リーマンゼータ関数

Analytic function in mathematics

リーマンゼータ関数ζ ( z )を領域色でプロットしたもの^[1]

z = 1の極と臨界線上の2つの零点

リーマンゼータ関数またはオイラー・リーマンゼータ関数は、ギリシャ文字 ζ（ゼータ）で表され、 Re( s )>1に対して定義される複素変数の数学的関数であり、その解析接続は他の場所にも存在する。^[2] $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$

リーマンゼータ関数は解析的数論において極めて重要な役割を果たしており、物理学、確率論、応用統計学に応用されています。

レオンハルト・オイラーは18世紀前半に初めて実数関数を導入し、研究しました。ベルンハルト・リーマンは1859年に発表した論文「与えられた絶対値よりも小さい素数の個数について」で、オイラー定義を複素変数に拡張し、その有理型接続と関数方程式を証明し、その零点と素数の分布との関係を確立しました。この論文には、リーマン予想も含まれています。これは、リーマンゼータ関数の複素零点の分布に関する予想であり、多くの数学者が純粋数学における最も重要な未解決問題であると考えています。^[3]

リーマンゼータ関数の偶数正整数における値はオイラーによって計算された。最初のζ (2)はバーゼル問題の解を与える。1979年、ロジャー・アペリはζ (3)の無理数を証明した。負の整数点における値もオイラーによって発見され、有理数となり、モジュラー形式理論において重要な役割を果たす。リーマンゼータ関数には、ディリクレ級数、ディリクレL関数、L関数など、多くの一般化が知られている。

意味

ベルンハルト・リーマンの論文「与えられた大きさ以下の素数の個数について」

リーマンゼータ関数ζ ( s )は、複素変数s = σ + itの関数です。ここで、 σとtは実数です。( s、σ、tという表記は、リーマンの法則に従い、ゼータ関数の研究では伝統的に使用されています。) Re( s ) = σ > 1の場合、この関数は収束する和または積分として表すことができます。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

どこ

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

はガンマ関数です。リーマンゼータ関数は、σ > 1に対して定義された関数の解析接続を介して、他の複素数値に対して定義されます。

レオンハルト・オイラーは1740年にsの正の整数値について上記の級数を考え、後にチェビシェフは定義をRe( s )>1に拡張した。^[4]

上記の級数は、σ > 1となるsに対して解析関数に絶対収束し、それ以外のsの値に対しては発散する典型的なディリクレ級数です。リーマンは、収束半平面上の級数で定義される関数は、s ≠ 1 となるすべての複素数値に対して解析的に接続できることを示しました。s = 1に対して、級数は+∞に発散する調和級数であり、したがって、リーマンゼータ関数は複素平面全体上の有理型関数であり、留数1のs = 1の単純極を除いて、どこでも正則です。 $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

オイラーの積の公式

1737年、ゼータ関数と素数の関係はオイラーによって発見され、彼は次の等式を証明した。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

ここで、定義により、左辺はζ ( s )であり、右辺の無限積はすべての素数pに渡って拡張されます（このような式はオイラー積と呼ばれます）。

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

オイラー積の公式の両辺は、Re( s ) > 1のとき収束する。オイラーの等式は、等比級数の公式と算術の基本定理のみを用いて証明される。s = 1 のときに得られる調和級数は発散するため、オイラーの公式（Π _p ⁠となる）は p/p − 1⁠）は、素数が無限に存在することを意味します。 ^[5] p /( p − 1)の対数はほぼ1/ pなので、この式は素数の逆数の和が無限であるというより強い結論を証明するためにも使用できます。一方、これをエラトステネスのふるいと組み合わせると、正の整数の集合内における素数の集合の密度はゼロであることが示されます。

オイラー積の公式は、ある範囲内でランダムに選ばれた s 個の整数が集合的に互いに素である漸近確率を計算するために使用できる。直感的には、任意の単一の数が素数（または任意の整数）pで割り切れる確率は1/ pである。したがって、 s 個の数すべてがこの素数で割り切れる確率は1/ p ^sであり、そのうちの少なくとも 1 つが割り切れない確率は1 − 1/ p ^sである。ここで、異なる素数の場合、候補となる約数が互いに素であるため、これらの割り切れる可能性イベントは互いに独立している（数が互いに素な約数nとmで割り切れる場合と、それがnmで割り切れる 場合とでのみ、このイベントは確率 1/( nm )で発生する）。したがって、 s個の数が互いに素である漸近確率は、すべての素数の積で与えられる。^[6]

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

リーマンの関数方程式

このゼータ関数は、Γ( s )がガンマ関数である関数方程式を満たします。これは、複素平面全体で有効な有理型関数の等式です。この方程式は、リーマンゼータ関数の点sと1 − sにおける値を関連付け、特に偶数の正の整数と奇数の負の整数を関連付けます。正弦関数の零点により、この関数方程式は、ζ ( s )が各偶数の負の整数s = −2 nで単純な零点を持つことを意味します。これは、 ζ ( s )の自明な零点として知られています。sが偶数の正の整数のとき、積sin( ⁠ $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\ ,}$$ π秒 /2⁠ )右側のΓ(1 − s )は、 Γ(1 − s )が単純な極、正弦因子の単純な零点をキャンセルするため、非ゼロです。s が 0 のとき、正弦因子の零点はζ (1)の単純な極によってキャンセルされます。

