≤ r ′ < 1. {\displaystyle 0\leq r'<1.} r ′ {\displaystyle r'} r {\displaystyle r}
有理数の p 進展開も 同様に計算できますが、除算の手順が異なります。 が 非負の値を持つ有理数（つまり、 dは p で割り切れない ）であると仮定します。除算の手順は、 と書くことになります。 r = n d {\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}} r = a + p r ′ {\displaystyle r=a+p\,r'} が非負の値を持つ整数 で 、 が 非負の値を持つ場合。 a {\displaystyle a} 0 ≤ a < p , {\displaystyle 0\leq a<p,} r ′ {\displaystyle r'}
整数 aは 、モジュラー逆数 として計算できます 。 。このため、 rを このように書くことは常に可能であり、そのような表現は一意です a = n d − 1 mod p {\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}
有理数の p 進展開は、最終的には 周期的に なります。 逆に 、級数が （ p進絶対値に対して）有理数に収束するの は 、最終的に周期的である 場合のみです 。この場合、級数は その有理数の p進展開です。 証明は、 循環小数 に対する同様の結果の証明と同様です 。 ∑ i = k ∞ a i p i , {\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},} 0 ≤ a i < p {\displaystyle 0\leq a_{i}<p}
例 の5進展開を計算してみましょう。 この数は と書くことができます。したがって、 最初のステップでは を使用します。 次のステップでは、「剰余」 を と書くことができます 。したがって、 を使用します 。 「剰余」 を と 書くことができます 。したがって、 を使用します 。 「剰余」を再び得ることに注意してください 。つまり、数字はこの時点からしか繰り返されないことを意味します。
標準的な5進表記では、これを と書き 、左側に 省略記号 を付けます 1 3 . {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.} 1 3 = 2 + 5 ⋅ − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}=2+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}} a = 2 {\displaystyle a=2} 1 3 = 2 + 5 1 ⋅ ( − 1 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5^{1}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)} − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}} − 1 3 = 3 + 5 ⋅ − 2 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}=3+5\cdot {\tfrac {-2}{3}}} a = 3 {\displaystyle a=3} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 5 2 ⋅ ( − 2 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot \left({\frac {-2}{3}}\right)} − 2 3 {\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}} − 2 3 = 1 + 5 ⋅ − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}=1+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}} a = 1 {\displaystyle a=1} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 1 ⋅ 5 2 + 5 3 ⋅ ( − 1 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)} − 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}} 1 3 = 2 + 3 ⋅ 5 1 + 1 ⋅ 5 2 + 3 ⋅ 5 3 + 1 ⋅ 5 4 + 3 ⋅ 5 5 + 1 ⋅ 5 6 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{3}+1\cdot 5^{4}+3\cdot 5^{5}+1\cdot 5^{6}+\cdots } 1 3 = … 1313132 5 {\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}} … {\displaystyle \ldots }
p 進 p 進整数 は 、負でない値を持つ p 進数です
-進整数は、 各整数 を 法とする 剰余の 列として表すことができ
、 の 適合関係を満たします 。 p {\displaystyle p} x = ( x 1 mod p , x 2 mod p 2 , x 3 mod p 3 , … ) {\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )} x e {\displaystyle x_{e}} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e} x i ≡ x j ( mod p i ) {\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})} i < j {\displaystyle i<j}
