二項分布

Probability distribution

二項分布
確率質量関数
累積分布関数
表記	${\displaystyle \mathrm {B} (n,p)}$
パラメータ	${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$– 試行回数– 各試行の成功確率 ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle q=1-p}$
サポート	${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}}$– 成功回数
PMF	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$
CDF	${\displaystyle I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$（正規化された不完全ベータ関数）
平均	${\displaystyle np}$
中央値	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$または ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
モード	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$または ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
分散	${\displaystyle npq=np(1-p)}$
歪度	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}}$
エントロピ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ shannonsの場合。nats の場合、 log の自然対数を使用します。
MGF	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
CF	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
PGF	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
フィッシャー情報	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$ （固定の場合） ${\displaystyle n}$

パスカルの三角形のnとkの場合のp = 0.5の二項分布8 層 ( n = 8 ) のゴルトン ボックス内のボールが中央のビン ( k = 4 )に入る確率は70/256です。

確率論と統計学において、パラメータがnとpである二項分布は、一連のn 個の独立した実験における成功数の離散確率分布です。各実験は「はい/いいえ」の質問をし、それぞれがブール値の結果、つまり成功（確率p）または失敗（確率q = 1 − p）を持ちます。1 回の成功/失敗の実験はベルヌーイ試行またはベルヌーイ実験とも呼ばれ、結果の系列はベルヌーイ過程と呼ばれます。1 回の試行、つまりn = 1の場合、二項分布はベルヌーイ分布です。二項分布は、統計的有意性の二項検定の基礎となります。^[1]

二項分布は、母集団Nから復元抽出されたn個の標本における成功数をモデル化するためによく用いられます。復元抽出を行わない場合、各標本は独立ではないため、得られる分布は二項分布ではなく超幾何分布となります。しかし、N がnよりはるかに大きい場合、二項分布は依然として良好な近似値であり、広く用いられています。

定義

確率質量関数

ランダム変数 X がパラメータ（自然数）とp ∈ [0, 1]を持つ二項分布に従う場合、 X ~ B ( n , p )と書きます。 n 回の独立したベルヌーイ試行でちょうどk回の成功（同じ確率p ）を得る確率は、確率質量関数で与えられます。 k = 0, 1, 2, ..., nの場合、 は二項係数です。式は次のように理解できます。p ^k q ^{n − k}は、 k回の試行が「成功」で、残りのn − k回の試行が「失敗」となるn 回の独立したベルヌーイ試行のシーケンスを得る確率です。試行は独立しており、試行間の確率は一定であるため、 k 回の成功（および n − k 回の失敗）を伴う n 回の試行のシーケンスはどれも、（シーケンス内の成功の位置に関係なく）同じ確率で達成されます。二項係数はn回の試行のうちk回の成功の位置を選ぶ方法の数を数えるため、このようなシーケンスが存在します。二項分布はこれらのシーケンスのいずれかを得る確率に関係しており、つまり、それらのいずれかを得る確率（p ^k q ^{n − k} ）を何回も加算する必要があることを意味します。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$$ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ ${\textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

二項分布の確率の参照表を作成する場合、通常、表にはn / 2の値まで記入します。これは、k > n / 2の場合、確率はその補数によって次のように計算できる ためです。 $${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$$

式f ( k , n , p )をkの関数として見ると、これを最大化するk の値が存在します。このk の値は、計算して 1 と比較することで見つけることができます。 ^[2]を満たす整数Mが常に存在します。 $${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$$ $${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$$

f ( k , n , p )は、 k < Mの場合は単調増加し、 k > Mの場合は単調減少します。ただし、 ( n + 1) pが整数の場合は例外です。この場合、 fが最大となる値は( n + 1) pと( n + 1) p − 1 の2つです。 Mはベルヌーイ試行の中で最も可能性の高い結果（つまり、全体的には起こりにくいものの、最も可能性の高い結果）であり、モードと呼ばれます。

同様に、M − p < np ≤ M + 1 − pとなる。床関数をとると、 M = floor( np )となる。^{[注 1]}

例

偏りのあるコインを投げると、0.3の確率で表が出るとします。6回投げて4回表が出る確率は $${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$$

累積分布関数

累積分布関数は次のように表すことができます。ここで、 はkの「下限」 、つまりk以下の最大の整数です。 $${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$$ ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$