リーマン関数方程式の証明

関数方程式の証明は次のように進む。s > 0ならば、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}e^{-n^{2}\pi x}\ \mathrm {d} x\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ }{\ n^{s}\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}~.}$$ その結果、s > 1の場合、極限過程の反転は絶対収束によって正当化されます (したがって、 の要件はより厳格になります)。 $${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ }{\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ \int _{0}^{\infty }\ x^{{s \over 2}-1}\ e^{-n^{2}\pi x}\ \mathrm {d} x\ =\ \int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\ \mathrm {d} x\ ,}$$ ${\displaystyle s}$ 便宜上、シータ関数の特殊なケースである とします。 $${\displaystyle \psi (x)\ :=\ \sum _{n=1}^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi x},}$$ とはフーリエ変換のペアなので[7]、ポアソン和公式より、 ${\displaystyle e^{-n^{2}\pi x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}e^{\frac {-n^{2}\pi }{x}}}$ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi \ x}\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-{\frac {\ n^{2}\pi \ }{x}}}\ ,}$$ $${\displaystyle \ 2\ \psi (x)+1\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\left(\ 2\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+1\ \right)~.}$$ したがって $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ \int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \mathrm {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)\ \mathrm {d} x~.}$$ 右辺は以下 と等しい。 $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-1}\left({\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{\ 2{\sqrt {x\ }}\ }}-{\frac {1}{2}}\ \right)\ \mathrm {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\ \mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\ s-1\ }}-{\frac {1}{\ s\ }}+\int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}\ \psi \!\left({\frac {1}{\ x\ }}\right)\ \mathrm {d} x+\int _{1}^{\infty }\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \mathrm {d} x~.}$$ したがって、 これはすべてのsに対して収束します。なぜなら、x > 1において、 ψ ( x ) → 0 はxの任意のべき乗よりも速くなり、したがって積分は収束するからです。 s を1 − sに置き換えても右辺は変わりません。 これはベルンハルト・リーマンに帰属する関数方程式です。[8] $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {\ s\ }{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s(s-1)\ }}+\int _{1}^{\infty }\ \left(x^{-{\frac {s}{2}}-{\frac {1}{2}}}+x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)\ \psi (x)\ \mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {s}{2}}\ }\ }}\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ 1-s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}}\ }}}$$ 上記の関数方程式は、反射式と複製式の両方を使用して得ることができます。 まずπの項を集めます。 $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta \left(s\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\right)\zeta \left(1-s\right)\pi ^{s-{\frac {1}{2}}}}$$ 次に両辺にΓ(1 − s /2)を掛けて反射公式を用いる。 $${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta \left(s\right)=\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\right)\zeta \left(1-s\right)\pi ^{s-{\frac {1}{2}}}}$$ $${\displaystyle \zeta \left(s\right)=\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\right)\zeta \left(1-s\right)\pi ^{s-{\frac {3}{2}}}}$$ z = (1 − s )/2の複製公式を用いると、 $${\displaystyle \zeta \left(s\right)=\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)2^{1-1+s}{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(1-s\right)\zeta \left(1-s\right)\pi ^{s-{\frac {3}{2}}}}$$ $${\displaystyle \zeta \left(s\right)=\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)2^{s}\Gamma \left(1-s\right)\zeta \left(1-s\right)\pi ^{s-1}}$$

この関数方程式は、リーマンが 1859 年の論文「与えられた大きさより小さい素数の個数について」で確立したもので、そもそも解析接続を構築するために使用されました。

リーマンのxi関数

リーマンはまた、次を満たす設定で関数方程式の対称バージョンを発見しました 。 $${\displaystyle \xi (s)={\frac {s(s-1)}{2}}\times \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)\zeta (s)}$$ $${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)~.}$$

前の節の関数方程式の導出に戻ると、 $${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}+{\frac {s(s-1)}{2}}\int _{1}^{\infty }\left(x^{-{\frac {s}{2}}-{\frac {1}{2}}}+x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)\psi (x)dx}$$

部分積分法を用いると、 $${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}-\left[\left(sx^{\frac {1-s}{2}}+(1-s)x^{\frac {s}{2}}\right)\psi (x)\right]_{1}^{\infty }+\int _{1}^{\infty }\left(sx^{\frac {1-s}{2}}+(1-s)x^{\frac {s}{2}}\right)\psi '(x)dx}$$ $${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}+\psi (1)+\int _{1}^{\infty }\left(sx^{\frac {1-s}{2}}+(1-s)x^{\frac {s}{2}}\right)\psi '(x)dx}$$

再び部分積分をx ^3/2の因数分解で用いると、 $${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}+\psi (1)-2\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\left(x^{\frac {s-1}{2}}+x^{-{\frac {s}{2}}}\right)\right]_{1}^{\infty }+2\int _{1}^{\infty }\left(x^{\frac {s-1}{2}}+x^{-{\frac {s}{2}}}\right){\frac {d}{dx}}\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]dx}$$ $${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}+\psi (1)+4\psi '(1)+2\int _{1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]\left(x^{\frac {s-1}{2}}+x^{-{\frac {s}{2}}}\right)dx}$$

として、 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\psi (1)+4\psi '(1)=0}$ $${\displaystyle \xi (s)=2\int _{1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]\left(x^{\frac {s-1}{2}}+x^{-{\frac {s}{2}}}\right)dx}$$

x ^−1/4の係数を除去して、余りの指数を反対にします。 $${\displaystyle \xi (s)=2\int _{1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]x^{-{\frac {1}{4}}}\left(x^{\frac {s-1/2}{2}}+x^{\frac {1/2-s}{2}}\right)dx}$$

双曲線関数、つまりcos( x ) = cosh( ix )を使用し、 s = 1/2 +とすると、積分を分離してcosのべき級数を使用することでが得られ、これがリーマンの有名な仮説につながりました。 $${\displaystyle \xi (s)=4\int _{1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]x^{-{\frac {1}{4}}}\cos({\frac {t}{2}}\log x)dx}$$ $${\displaystyle \xi (s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}t^{2n}}$$

零点、臨界線、そしてリーマン予想

リーマンゼータ関数は、 σ = 1の右側、および（自明な零点を除いて） σ = 0の左側に零点を持たない（また、零点がこれらの直線に近すぎることもない）。さらに、自明でない零点は実軸と直線σ = 1/2に関して対称であり、リーマン予想によれば、それらはすべて直線σ = 1/2上に存在する。

この画像は、 tの実数値が 0 から 34 までの場合の臨界線に沿ったリーマン ゼータ関数のプロットを示しています。臨界帯の最初の 5 つのゼロは、螺旋が原点を通過する場所として明確に確認できます。

臨界直線Re( s ) = 1/2に沿ったリーマンゼータ関数の実部（赤）と虚部（青） 。最初の非自明な零点はIm( s ) = ±14.135、±21.022、±25.011に見られる。

