Concept of complex analysis
複素解析 において 、 コーシーの留数定理 と呼ばれることもある 留数定理は 、閉曲線上の 解析関数 の 線積分 を評価するための強力なツールです。 また、実積分や 無限級数の計算にもしばしば使用できます。留数定理は、 コーシーの積分定理 と コーシーの積分公式 を一般化したものです。 留数定理は、 一般化されたストークスの定理 の特殊な場合と混同しないでください 。ただし、一般化されたストークスの定理は、その証明の要素として使用できます
コーシーの留数定理の記述 声明は次のとおりです。
設定のイラスト 留数定理 : は、 有限個の点のリスト と、 上で正則な関数を含む、 複素平面 の 単連結な 開部分 集合とします。 は、 における 閉じた 修正可能曲線 と します。各点 における の 留数 を で表し 、の 周り の 巻数 を で表すとします。の 周り の線積分は、留数の合計の 倍 に等しく 、各留数は、それぞれの点の周りの の巻数と同じ回数だけ数えられます 。 U {\displaystyle U} a 1 , … , a n , {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},} U 0 = U ∖ { a 1 , … , a n } , {\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},} f {\displaystyle f} U 0 . {\displaystyle U_{0}.} γ {\displaystyle \gamma } U 0 , {\displaystyle U_{0},} f {\displaystyle f} a k {\displaystyle a_{k}} Res ( f , a k ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})} γ {\displaystyle \gamma } a k {\displaystyle a_{k}} I ( γ , a k ) , {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),} f {\displaystyle f} γ {\displaystyle \gamma } 2 π i {\displaystyle 2\pi i} γ {\displaystyle \gamma }
∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n I ( γ , a k ) Res ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}
が正の向きの 単純閉曲線 である 場合 、 が の内部にある 場合 は であり 、 そうでない場合は、したがって γ {\displaystyle \gamma } I ( γ , a k ) {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})} 1 {\displaystyle 1} a k {\displaystyle a_{k}} γ {\displaystyle \gamma } 0 {\displaystyle 0}
∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ Res ( f , a k ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}
内側 にあるものの合計 [1] a k {\displaystyle a_{k}} γ . {\displaystyle \gamma .}
留数定理とストークスの定理の関係は、 ジョルダン曲線定理 によって示される。一般 平面曲線 γ は、まず、積分のためにその合計が と等価な 単純閉曲線の集合に簡約されなければならない 。これにより、問題は、 内積を持つ ジョルダン曲線に沿ったの積分を求めることに帰着する。 が 上で正則である という要件は、 上 の外微分が であるという命題と等価である。 したがって、 の2つの平面領域と が 、 の 領域と 同じ部分集合を囲み 、 が 完全に にある 場合、 { γ i } {\displaystyle \{\gamma _{i}\}} γ {\displaystyle \gamma } f d z {\displaystyle f\,dz} γ i {\displaystyle \gamma _{i}} V . {\displaystyle V.} f {\displaystyle f} U 0 = U ∖ { a k } {\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}} d ( f d z ) = 0 {\displaystyle d(f\,dz)=0} U 0 . {\displaystyle U_{0}.} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} U {\displaystyle U} { a j } {\displaystyle \{a_{j}\}} { a k } , {\displaystyle \{a_{k}\},} V ∖ W {\displaystyle V\smallsetminus W} W ∖ V {\displaystyle W\smallsetminus V} U 0 , {\displaystyle U_{0},}
∫ V ∖ W d ( f d z ) − ∫ W ∖ V d ( f d z ) {\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}
は明確に定義され、ゼロに等しい。したがって、に沿った の周回積分は、 単一の の周りの任意の小さな領域を囲む 経路に沿った積分の集合の和に等しい。 の留数（ における 通常の因子まで ） を合計する と、 の周回積分の最終的な表現が、巻数を用いて得られる。 f d z {\displaystyle f\,dz} γ j = ∂ V {\displaystyle \gamma _{j}=\partial V} γ j , {\displaystyle \gamma _{j},} a j {\displaystyle a_{j}} f {\displaystyle f} 2 π i {\displaystyle 2\pi i} { a j } . {\displaystyle \{a_{j}\}.} { γ j } , {\displaystyle \{\gamma _{j}\},} { I ( γ , a k ) } . {\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}
実積分を評価するために、留数定理は次のように用いられます。まず、被積分関数を複素平面に拡張し、その留数を計算します（通常は簡単です）。次に、実軸の一部を閉曲線に拡張します。そのためには、上半平面または下半平面に半円を接ぎ木して半円を形成します。この曲線上の積分は、留数定理を用いて計算できます。多くの場合、半円の半径が大きくなるにつれて、積分の半円部分はゼロに近づき、本来関心のあった実軸部分だけが残ります。