これは、正規化された不完全ベータ関数で次のように表すこともできる。^[3]これはベータ分布とF分布の累積分布関数と同等である 。^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F(k;n,p)=F_{\text{beta-distribution}}\left(x=1-p;\alpha =n-k,\beta =k+1\right)}$$ $${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$$

累積分布関数のいくつかの閉じた形式の境界を以下に示します。

プロパティ

期待値と分散

X ~ B ( n , p )、つまりXが二項分布の確率変数で、nが実験の総数、pが各実験が成功する確率である場合、Xの期待値は次のようになる: [ 5 ^] $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$$

これは、期待値の線形性と、Xがそれぞれ期待値pを持つn個の同一のベルヌーイ確率変数の和であるという事実から導かれる。言い換えれば、パラメータpを持つ同一の（かつ独立な）ベルヌーイ確率変数であるとき、X = X ₁ + ... + X _nであり、 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$$

差異は次のとおりです。 $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).}$$

これは同様に、独立した確率変数の合計の分散は分散の合計であるという事実から導かれます。

より高い瞬間

最初の6つの中心モーメントは、次のように定義され、 ${\displaystyle \mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np\left(1-p\right),\\\mu _{3}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right),\\\mu _{4}&=np\left(1-p\right)\left[1+\left(3n-6\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{5}&=np\left(1-p\right)\left(1-2p\right)\left[1+\left(10n-12\right)p\left(1-p\right)\right],\\\mu _{6}&=np\left(1-p\right)\left[1-30p\left(1-p\right)\left[1-4p(1-p)\right]+5np\left(1-p\right)\left[5-26p\left(1-p\right)\right]+15n^{2}p^{2}\left(1-p\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$$

非中心モーメントは一般に および を満たし^{[6] [7]} 、 は第二種スターリング数、はの -乗の立下りである。二項モーメントを高次のポアソンモーメントで制限することにより、簡単な境界^[8]が得られる。 これは、 の場合、 はから最大で定数倍離れていることを示す。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},}$$ ${\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]\leq \left[{\frac {c}{\ln \left(1+{\frac {c}{np}}\right)}}\right]^{c}\leq (np)^{c}\exp \left({\frac {c^{2}}{2np}}\right).}$$ ${\displaystyle c=O({\sqrt {np}})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{c}]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]^{c}}$

モーメント生成関数は です。 ${\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]=(1-p+pe^{t})^{n}}$

モード

通常、二項分布B ( n , p )の最頻値は（床関数）に等しくなります。ただし、( n +1) pが整数で、pが0でも1でもない場合は、分布には( n +1) pと( n +1) p −1の2つの最頻値があります。pが0または1の場合は、最頻値はそれぞれ0とnになります。これらのケースは次のようにまとめることができます。 ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ $${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$$

証明： $${\displaystyle f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$$

の場合のみ、は非ゼロの値を持ちます。 の場合、 およびが成り立ちます。これは、およびの場合、モードが 0 であることを証明しています。 ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle f(n)=1}$ ${\displaystyle f(k)=0}$ ${\displaystyle k\neq n}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=1}$

とする。 ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle {\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}.}$$

これから $${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}}$$

したがって、が整数のとき、と はモードである。 のとき、 のみがモードである。^[9] ${\displaystyle (n+1)p-1}$ ${\displaystyle (n+1)p-1}$ ${\displaystyle (n+1)p}$ ${\displaystyle (n+1)p-1\notin \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor }$

中央値

一般的に、二項分布の中央値を求める唯一の公式は存在せず、必ずしも一意ではない場合もあります。しかし、いくつかの特別な結果が確立されています。

• npが整数の場合、平均値、中央値、最頻値は一致し、npに等しくなります。^{[10] [11]}
• 任意の中央値mは区間内に収まる必要がある。^[12] ${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$
• 中央値mは平均値からあまり離れることはできない：^[13] ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{{\ln 2},\max\{p,1-p\}\}}$
• 中央値は唯一であり、| m − np | ≤ min{ p , 1 − p }のときm = round ( np )に等しい（ p = 1/2でnが奇数の場合を除く）。 ^[12]
• pが有理数の場合（ p = 1/2とnが奇数の場合を除く）、中央値は一意である。^[14]
• とnが奇数の場合、区間内の任意の数m は二項分布の中央値となります。とnが偶数の場合、は 唯一の中央値となります。 ${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(n-1\right)\leq m\leq {\frac {1}{2}}\left(n+1\right)}$ ${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\textstyle m={\tfrac {n}{2}}}$