関数方程式は、リーマン ゼータ関数が-2、-4、...に零点を持つことを示しています。これらは、自明な零点と呼ばれます。これらは、関数方程式でsin( πs /2)が0であることなどから、その存在が比較的簡単に証明できるという意味で自明です。非自明な零点がはるかに注目を集めているのは、その分布がはるかに理解されていないだけでなく、より重要なことに、その研究により素数や数論の関連オブジェクトに関する重要な結果が得られるからです。任意の非自明な零点は、臨界帯と呼ばれる開帯{ s ∈ | 0 < Re( s ) < 1} ${\displaystyle \mathbb {C} }$にあることが知られています。集合{ s ∈ | Re( s ) = 1/2}は臨界線と呼ばれます。数学における最大の未解決問題の一つと考えられているリーマン予想は、すべての非自明な零点が臨界線上にあると主張しています。 1989年、コンリーはリーマンゼータ関数の非自明な零点の40%以上が臨界線上にあることを証明した。^[9]その後、この割合は41.7%にまで向上した。^[10] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

臨界線上のリーマンゼータ関数については、「 Z関数 」を参照してください。

最初のいくつかの非自明なゼロ^{[11] [12]}

ゼロ
1/2 ± 14.134725... i
1/2 ± 21.022040... i
1/2 ± 25.010858... i
1/2 ± 30.424876... i
1/2 ± 32.935062... i
1/2 ± 37.586178... i
1/2 ± 40.918719... i

クリティカルストリップのゼロの数

N ( T )を、虚部が区間0 < Im ( s ) < Tにある臨界帯0 < Re( s ) < 1におけるζ ( s )の零点の数とする。ティモシー・トゥルッジアンは、T > eならば^[13]

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$。

ハーディ・リトルウッド予想

1914年、GHハーディはζ（⁠1/2⁠ + it）には無限個の実数零点が存在する。 ^{[14] [15]}

ハーディとJEリトルウッドは、_{大きな正の実数区間における}ζ (1/2 + it )の零点の密度と零点間の距離に関する2つの予想を定式化した。以下において、N ( T )は区間(0, T ]における関数ζ (1/2 + it )の実零点の総数、 N0 ( T )は奇数次零点の総数である。

1. 任意のε > 0に対して、 T ₀ ( ε ) > 0が存在し、

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },}$

   区間[ T、T + H ]には奇数次の零点が含まれる。
2. 任意のε > 0に対して、 T ₀ ( ε ) > 0かつc _ε > 0が存在し、不等式

   ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H}$

   保持されるとき

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

これら 2 つの予想は、リーマンゼータ関数の研究に新たな方向性をもたらしました。

ゼロフリー領域

リーマンゼータ関数の零点の位置は、数論において非常に重要である。素数定理は、直線Re( s ) = 1上にゼータ関数の零点が存在しないという事実と等価である。^{[16]また、直線}Re( s ) = 1のわずかに左側の特定の領域には零点が存在しないことが知られており、これは零点フリー領域として知られている。例えば、コロボフ^[17]とヴィノグラドフ^[18]は、ヴィノグラドフの平均値定理を用いて、十分に大きい| t |に対して、ζ ( σ + it ) ≠ 0が成り立つことを独立 に示した。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c}{(\log |t|)^{2/3+\varepsilon }}}}$

任意のε > 0と、 εに依存する数c > 0に対して成り立つ。漸近的に、これはゼータ関数の既知の最大の零点なし領域である。

明示的な零点のない領域も知られている。プラットとトゥルッジアン^[19]は、σ ≠1/2かつ| t |≤3⋅1012^のときζ ( σ + it )≠0である ことを計算的に証明した。モッシングホフ、トゥルッジアン、ヤンは、 ζが領域内で零点を持たないことを証明した^[20]。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$

となる。これは、3⋅10 ¹² < | t | < exp(64.1) ≈ 7⋅10 ²⁷の臨界帯における最大の零点フリー領域である（以前の結果については^[21]を参照）。Yang ^[22]は、 ζ ( σ + it ) ≠ 0 が次の場合であることを示した。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {\log \log |t|}{21.233\log |t|}}}$そして ${\displaystyle |t|\geq 3}$

これはexp(170.2) < | t | < exp(4.8⋅10 ⁵ )における最大の零点フリー領域である。Bellottiは^{[23] （Ford [24]}の研究に基づいて）零点フリー領域 を証明した。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{53.989(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}}$そして。 ${\displaystyle |t|\geq 3}$

これは、固定された| t | ≥ exp(4.8⋅10 ⁵ )に対する、知られている最大の零点フリー領域である。ベロッティはまた、十分に大きい| t |に対して、次のより良い結果が知られていることを示した： ζ ( σ + it ) ≠ 0 for

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.0718(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}.}$

この種の最も強力な結果は、リーマン予想の真実性であり、これは数論において 多くの重大な結果をもたらすであろう。

その他の結果

臨界線上には無限個の零点が存在することが知られている。リトルウッドは、列 (​​ γ _n )が上半平面上のすべての零点の虚数部を昇順で含んでいる場合、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

臨界線定理は、非自明な零点の正の割合が臨界線上にあることを主張する。（リーマン予想によれば、この割合は1 である。）

臨界帯において、最小の非負虚数部を持つ零点は1/2 + 14.13472514... i ( OEIS : A058303 ) である。すべての複素数s ≠ 1に対して、

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

は、リーマンゼータ関数の零点が実軸を中心に対称であることを意味します。さらに、この対称性と関数方程式を組み合わせると、非自明な零点が臨界直線Re( s ) = 1/2を中心に対称であることがわかります。

また、実数部が1 の直線上にはゼロが存在しないこともわかっています。

リーマンゼータ関数と同じ非自明な零点を共有する修正ゼータ関数の大規模なクラスが存在し、ここでの修正とはオイラー積の素数を実数に置き換えることを意味し、これはグロスワルドとシュニッツァーによる結果で示されました。

特定の値

任意の正の偶数2 n （ただし、 B _{2 n}は(2 n )番目のベルヌーイ数）に対して、奇数の正の整数に対しては、このような単純な式は知られていないが、これらの値は整数の代数的K理論に関連していると考えられている（ L関数の特殊値を参照）。 $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

非正整数の場合、 n ≥ 0に対して（ B ₁ = 1/2という慣例を用いる）が成り立つ。特に、ζ は負の偶数整数でゼロとなる。これは、 m が1以外 のすべての奇数に対してB _m = 0 となるためである。これらはゼータ関数のいわゆる「自明な零点」である。 $${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

