Vector space of functions in mathematics
数学 において 、 ソボレフ空間（Sobolev space） とは、関数の L p ノルム と、その所定の位数までの導関数 の組を ノルム として持つ関数の ベクトル空間 である。導関数は、空間 を完備 なもの、すなわち バナッハ空間とするために、適切な 弱意味で理解される。直感的には、ソボレフ空間とは、 偏微分方程式 など 、ある応用分野において十分な数の導関数を持ち、関数の大きさと正則性の両方を測るノルムを持つ関数の空間である。
ソボレフ空間は、ロシアの数学者 セルゲイ・ソボレフ にちなんで名付けられました 。その重要性は、古典的な意味で理解される 導関数 を持つ 連続関数の空間には強解が存在しない場合でも、いくつかの重要な偏微分方程式の 弱解が 適切なソボレフ空間に存在するという事実に由来します 。
モチベーション 記事 全体 を通して 、 Ω {\displaystyle \Omega } R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
数学関数 の滑らかさには多くの基準があります 。最も基本的な基準は 連続性 でしょう。滑らかさのより強い概念は 微分可能 性です（微分可能な関数は連続でもあるため）。そして滑らかさのさらに強い概念は導関数も連続であるということです（これらの関数は クラス であると言われます。 微分可能性クラス を参照してください ）。微分可能関数は多くの分野で重要ですが、特に 微分方程式 では重要です。しかし、20 世紀になって、空間（またはなど）は微分方程式の解を調べるのに正確に適した空間ではない ことが分かりました 。ソボレフ空間は、偏微分方程式の解を探すためのこれらの空間の現代的な代替物です。 C 1 {\displaystyle C^{1}} C 1 {\displaystyle C^{1}} C 2 {\displaystyle C^{2}}
微分方程式の基礎モデルの量や特性は、通常、積分ノルムを用いて表現されます。典型的な例としては、温度分布や速度分布のエネルギーを -ノルムで測定することが挙げられます。したがって、 ルベーグ空間 関数を微分するためのツールを開発することが重要です 。 L 2 {\displaystyle L^{2}}
部分積分 公式は、任意の （ただし、 は 自然数 ） に対して、 コンパクト台 を持つすべての無限微分可能関数に対してとなる。 u ∈ C k ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )} k {\displaystyle k} φ ∈ C c ∞ ( Ω ) , {\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}
∫ Ω u D α φ d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω φ D α u d x , {\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,} ここで 、 は 順序の 多重インデックス であり、次の表記法を使用します。 α = ( α 1 , . . . , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})} | α | = k {\displaystyle |\alpha |=k}
D α f = ∂ | α | f ∂ x 1 α 1 … ∂ x n α n . {\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.} この式の左辺は、 が 局所的にのみ積分可能 であると仮定しても意味をなします 。もし、 が局所的に積分可能な関数 が存在する場合 、 u {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
∫ Ω u D α φ d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω φ v d x for all φ ∈ C c ∞ ( Ω ) , {\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),} の - 階弱 偏 微分を と 呼ぶ。 の - 階弱偏微分が 存在する場合 、それは のほぼあらゆる場所で一意に定義され、したがって ルベーグ空間 の元として一意に決定される 。一方、 の場合 、古典微分と弱微分は一致する。したがって、が の - 階弱 偏微分である場合 、それを と表記することができる 。 v {\displaystyle v} α {\displaystyle \alpha } u {\displaystyle u} α {\displaystyle \alpha } u {\displaystyle u} u ∈ C k ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )} v {\displaystyle v} α {\displaystyle \alpha } u {\displaystyle u} D α u := v {\displaystyle D^{\alpha }u:=v}
例えば、関数
u ( x ) = { 1 + x − 1 < x < 0 10 x = 0 1 − x 0 < x < 1 0 else {\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}} はゼロで連続ではなく、-1、0、1で微分可能ではない。しかし、関数
v ( x ) = { 1 − 1 < x < 0 − 1 0 < x < 1 0 else {\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}} はの弱導関数 の定義を満たし、 その場合 はソボレフ空間内にあるとみなされます (任意の許容 については 、以下の定義を参照)。 u ( x ) , {\displaystyle u(x),} W 1 , p {\displaystyle W^{1,p}} p {\displaystyle p}
ソボレフ空間は、弱微分可能性と ルベーグノルム の概念を組み合わせたものです 。 W k , p ( Ω ) {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}
整数を含むソボレフ空間 け
1次元の場合 1次元の場合、 のソボレフ空間 は 、 の 関数の集合として定義され、 次まで のその 弱導関数 は有限の L p ノルム を持つ。上述のように、導関数を適切な意味で定義するには注意が必要である。1次元の問題では、 - 次導関数がほぼすべての点で微分可能であり、その導関数の ルベーグ積分 とほぼすべての点で等しいと仮定すれば十分である（ カントール関数 のような無関係な例は除外される ）。 W k , p ( R ) {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )} 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } f {\displaystyle f} L p ( R ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} f {\displaystyle f} k {\displaystyle k} ( k − 1 ) {\displaystyle (k{-}1)} f ( k − 1 ) {\displaystyle f^{(k-1)}}