テールバウンド

k ≤ npの場合、累積分布関数の下側（k回以下の成功となる確率）の上限を導くことができる。 であるため、これらの上限は k ≥ npの場合の累積分布関数の上側（k ≥ np ）の上限とも見ることができる。 ${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$ ${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$

ヘフディングの不等式は単純な上界値を与えるが、その厳密さは必ずしも十分ではない。特に、p = 1の場合、 F ( k ; n , p ) = 0 となる（ k , nは固定、 k < n）。しかし、ヘフディングの上界値は正の定数となる。 $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$$

チェルノフ境界からより明確な境界が得られる：^[15]ここでD ( a ‖ p )はaコインとpコイン（つまりベルヌーイ( a )分布とベルヌーイ( p )分布の間）の相対エントロピー（またはカルバック・ライブラー情報量）である： $${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right)}$$ $${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\ln {\frac {a}{p}}+(1-a)\ln {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$$

漸近的に、この境界は十分に厳しい。詳細については^[15]を参照。

F ( k ; n , p )の裾野には、反集中限界として知られる下限値も得られる。二項係数をスターリングの公式で近似すると、 ^[16]が示され、これはより単純だがより緩い限界値を意味する 。 $${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD{\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)}\right),}$$ $${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$$

p = 1/2かつk ≥ 3 n /8 （ nは偶数）の場合、分母を定数にすることができる：^[17] $${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$$

統計的推論

パラメータの推定

nが既知の場合、パラメータp は成功の割合を使用して推定できます。この推定値は、最尤推定値とモーメント法を使用して求められます。この推定値は、最小の十分かつ完全な統計量（つまり、 x ）に基づいているため、レーマン・シェッフェの定理を使用して証明されたように、最小分散で不偏かつ一様です。また、確率とMSEの両方で一致しています。この統計量は、ベルヌーイ標本の平均を取るのと同じなので、中心極限定理により漸近的に正規です。分散は で、この特性はワルドの信頼区間など、さまざまな方法で使用されます。 $${\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x}{n}}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {p(1-p)}{n}}}$

ベータ分布を共役事前分布として使用する場合、pの閉形式のベイズ推定量も存在します。事前分布として一般分布を使用する場合、事後平均推定量は次のようになります。ベイズ推定量は漸近的に効率的であり、サンプルサイズが無限大（n → ∞ ）に近づくにつれて、 MLE解に近づきます。^[18]ベイズ推定量にはバイアス（どの程度バイアスがあるかは事前分布に依存）があり、 許容可能で、確率的に一貫しています。ベイズ推定量をベータ分布と共に使用することは、トンプソンサンプリングで使用できます。 ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$ $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+\alpha }{n+\alpha +\beta }}.}$$

標準一様分布を非情報事前分布として使用する特殊なケースでは、事後平均推定値は次のようになります。 (事後モードは標準推定値に直接つながるはずです。) この方法は継承の法則と呼ばれ、18世紀にピエール・シモン・ラプラスによって導入されました。 ${\displaystyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}1,\,\beta {=}1)=U(0,1)}$ $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {x+1}{n+2}}.}$$

ジェフリーズの事前分布に頼る場合、事前分布は^[19]となり、推定値は次のようになる。 ${\textstyle \operatorname {Beta} (\alpha {=}{\tfrac {1}{2}},\,\beta {=}{\tfrac {1}{2}})}$ $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\mathrm {Jeffreys} }={\frac {x+{\frac {1}{2}}}{n+1}}.}$$

非常に稀な事象と小さなn（例えばx = 0）でpを推定する場合、標準的な推定値を用いると次の式が得られますが、これは非現実的で望ましくない場合があります。そのような場合には、様々な代替推定値があります。^[20]一つの方法はベイズ推定値を用いることで、次の式が得られます。 もう一つの方法は、 3の法則を用いて得られた信頼区間の上限値を用いることです。 ${\displaystyle {\widehat {p}}=0,}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}}$ $${\displaystyle {\widehat {p}}_{b}={\frac {1}{n+2}}.}$$ $${\displaystyle {\widehat {p}}_{\text{rule of 3}}={\frac {3}{n}}.}$$