解析接続により、次の式が成り立つことが示せます。これは、弦理論などの特定の文脈（ラマヌジャンの総和）で使用されている発散級数1 + 2 + 3 + 4 + ⋯^{に有限の値を割り当てるための口実を与えます。 [25]} 同様に、特定の値は、 発散級数1 + 1 + 1 + 1 + ⋯に有限の結果を割り当てることとして見ることができます。 $${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$ $${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

この値は線形運動方程式の運動境界層問題の計算に用いられる。^{[26] [27]} $${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

発散するが、コーシー主値が存在し、オイラー・マスケロニ定数γ = 0.5772に等しい...。^[28] $${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

特定の値の証明はバーゼル問題として知られています。この和の逆数は、「1からnまでの一様分布から選ばれた2つの数がn → ∞において互いに素である確率はいくらか？」という問いに答えます。 ^[29]この値 はアペリーの定数です。 $${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$ $${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

実数を通してs → +∞ の極限をとると、 ζ (+∞) = 1が得られる。しかし、リーマン球面上の複素無限大においては、ゼータ関数は本質的な特異点を持つ。^[2]

さまざまな特性

ゼータ関数の整数値と半整数値に関する合計については、有理ゼータ級数を参照してください。

相互

ゼータ関数の逆数はメビウス関数μ ( n )上のディリクレ級数として表される。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

実部が1より大きい任意の複素数sに対して成り立ちます。様々なよく知られた乗法関数を含む同様の関係が多数存在します。これらはディリクレ級数の記事に記載されています。

リーマン予想は、 sの実部が1/2より大きい場合にこの式が有効であるという主張と同等です。

普遍

リーマンゼータ関数の臨界帯は、普遍性という注目すべき性質を持つ。このゼータ関数の普遍性とは、臨界帯上のある位置において、任意の正則関数を任意によく近似する点が存在することを意味する。正則関数は非常に一般的なので、この性質は非常に注目に値する。普遍性の最初の証明は、1975年にセルゲイ・ミハイロヴィッチ・ボロニンによって与えられた^[30]。より最近の研究では、ボロニンの定理の有効なバージョン^[31]や、それをディリクレL関数^[32 ]に拡張したものなどがある[ ^33]。

ゼータ関数の絶対値の最大値の推定

関数F ( T ; H )とG ( s ₀ ; Δ)を次の式で定義する。

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

ここでTは十分に大きな正の数であり、0 < H ≪ log log T、s ₀ = σ ₀ + iT、1/2 ≤ σ ₀ ≤ 1、0 < Δ < 1/3 。以下からFとGの値を推定すると、臨界線の短い区間、または臨界帯0 ≤ Re( s ) ≤ 1にある点の小さな近傍において、 ζ ( s )がどの程度（絶対値で）大きな値を取り得るかが分かります。

H ≫ log log TのケースはKanakanahalli Ramachandraによって研究されました。Δ > c（cは十分に大きな定数）のケースは自明です。

アナトリー・カラツバは^{[34] [35]}、特にHとΔの値が特定の十分小さい定数を超えると、推定値は

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

ここで、c ₁とc ₂は特定の絶対定数です。

リーマンゼータ関数の引数

機能

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

はリーマンゼータ関数の偏角と呼ばれる。ここでarg ζ (1/2 + it )は、点2、2 + it、1/2 + itを結ぶ破線に沿ったarg ζ ( s )の任意の連続枝の増分である。

関数S ( t )の性質に関する定理がいくつかある。それらの結果^{[36] [37]の中には、} S ( t )とその第一積分の平均値定理がある。

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

実数直線の区間上の、また、任意の区間（T、T + H ]に対して

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

少なくとも

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数S ( t )の符号が変化する点である。以前、アトル・セルバーグは次のようなケースで 同様の結果を得ている。

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

表現

ディリクレ級数

収束領域の拡張は、元の級数を並べ替えることによって得られる。^[38]級数は

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

Re( s ) > 0では収束するが、

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

Re( s ) > −1の場合でも収束する。このように、収束領域は任意の負の整数− kに対してRe( s ) > − kまで拡張できる。

再帰接続はRe( s )>−2に有効な式から明確に見え、部分積分によるさらなる展開が可能です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}.\end{aligned}}}$

この再帰性は、上昇階乗を使用する別の級数展開につながり、複素平面全体にわたって有効である^[38]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

これを再帰的に使用して、ディリクレ級数の定義をすべての複素数に拡張できます。

リーマンゼータ関数は、 x ^{s −1}に作用するガウス・クズミン・ウィルシング作用素の積分においてメリン変換に似た形で現れる。この文脈では、下降する階乗に関する級数展開が生じる。^[39]

メリン型積分

関数f ( x )のメリン変換は次のように定義される^[40]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

積分が定義されている領域において、ゼータ関数はメリン変換のような積分として様々な表現が可能である。sの実部が1より大きい場合、

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$そして ${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x,}$

ここでΓはガンマ関数を表す。リーマンは、等高線を修正することで、

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

すべてのsに対して^[41]（ここでHはハンケル曲線を表す）。

素数と素数定理に関連する表現も見つけることができます。π ( x ) が素数計算関数である場合、

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

Re( s ) > 1 の値の場合。

同様のメリン変換にはリーマン関数J ( x )が含まれる。これは重み1/ nを持つ素数累乗p ⁿを数えるので、

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

今

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

これらの式は、逆メリン変換を用いて素数定理を証明するために使用できます。リーマンの素数計算関数は扱いやすく、メビウス反転によってπ ( x )を復元できます。

シータ関数

リーマンゼータ関数はメリン変換によって与えられる^[42]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

ヤコビのシータ関数の観点から

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

しかし、この積分はsの実部が1より大きい場合にのみ収束しますが、正規化することができます。これにより、ゼータ関数の次の式が得られます。これは0と1 を除くすべてのsに対して定義されます。

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

ローラン級数

リーマンゼータ関数は、s = 1に1次の極を持つ有理型関数である。したがって、 s = 1を中心としたローラン級数として展開することができる。その級数展開は^{[43]である。}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

ここでの定数γ _{n は}スティルチェス定数と呼ばれ、次の極限で定義される。

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

定数項γ0_はオイラー・マスケロニ定数です。

積分

すべてのs ∈ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , s ≠ 1に対して、積分関係（アーベル・プラナの公式を参照）