すべての 整数 は -進整数です （ であるため、ゼロを含む）。 と と互いに素 である 形の有理数 も -進整数です（ がすべての に対して 逆数を持つ ため ）。 p {\displaystyle p} 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty } n d p k {\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}} d {\displaystyle d} p {\displaystyle p} k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} p {\displaystyle p} d {\displaystyle d} p e {\displaystyle p^{e}} e {\displaystyle e}
p進整数 は 、 または表記される 可換環 を形成し 、以下の性質を持ちます。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}
これは体の 部分環 であるため、 整域です。または、2つの非ゼロ p 進級数の積の級数表現の最初の項が それらの最初の項の積であるためです。 の単位 元 （可逆元）は、価数ゼロの p 進数です 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} これは 主イデアル域 であり、各 イデアルは p の冪によって生成されます 。 これは、その唯一の素イデアルが ゼロイデアルと p によって生成されるイデアル 、 つまり唯一の 最大イデアル である ため、 クルル次元 1の 局所環 です これは 前述の性質から生じる 離散付値環である。 これは 素イデアルにおける 局所環の 完備 化 で ある。 Z ( p ) = { n d | n , d ∈ Z , d ∉ p Z } , {\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } p Z . {\displaystyle p\mathbb {Z} .} 最後の性質は、上記の定義と同値な p 進数の定義を与える。p進数の体は、 p によって生成される素イデアルにおける整数の局所化の完備化の 分数の体 で ある 。
位相的性質 3進整数を 距離空間として視覚的に表現したもの Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} _{3}} p 進値により、 p 進数の 絶対値 を定義することができます 。 非ゼロの p 進数 xの p進絶対値は x の p 進値 です 。p 進 絶対 値 は です 。これは、任意の x と y に対して、 強三角不等式を 満たす絶対値です 。 | x | p = p − v p ( x ) , {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},} v p ( x ) {\displaystyle v_{p}(x)} 0 {\displaystyle 0} | 0 | p = 0. {\displaystyle |0|_{p}=0.}
| x | p = 0 {\displaystyle |x|_{p}=0} の場合に限ります x = 0 ; {\displaystyle x=0;} | x | p ⋅ | y | p = | x y | p ; {\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};} | x + y | p ≤ max ( | x | p , | y | p ) ≤ | x | p + | y | p . {\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.} さらに、 の場合 | x | p ≠ | y | p , {\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},} | x + y | p = max ( | x | p , | y | p ) . {\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}
これにより、 p 進数は 計量空間 、さらには 超計量空間 となり、 p 進距離は で定義されます。 d p ( x , y ) = | x − y | p . {\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}
計量空間として、 p 進数は p 進絶対値を備えた有理数の 完備を形成します。これは、 p 進数を 定義する別の方法を提供します。
計量は 離散値 から定義されるため、すべての 開球は 閉球 でもあります 。より正確には、開球は 閉球に等しく、 v は最小の整数で 、同様 に 、 w は最大の整数で、 B r ( x ) = { y ∣ d p ( x , y ) < r } {\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}} B p − v [ x ] = { y ∣ d p ( x , y ) ≤ p − v } , {\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},} p − v < r . {\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.} B r [ x ] = B p − w ( x ) , {\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),} p − w > r . {\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}