この定義によれば、ソボレフ空間は自然な ノルム を許容する。
‖ f ‖ k , p = ( ∑ i = 0 k ‖ f ( i ) ‖ p p ) 1 p = ( ∑ i = 0 k ∫ | f ( i ) ( t ) | p d t ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.} これを の場合に拡張すると、その 場合 の規範は 、 p = ∞ {\displaystyle p=\infty }
‖ f ‖ k , ∞ = max i = 0 , … , k ‖ f ( i ) ‖ ∞ = max i = 0 , … , k ( ess sup t | f ( i ) ( t ) | ) . {\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).} ノルムを装備すると バナッハ空間 となる 。数列の最初と最後、つまり定義されるノルムだけを取れば十分であることがわかる。 ‖ ⋅ ‖ k , p , W k , p {\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}
‖ f ( k ) ‖ p + ‖ f ‖ p {\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}} は上記のノルムと同等です（つまり、 ノルムの 誘導されたトポロジは同じです）。
事件 p = 2 p = 2 のソボレフ空間は、 フーリエ級数 との関連と ヒルベルト空間 を形成することから特に重要である 。この空間はヒルベルト空間であるため、このケースをカバーするために特別な記法が考案されている。
H k = W k , 2 . {\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.} この空間は、係数が十分に急速に減衰する フーリエ級数 によって自然に定義することができる 。すなわち、 H k {\displaystyle H^{k}}
H k ( T ) = { f ∈ L 2 ( T ) : ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + n 2 + n 4 + ⋯ + n 2 k ) | f ^ ( n ) | 2 < ∞ } , {\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},} ここで は のフーリエ級数であり 、 は1次元トーラスを表す。上と同様に、等価なノルム f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} f , {\displaystyle f,} T {\displaystyle \mathbb {T} }
‖ f ‖ k , 2 2 = ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + | n | 2 ) k | f ^ ( n ) | 2 . {\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.} どちらの表現も、 パーセバルの定理 と、微分化がフーリエ係数を で乗算することと等しいという事実から簡単に導き出されます 。 i n {\displaystyle in}
さらに、空間 は 、空間 のように 内積 を 許容します。 実際、内積は 内積 によって定義されます。 H k {\displaystyle H^{k}} H 0 = L 2 . {\displaystyle H^{0}=L^{2}.} H k {\displaystyle H^{k}} L 2 {\displaystyle L^{2}}
⟨ u , v ⟩ H k = ∑ i = 0 k ⟨ D i u , D i v ⟩ L 2 . {\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.} この内積により 空間はヒルベルト空間になります。 H k {\displaystyle H^{k}}
その他の例 一次元においては、他のソボレフ空間はより単純な記述を可能にする。例えば、 は (0, 1) 上の 絶対連続関数 （あるいは、そのような関数のほぼすべての点で等しい同値類）の空間であり、は任意の 区間 Iに対して I 上の有界 リプシッツ関数 の空間である 。しかし、これらの性質は多変数関数では失われるか、あるいはそれほど単純ではない。 W 1 , 1 ( 0 , 1 ) {\displaystyle W^{1,1}(0,1)} W 1 , ∞ ( I ) {\displaystyle W^{1,\infty }(I)}
すべての空間 は（ノルム） 代数 、つまり 2 つの元の積は再びこのソボレフ空間の関数になりますが、 の場合はそうではありません （たとえば、 原点で| x | −1/3 のように動作する関数は にありますが、そのような 2 つの関数の積は には含まれていません ）。 W k , ∞ {\displaystyle W^{k,\infty }} p < ∞ . {\displaystyle p<\infty .} L 2 , {\displaystyle L^{2},} L 2 {\displaystyle L^{2}}
多次元ケース 多次元への移行は、定義そのものから始まり、より多くの困難をもたらします。 の積分であるという要件は一般化できず、最も単純な解決策は、 分布理論 の意味で微分を考えることです 。 f ( k − 1 ) {\displaystyle f^{(k-1)}} f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}}
正式な定義は以下の通りである。 ソボレフ 空間は、 任意の 多重添字 を持つ 混合 偏微分 に対して、 k ∈ N , 1 ⩽ p ⩽ ∞ . {\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .} W k , p ( Ω ) {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )} f {\displaystyle f} Ω {\displaystyle \Omega } α {\displaystyle \alpha } | α | ⩽ k , {\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}
f ( α ) = ∂ | α | f ∂ x 1 α 1 … ∂ x n α n {\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}} 弱い 意味で存在し 、 すなわち L p ( Ω ) , {\displaystyle L^{p}(\Omega ),}