残留物の計算 複素平面上の 穴あき円板 D = { z : 0 < | z − c | < R } が与えられ、 f が （少なくとも） D上で定義された 正則関数 である とする 。 c における fの留数 Res( f , c )は、 c の周りの fの ローラン 級数展開 における ( z − c ) −1 の 係数 a −1 である。この値を計算する方法は様々であり、どの方法を用いるかは、対象となる関数と特異点の性質に依存する。
留数定理によれば、次のようになります。
Res ( f , c ) = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz} ここで、 γ は c の 周りを反時計回りに円を描き 、他の特異点を通過したり、他の特異点を内部に含んだりしません。経路 γとして、 c の 周り の半径 εの円を選ぶことができます。ε は 任意の小さな値に設定できるため 、孤立した特異点の性質により、c の特異点のみを含むように設定できます。これは、積分を直接計算できる場合に使用できますが、通常は積分の計算を簡略化するために留数が使用され、その逆は使用されません。
除去可能な特異点 関数 f が円板全体にわたって 正則関数 に 接続 できる場合 、Res( f , c ) = 0 となります。逆は一般には成り立ちません | y − c | < R {\displaystyle |y-c|<R}
単極 cが f の 単極 である 場合、 f の留数は 次のように与えられます
Res ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).} その極限が存在しない場合、 f は c において本質的特異点を持つ 。極限が 0 の場合、 fは c において解析的である か、そこに除去可能な特異点を持つ。極限が無限大の場合、極の位数は 1 より大きい。
関数 f は2 つの関数の商として表現できる場合があります。 ここで、 g と h は c の 近傍 における 正則関数 で、 h(c) = 0 かつ h'(c) ≠ 0 です。このような場合、 ロピタルの定理を 使用して上記の式を次のように簡略化できます。 f ( z ) = g ( z ) h ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}
Res ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) = lim z → c z g ( z ) − c g ( z ) h ( z ) = lim z → c g ( z ) + z g ′ ( z ) − c g ′ ( z ) h ′ ( z ) = g ( c ) h ′ ( c ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}
より一般的には、 c が p 位の 極で ある場合、 z = c の周りの f の留数は、 次の式で求められます。
Res ( f , c ) = 1 ( p − 1 ) ! lim z → c d p − 1 d z p − 1 ( ( z − c ) p f ( z ) ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).} この式は、低次の極の留数を求めるのに非常に役立ちます。高次の極の場合、計算が手に負えなくなることがあり、通常は 級数展開の 方が容易です。 本質的特異点 の場合、このような単純な式は存在せず、通常は級数展開から直接留数を求めなければなりません。
無限遠における留数 一般に、 無限大剰余は 次のように定義されます
Res ( f ( z ) , ∞ ) = − Res ( 1 z 2 f ( 1 z ) , 0 ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).} 次の条件が満たされる場合:
lim | z | → ∞ f ( z ) = 0 , {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,} 無限大における剰余は 次 の式を使って計算できます。
Res ( f , ∞ ) = − lim | z | → ∞ z ⋅ f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).} 代わりに
lim | z | → ∞ f ( z ) = c ≠ 0 , {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,} 無限遠における留数 は
Res ( f , ∞ ) = lim | z | → ∞ z 2 ⋅ f ′ ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).} 有限個の特異点を持つ複素平面全体にわたる有理型関数の場合、（必然的に）孤立した特異点における留数と無限遠における留数の和は0であり、以下のようになります
Res ( f ( z ) , ∞ ) = − ∑ k Res ( f ( z ) , a k ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}
級数法 関数の一部または全部を テイラー級数 または ローラン級数 に展開できる場合（関数の一部または全体が標準的な級数展開を持つ場合は可能）、留数の計算は他の方法よりもはるかに簡単です。関数の留数は、 関数の ローラン級数 展開におけるの係数によって単純に与えられます ( z − c ) − 1 {\displaystyle (z-c)^{-1}}
例
実軸 積分 ∫ − ∞ ∞ e i t x x 2 + 1 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}
積分路 C 確率論において、 コーシー分布 の 特性関数 を計算する際に 生じる。これは初等 微積分 の手法では評価できないが、 等高線積分 の極限として表すことで評価できる 。
t > 0 とし、 実数 直線 − a からa に 沿って進み 、その後 0 を中心とする半円に沿って反時計回りに aから − a まで進む 曲線 C を定義する。a は 1 より大きく、 虚数 単位 i が 曲線内に収まるようにする。次に、曲線積分を考える。 ∫ C f ( z ) d z = ∫ C e i t z z 2 + 1 d z . {\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}
e itz は整関数 （複素平面上のどの点にも 特異点を 持たない関数） である ため、この関数 は分母 z 2 + 1 がゼロとなる点においてのみ特異点を持つ。z 2 + 1 = ( z + i )( z − i ) であるため 、 これ は z = i または z = − i の 場合 に のみ 発生 する 。 これらの点のうち1つだけがこの等高線で囲まれた領域内にある。f ( z )は f ( z ) の z = i における 留 数 である ため 、 e i t z z 2 + 1 = e i t z 2 i ( 1 z − i − 1 z + i ) = e i t z 2 i ( z − i ) − e i t z 2 i ( z + i ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}} Res z = i f ( z ) = e − t 2 i . {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}