これは、 p 進数が 局所コンパクト空間 （ 局所コンパクト体 ）を形成し 、 p 進整数 、つまり球は コンパクト空間 を形成することを意味します 。 [9] Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} B 1 [ 0 ] = B p ( 0 ) {\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}
2進整数の空間は カントール集合 に 同相 です 。 [10] [11] これは、で定義される 連続的な1対1写像を考えることでわかります。さらに、任意の p に対して 、 はに同相であり 、したがってカントール集合にも同相です。 [12] Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} C {\displaystyle {\mathcal {C}}} ψ : Z 2 → C {\displaystyle \psi :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} ψ : a 0 + a 1 2 + a 2 2 2 + a 3 2 3 + ⋯ ⟼ 2 a 0 3 + 2 a 1 3 2 + 2 a 2 3 3 + 2 a 3 3 4 + ⋯ {\displaystyle \psi :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
p 進整数 群の ポンチャギン 双対は プリューファー p 群 であり、プリューファー p群のポンチャギン双対は p 進整数 群である。 [13] Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
モジュラー特性 商環 は を法とする整数 環 と同一視できる 。これは、正規化された p 進級 数で表されるすべての p 進整数が、 その値が区間内の整数 となる 部分和 を法として合同であることに注目することで示される。簡単な検証により、これが から へ の 環同型を定義することが示される。 Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } p n . {\displaystyle p^{n}.} p n {\displaystyle p^{n}} ∑ i = 0 n − 1 a i p i , {\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},} [ 0 , p n − 1 ] . {\displaystyle [0,p^{n}-1].} Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} Z / p n Z . {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}
環の 逆 極限は、すべての i に対してかつ と なるような 数列によって形成される環として定義される 。 Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots } a i ∈ Z / p i Z {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} } a i ≡ a i + 1 ( mod p i ) {\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}
正規化されたp 進級数をその部分和の列に 写す写像は、から の逆極限への環同型である。これは、（ 同型 まで） p 進整数 を定義する別の方法を提供する Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Z p / p n Z p . {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}
この p 進整数の定義は、逐次近似によって p 進整数を構築できるため、実用的な計算に特に役立ちます。
例えば、整数の p進（乗法）逆数を計算するには、 p を法とする逆数から始めて、 ニュートン法 を使用できます。そして、各ニュートン法のステップで 、逆数から法を法と する逆数を計算します。 p n 2 {\textstyle p^{n^{2}}} p n . {\textstyle p^{n}.}
同じ方法は、 pを法とする 平方剰余 で ある整数の p 進 平方根 を計算するために使用できます 。これは、大きな整数が平方数かどうかをテストするための最も高速な既知の方法のようです。与えられた整数がで見つかった値の平方であるかどうかをテストするだけで十分です 。ニュートン法を適用して平方根を求めるには、が与えられた整数の 2倍よりも大きい必要がありますが、これはすぐに満たされます Z p / p n Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}} p n {\textstyle p^{n}}
ヘンゼルリフティングは、整数係数を持つ多項式の p を法とした因数分解を、大きな n の値を持つ因数分解に 「持ち上げる」ことを可能にする同様の方法です。これは、 多項式因数分解 アルゴリズム でよく使用されます p n {\textstyle p^{n}}
基数 と はどちら も 非可算で あり、 連続体 の濃度 を持つ 。 [14] これは p 進表現から生じ、 の 冪集合 上の 全 単射 を定義する。 は である。 これは の 可算無限 個 のコピーの和 としての表現から生じる 。 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p , {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} { 0 , … , p − 1 } N . {\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} Q p = ⋃ i = 0 ∞ 1 p i Z p . {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}
