Distribution of variables which satisfies a stability property under linear combinations
安定した 確率密度関数
単位スケール係数を持つ対称 安定分布 α {\displaystyle \alpha } 単位スケール係数を持つ歪んだ中心安定分布 累積分布関数
対称安定分布 のCDF α {\displaystyle \alpha } 歪んだ中心安定分布のCDF パラメータ α ∈ ( 0 , 2 ] {\displaystyle \alpha \in (0,2]} — 安定性パラメータ ∈ [−1, 1] — 歪度パラメータ（ 歪度 は未定義であることに注意） c ∈ (0, ∞) — 尺度パラメータ β {\displaystyle \beta }
μ ∈ (−∞, ∞) — 位置パラメータ サポート x ∈ [ μ , +∞) の場合 、 α < 1 {\displaystyle \alpha <1} β = 1 {\displaystyle \beta =1}
x ∈ (-∞, μ ] の場合 、 α < 1 {\displaystyle \alpha <1} β = − 1 {\displaystyle \beta =-1}
それ以外の 場合 は x∈R PDF 一部のパラメータ値を除いて解析的に表現できない CDF 特定のパラメータ値を除いて解析的に表現できない 平均 μ の場合 、それ以外の場合は未定義 α > 1 {\displaystyle \alpha >1} 中央値 μ のときは 、それ以外の場合は解析的に表現できない β = 0 {\displaystyle \beta =0} モード μ のときは 、それ以外の場合は解析的に表現できない β = 0 {\displaystyle \beta =0} 分散 2 c 2 の ときは無限大 、それ以外のときは無限大 α = 2 {\displaystyle \alpha =2} 歪度 の場合は0 、それ以外の場合は未定義 α = 2 {\displaystyle \alpha =2} 過剰尖度 の場合は0 、それ以外の場合は未定義 α = 2 {\displaystyle \alpha =2} エントロピ 特定のパラメータ値を除いて解析的に表現できない MGF exp ( t μ + c 2 t 2 ) {\displaystyle \exp \!{\big (}t\mu +c^{2}t^{2}{\big )}} の場合 、 の場合 、の 場合 、 それ以外の場合は未定義 α = 2 {\displaystyle \alpha =2} exp ( t μ − c α t α sec ( π α / 2 ) ) {\displaystyle \exp \!{\big (}t\mu -c^{\alpha }t^{\alpha }\sec(\pi \alpha /2){\big )}} α ≠ 1 , β = − 1 , t > 0 {\displaystyle \alpha \neq 1,\beta =-1,t>0} exp ( t μ − c 2 π − 1 t ln t ) {\displaystyle \exp \!{\big (}t\mu -c2\pi ^{-1}t\ln t{\big )}} α = 1 , β = − 1 , t > 0 {\displaystyle \alpha =1,\beta =-1,t>0} CF exp [ i t μ − | c t | α ( 1 − i β sgn ( t ) Φ ) ] , {\displaystyle \exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|^{\alpha }\,(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi )\;{\Big ]},}
どこ Φ = { tan π α 2 if α ≠ 1 − 2 π log | t | if α = 1 {\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}
確率論 において 、ある 分布が 安定 である とは、その分布に従う 2つの 独立した 確率変数の 線形結合が、 位置 パラメータと 尺度パラメータ を除いて 同一の分布に 従うことを意味する。確率変数は、その分布が 安定して いることを意味する。安定分布族は、それを最初に研究した数学者である ポール・レヴィ にちなんで、 レヴィα安定分布 と呼ばれることもある。 [1] [2]
族を定義する4つのパラメータのうち、最も注目されているのは安定性パラメータである （パネル参照）。安定分布は を持ち 、その上限は 正規分布 、 コーシー分布 に対応する。これらの分布は に対しては 未定義の 分散を 持ち、 に対しては未定義の 平均 を 持つ。 α {\displaystyle \alpha } 0 < α ≤ 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq 2} α = 1 {\displaystyle \alpha =1} α < 2 {\displaystyle \alpha <2} α ≤ 1 {\displaystyle \alpha \leq 1}
安定確率分布の重要性は、 独立かつ同一分布（ iid ）の確率変数の適切にノルムされた和に対する「 アトラクター 」となることです。正規分布は、安定分布の族を定義します。古典的な 中心極限定理 によれば、それぞれ有限分散を持つ確率変数の集合の適切にノルムされた和は、変数の数が増えるにつれて正規分布に近づく傾向があります。有限分散の仮定がなければ、極限は正規分布ではない安定分布となる可能性があります。 マンデルブロは、 ヴィルフレド・パレート にちなんで、 このような分布を「安定パレート分布」 [3] [4] [5] と呼びました。特に、彼は正の方向に最大限歪んだ分布を 「パレート・レヴィ分布」 [1] と呼び、株価や商品価格を正規分布よりも適切に記述できると考えました。 [6] 1 < α < 2 {\displaystyle 1<\alpha <2}
意味 非 退化分布は 、次の特性を満たす場合、安定分布と呼ばれます。