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t}$

は成り立ち、ゼータ関数の数値評価に使用できます。

アダマール積

ワイエルシュトラスの因数分解定理に基づいて、アダマールは無限積展開を与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

ここで積はζの非自明な零点ρ上の積であり、文字γはオイラー・マスケローニ定数を表す。より単純な無限積展開は

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

この形式は、 s = 1における単純な極、分母のガンマ関数項による−2、−4、 …における自明な零点、そしてs = ρにおける非自明な零点を明確に示している。（後者の式で収束を確実にするためには、積は「一致する零点のペア」についてとるべきである。つまり、 ρと1 − ρの形式の零点のペアの因数を結合すべきである。）

グローバル収束系列

ゼータ関数の大域収束級数。s = 1 + ⁠を除くすべての複素数sに対して有効。2π i/2行目⁠ n は、ある整数nに対して、 1926 年にコンラッド・クノップによって予想され^[44] 、 1930 年にヘルムート・ハッセによって証明されました^[45]（オイラー和を参照）。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

このシリーズはハッセの論文の付録として発表され、1994年にジョナサン・ソンドウによって2度目の出版が行われた。^[46]

ハッセはまた、大域収束級数も証明した。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

同じ出版物に掲載されている^{[45] 。 [47]}イアロスラフ・ブラグーチン^[44]の研究で は、同様のシリーズが1926年にジョセフ・セルによって出版されていたことが判明している。 ^[48]

1997年にK. Maślankaはリーマンゼータ関数に対して 別の大域収束する（ s = 1を除く）級数を与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

ここで実係数は次のように与えられます。 ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

ここでBnはベルヌーイ数、( x ) _kはポッホハマー記号を表す。^{[49] [50]}

ゼータ関数のこの表現は、本質的には節点による補間であることに注意されたい。ここで節点は、s = 2, 4, 6, ...、つまりオイラーが示したようにゼータ値が正確に分かっている点である。カールソンの定理に基づくこのゼータ関数の表現の簡潔で洗練された証明は、2006年にフィリップ・フラジョレによって提示された。^[51]

係数の漸近的挙動は実に興味深い。値が増加すると、振幅がほぼ指数関数的に減少し、周波数が緩やかに減少する（およそ）規則的な振動が観測される。鞍点法を用いると、 ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

ここで、以下を表します: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

（詳細は^{[52]を参照）。}

この表現に基づいて、2003年にルイス・バエス＝ドゥアルテはリーマン予想の新たな基準を提示した。^{[53] [54] [55]}すなわち、係数c _kを次のように 定義すると、

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

すると、リーマン予想は次の式と等価になる。

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}\left(k^{-3/4+\varepsilon }\right)\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

急速に収束する系列

ピーター・ボーウェインは、ディリクレ・イータ関数にチェビシェフ多項式を適用して、高精度の数値計算に適した非常に急速に収束する級数を生成するアルゴリズムを開発した。^[56]

原始整数による正整数での級数表現

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

ここでp _n #は原始数列であり、J _kはジョルダンのトーティエント関数である。^[57]

不完全ポリベルヌーイ数による級数表現

関数ζは、 Re( s )>1の場合、無限級数で表すことができる。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

ここでk ∈ {−1, 0}、W _kはランバートW関数のk番目の枝、B^{( μ )}
_{n ,≥2}は不完全ポリベルヌーイ数である。^[58]

エンゲル写像のメリン変換

関数g ( x )= x (1+ ⌊x − ^1⌋ )−1を繰り返してエンゲル展開に現れる係数を求める。^[59]

写像のメリン変換はリーマンゼータ関数と次の式で関係している。 ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

確率的表現

ブラウン運動とリーマンゼータ関数は、ブラウン運動から導かれる確率過程のモーメント生成関数を通じて結びついている。^[60]

数値アルゴリズム

1930年頃より前に使用されていた古典的なアルゴリズムは、オイラー・マクローリンの公式を適用して、正の整数nとmに対して、

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

ここで、 は指示されたベルヌーイ数を表すとすると、 ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

そして誤差は

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

ここでσ = Re( s )である。^[61]

最新の数値アルゴリズムは、Odlyzko-Schönhage アルゴリズムです。

アプリケーション

ゼータ関数は、ジップの法則、ジップ・マンデルブロの法則、ロトカの法則などの応用統計学で使用されます。

ゼータ関数の正規化は、量子場の理論における発散級数や発散積分の正規化の可能な手段の一つとして用いられる。注目すべき例として、リーマンゼータ関数はカシミール効果を計算する方法の一つに明示的に現れる。ゼータ関数は力学系の解析にも有用である。^[62]

音楽の調律

音楽の調律理論では、ゼータ関数は、倍音列の音程に近似するオクターブの等分割（EDO）を見つけるために使用できます。の値が増加すると、 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

このようなEDOに対応する整数付近でピークが見られます。^[63]例としては、12、19、53などの一般的な選択肢が挙げられます。^[64]

無限級数

等間隔の正の整数で評価されたゼータ関数は、多数の定数の無限級数表現に現れる。^[65]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

実際、偶数項と奇数項は2つの合計を与える

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

上記の合計をパラメータ化したものは次のように与えられる。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

ただし、| t | < 2であり、およびはそれぞれポリガンマ関数およびオイラー定数であり、 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

これらはすべて で連続である。その他の和には以下が含まれる。 ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right)}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

ここで、 は複素数の虚数部を表します。 ${\displaystyle \Im }$

レムニスケート定数の自然対数に関連するもう一つの興味深い級数は、次のとおりです。

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left[{\frac {2(-1)^{n}\zeta (n)}{4^{n}n}}-{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{2^{n}n}}\right]=\ln \left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

調和数の記事にはさらに多くの式が記載されています。

一般化

リーマンゼータ関数の一般化と考えられる関連するゼータ関数は数多く存在する。これにはフルヴィッツゼータ関数が含まれる。

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

（収束級数表現は1930年にヘルムート・ハッセによって与えられた^{[45] 。}フルヴィッツ・ゼータ関数を参照）。これはq = 1のときのリーマン・ゼータ関数（フルヴィッツ・ゼータ関数の和の下限は1ではなく0である）、ディリクレL関数、デデキント・ゼータ関数と一致する。その他の関連関数については、ゼータ関数およびL関数の記事を参照のこと。