代数的閉包 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} は とを含み、 は 標数 0 の体である 。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
0 は 平方和として表すことができる ため、 [注 3] は 順序付き体 に変換できない 。 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
実数 体には、 複素数 という単一の適切な 代数的拡大 しかない。 言い換えれば、この 二次拡大は すでに 代数的に閉じて いる。対照的に、 の代数 的閉包 は と表記され、 無限次を持ち、 [15] つまり、 は無限個の非同値な代数的拡大を持つ。また、実数の場合と対比すると、への p 進付値の唯一の拡大は存在するものの、 後者は（計量的に）完全ではない。 [16] [17] R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p ¯ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}
その（計量）完備化はまたは と 表記され 、 [17] [18] 、複素数との類推により 複素 p 進数 と呼ばれることもあります。ここで終点に達し、 は代数的に閉じています。 [17] [19] しかし、 これとは異なり、 は 局所コンパクトで はありません。 [18] C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} Ω p {\displaystyle \Omega _{p}} C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} と は 環として同型であるため、 [注 4] 、エキゾチックな計量を備えていると 見なすことができます 。このような体同型の存在証明は 選択公理 に依存しており、そのような同型の明示的な例は提供されていません（つまり、 構成的で はありません）。 C {\displaystyle \mathbb {C} } C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
が である場合、 ガロア 群 の任意の 有限 ガロア拡大は が 可解 です。したがって、ガロア群はが 可解 です 。 K {\displaystyle K} Q p , {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},} Gal ( K / Q p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)} Gal ( Q p ¯ / Q p ) {\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}
乗法群 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} がn 次 円分体 ( n > 2 )を含む場合と、 n | p − 1 の場合とで同値 で ある。 [20] 例えば、 n 次円分体が の部分体である 場合と、 n = 1, 2, 3, 4, 6 、または 12 の 場合とで同値である。特に、 p > 2 の 場合 、 には乗法的な p 捩れは存在しない 。また、 −1 は における唯一の非自明な捩れ元である 。 Q 13 {\displaystyle \mathbb {Q} _{13}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}
自然数 k が与えられたとき 、 における の非零元の k 乗の乗法群の 添え字は 有限である Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} Q p × {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}
階乗 の 逆数 の和として定義される 数 e は、どのp 進体 の元でもありません。ただし、 については元になります。p = 2 の 場合 、少なくとも 4 乗を取る必要があります。 [21] （したがって、 e と同様の性質を持つ数、 つまり e p のp 乗根は、 すべての p に対しての元です 。） e p ∈ Q p {\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}} p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
局所-大域原理 ヘルムート・ハッセ の 局所-大域原理 は、方程式が有理数上で解ける場合、 かつ、すべての素数 pに対して実数上および p 進数 上で解ける場合に限り、方程式に対して成立すると言われています 。この原理は、例えば、 二次形式 で与えられる方程式に対しては成立しますが、いくつかの不定値における高次多項式に対しては成立しません。
ヘンゼルの持ち上げを伴う有理数演算
応用 p 進 数は、物理学だけでなく、数学のいくつかの分野でも登場しています。
解析 実数と 複素数上の関数を扱う、 より古典的な分野である実解析と複素解析と同様に 、 p 進 解析は p 進数上の関数を研究します 。p進数上の複素数値関数の理論は、 局所コンパクト群 の理論 （ 抽象調和解析 ）の一部です。p進解析の通常の意味は、 関心のある空間上のp 進値 関数 の理論です。
p進解析 の応用は主に数論において行われており、 ディオファントス幾何学 と ディオファントス近似 において重要な役割を果たしています。一部の応用では、 p 進 関数解析 と スペクトル理論 の発展が必要でした 。多くの点で p進解析は 古典的な解析 よりも複雑ではありません。これは、 超計量不等式 が 、例えば p 進数の 無限 級数の収束がはるかに単純であることを意味するためです 。p進体 上の 位相 ベクトル空間は独特の特徴を示します。例えば、 凸性 や ハーン・バナッハの定理 に関する側面は 異なります
p 進解析 における2つの重要な概念は、すべての連続 p 進関数を多項式で 特徴付ける マーラーの定理と、 p 進関数 の 積分 法を提供する フォルケンボルン積分です。