X 1 と X 2 を 確率変数 X の独立 したコピーと する 。 任意 の定数 a > 0 および b > 0 に対して、確率変数 aX 1 + bX 2が、ある定数 c > 0 および d に対して cX + d と同じ分布に従うとき、X は安定しているという。この 分布が d = 0 で成り立つとき、分布は 厳密に安定し ているという 。 [7] 正規分布 、 コーシー分布 、 レヴィ分布は すべて上記の性質を持つ ため、これらは安定分布の特殊なケースであると言えます。
このような分布は、位置パラメータμ と スケールパラメータ c 、および非対称性と集中度の尺度にそれぞれほぼ対応する 2 つの形状パラメータ とによってパラメータ化された 4 つのパラメータを持つ連続 確率分布 の族を形成します (図を参照)。 β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha }
密度関数を持つ確率分布の 特性 関数は、次の フーリエ変換 である。密度関数 は 、特性関数の逆フーリエ変換である。 [8] φ {\displaystyle \varphi } f {\displaystyle f} f . {\displaystyle f.} φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e i x t d x . {\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.}
一般的な安定分布の確率密度関数は解析的に記述できないが、一般的な特性関数は解析的に表現できる。確率変数 Xは、その特性関数が [7] [9] と記述できる場合、安定していると呼ばれる 。 ここで、 sgn( t )は t の 符号 であり 、 μ∈R は シフトパラメータ、 歪度パラメータ と呼ばれる 非対称性の尺度である。この文脈では、分布が2次以上の モーメント を許容しない ため、通常の 歪度は 明確に定義されていないことに注意されたい。また、通常の歪度定義は3次 中心モーメント である。 φ ( t ; α , β , c , μ ) = exp ( i t μ − | c t | α ( 1 − i β sgn ( t ) Φ ) ) {\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)} Φ = { tan ( π α 2 ) α ≠ 1 − 2 π log | t | α = 1 {\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}} β ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \beta \in [-1,1]} α < 2 {\displaystyle \alpha <2}
これが安定分布を与える理由は、2つの独立した確率変数の和の特性関数が、対応する2つの特性関数の積に等しいためです。安定分布から2つの確率変数を加算すると、 と は同じ値を持ちます が、 μ と c は異なる値になる可能性があります 。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
すべての関数が正当な確率分布（つまり、 累積分布関数が 実数で、0から1まで減少せずに変化する分布）の特性関数となるわけではありませんが、上記に示した特性関数は、パラメータが範囲内にある限り、正当なものとなります。ある値 tにおける特性関数の値は、 -t における値の複素共役であり、 確率分布関数が実数となるように、その値はそうあるべきです。
最も単純なケースでは 、特性関数は単なる 引き伸ばされた指数関数 であり、分布は μ を中心に対称であり、(レヴィ) 対称アルファ安定分布 と呼ばれ 、しばしば SαS と略されます。 β = 0 {\displaystyle \beta =0}
およびの とき 、分布は [ μ , ∞) 上でサポートされます。 α < 1 {\displaystyle \alpha <1} β = 1 {\displaystyle \beta =1}
パラメーター c > 0 は、分布の幅の尺度となるスケール係数であり、 分布の指数またはインデックスであり、分布の漸近的な動作を指定します。 α {\displaystyle \alpha }
パラメータ化 安定分布のパラメータ化は一意ではありません。Nolan [10] は、文献に見られる11種類のパラメータ化を一覧表にまとめ、変換式を示しています。最も一般的に用いられる2つのパラメータ化は、上記のもの（Nolanの「1」）と、そのすぐ下のもの（Nolanの「0」）です。
上記のパラメータ化は理論的な作業には最も使いやすいが、その確率密度はパラメータにおいて連続ではない 。 [11] 数値計算に適した連続パラメータ化は [7] である
。ここで、 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} φ ( t ; α , β , γ , δ ) = exp ( i t δ − | γ t | α ( 1 − i β sgn ( t ) Φ ) ) {\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)} Φ = { ( 1 − | γ t | 1 − α ) tan ( π α 2 ) α ≠ 1 − 2 π log | γ t | α = 1 {\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(1-|\gamma t|^{1-\alpha }\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\[1ex]-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}}
と の範囲は 前と同じですが、 γ ( c と同様) は正で、 δ ( μ と同様) は実数になります。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