留数定理によれば、 ∫ C f ( z ) d z = 2 π i ⋅ Res z = i f ( z ) = 2 π i e − t 2 i = π e − t . {\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}
輪郭線 Cは 直線部分と曲線の円弧に分割することができ、 したがって ∫ s t r a i g h t f ( z ) d z + ∫ a r c f ( z ) d z = π e − t {\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}} ∫ − a a f ( z ) d z = π e − t − ∫ a r c f ( z ) d z . {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}
いくつかの推定値 を用いる と 、 | ∫ a r c e i t z z 2 + 1 d z | ≤ π a ⋅ sup arc | e i t z z 2 + 1 | ≤ π a ⋅ sup arc 1 | z 2 + 1 | ≤ π a a 2 − 1 , {\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},} lim a → ∞ π a a 2 − 1 = 0. {\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}
分子の推定値は t > 0 であり、円弧に沿った 複素数 z （上半平面上）では z の偏角 φ は 0 と π の 間にあるため、次の式で表されます。 | e i t z | = | e i t | z | ( cos φ + i sin φ ) | = | e − t | z | sin φ + i t | z | cos φ | = e − t | z | sin φ ≤ 1. {\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}
したがって、 ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}
t < 0 の場合、 i ではなく −i を回る 弧 C ′を用いた同様の議論から、次のこと が わかります
輪郭 C ′ 。 ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e t , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}
そして最後に ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − | t | . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}
（ t = 0 の場合、積分は直ちに初等微積分法に帰着し、その値は π です。）
ゼータ関数の評価 πcot ( πz ) が各整数において留数1を持つ単純な極を持つという事実は、 和を計算するために使用できます ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}
例えば、 f ( z ) = z −2 を考えてみましょう。Γ N を [− N − の境界となる長方形とします 。 1 / 2 、 N + 1 / 2 ] 2 は正の向きを持ち、整数 N を持つ。留数式により、
1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot ( π z ) d z = Res z = 0 + ∑ n = − N n ≠ 0 N n − 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}
左辺は N → ∞ でゼロになる。これは、 等高線の左右両側で を用いているおかげで、等高線上で一様有界であるためである。したがって、積分関数は 等高線全体にわたって順序を持つ。一方、 [2] | cot ( π z ) | {\displaystyle |\cot(\pi z)|} x = ± ( 1 2 + N ) {\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)} O ( N − 2 ) {\displaystyle O(N^{-2})}
z 2 cot ( z 2 ) = 1 − B 2 z 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots } ここで ベルヌーイ数は B 2 = 1 6 . {\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}
（実際、 z / 2 ベビー ベッド（ z / 2 ) = iz / 1 − e − iz − iz / 2 .) したがって、剰余 Res z =0 は − π 2 / 3 . 結論として、
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} これはバーゼル問題 の証明である 。
同じ議論は が正の整数で あるすべての に対して適用でき、次式 が得られます 。 の場合にはこのトリックは機能しません。 この場合、ゼロにおける留数が消え、役に立たない恒等式 が得られるからです 。 f ( x ) = x − 2 n {\displaystyle f(x)=x^{-2n}} n {\displaystyle n} ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! . {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.} f ( x ) = x − 2 n − 1 {\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}} 0 + ζ ( 2 n + 1 ) − ζ ( 2 n + 1 ) = 0 {\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}
アイゼンシュタイン級数の計算 同じトリックを使って アイゼンシュタイン級数 の和を求めることができます π cot ( π z ) = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( z − n ) − 1 . {\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}
参照
注釈 ^ Whittaker & Watson 1920, p. 112, §6.1 ^ Whittaker & Watson 1920, p. 125, §7.2. WhittakerとWatsonの著書では ベルヌーイ数 は と表記されている点に注意。 B 2 n {\displaystyle B_{2n}} B n {\displaystyle B_{n}}
参考文献
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(zc)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cb4655fbceb73b05badb56c402e796553ac2d1)