ホッジ理論 p 進ホッジ理論 は、残差特性 pを持つ 特性0の 局所体（ Q p など ） の p 進ガロア表現を 分類および研究する方法を提供する理論です 。この理論は、ジャン＝ピエール・セール と ジョン・テイトによる アーベル多様 体の テイト加群 の研究 とホッジ・テイト表現 の概念 に端を発しています。ホッジ・テイト表現は、ホッジ分解 に類似した p 進 コホモロジー 理論の特定の分解に関連している ため、 p 進ホッジ理論と呼ばれます 。さらなる発展は、多様体 の エタール・コホモロジー から生じる p 進ガロア表現の性質に触発されました 。 ジャン＝マルク・フォンテーヌは、 この体の基本概念の多くを導入しました。
タイヒミュラー理論 p 進タイヒミュラー理論は、 p 進曲線とその モジュライ の「均一化」を記述するものであり 、リーマン面 とそのモジュライの 均一化を 記述する 通常の タイヒミュラー理論を一般化したものである。この理論は 望月新一 によって導入・発展された 。
量子物理学 p 進量子力学は、実数を p 進数 に置き換える 量子物理学 における関連研究の総体です 、実数上の積分を用いて計算される 開 ボソン弦の ヴェネツィアーノ振幅が p進数に一般化できるという発見に触発されました。この観察が p 進弦理論 の研究の始まりとなりました 。
実数と p進数は有理数の完備化です。また、一般 代数体など 、他の体も同様の方法で完備化することができます 。これについてここで説明します
D を デデキント整域 とし 、 E をその 分数体とします 。D の 非零 素イデアル P を選びます。x が E の非零元であれば 、 xD は 分数 イデアル で あり、 D の非零素イデアルの正と負のべき乗の積として一意に因数分解できます 。この因数分解における P の指数をord P ( x ) と書き、 1 より大きい 任意の数 cに対して、この絶対値 |⋅| P に関して完備化すると、 体 E P が得られます。これは、 p 進数の体をこの設定に適切に一般化したものです 。c の選択は完備化を変えません（異なる選択をしても同じコーシー列の概念が得られるため、同じ完備化になります） 。 剰余体 D / P が有限である場合、 c を D / P のサイズ とすると 便利です | x | P = c − ord P ( x ) . {\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}
例えば、 Eが 数体で ある場合 、 オストロフスキーの定理によれば、 E 上の すべての非自明な 非アルキメデス的絶対値は、 ある |⋅| P として生じます。E上の残りの非自明な絶対値は、 E の 実数または複素数への 異なる埋め込みから生じます。（実際、非アルキメデス的絶対値は、単に E の体 C p への異なる埋め込みと見なすことができ、これにより、数体のすべての非自明な絶対値の記述を共通の基盤に置くことができます。）
多くの場合、 Eが 数体（またはより一般的には 大域体 ）である場合、上記のすべての完備化を同時に追跡する必要があります 。これらは「局所的」な情報を符号化していると見なされます。これは、アデール環とイデール群によって 実現 さ れ ます
p進整数は p 進ソレノイド に拡張できます。p 進整数 を繊維とする 円群 へ の写像は、 円を繊維とする円へ の写像が存在するのと同様です 。 T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}} T p {\displaystyle \mathbb {T} _{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} R {\displaystyle \mathbb {R} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
p進整数 は 、 環の直積 として理解できる profinite整数 にも拡張できます。素数累乗 p k のみを法とする p 進整数
とは異なり 、profinite整数は すべての 自然数 n を法とする法を一般化します。 Z ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}} Z ^ = ∏ p Z p . {\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}
参照
注釈 ^ この記事では、特に明記しない限り、 pは 一度限り固定された素数を表します ^ 訳者序文、35ページ：「実際、後から考えてみると、クンマーの理想数の概念の背後には 離散的な評価が あることが明らかになります。」（Dedekind & Weber 2012、35ページ） ^ ヘンゼルの補題 によれば、 には −7 の平方根が含まれる ので、 p > 2 であれば に も 1 − p の平方根が含まれる ので、 Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ( − 7 ) 2 = 0 , {\displaystyle 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ( p − 1 ) × 1 2 + ( 1 − p ) 2 = 0. {\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.} ^ 2つの代数閉体は、それらが同じ標数と超越次数を持ち（例えば、ラングの 代数 X §1を参照）、かつ と の両方が 標 数ゼロと連続体の濃度を持つ場合に限り、同型である。 C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} C {\displaystyle \mathbb {C} }