どちらのパラメータ化でも、確率変数を線形変換することで、密度が である確率変数を得ることができます 。 最初のパラメータ化では、新しい変数を定義することでこれを行います。 f ( y ; α , β , 1 , 0 ) {\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,1,0)} y = { x − μ γ α ≠ 1 x − μ γ − β 2 π ln γ α = 1 {\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\[1ex]{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}
2番目のパラメータ化では、単に に 依存しない を使用します 。最初のパラメータ化では、平均が存在する場合（つまり ）、 は μ に等しくなりますが、2番目のパラメータ化では、平均が存在する場合、 は に等しくなります。 y = x − δ γ {\displaystyle y={\frac {x-\delta }{\gamma }}} α {\displaystyle \alpha } α > 1 {\displaystyle \alpha >1} δ − β γ tan ( π α 2 ) . {\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).}
分布 したがって、安定分布は上記の4つのパラメータによって規定される。任意の非退化安定分布は滑らかな（無限微分可能な）密度関数を持つことが示される。 [7]を X の密度 、 Yを X の独立したコピーの総和とする と 、 Y の 密度 は f ( x ; α , β , c , μ ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )} Y = ∑ i = 1 N k i ( X i − μ ) {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )} 1 s f ( y / s ; α , β , c , 0 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)} s = ( ∑ i = 1 N | k i | α ) 1 α {\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}
漸近的挙動は、 に対して 、次のように記述される： [7] ここで、Γは ガンマ関数 である（ただし、 および の場合に は、上記の式は0であるにもかかわらず、 μ の左または右のそれぞれに裾が消えない ）。この「 重い裾 」挙動により、安定分布の分散はすべての に対して無限大となる 。この特性は、以下のlog-logプロットに示されている。 α < 2 {\displaystyle \alpha <2} f ( x ) ∼ 1 | x | 1 + α ( c α ( 1 + sgn ( x ) β ) sin ( π α 2 ) Γ ( α + 1 ) π ) {\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)} α ≥ 1 {\displaystyle \alpha \geq 1} β = ± 1 {\displaystyle \beta =\pm 1} α < 2 {\displaystyle \alpha <2}
のとき 、分布はガウス分布（下記参照）となり、その裾はexp(− x 2 /4 c 2 )/(2 c √ π )に漸近する。 α = 2 {\displaystyle \alpha =2}
プロパティ 安定分布は、固定値の に対して畳み込みに対して閉じています 。畳み込みはフーリエ変換された関数の乗算と等価であるため、2つの安定特性関数に同じ を積ぶと、 別の安定特性関数が得られます。2つの安定特性関数の積は次のように与えられます。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } exp [ i t ( μ 1 + μ 2 ) − | c 1 t | α − | c 2 t | α + i ( β 1 | c 1 t | α + β 2 | c 2 t | α ) sgn ( t ) Φ ] {\displaystyle \exp \left[it\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\left(\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\right)\operatorname {sgn}(t)\Phi \right]}
Φ は μ 、 c 、または変数 の関数ではない ため 、畳み込み関数のこれらのパラメータは次のように与えられます。 β {\displaystyle \beta } μ = μ 1 + μ 2 c = ( c 1 α + c 2 α ) 1 α β = β 1 c 1 α + β 2 c 2 α c 1 α + c 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}
いずれの場合も、結果として得られるパラメータは、安定した分布に必要な範囲内にあることが示されます。
一般化中心極限定理 一般化中心極限定理（GCLT）は、 1920年から1937年にかけて
複数の数学者（ バーンスタイン 、 リンデバーグ 、 レヴィ 、 フェラー 、 コルモゴロフなど）によって研究されたものです 。[12]
GCLTの最初の完全な証明（フランス語）は、1937年に ポール・レヴィ によって発表されました。 [13] GCLTの完全な証明の英語版は、 グネデンコ と コルモゴロフ の1954年の本 の翻訳で入手できます。 [14]
GCLTの声明は次の通りである。 [10]
一般化中心極限定理 — 非退化確率変数 Z が 0 < α ≤ 2 に対してα安定であるためには、独立かつ同一分布に従う確率変数列 X 1 , X 2 , X 3 , ... と定数 a n > 0, b n ∈ ℝ が存在し、