多重対数は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

これはz = 1のときリーマンゼータ関数と一致する。クラウゼン関数 Cl _s ( θ )はLi _s ( e ^iθ )の実部または虚部として選択できる。

レルヒの超越関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

これは、 z = 1およびq = 1のときのリーマンゼータ関数と一致します（レルヒ超越関数の合計の下限は 1ではなく 0です）。

多重ゼータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

これらの関数はn次元複素空間まで解析的に接続することができます。これらの関数が正の整数引数で取る特別な値は、数論者によって多重ゼータ値と呼ばれ、数学や物理学の様々な分野と結び付けられてきました。

参照

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• 算術ゼータ関数
• ディリクレ・エータ関数
• 一般化リーマン予想
• レーマーペア
• リーマンゼータ関数の特定の値
• プライムゼータ関数
• 繰り込み
• リーマン・ジーゲル・シータ関数
• ゼータグリッド

参考文献

1. 「Jupyter Notebook Viewer」. Nbviewer.ipython.org . 2017年1月4日閲覧。
2. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (2020年11月1日). 「リーマンゼータ関数のジュリア線に沿った値分布」.計算手法と関数理論. 20 (3): 389– 401. arXiv : 2007.14661 . doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724. S2CID  216323223.定理2は、 ζが無限遠点で本質的特異点を持つことを意味する。
3. ボンビエリ, エンリコ. 「リーマン予想 – 公式問題解説」(PDF) .クレイ数学研究所. 2015年12月22日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2014年8月8日閲覧。
4. デブリン、キース（2002年）『ミレニアム問題：現代における7つの未解決数学パズル』ニューヨーク：バーンズ・アンド・ノーブル、pp.  43– 47. ISBN 978-0-7607-8659-8。
5. サンディファー、チャールズ・エドワード (2007).オイラーの功績. アメリカ数学協会. p. 193. ISBN 978-0-88385-563-8。
6. Mollin, Richard A. (2010). Advanced Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). CRC Press, Boca Raton, FL. p. 220. ISBN 978-1-4200-8328-6. MR  2560324。
7. Damm-Johnsenn, Håvard (2019). Theta functions and their applications (PDF) . p. 5. 2025年3月21日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
8. Titchmarsh, EC (1986).リーマンゼータ関数の理論（第2版）.オックスフォード, イギリス: Oxford Science Publications. pp.  21– 22. ISBN 0-19-853369-1。
9. Conrey, JB (1989). 「リーマンゼータ関数の零点の5分の2以上が臨界線上にある」. J. Reine Angew. Math . 1989 (399): 1– 26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. MR  1004130. S2CID  115910600.
10. Pratt, Kyle; Robles, Nicolas; Zaharescu, Alexandru; Zeindler, Dirk (2020). 「ζ {\displaystyle \zeta } の零点の12分の5以上が臨界線上にある」. Research in the Mathematical Sciences . 7 . arXiv : 1802.10521 . doi :10.1007/s40687-019-0199-8.
11. Eric Weisstein . 「リーマンゼータ関数の零点」 . 2021年4月24日閲覧。
12. L関数とモジュラー形式データベース。「ζ(s)の零点」。
13. のリーマンゼータ関数の引数の改良された上界 II」. J. Number Theory . 134 : 280–292 . arXiv : 1208.5846 . doi :10.1016/j.jnt.2013.07.017.
14. GH ハーディ (1914)。 「シュール・レ・ゼロス・デ・ラ・フォンクションξ(s)」。科学アカデミーのコンテス。158 .フランス科学アカデミー: 1012 – 1014。
15. Hardy, GH; Fekete, M.; Littlewood, JE (1921年9月1日). 「臨界線上のリーマンゼータ関数の零点」.ロンドン数学会誌. s1-1 : 15–19 . doi :10.1112/jlms/s1-1.1.15.
16. ダイアモンド、ハロルド・G. (1982). 「素数分布の研究における初等的方法」アメリカ数学会報. 7 (3): 553– 589. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . MR  0670132.
17. コロボフ、ニコライ・ミハイロヴィチ (1958). 「三角関数の和の推定とその応用」. USP. Mat. Nauk . 13 (4): 185–192 .
18. ヴィノグラドフ、イムダスタン (1958)。 「Eine neue Abschätzung der Funktion ζ (1 + it )」。ロシア。イズヴ。アカド。ナウク SSSR、Ser.マット。22 : 161–164 .
19. プラット、デイビッド；トルッジアン、ティモシー・S. (2021). 「リーマン予想は3⋅10 ¹²まで成り立つ」ロンドン数学会報. 53 (3): 792– 797. arXiv : 2004.09765 . doi :10.1112/blms.12460.
20. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S.; Yang, Andrew (2024). 「リーマンゼータ関数の明示的な零点自由領域」. Res. Number Theory . 10 11. arXiv : 2212.06867 . doi :10.1007/s40993-023-00498-y.
21. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). 「非負三角多項式とリーマンゼータ関数の零点のない領域」. J. Number Theory . 157 : 329–349 . arXiv : 1410.3926 . doi :10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
22. 臨界ストリップと零点のない領域におけるの明示的境界」 J. Math. Anal. Appl . 534 (2) 128124. arXiv : 2301.03165 . doi :10.1016/j.jmaa.2024.128124. ${\displaystyle \zeta (s)}$
23. Bellotti, Chiara (2024). 「リーマンゼータ関数の明示的境界と新しい零点フリー領域」. J. Math. Anal. Appl . 536 (2) 128249. arXiv : 2306.10680 . doi :10.1016/j.jmaa.2024.128249.
24. Ford, K. (2002). 「リーマンゼータ関数のヴィノグラドフ積分と境界値」. Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565– 633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
25. ポルチンスキー、ジョセフ(1998). 『ボソン弦入門』 弦理論 第1巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 22. ISBN 978-0-521-63303-1。
26. Kainz, AJ; Titulaer, UM (1992). 「線形運動方程式の運動境界層問題に対する正確な2ストリームモーメント法」. J. Phys. A: Math. Gen. 25 ( 7): 1855– 1874. Bibcode :1992JPhA...25.1855K. doi :10.1088/0305-4470/25/7/026.
27. この定数のさらなる数字と参照は、OEIS :A059750で入手できます。
28. Sondow, Jonathan (1998). 「オイラー定数の反対称式」. Mathematics Magazine . 71 (3): 219– 220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. 2011年6月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2006年5月29日閲覧。
29. オグルヴィ, CS ; アンダーソン, JT (1988).数論への遠足. ドーバー出版. pp.  29– 35. ISBN 0-486-25778-9。
30. Voronin, SM (1975). 「リーマンゼータ関数の普遍性に関する定理」. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem . 39 : 475– 486.Math. USSR Izv. (1975) 9 : 443–445に再録。
31. ラムナス・ガルンクシュティス;アンタナス・ラウリンチカス。松本光司;ヨルン・シュトイディング;ラサ・シュトイディング (2010)。 「リーマンゼータ関数による効果的な一様近似」。出版物 マテマティーク。54 (1): 209–219。土井:10.5565/PUBLMAT_54110_12。JSTOR  43736941。