‖ f ( α ) ‖ L p < ∞ . {\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .} つまり、ソボレフ空間は 次のように定義される。 W k , p ( Ω ) {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}
W k , p ( Ω ) = { u ∈ L p ( Ω ) : D α u ∈ L p ( Ω ) ∀ | α | ⩽ k } . {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.} 自然 数 はソボレフ空間の位数と呼ばれる k {\displaystyle k} W k , p ( Ω ) . {\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}
の規範にはいくつかの選択肢があります。次の 2 つは一般的であり、 規範の同値性 の意味で同等です 。 W k , p ( Ω ) . {\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}
‖ u ‖ W k , p ( Ω ) := { ( ∑ | α | ⩽ k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) p ) 1 p 1 ⩽ p < ∞ ; max | α | ⩽ k ‖ D α u ‖ L ∞ ( Ω ) p = ∞ ; {\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}} そして
‖ u ‖ W k , p ( Ω ) ′ := { ∑ | α | ⩽ k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) 1 ⩽ p < ∞ ; ∑ | α | ⩽ k ‖ D α u ‖ L ∞ ( Ω ) p = ∞ . {\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}} これらのノルムのいずれに関しても、 はバナッハ空間である。は 可分空間 でもある。 は ノルム を持つ ヒルベルト空間 であるため、慣例的 に で 表記される 。 [1] W k , p ( Ω ) {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )} p < ∞ , W k , p ( Ω ) {\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )} W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle W^{k,2}(\Omega )} H k ( Ω ) {\displaystyle H^{k}(\Omega )} ‖ ⋅ ‖ W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}
滑らかな関数による近似 ソボレフ空間をその定義のみに頼って扱うのは、かなり困難です。そのため、 マイヤーズ・セラン定理 により、関数は 滑らかな関数 で近似できることは興味深いことです 。この事実は、滑らかな関数の性質をソボレフ関数に転用することを可能にします。 が有限で開であるとき、任意の 関数の近似列が 存在し、 次のようになります。 u ∈ W k , p ( Ω ) {\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )} p {\displaystyle p} Ω {\displaystyle \Omega } u ∈ W k , p ( Ω ) {\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )} u m ∈ C ∞ ( Ω ) {\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}
‖ u m − u ‖ W k , p ( Ω ) → 0. {\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.} がリプシッツ境界 である 場合、 は [2] のすべてにおいてコンパクトサポートを持つ滑らかな関数の制限である と仮定することもできる。 Ω {\displaystyle \Omega } u m {\displaystyle u_{m}} R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
例 高次元では、例えば が連続関数のみを含むということはもはや成り立ちません 。例えば、 は 3次元の 単位球 です。 の場合 、空間は 連続関数のみを含みますが、 が既に成り立っているかどうかは と 次元の両方に依存します。例えば、 n 次元単位球 上で定義された 関数について 球面極座標 を用いて が成り立つことは簡単に確認できます。 W 1 , 1 {\displaystyle W^{1,1}} | x | − 1 ∈ W 1 , 1 ( B 3 ) {\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})} B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} k > n / p {\displaystyle k>n/p} W k , p ( Ω ) {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )} k {\displaystyle k} p {\displaystyle p} f : B n → R ∪ { ∞ } {\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}
f ( x ) = | x | − α ∈ W k , p ( B n ) ⟺ α < n p − k . {\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.} 直感的に言えば、単位球は高次元では「外側が多く、内側が少なくなる」ため、 nが大きい場合、 f が0 で 爆発しても「意味が少なくなる」ことになります。
ソボレフ関数の絶対連続線（ACL）による特徴づけ とします。 関数が 内の場合 、おそらく測度ゼロの集合上で関数を修正した後、内の座標方向に平行な ほとんどすべての 直線への制限は 絶対連続 です 。さらに、座標方向に平行な直線に沿った古典的な微分は です。逆に、 の座標方向に平行なほとんどすべての直線へ の制限が 絶対連続である場合、点ごとの勾配は ほとんどすべての に 存在し 、が 与え られます 。特に、この場合、 の弱偏微分 と の点ごとの偏微分は、 ほとんどすべての点で一致します。ソボレフ空間の ACL 特徴付けは、 Otto M. Nikodym (1933) によって確立されました。(Maz'ya 2011、§1.1.3) を参照してください。 1 ⩽ p ⩽ ∞ . {\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .} W 1 , p ( Ω ) , {\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} L p ( Ω ) . {\displaystyle L^{p}(\Omega ).} f {\displaystyle f} ∇ f {\displaystyle \nabla f} f {\displaystyle f} W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )} f , | ∇ f | ∈ L p ( Ω ) . {\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