a n ( X 1 + ... + X n ) − b n → Z。
ここで→は、ランダム変数の合計のシーケンスが分布に収束することを意味します。つまり、対応する分布は、 F のすべての連続点で F n ( y ) → F ( y )を満たします。
言い換えれば、独立かつ同一に分布する確率変数の合計が分布において何らかの Z に収束する場合、 Z は 安定した分布でなければなりません。
特殊なケース 対称中心安定分布のPDFの両対数プロット。大きなx に対してべき乗則の挙動を示す。べき乗則の挙動は、大きな x に対してPDFが直線状になり 、傾きが に等しいことから明らかである 。（唯一の例外は 黒で示した で、これは正規分布である。） − ( α + 1 ) {\displaystyle -(\alpha +1)} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} 大きなx に対してべき乗則の挙動を示す、歪んだ中心安定分布のPDFの両対数プロット 。ここでも線形部分の傾きは − ( α + 1 ) {\displaystyle -(\alpha +1)} f ( x )の形には一般的な解析解は存在しない。しかし、 特性関数 の考察からわかるように、 基本関数 で表現できる特殊なケースが3つある ： [7] [9] [15]
分布は分散 σ 2 = 2 c 2 、平均 μ のガウス分布に簡約 さ れ ます 。 歪度 パラメータ は 影響 し ませ ん 。 α = 2 {\displaystyle \alpha =2} β {\displaystyle \beta } の場合 、 分布は スケールパラメータ c とシフトパラメータ μを持つ コーシー分布 に簡約されます。 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} β = 0 {\displaystyle \beta =0} の場合 、 分布は スケールパラメータ c とシフトパラメータ μを持つ レヴィ分布 に簡約されます。 α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} β = 1 {\displaystyle \beta =1} 上記の3つの分布は、以下のように関連していることにも留意されたい。標準的なコーシー分布は、ガウス分布（いずれも平均ゼロ）の 混合分布 と見なすことができ、分散は標準的なレヴィ分布から得られる。実際、これはより一般的な定理（ [16] の59ページを参照）の特殊なケースであり、任意の対称α安定分布をこのように見ることができる（混合分布のαパラメータは混合分布のαパラメータの2倍に等しく、混合分布のβパラメータは常に1である）。
有理数値の安定確率密度関数の一般的な閉形式表現は、 マイヤーG関数 を用いて得られる 。 [17] フォックスH関数も安定確率密度関数を表現するために用いることができる。単純な有理数の場合、閉形式表現はより複雑でない 特殊関数を用いて得られることが多い。特殊関数を用いた比較的単純な表現を持つ閉形式表現もいくつか存在する。以下の表では、基本関数で表現できる確率密度関数は E で示され、特殊関数で表現できる確率密度関数は s で示されている 。 [16] α {\displaystyle \alpha }
α {\displaystyle \alpha } 1/3 1/2 2/3 1 4/3 3/2 2 β {\displaystyle \beta } 0 s s s E s s E 1 s E s L s
いくつかの特殊なケースは特別な名前で知られています:
および の場合 、分布は ランダウ分布 ( L ) であり、物理学ではこの名前で特別な用法があります。 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} β = 1 {\displaystyle \beta =1} の場合 、 分布は スケールパラメータ c とシフトパラメータ μを持つ ホルトスマーク分布 に簡約されます。 α = 3 / 2 {\displaystyle \alpha =3/2} β = 0 {\displaystyle \beta =0} また、限界では cが ゼロに近づくかαがゼロに近づくにつれて、分布は ディラックのデルタ関数 δ ( x − μ ) に近づきます。
シリーズ表現 安定分布はより単純な積分の実部として言い換えることができる： [18] f ( x ; α , β , c , μ ) = 1 π ℜ [ ∫ 0 ∞ e i t ( x − μ ) e − ( c t ) α ( 1 − i β Φ ) d t ] . {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}
2番目の指数関数を テイラー級数 で表すと、
次の式が得られます。 ここで 、積分と和の順序を逆にして積分を実行すると、次の式が得られます。
これは、 x ≠ μ に対して有効であり 、適切なパラメータ値に対して収束します。（したがって、 x − μ で デルタ関数を生成する n = 0 の項は 削除されていることに注意してください。）最初の指数関数を級数で表すと、 x − μ の正の累乗に関する別の級数が得られますが、これは一般にはあまり役に立ちません。 f ( x ; α , β , c , μ ) = 1 π ℜ [ ∫ 0 ∞ e i t ( x − μ ) ∑ n = 0 ∞ ( − q t α ) n n ! d t ] {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]} q = c α ( 1 − i β Φ ) {\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )} f ( x ; α , β , c , μ ) = 1 π ℜ [ ∑ n = 1 ∞ ( − q ) n n ! ( i x − μ ) α n + 1 Γ ( α n + 1 ) ] {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}