32. バスカー・バグキ (1982)。 「ディリクレ L 関数の共同普遍性定理」。数学的ツァイシュリフト。181 (3): 319–334。土井:10.1007/bf01161980。ISSN  0025-5874。S2CID  120930513。
33. Steuding, Jörn (2007). L関数の値分布. 数学講義ノート. 第1877巻. ベルリン: Springer. p. 19. arXiv : 1711.06671 . doi :10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9。
34. Karatsuba, AA (2001). 「臨界ストリップの小領域におけるζ ( s )の最大弾性率の下限値」. Mat. Zametki . 70 (5): 796–798 .
35. Karatsuba, AA (2004). 「臨界直線の短い区間におけるリーマンゼータ関数の最大絶対値の下限値」. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 68 (8): 99– 104. Bibcode :2004IzMat..68.1157K. doi :10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID  250796539.
36. Karatsuba, AA (1996). 「密度定理とリーマンゼータ関数の引数の挙動」Mat. Zametki (60): 448–449 .
37. Karatsuba, AA (1996). 「関数S ( t )について」. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 60 (5): 27– 56.
38. Knopp, Konrad (1947). 『関数論 第2部』 ニューヨーク、ドーバー出版. pp. 51–55.
39. 「ガウス-クズミン-ヴィルジング演算子から導出されるリーマンゼータの級数表現」（PDF）Linas.org . 2017年1月4日閲覧。
40. リーマン、ベルンハルト (1859)。 「指定された大きさより小さい素数の数について」。Monatsberichte der Königlich Preußischen Academy der Wissenschaften zu Berlin。エドワーズ、HM（1974）『リーマンのゼータ関数』に翻訳・再録。ニューヨーク：アカデミック・プレス。ISBN 0-12-232750-0. Zbl  0315.10035。
41. sの値の些細な例外は、この記事全体では考慮されていません。
42. ノイキルヒ、ユルゲン (1999)。代数的整数論。スプリンガー。 p. 422.ISBN​ 3-540-65399-6。
43. 橋本康文;飯島康之黒川信繁。若山正人（2004）．「セルベルグおよびデデキントのゼータ関数のオイラー定数」。ベルギー数学協会の会報、サイモン・ステビン。11 (4): 493–516 .土井: 10.36045/bbms/1102689119。MR  2115723。
44. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). 「ゼータ関数に対するSerとHasseの表現に関する3つの注釈」. INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory . 18A : 1– 45. arXiv : 1606.02044 . Bibcode :2016arXiv160602044B. doi :10.5281/zenodo.10581385.
45. ハッセ、ヘルムート(1930)。 「Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche Ζ -Reihe」 [リーマンΖ級数の総和法]。Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)。32 (1): 458–464 .土井:10.1007/BF01194645。S2CID  120392534。
46. ソンドウ、ジョナサン (1994). 「オイラー級数変換によるリーマンゼータ関数と負整数における値の解析接続」(PDF) .アメリカ数学会報. 120 (2): 421– 424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
47. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). 「一般化オイラー定数のπ ⁻²多項式級数と有理係数のみを持つ形式包絡級数への展開」. Journal of Number Theory . 158 : 365–396 . arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
48. サー、ジョセフ(1926)。 "Sur une expression de la fonction ζ ( s ) de Riemann" [リーマンのζ関数の式について]。Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。182 : 1075–1077 .
49. マスランカ、クリストフ (1997). 「無の美」. Acta Cosmologica . XXIII– I: 13– 17.
50. Báez-Duarte, Luis (2010). 「リーマンゼータ関数のマスランカ表現について」.国際数学・数学科学ジャーナル. 2010 : 1–9 . arXiv : math/0307214 . doi : 10.1155/2010/714147 .
51. Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2008). 「ゼータ値の差について」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 220 (10月1-2日): 58-73 . arXiv : math/0611332 . Bibcode :2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040.
52. Maślanka, Krzysztof; Koleżyński, Andrzej (2022). 「スティルチェス定数の高精度数値計算．シンプルで高速なアルゴリズム」.科学技術計算手法. 28 (2): 47– 59. arXiv : 2210.04609 . doi :10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID  252780397.
53. Báez-Duarte, Luis (2003). 「リーマン予想の新たな必要十分条件」.数論. arXiv : math/0307215 . Bibcode :2003math......7215B.
54. Maślanka, Krzysztof (2006). 「Báez-Duarteのリーマン予想とライス積分に対する基準」.数論. arXiv : math/0603713v2 . Bibcode :2006math......3713M.
55. Wolf, Marek (2014). 「リーマン予想に対するバエス＝ドゥアルテ基準に関する若干の考察」.科学技術計算手法. 20 (2): 39– 47. doi : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
56. Borwein, Peter (2000). 「リーマンゼータ関数の効率的なアルゴリズム」(PDF) . Théra, Michel A. (編).構成的・実験的・非線形解析. カナダ数学会会議録. 第27巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会,カナダ数学会を代表して. pp.  29– 34. ISBN 978-0-8218-2167-1. 2011年7月26日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2017年11月25日閲覧。
57. Mező, István (2013). 「原始関数とリーマンゼータ関数」.アメリカ数学月刊. 120 (4): 321.
58. 小松隆夫; メゾー・イシュトヴァン (2016). 「不完全多ベルヌーイ数と不完全スターリング数の関係」. Publicationes Mathematicae Debrecen . 88 ( 3–4 ): 357– 368. arXiv : 1510.05799 . doi :10.5486/pmd.2016.7361. S2CID  55741906.
59. "A220335 – OEIS". oeis.org . 2019年4月17日閲覧。
60. Biane, Philippe; Pitman, Jim; Yor, Marc (2001). 「ヤコビのシータ関数とリーマンのゼータ関数、そしてブラウン運動に関連する確率法則」アメリカ数学会報. 新シリーズ. 38 (4). アメリカ数学会誌: 435–465 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00912-0 . 2025年7月27日閲覧。
61. Odlyzko, AM ; Schönhage, A. (1988). 「リーマンゼータ関数の多重評価のための高速アルゴリズム」. Trans. Amer. Math. Soc . 309 (2): 797– 809. doi : 10.2307/2000939 . JSTOR  2000939. MR  0961614.
62. 「A. Knaufらによるスピン鎖に関する研究」Empslocal.ex.ac.uk . 2017年1月4日閲覧。
63. ジーン・ワード・スミス. 「実数tの増加に対するabs(zeta(0.5 + i×2×Pi/log(2)×t))のピークが次第に大きくなる位置に最も近い整数」.オンライン整数列百科事典. 2022年3月4日閲覧。
64. William A. Sethares (2005). 『Tuning, Timbre, Spectrum, Scale (第2版). Springer-Verlag London. p. 74. … 音階の良さ、妥当性、適合性、品質を評価する方法は多種多様です… ある尺度では12音階が勝者ですが、他の尺度では19音階が最も優れており、53音階もしばしば上位にランクされています…
65. このセクションの式のほとんどは、JM Borwein et al. (2000) の§ 4 からの引用です。