より強い結果は 、測度零点の集合上で修正した後、 A の関数が モリーの不等式 により 指数 の ヘルダー連続となる 場合に成立する。特に、 と が リプシッツ境界を持つ場合、関数は リプシッツ連続 となる。 p > n . {\displaystyle p>n.} W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )} γ = 1 − n p , {\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},} p = ∞ {\displaystyle p=\infty } Ω {\displaystyle \Omega }
境界で消える関数 ソボレフ空間 は次のようにも表記される。 これはヒルベルト空間であり、重要な部分空間は コンパクト に支えられた無限微分可能関数の閉包として定義される。 上で定義したソボレフノルムは次のように帰着する。 W 1 , 2 ( Ω ) {\displaystyle W^{1,2}(\Omega )} H 1 ( Ω ) . {\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).} H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )} Ω {\displaystyle \Omega } H 1 ( Ω ) . {\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}
‖ f ‖ H 1 = ( ∫ Ω | f | 2 + | ∇ f | 2 ) 1 2 . {\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.} が正規境界を持つ 場合、は境界で消える 関数の空間として記述できる （トレースの意味で、下記参照）。が有界区間である場合 、 は、 以下の形式の 連続関数からなる。 Ω {\displaystyle \Omega } H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )} H 1 ( Ω ) {\displaystyle H^{1}\!(\Omega )} n = 1 , {\displaystyle n=1,} Ω = ( a , b ) {\displaystyle \Omega =(a,b)} H 0 1 ( a , b ) {\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
f ( x ) = ∫ a x f ′ ( t ) d t , x ∈ [ a , b ] {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]} ここで一般化された導関数 は であり 、積分は 0 なので、 f ′ {\displaystyle f'} L 2 ( a , b ) {\displaystyle L^{2}(a,b)} f ( b ) = f ( a ) = 0. {\displaystyle f(b)=f(a)=0.}
が有界である場合 、 ポアンカレ不等式は 次のような定数が存在することを示します 。 Ω {\displaystyle \Omega } C = C ( Ω ) {\displaystyle C=C(\Omega )}
∫ Ω | f | 2 ⩽ C 2 ∫ Ω | ∇ f | 2 , f ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).} が有界であるとき、 から へ の射影は コンパクトで ある。この事実は、 ディリクレ問題 の研究において、また、 ラプラス作用素 の固有ベクトルからなる の 直交基底 が存在するという事実 （ ディリクレ境界条件 ）において重要な役割を果たしている。 Ω {\displaystyle \Omega } H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )} L 2 ( Ω ) , {\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),} L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )}
痕跡 ソボレフ空間は偏微分方程式を考察する際にしばしば考慮される。ソボレフ関数の境界値を考慮することは不可欠である。 の場合 、それらの境界値は制約によって記述される。しかし、境界の n 次元測度が0であるため 、 の境界における値をどのように記述するかは明確ではない 。次の定理 [2]が この問題を解決している。 u ∈ C ( Ω ) {\displaystyle u\in C(\Omega )} u | ∂ Ω . {\displaystyle u|_{\partial \Omega }.} u ∈ W k , p ( Ω ) , {\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}
トレース定理 — Ωが リプシッツ境界 で有界であると仮定する。すると、有界線型作用素が存在し 、 T : W 1 , p ( Ω ) → L p ( ∂ Ω ) {\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )} T u = u | ∂ Ω u ∈ W 1 , p ( Ω ) ∩ C ( Ω ¯ ) ‖ T u ‖ L p ( ∂ Ω ) ⩽ c ( p , Ω ) ‖ u ‖ W 1 , p ( Ω ) u ∈ W 1 , p ( Ω ) . {\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}
Tuは u のトレースと呼ばれる。大まかに言えば、この定理は、制約作用素を 行儀のよい Ω に対する ソボレフ空間に拡張する。 トレース作用素 T は一般には射影的ではないが、1 < p < ∞ の場合にはソボレフ・スロボデッキ空間に連続的に写像されることに注意する。 W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )} W 1 − 1 p , p ( ∂ Ω ) . {\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}
直感的に、トレースを取るには1/ p の微分コストがかかる。トレースがゼロ、つまり Tu = 0である W 1,p (Ω)の 関数 uは 、次の式で特徴付けられる。