片側安定分布の場合、上記の級数展開は、 とであるため修正する必要がある 。実部を合計する必要はない。代わりに、特性関数の積分を負の軸上で行い、以下の式を得る。 [19] [20] q = exp ( − i α π / 2 ) {\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)} q i α = 1 {\displaystyle qi^{\alpha }=1} L α ( x ) = 1 π ℜ [ ∑ n = 1 ∞ ( − q ) n n ! ( − i x ) α n + 1 Γ ( α n + 1 ) ] = 1 π ∑ n = 1 ∞ − sin ( n ( α + 1 ) π ) n ! ( 1 x ) α n + 1 Γ ( α n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}
パラメータ推定 既存の正規性検定 とそれに続く パラメータ推定 に加えて 、分位数に依存する一般的な方法がマカロックによって開発され、対称安定分布と歪んだ安定分布の両方と安定性パラメータに有効である 。 [21] 0.5 < α ≤ 2 {\displaystyle 0.5<\alpha \leq 2}
安定変数のシミュレーション 逆関数やCDF自体 には解析的な表現がない ため、逆関数法は安定分布に従う変量を生成するために用いることはできない。 [11]棄却法のような他の標準的な手法は、膨大な計算を必要とする。Chambers、Mallows、Stuck（CMS） [22]は、ある積分公式 [23] から以下のアルゴリズムが得られる ことに着目し 、簡潔かつ効率的な解法を提案した。 [24] F − 1 ( x ) {\displaystyle F^{-1}(x)} F ( x ) {\displaystyle F(x)}
均一に分布する ランダム変数 と 平均 1 の独立した 指数ランダム変数を生成します。 U {\displaystyle U} ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)} W {\displaystyle W} コンピューティング用 : α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} X = ( 1 + ζ 2 ) 1 2 α sin ( α ( U + ξ ) ) ( cos ( U ) ) 1 α ( cos ( U − α ( U + ξ ) ) W ) 1 − α α , {\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},} 計算の場合 : ここで α = 1 {\displaystyle \alpha =1} X = 1 ξ { ( π 2 + β U ) tan U − β log ( π 2 W cos U π 2 + β U ) } , {\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},} ζ = − β tan π α 2 , ξ = { 1 α arctan ( − ζ ) α ≠ 1 π 2 α = 1 {\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}} このアルゴリズムはランダム変数を生成する 。詳細な証明については [25]を参照。 X ∼ S α ( β , 1 , 0 ) {\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}
パラメータ 、 、 およびのすべての許容値に対して安定したランダム変数をシミュレートするには 、 次の特性を使用します。 の場合、 です 。 （ および ）の場合、CMS 法は、 ガウス ランダム変数を生成するためのよく知られた ボックス・ミュラー変換 に簡約されます。 [26]文献では、Bergström [27] および LePage [28] の級数展開の適用など、他のアプローチが提案されていますが 、CMS 法は最も高速で正確であると考えられています。 α {\displaystyle \alpha } c {\displaystyle c} β {\displaystyle \beta } μ {\displaystyle \mu } X ∼ S α ( β , 1 , 0 ) {\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)} Y = { c X + μ α ≠ 1 c X + 2 π β c log c + μ α = 1 {\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}} S α ( β , c , μ ) {\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} β = 0 {\displaystyle \beta =0}
アプリケーション 安定分布が理論と実践の両方で重要になったのは、 中心極限定理 が2次（場合によっては1次）モーメントを持たない確率変数に 一般 化されたことと、それに伴う安定族の 自己相似性 による。正規分布からの見かけ上の逸脱と、金融データに対する自己相似モデル（すなわち、資産価格の年間変動の分布形状は、構成資産の日次または月次価格変動の形状に類似するべきである）への要求から、 ブノワ・マンデルブロは 綿花価格がα安定分布（αは 1.7）に従うと提唱した。 [6] レヴィ分布は、 重要な行動 や金融データの分析において頻繁に見られる 。 [9] [29] α {\displaystyle \alpha }
これらは 分光学においても準静的 圧力広がりスペクトル線 の一般的な表現として用いられている 。 [18]
太陽フレアの待機時間イベント（フレアイベント間の時間）のレヴィ分布は、 2001年12月の CGRO BATSE硬X線太陽フレアで実証されました。レヴィ統計シグネチャの分析により、2つの異なるメモリシグネチャが明らかになりました。1つは太陽活動周期に関連し、もう1つは起源が局所的または局所的な太陽活動領域の影響の組み合わせに関連しているようです。 [30]