出典

• Apostol, TM (2010). 「ゼータ関数と関連関数」. Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR  2723248。。
• ボルウェイン, ジョナサン; ブラッドリー, デイビッド・M;クランドール, リチャード(2000). 「リーマンゼータ関数の計算戦略」. J. Comput. Appl. Math . 121 ( 1–2 ): 247–296 . Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 .
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). 「奇整数引数に対するリーマンゼータ関数の積分表現」. J. Comput. Appl. Math . 142 (2): 435– 439. Bibcode :2002JCoAM.142..435C. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR  1906742.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). 「リーマンゼータ関数と多重対数に対する連分数展開」. Proc. Amer. Math. Soc . 125 (9): 2543– 2550. doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• エドワーズ, HM (1974).リーマンのゼータ関数. アカデミック・プレス. ISBN 0-486-41740-9– archive.orgより。リーマンの論文の英訳があります。
• アダマール、ジャック(1896)。 "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ ( s) et ses conséquences arithmétiques" [関数ζ ( s ) のゼロの分布と算術的結果について]。Bulletin de la Société Mathématique de France (フランス語)。14 : 199–220 .土井: 10.24033/bsmf.545。
• ハーディ、GH（1949）『ダイバージェント・シリーズ』オックスフォード、英国：クラレンドン・プレス。
• ハッセ、ヘルムート(1930)。 「Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche Ζ -Reihe」 [リーマンΖ級数の総和法]。数学。 Z. (ドイツ語)。32 : 458–464 .土井:10.1007/BF01194645。MR  1545177。S2CID 120392534  。(大域的に収束する級数表現)
• イヴィッチ、アレクサンダル(1985)。リーマンゼータ関数。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-80634-X。
• 本橋雄三 (1997).リーマンゼータ関数のスペクトル理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-44520-5。
• カラツバ, AA ;ボロニン、SM (1992)。リーマンのゼータ関数。デラウェア州ベルリン: W. de Gruyter。
• モンゴメリー, ヒュー・L. ;ヴォーン, ロバート・C. (2007).乗法数論. I. 古典理論. ケンブリッジ数学小集. 第97巻. ケンブリッジ大学出版局. 第10章. ISBN 978-0-521-84903-6。
• ニューマン、ドナルド・J. (1998).解析的数論.大学院数学テキスト. 第177巻. シュプリンガー出版社. 第6章. ISBN 0-387-98308-2。
• ラオ, グオ (1996). 「リーマンゼータ関数の対数微分の分布」.ロンドン数学会報. S3–72: 1– 27. doi :10.1112/plms/s3-72.1.1.
• リーマン、ベルンハルト(1859)。 「Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse」。Monatsberichte der Berliner Akademie (ドイツ語と英語) –ダブリンのトリニティ カレッジ経由(maths.tcd.ie)。Riemann, Bernhard (1953) [1892]にも掲載されています。 Gesammelte Werke [作品集] (ドイツ語) (再版)。ニューヨーク州ニューヨーク / デラウェア州ライプツィヒ: ドーバー (1953) / トイブナー (1892)。
• ソンドウ、ジョナサン (1994). 「オイラー級数変換によるリーマンゼータ関数と負整数における値の解析接続」(PDF) .アメリカ数学会報. 120 (2): 421– 424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 –アメリカ数学会(ams.org)より.
• ティッチマーシュ, EC (1986). ヒース＝ブラウン編.リーマンゼータ関数の理論（第2版）. オックスフォード大学出版局.
• ウィテカー, E.T. ;ワトソン, G.N. (1927). 『現代分析学講座』（第4版）. ケンブリッジ大学出版局. 第13章.
• Zhao, Jianqiang (1999). 「多重ゼータ関数の解析接続」.アメリカ数学会誌. 128 (5): 1275–1283 . doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR  1670846.

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズのリーマンゼータ関数関連メディア
• 「ゼータ関数」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• Wolfram Mathworldのリーマンゼータ関数 — より数学的なアプローチによる説明
• 選択されたゼロの表 2009年5月17日アーカイブWayback Machine
• 素数が結びつく 素数に関連したゼータ関数の重要性についての、一般的で非技術的な説明。
• ゼータ関数の X 線 ゼータが実数または虚数である場所を視覚的に調査します。
• リーマンゼータ関数の公式と恒等式 functions.wolfram.com
• リーマンゼータ関数とその他の逆べき乗の和、アブラモウィッツとステグンのセクション23.2
• エドワード・フレンケル（2014年3月11日）「百万ドルの数学問題」（ビデオ）ブレイディ・ハラン2021年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年3月11日閲覧。
• メリン変換とリーマンゼータ関数の関数方程式—リーマンゼータ関数を含むメリン変換法の計算例
• リーマンゼータ関数と解析接続の可視化3Blue1Brownのビデオ

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