パラメータpの信頼区間

nの値がかなり大きい場合でも、平均値の実際の分布は有意に非正規です。^[21]この問題のため、信頼区間を推定するいくつかの方法が提案されています。

以下の信頼区間の式では、変数は次の意味を持ちます。

• n ₁はn 回の総試行回数のうちの成功回数である。
• ${\displaystyle {\widehat {p\,}}={\frac {n_{1}}{n}}}$成功の割合
• ${\displaystyle z}$は、目標誤差率 に対応する標準正規分布（つまりプロビット）の分位数です。例えば、95% の信頼水準で誤差の場合、 となり、となります。 ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$ ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}\alpha =0.975}$ ${\displaystyle z=1.96}$

ワルド法

$${\displaystyle {\widehat {p\,}}\pm z{\sqrt {\frac {{\widehat {p\,}}(1-{\widehat {p\,}})}{n}}}.}$$

0.5 / nの連続性補正が加えられる場合があります。^{[説明が必要]}

アグレスティ・クール法

^[22] $${\displaystyle {\tilde {p}}\pm z{\sqrt {\frac {{\tilde {p}}(1-{\tilde {p}})}{n+z^{2}}}}}$$

ここでpの推定値は次のように修正される。 $${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {n_{1}+{\frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}$$

この方法はn > 10およびn ₁ ≠ 0、nの場合に有効です。^[23]についてはここを参照してください。^[24] n ₁ = 0の場合、 nは以下のウィルソン（スコア）法を使用します。 ${\displaystyle n\leq 10}$

アークサイン法

^[25] $${\displaystyle \sin ^{2}\left(\arcsin \left({\sqrt {\hat {p}}}\right)\pm {\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right).}$$

ウィルソン（スコア）法

以下の式の表記は、前の式とは2つの点で異なります。^[26]

• まず、以下の式ではz _{x の}解釈が若干異なります。これは「 (1 − x )番目の分位数」の省略形ではなく、「標準正規分布のx番目の分位数」という通常の意味を持ちます。
• 第二に、この式では2つの境界を定義するのにプラスマイナスを使っていません。代わりに、下限値を求めるには を、上限値を求めるには を使います。例えば、95%の信頼度水準の場合、誤差はなので、下限値を求めるには を、上限値を求めるには を使います。 ${\displaystyle z=z_{\alpha /2}}$ ${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}}$ ${\displaystyle \alpha =0.05}$ ${\displaystyle z=z_{\alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$ ${\displaystyle z=z_{1-\alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {p}}+{\frac {z^{2}}{2n}}+z{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}\left(1-{\hat {p}}\right)}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}}$$^[27]

比較

いわゆる「正確な」（クロッパー・ピアソン）法は最も保守的な方法です。^[21] （「正確」とは完全に正確という意味ではなく、推定値が真の値よりも保守的にならないことを意味します。）

ワルド法は教科書ではよく推奨されていますが、最も偏りがあります。^{[説明が必要]}

関連ディストリビューション

二項式の和

X ~ B( n , p )とY ~ B( m , p )が同じ確率pを持つ独立した二項変数である場合、X + Yは再び二項変数となり、その分布はZ = X + Y ~ B( n + m , p )となる。^[28] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$$

二項分布確率変数X ~ B( n , p )は、 n 個のベルヌーイ分布確率変数の和とみなすことができます。したがって、2つの二項分布確率変数X ~ B( n , p )とY ~ B( m , p )の和は、 n + m 個のベルヌーイ分布確率変数の和に等しく、 Z = X + Y ~ B( n + m , p )となります。これは加法則を用いて直接証明することもできます。

ただし、XとYの確率pが同じでない場合、合計の分散はB( n + m、p )として分布する二項変数の分散よりも小さくなります。

ポアソン二項分布

二項分布はポアソン二項分布の特殊なケースであり、 n回の_独立した非同一のベルヌーイ試行 B( πi )の和の分布である。^[29]

2つの二項分布の比

この結果は1978年にカッツと共著者によって初めて導き出されました。^[30]