その他の分析事例 解析的に表現可能な安定分布の例は数多く知られています。安定分布を とすると 、次のようになります。 f ( x ; α , β , c , μ ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}
コーシー 分布は 次のように与えられる。 f ( x ; 1 , 0 , 1 , 0 ) . {\displaystyle f(x;1,0,1,0).} レヴィ 分布 は次のように与えられる。 f ( x ; 1 2 , 1 , 1 , 0 ) . {\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).} 正規 分布 は次のように与えられる。 f ( x ; 2 , 0 , 1 , 0 ) . {\displaystyle f(x;2,0,1,0).} をロンメル関数 とする と ： [31] S μ , ν ( z ) {\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)} f ( x ; 1 3 , 0 , 1 , 0 ) = ℜ ( 2 e − i π 4 3 3 π 1 x 3 S 0 , 1 3 ( 2 e i π 4 3 3 1 x ) ) {\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)}=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}{\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}\right)} と を フレネル積分 とすると、次の 式が得られる。 [32] S ( x ) {\displaystyle S(x)} C ( x ) {\displaystyle C(x)} f ( x ; 1 2 , 0 , 1 , 0 ) = ( 1 2 π | x | 3 ) 1 / 2 ( sin ( 1 4 | x | ) [ 1 2 − S ( 1 2 π | x | ) ] + cos ( 1 4 | x | ) [ 1 2 − C ( 1 2 π | x | ) ] ) {\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)}=\left({\tfrac {1}{2\pi \left|x\right|^{3}}}\right)^{1/2}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-S{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-C{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]\right)} を第二種 修正ベッセル関数 とする と： [32] K v ( x ) {\displaystyle K_{v}(x)} f ( x ; 1 3 , 1 , 1 , 0 ) = 2 5 2 3 7 4 π 1 x 3 K 1 3 ( 2 5 2 3 9 4 1 x ) {\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)}={\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {7}{4}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}{\left({\frac {2^{\frac {5}{2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}} 超幾何関数 をとする と、次の式 が成り立ちます。 [31] 後者は ホルトスマーク分布 です。 m F n {\displaystyle {}_{m}F_{n}} f ( x ; 4 3 , 0 , 1 , 0 ) = 3 5 4 2 5 2 π 1 2 Γ ( 7 12 ) Γ ( 11 12 ) Γ ( 6 12 ) Γ ( 8 12 ) 2 F 2 ( 7 12 , 11 12 ; 6 12 , 8 12 ; 3 3 x 4 4 4 ) − 3 11 4 x 3 2 13 2 π 1 2 Γ ( 13 12 ) Γ ( 17 12 ) Γ ( 18 12 ) Γ ( 15 12 ) 2 F 2 ( 13 12 , 17 12 ; 18 12 , 15 12 ; 3 3 x 4 4 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)}&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{2^{\frac {5}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {7}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {11}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {6}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {8}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{2^{\frac {13}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {13}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {17}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {18}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {15}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\end{aligned}}} f ( x ; 3 2 , 0 , 1 , 0 ) = Γ ( 5 3 ) π 2 F 3 ( 5 12 , 11 12 ; 1 3 , 1 2 , 5 6 ; − 2 2 x 6 3 6 ) − x 2 3 π 3 F 4 ( 3 4 , 1 , 5 4 ; 2 3 , 5 6 , 7 6 , 4 3 ; − 2 2 x 6 3 6 ) + 7 x 4 Γ ( 4 3 ) 3 4 π 2 2 F 3 ( 13 12 , 19 12 ; 7 6 , 3 2 , 5 3 ; − 2 2 x 6 3 6 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)}&={\frac {\Gamma {\left({\tfrac {5}{3}}\right)}}{\pi }}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {x^{2}}{3\pi }}\,{}_{3}F_{4}{\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad +{\frac {7x^{4}\Gamma {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\end{aligned}}} をウィテカー関数 とする と ： [33] [34] [35] W k , μ ( z ) {\displaystyle W_{k,\mu }(z)} f ( x ; 2 3 , 0 , 1 , 0 ) = 3 6 π | x | exp ( 2 27 x − 2 ) W − 1 2 , 1 6 ( 4 27 x − 2 ) f ( x ; 2 3 , 1 , 1 , 0 ) = 3 π | x | exp ( − 16 27 x − 2 ) W 1 2 , 1 6 ( 32 27 x − 2 ) f ( x ; 3 2 , 1 , 1 , 0 ) = { 3 π | x | exp ( 1 27 x 3 ) W 1 2 , 1 6 ( − 2 27 x 3 ) x < 0 3 6 π | x | exp ( 1 27 x 3 ) W − 1 2 , 1 6 ( 2 27 x 3 ) x ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}
参照
ソフトウェア実装 Windows版STABLEプログラムは、John Nolan氏の安定版ウェブページ（http://www.robustanalysis.com/public/stable.html）から入手できます。このプログラムは、一般的な安定分布の密度（pdf）、累積分布関数（cdf）、および分位点を計算し、安定パラメータの最尤推定と、データセットの適合性を評価するためのいくつかの探索的データ分析手法を実行します。 C で書かれた GNU Scientific Library には パッケージ randist があり 、 これにはガウス分布とコーシー分布のほか、歪パラメータ付きと歪パラメータなしの両方のレヴィアルファ安定分布の実装も含まれています。 libstable は、 安定版ディストリビューションの pdf、cdf、乱数、分位数、フィッティング関数 (ベンチマーク複製パッケージおよび R パッケージとともに) の C実装です。 Diethelm Wuertz、Martin Maechler、そしてRmetricsコアチームメンバーによるR パッケージ「stabledist」。安定密度、確率、分位数、乱数を計算します。 Python実装は、 SciPy パッケージの scipy.stats.levy_stable にあります 。 Juliaは 、安定分布の生成、フィッティング、確率密度関数、累積分布関数、特性関数とモーメント生成関数、分位数関数および関連関数、畳み込みおよびアフィン変換などのメソッドを備えたパッケージStableDistributions.jlを提供しています。このパッケージは、John P. Nolanによって改良された最新のアルゴリズムを使用しています。 [10]
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離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \alpha \in (0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dade01a06507996c8330ec68b7c0f7bc305a05)
![{\displaystyle \exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|^{\alpha }\,(1-i\beta \operatorname {sgn} (t)\Phi )\;{\Big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d98d0e47ac7b119c61fcddb23c16046f082f0b5)
![{\displaystyle \beta \in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88346c1460c3477cc60acc78f4c9742e51770644)
![{\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(1-|\gamma t|^{1-\alpha }\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\[1ex]-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{件}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addbc7d58eeae147135949fab5206dbd3f75c47a)
![{\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\[1ex]{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5ff7948a4d5251f2b91183c79bc53a7d9ce5ea)