W 0 1 , p ( Ω ) = { u ∈ W 1 , p ( Ω ) : T u = 0 } , {\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},} どこ
W 0 1 , p ( Ω ) := { u ∈ W 1 , p ( Ω ) : ∃ { u m } m = 1 ∞ ⊂ C c ∞ ( Ω ) , such that u m → u in W 1 , p ( Ω ) } . {\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.} 言い換えれば、リプシッツ境界で囲まれた Ω の場合、トレースゼロ関数は コンパクトなサポートを持つ滑らかな関数で近似できます。 W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
非整数のソボレフ空間 け
ベッセルポテンシャル空間 自然数 k と 1 < p < ∞に対して、 フーリエ乗数 [3] [4] を用いて、空間は 次のように定義できること
が わかる。 W k , p ( R n ) {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}
W k , p ( R n ) = H k , p ( R n ) := { f ∈ L p ( R n ) : F − 1 [ ( 1 + | ξ | 2 ) k 2 F f ] ∈ L p ( R n ) } , {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},} 規範に従って
‖ f ‖ H k , p ( R n ) := ‖ F − 1 [ ( 1 + | ξ | 2 ) k 2 F f ] ‖ L p ( R n ) . {\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.} これは、上記の定義においてkを 任意の実数 s に置き換えることができるため、非整数順序のソボレフ空間の根拠となる 。結果として得られる空間は
H s , p ( R n ) := { f ∈ S ′ ( R n ) : F − 1 [ ( 1 + | ξ | 2 ) s 2 F f ] ∈ L p ( R n ) } {\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}} はベッセルポテンシャル空間[5] （ フリードリヒ・ベッセル にちなんで名付けられている）と呼ばれる。一般にはバナッハ空間であり、 p = 2の特別な場合にはヒルベルト空間である 。
は 、ΩからΩまでの関数の制約集合 であり、ノルム s ≥ 0 , H s , p ( Ω ) {\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )} H s , p ( R n ) {\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}
‖ f ‖ H s , p ( Ω ) := inf { ‖ g ‖ H s , p ( R n ) : g ∈ H s , p ( R n ) , g | Ω = f } . {\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.} また、 H s,p (Ω)はバナッハ空間であり、 p = 2の場合は ヒルベルト空間です。
ソボレフ空間の拡張定理を用いると、 Ωが一様 C k 境界を 持つ領域、 k が自然数、1 < p < ∞のとき、 W k,p (Ω) = H k,p (Ω)も同値ノルムの意味で成立することが示される。埋め込み によって
H k + 1 , p ( R n ) ↪ H s ′ , p ( R n ) ↪ H s , p ( R n ) ↪ H k , p ( R n ) , k ⩽ s ⩽ s ′ ⩽ k + 1 {\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1} ベッセルポテンシャル空間は ソボレフ空間の間の連続的なスケールを形成する。 抽象的な観点からは、ベッセルポテンシャル空間はソボレフ空間の複素 補間空間 として現れる。つまり、同値ノルムの意味で、 H s , p ( R n ) {\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})} W k , p ( R n ) . {\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}
[ W k , p ( R n ) , W k + 1 , p ( R n ) ] θ = H s , p ( R n ) , {\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),} どこ：
1 ⩽ p ⩽ ∞ , 0 < θ < 1 , s = ( 1 − θ ) k + θ ( k + 1 ) = k + θ . {\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}
ソボレフ・スロボデツキ空間 分数位数ソボレフ空間を定義するもう一つのアプローチは、ホルダー条件を L p 設定に 一般化するというアイデアから生まれた 。 [6] に対して 、 スロボデツキ 半ノルム （ホルダー半ノルムにほぼ類似）は次のように定義される。 1 ⩽ p < ∞ , θ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)} f ∈ L p ( Ω ) , {\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}
[ f ] θ , p , Ω := ( ∫ Ω ∫ Ω | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | θ p + n d x d y ) 1 p . {\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.} s > 0 を 整数でなく とおく 。 ホルダー空間 と同じ考え方を用いると 、 ソボレフ・スロボデツキ空間 [7] は次のように定義される。 θ = s − ⌊ s ⌋ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)} W s , p ( Ω ) {\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}
W s , p ( Ω ) := { f ∈ W ⌊ s ⌋ , p ( Ω ) : sup | α | = ⌊ s ⌋ [ D α f ] θ , p , Ω < ∞ } . {\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.} これはノルムに対するバナッハ空間である
‖ f ‖ W s , p ( Ω ) := ‖ f ‖ W ⌊ s ⌋ , p ( Ω ) + sup | α | = ⌊ s ⌋ [ D α f ] θ , p , Ω . {\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.} が、特定の拡張作用素が存在するという意味で適切に正則である 場合、ソボレフ・スロボデツキ空間もバナッハ空間のスケールを形成する。つまり、連続的な注入または 埋め込みを持つ。 Ω {\displaystyle \Omega }