引用文献 ^ (Hensel 1897) ^ abcd (Chen, 第27章 ) ^ ab (Koç 2002) ^ (Koblitz 1984, p. 13 ) ^ ab ( Gouvêa 1997, p. 18) ^ (Koblitz 1984, pp. 14–15) ^ (Hazewinkel 2009, p. 342) ^ (Hehner & Horspool 1979, pp. 124–134) ^ (Gouvêa 1997, 系4.2.7) ^ (Robert 2000, 第1章 2.3節) ^ (Gouvêa 1997, 定理4.4.1) ^ (Gouvêa 1997, 定理4.4.2) ^ (Armacost & Armacost 1972) ^ (Robert 2000, 第1章 1.1節) ^ (Gouvêa 1997, 系5.3.10) ^ (Gouvêa 1997, 定理5.7.4) ^ abc (Cassels 1986, p. 149) ^ ab (Koblitz 1980, p. 13) ^ (Gouvêa 1997, 命題5.7.8) ^ (Gouvêa 1997, 命題3.4.2) ^ (Robert 2000, セクション4.1)
参考文献 Armacost, DL; Armacost, WL (1972). 「p-thetic groupsについて」. Pacific Journal of Mathematics . 41 (2): 295–301 . Cassels, JWS (1986), Local Fields , London Mathematical Society Student Texts, vol. 3, Cambridge University Press , ISBN 0-521-31525-5 , Zbl 0595.12006 Chen, Evan. 「An Infinitely Large Napkin」 (PDF) . 2025年 7月23日 閲覧 デデキント、リチャード 、 ウェーバー、ハインリッヒ （2012）、 一変数代数関数の理論 、数学史、第39巻、アメリカ数学会、 ISBN 978-0-8218-8330-3 ジョン・スティルウェル による『 無限に大きい代数関数の理論』 （1882年） の英訳 Gouvêa, FQ (1994年3月)、「素晴らしい証明」、 American Mathematical Monthly 、 101 (3): 203– 222、 doi :10.2307/2975598、 JSTOR 2975598 Gouvêa, Fernando Q. (1997) p 進数：入門 （第2版）、Springer、 ISBN 3-540-62911-4 、 Zbl 0874.11002 Hazewinkel, M.編 (2009年)、『代数ハンドブック』、第6巻、North Holland、342ページ、 ISBN 978-0-444-53257-2 ヘーナー、エリック・CR ；ホースプール、R.ナイジェル（1979）、「高速で簡単な算術のための有理数の新しい表現」、 SIAM Journal on Computing 、 8 （2）： 124–134 、 CiteSeerX 10.1.1.64.7714 、 doi ：10.1137/0208011 ヘンゼル、クルト （1897）、「代数数理論の新しい基礎について」、 ドイツ数学者協会誌 、 6 （3）： 83–88 ケリー、ジョン・L. （2008）[1955]、 『一般位相学』 、ニューヨーク：イシ・プレス、 ISBN 978-0-923891-55-8 コブリッツ、ニール (1980) p 進解析：最近の研究に関する短期講座 、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第46巻、 ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 0-521-28060-5 、 Zbl 0439.12011 コチ、Ç. K. (2002). 「p進算術のチュートリアル」 (PDF) . オレゴン州立大学電気・コンピュータ工学部 . 2025年 7月23日 閲覧. ロバート、アラン・M. (2000), p 進解析 講座 、シュプリンガー、 ISBN 0-387-98669-3
参考文献
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、 p進数 に関連するメディアがあります。
定義可能な数 の集合 合成代数 除算代数 ： 実数 ( ) R {\displaystyle \mathbb {R} } 複素数 ( ) C {\displaystyle \mathbb {C} } 四元数 ( ) H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 ( ) O {\displaystyle \mathbb {O} } 分割 型 その他の 超複素数 無限大 と 無限小 その他の種類
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3進数}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91337f3d3043e9236041f8f7e6bec74389665dd)
![{\displaystyle [0,p-1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d784d3c09f6c16f2be810fc933b13c064cf70df)
![{\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1c9af12193f243aad75dc3ae4207b9654bc7e9)
![{\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e04982ba33722f5f2d2804849a4bfdbd440333)
![{\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09614c8c4f77c185e3bb97c0e46defd0ceb79474)
![{\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0910e7b86a456dc8a358a7e0e575dc9ad46041d1)