![{\displaystyle \exp \left[it\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\left(\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\right)\operatorname {sgn} (t)\Phi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6392db1b90a742f2ecc060de01079c4a64831faa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e0d2bd020e35b960e67b662c03cd50cff3f947)
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6b466b832c1e998c2bfa0c4960b0219910a438)
![{\displaystyle f(x;\alpha,\beta,c,\mu)={\frac {1}{\pi}}\Re \left[\int _{0}^{\infty}e^{it(x-\mu)}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-qt^{\alpha})^{n}}{n!}}\,dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4c36709da2fb445b98fd54f3056720ae3866c7)
![{\displaystyle f(x;\alpha,\beta,c,\mu)={\frac {1}{\pi}}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d62ff5dbbb05feb81c0e87ae934eade326ead56)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2f265d85deb2aca3fb88b144ceb8aea6d2af13)
![{\displaystyle f{\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)}=\left({\tfrac {1}{2\pi \left|x\right|^{3}}}\right)^{1/2}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-S{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\tfrac {1}{2}}-C{\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debe9c996f6a0eadf687fed3c409da1db809f6b6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)}&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{2^{\frac {5}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {7}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {11}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {6}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {8}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{2^{\frac {13}{2}}\pi ^{\frac {1}{2}}}}{\frac {\Gamma {\left({\tfrac {13}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {17}{12}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {18}{12}}\right)}\,\Gamma {\left({\tfrac {15}{12}}\right)}}}\;{}_{2}F_{2}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ef6d4bb38e6855c36eeb99d71d52541f5514ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f{\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)}&={\frac {\Gamma {\left({\tfrac {5}{3}}\right)}}{\pi }}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad -{\frac {x^{2}}{3\pi }}\,{}_{3}F_{4}{\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\\[2pt]&\quad +{\frac {7x^{4}\Gamma {\left({\tfrac {4}{3}}\right)}}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}{\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d95550c802e6bc2c5da4bd92606115037db57c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6577552b71fc541a621c34cadf588f2cc3c055d)