W k + 1 , p ( Ω ) ↪ W s ′ , p ( Ω ) ↪ W s , p ( Ω ) ↪ W k , p ( Ω ) , k ⩽ s ⩽ s ′ ⩽ k + 1. {\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.} 0 < s < 1 に対して Ωがベクトル部分空間ですらない ような不規則な例がある（ [8] の例9.1を参照 ）。 W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )} W s , p ( Ω ) {\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}
抽象的な観点から見ると、これらの空間はソボレフ空間の 実 補間空間 と一致します。つまり、同値ノルムの意味で次のことが成り立ちます。 W s , p ( Ω ) {\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}
W s , p ( Ω ) = ( W k , p ( Ω ) , W k + 1 , p ( Ω ) ) θ , p , k ∈ N , s ∈ ( k , k + 1 ) , θ = s − ⌊ s ⌋ . {\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .} ソボレフ・スロボデツキ空間は、ソボレフ関数の痕跡の研究において重要な役割を果たします。これらは ベソフ空間 の特殊なケースです。 [4]
分数ソボレフ空間の特徴付けにおいて生じる定数は、 ブルガン・ブレジス・ミロネスクの公式によって特徴付けることができる。 W s , p ( Ω ) {\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}
lim s ↗ 1 ( 1 − s ) ∫ Ω ∫ Ω | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | s p + n d x d y = 2 π n − 1 2 Γ ( p + 1 2 ) p Γ ( p + n 2 ) ∫ Ω | ∇ f | p ; {\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};} そしてその状態
lim sup s ↗ 1 ( 1 − s ) ∫ Ω ∫ Ω | f ( x ) − f ( y ) | p | x − y | s p + n d x d y < ∞ {\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty } は1階ソボレフ空間にある 関数を特徴付ける 。 [9] L p ( Ω ) {\displaystyle L^{p}(\Omega )} W 1 , p ( Ω ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
拡張演算子 が境界の挙動がそれほど悪くない領域 である 場合 （たとえば、境界が多様体であるか、より許容度の高い「 円錐条件 」を満たす場合）、の関数を の関数に マッピングする 演算子 A が存在し、次のようになります。 Ω {\displaystyle \Omega } Ω {\displaystyle \Omega } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Au ( x ) = u ( x ) は、ほぼすべての x に対して 、 Ω {\displaystyle \Omega } A : W k , p ( Ω ) → W k , p ( R n ) {\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})} 任意の 1 ≤ p ≤ ∞ および整数 k に対して連続です。 このような演算子 Aを 拡張演算子と呼ぶことにする。 Ω . {\displaystyle \Omega .}
の場合 p = 2 非整数 s を定義する最も自然な方法は、拡張演算子です（ フーリエ変換は グローバルな演算である ため、 直接 s を扱うことはできません）。 s を定義する には、 s のとき、かつ s のときのみ s とします。同様に、 s に拡張演算子がある 限り 、複素補間でも同じ空間が得られます 。 s に拡張演算子がない場合、複素補間が空間を得る唯一の方法です 。 H s ( Ω ) {\displaystyle H^{s}(\Omega )} Ω {\displaystyle \Omega } H s ( Ω ) {\displaystyle H^{s}(\Omega )} u ∈ H s ( Ω ) {\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )} A u ∈ H s ( R n ) . {\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).} H s ( Ω ) {\displaystyle H^{s}(\Omega )} Ω {\displaystyle \Omega } Ω {\displaystyle \Omega } H s ( Ω ) {\displaystyle H^{s}(\Omega )}
その結果、補間不等式は依然として成立します。
ゼロによる拡張 上と同様に、無限微分可能コンパクトに支えられた関数の 空間 における閉包を と定義します 。上記のトレースの定義から、次のように言えます。 H 0 s ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )} H s ( Ω ) {\displaystyle H^{s}(\Omega )} C c ∞ ( Ω ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}
自然な方法で ゼロによる拡張 を定義すると 、すなわち u ∈ H 0 s ( Ω ) {\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )} u ~ ∈ L 2 ( R n ) {\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
u ~ ( x ) = { u ( x ) x ∈ Ω 0 else {\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}} f ∈ L p (Ω) の場合 、そのゼロ拡張は、
E f := { f on Ω , 0 otherwise {\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}} は、 さらに、 L p ( R n ) . {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}
‖ E f ‖ L p ( R n ) = ‖ f ‖ L p ( Ω ) . {\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.} 1 ≤ p ≤ ∞のソボレフ空間 W 1,p (Ω) の場合 、関数 u を ゼロ拡張しても必ずしも の元が得られるわけではない。 しかし、Ω がリプシッツ境界で有界である場合（例えば、∂Ω は C 1 ）、Ω⊂⊂O となるような任意の有界開集合 O に対して（つまり、Ω は O にコンパクトに含まれる）、有界線型作用素 [2] が存在する。 W 1 , p ( R n ) . {\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}
E : W 1 , p ( Ω ) → W 1 , p ( R n ) , {\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),} Ω上の 各aeに対して、 EuはO内にコンパクト台を持ち、 p 、Ω、O、次元 n のみに依存する 定数 C が存在し、 u ∈ W 1 , p ( Ω ) : E u = u {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}
‖ E u ‖ W 1 , p ( R n ) ⩽ C ‖ u ‖ W 1 , p ( Ω ) . {\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.} の 拡張 を E u {\displaystyle Eu} u {\displaystyle u} R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
ソボレフ埋め込み ソボレフ関数が連続か、あるいは連続的に微分可能かという疑問は当然生じる。大まかに言えば、十分な数の弱微分（すなわち kが大きい）は古典微分となる。この考え方は ソボレフの埋め込み定理 によって一般化され、明確化されている 。
n 次元のコンパクト リーマン多様 体のソボレフ空間を と 書く 。ここで k は 任意の実数 で、1 ≤ p ≤ ∞である 。（ p = ∞ のとき、ソボレフ空間は ホルダー空間 C n ,α と定義され、 k = n + αかつ0 < α ≤ 1 で ある 。）ソボレフの埋め込み定理は 、 W k , p {\displaystyle W^{k,p}} W k , ∞ {\displaystyle W^{k,\infty }} k ⩾ m {\displaystyle k\geqslant m} k − n p ⩾ m − n q {\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}
W k , p ⊆ W m , q {\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}} そして埋め込みは連続である。さらに、かつ ならば 埋め込みは完全に連続である（これはコンドラコフの定理または レリッヒ・コンドラコフの定理 と呼ばれることもある）。 の関数は m 未満の階数の導関数がすべて連続であるため、特にこれはソボレフ空間において様々な導関数が連続となるための条件を与える。非公式には、これらの埋め込みは、 L p 推定値を有界性推定値に変換するには、次元ごとに 1/ p 回の導関数が必要であることを意味する。 k > m {\displaystyle k>m} k − n p > m − n q {\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}} W m , ∞ {\displaystyle W^{m,\infty }}
非コンパクト多様体に対する埋め込み定理の類似したバリエーションとして、 (Stein 1970) などがあります。コンパクトでない 上のソボレフ埋め込みは、しばしば ココンパクト性 という、関連しているもののより弱い性質を持つことがあります 。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
参照
注記 ^ エヴァンス 2010、第5.2章 ^ abc アダムス＆フォーニエ 2003 ^ バーグ＆ロフストローム 1976 ^ トリベル 1995より ^ 可変積分性を持つベッセルポテンシャル空間は、Almeida & Samko (A. Almeida and S. Samko, "Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable Lebesgue spaces ", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), no. 2, 113–144) と Gurka, Harjulehto & Nekvinda (P. Gurka, P. Harjulehto and A. Nekvinda: "Bessel potential spaces with variable exponent", Math. Inequal. Appl. 10 (2007), no. 3, 661–676) によって独立に導入されました。 ^ ルナルディ 1995 ^ 文献では、分数ソボレフ型空間は、 1950 年代にこの空間を導入した数学者の名前にちなんで、 アロンザイン空間 、 ガリアルド空間 、または スロボデツキ空間とも呼ばれています: N. アロンザイン (「有限 ディリクレ積分を 持つ関数の境界値」、カンザス大学技術報告 14 (1955)、77–94)、E. ガリアルド (「可変長関数の高度な性質」、 リチェルケ マツ 7 (1958)、102–137)、および LN スロボデツキ (「一般化ソボレフ空間と偏微分方程式の境界値問題への応用」、レニングラード、 ゴシュ ペッド インスト. ウチェップ ザップ 197 (1958)、54–112)。 ^ ディ・ネッツァ、エレオノーラ;パラトゥッチ、ジャンピエロ。ヴァルディノーチ、エンリコ (2012-07-01)。 「分数ソボレフ空間へのヒッチハイク ガイド」。 Bulletin des Sciences Mathématiques 。 136 (5): 521–573 . arXiv : 1104.4345 。 土井 ： 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 。 ISSN 0007-4497。 ^ Bourgain, Jean ; Brezis, Haïm ; Mironescu, Petru (2001). 「ソボレフ空間の新たな視点」. Menaldi, José Luis (編). 最適制御と偏微分方程式. アラン・ベンスーサン教授60歳記念. 2000年12月4日パリで開催された会議録. アムステルダム: IOS Press; 東京: Ohmsha. pp. 439– 455. ISBN 978-1-58603-096-4 。
参考文献 アダムズ, ロバート・A.; フルニエ, ジョン (2003) [1975]. ソボレフ空間 . 純粋数学と応用数学. 第140巻 (第2版). ボストン, マサチューセッツ州: アカデミック・プレス . ISBN 978-0-12-044143-3 。 。 Aubin、Thierry (1982)、 多様体に関する非線形解析。モンジュ・アンペール方程式 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基礎]、vol. 252、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、 doi :10.1007/978-1-4612-5734-9、 ISBN 978-0-387-90704-8 、 MR 0681859 。 バーグ、ヨラン。 Löfström、Jörgen (1976)、 Interpolation Spaces、An Introduction 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 223、シュプリンガー版、pp. X + 207、 ISBN 978-7-5062-6011-4 、 MR 0482275、 Zbl 0344.46071 エヴァンス、ローレンス・C. (2010) [1998]. 偏微分方程式 . 大学院数学研究科 . 第19巻（第2版）. アメリカ数学会. p. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3 。 レオニ、ジョヴァンニ (2009). 『ソボレフ空間入門』 . 数学大学院研究 科. 第105巻. アメリカ数学会. pp. xvi+607. ISBN 978-0-8218-4768-8 . MR 2527916. Zbl 1180.46001. Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag , pp. xix+486, doi :10.1007/978-3-662-09922-3, ISBN 0-387-13589-8 、 MR 0817985、 Zbl 0692.46023 Maz'ya, Vladimir G. ; Poborchi, Sergei V. (1997)、Differentiable Functions on Bad Domains、シンガポール・ニュージャージー・ロンドン・香港： World Scientific 、pp. xx+481、 ISBN 981-02-2767-1 、 MR 1643072、 Zbl 0918.46033 。 マズヤ、ウラジミール G. (2011) [1985]、ソボレフ スペース。楕円偏微分方程式への応用については、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 342 (第 2 改訂および増補版)、ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer Verlag 、pp. xxviii+866、 doi :10.1007/978-3-642-15564-2、 ISBN 978-3-642-15563-5 、 MR 2777530、 Zbl 1217.46002 。 ルナルディ、アレッサンドラ （1995）、 解析的半群と放物型問題における最適な正則性 、バーゼル： ビルクハウザー出版社 。 Nikodym、Otto (1933)、「Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet」、 基金。数学。 、 21 : 129–150 、 土井 : 10.4064/fm-21-1-129-150 。 Nikol'skii, SM (2001) [1994]、「埋め込み定理」、 数学百科事典 、 EMSプレス 。 Nikol'skii, SM (2001) [1994]、「ソボレフ空間」、 数学百科事典 、 EMS Press 。 ソボレフ, SL (1963)、「関数解析の定理について」、アメリカ数学会 翻訳 シリーズ第2巻第34号、pp. 39– 68、 doi :10.1090/trans2/034/02、 ISBN 9780821817346 ; Mat. Sb. 4 (1938) pp. 471–497の翻訳。 Sobolev, SL (1963)、「 数理物理学における関数解析のいくつかの応用」 、Amer. Math. Soc. 。 スタイン、E（1970）、 特異積分と関数の微分可能性 、プリンストン大学出版、 ISBN 0-691-08079-8 。 トリーベル、H.（1995）、 補間理論、関数空間、微分作用素 、ハイデルベルク：ヨハン・アンブロジウス・バルト 。 Ziemer, William P. (1989), 弱微分可能関数 , Graduate Texts in Mathematics, vol. 120, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-1015-3, hdl : 10338.dmlcz/143849 , ISBN 978-0-387-97017-2 、 MR 1014685 。
外部リンク エレオノーラ ディ ネッツァ、ジャンピエロ パラトゥッチ、エンリコ ヴァルディノーチ (2011)。 「分数ソボレフ空間へのヒッチハイク ガイド」。
スペース
定理 オペレーター 代数 未解決の問題 アプリケーション 高度なトピック
バナッハ空間の種類 バナッハ空間は以下のとおりです。 関数空間トポロジー 線形演算子 作用素理論 定理 分析 セットの種類 部分集合 / 集合演算 例 アプリケーション
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c0ea729e99b88c53ab5ef42b4636b5322272e1)
![{\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f53a199069781b00fc9b7ba1b0d85ec984eec8f)
![{\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8961d55976944af155325f19cbfffb523b71e324)
![{\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bbd12393fc575b3fd47b2ca76a65c97cf95852)
![{\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec2bee616e7b6f26c1a0b18857dbde0d0fb8331)
![{\displaystyle [f]_{\theta,p,\Omega}:=\left(\int _{\Omega}\int _{\Omega}{\frac{|f(x)-f(y)|^{p}}{|xy|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac{1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a030eff3cdf8b3e35623ca7c6e46d79fc8d25e5)
![{\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5aca6f48f39fd5c4d9a4530aa481f965c28782)
![{\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12aa7bb349193126e6470704e321ea05c066275)