X ~ B( n , p ₁ )とY ~ B( m , p ₂ )を独立とする。T = ( X / n ) / ( Y / m )とする。

するとlog( T )は平均log( p1 / p2 ₎、分散((1/ _p1 ) −1)/ _n + ((1/ p2 ₎ −1)/ mで近似的に正規分布する。

条件付き二項式

X ~ B( n , p )かつY | X ~ B( X , q ) ( Xが与えられた 場合のYの条件付き分布)の場合、 Yは分布Y ~ B( n , pq )を持つ単純な二項確率変数です。

例えば、バスケットU _Xにn 個のボールを投げ、当たったボールを別のバスケットU _Yに投げる場合を考えてみましょう。U X に当たる確率を p とすると、 U Xに当たる_ボールの数はX ~ B( n , p )となります。U Y に当たる確率を q とすると_、 U Yに_{当たるボール}の数はY ~ B( X , q )となり、したがってY ~ B( n , pq )となります。

[証拠]

および なので、全確率の法則により、上の式は と表せるので、 に依存しない項をすべて因数分解して和から取り除くと、 が得られます。を上の式に代入すると、 が得られます。二項定理により、 上記の合計（括弧内）は に等しいことに注意してください。 これを に代入すると、最終的に となり、希望どおりになります。 ${\displaystyle X\sim \mathrm {B} (n,p)}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {B} (X,q)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&=\sum _{k=m}^{n}\Pr[Y=m\mid X=k]\Pr[X=k]\\[2pt]&=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}{\tbinom {k}{m}}={\tbinom {n}{m}}{\tbinom {n-m}{k-m}},}$ $${\displaystyle \Pr[Y=m]=\sum _{k=m}^{n}{\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}}$$ ${\displaystyle p^{k}=p^{m}p^{k-m}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}p^{m}q^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}\right)\\[2pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{k=m}^{n}{\binom {n-m}{k-m}}\left(p(1-q)\right)^{k-m}(1-p)^{n-k}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i=k-m}$ $${\displaystyle \Pr[Y=m]={\binom {n}{m}}(pq)^{m}\left(\sum _{i=0}^{n-m}{\binom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}\right)}$$ ${\displaystyle (p-pq+1-p)^{n-m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[Y=m]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}\\[4pt]&={\binom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {B} (n,pq)}$

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は二項分布の特殊なケースであり、n = 1である。記号的に、X ~ B(1, p )はX ~ Bernoulli( p )と同じ意味を持つ。逆に、任意の二項分布B( n , p )は、それぞれ同じ確率pを持つn 回の独立したベルヌーイ試行Bernoulli ( p )の和の分布である。^[31]

法線近似

n = 6、p = 0.5の二項確率質量関数と正規確率密度関数の近似

nが十分に大きい場合、分布の歪みはそれほど大きくありません。この場合、B( n , p )の妥当な近似値は正規分布によって与えられ、この基本近似値は適切な連続性補正を用いることで簡単に改善できます。基本近似値は一般にnが増加するにつれて（少なくとも20）、そしてpが0または1に近くないときにさらに良くなります。 ^[32] nが十分に大きいか、そしてpが0または1の極値から十分に離れている かを判断するために、様々な経験則が用いられます。 $${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}$$

• 一つの規則^[32]は、n > 5の場合、歪度の絶対値が0.3未満であれば正規近似が適切であるというものである。つまり、 $${\displaystyle {\frac {|1-2p|}{\sqrt {np(1-p)}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<0.3.}$$

これはベリー・エッシーンの定理を使って正確に表すことができます。

• より強い規則は、正規近似が、平均値の3標準偏差以内のすべてが可能な値の範囲内にある場合にのみ適切であると述べている。つまり、 $${\displaystyle \mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n).}$$

この 3 標準偏差ルールは次の条件と同等であり、上記の最初のルールも意味します。 $${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

[証拠]

この規則は、 を求めることと全く同じです。 項を移動すると 次のようになります。なので、平方根を適用してそれぞれの因数と で割ることで、目的の条件を得ることができます。これらの条件は自動的に を意味することに注意してください。 一方、再び平方根を適用して3で割ると、 2番目の不等式を最初の不等式から引くと次のようになります。したがって、目的の最初の規則は満たされます。 ${\displaystyle np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in (0,n)}$ $${\displaystyle np-3{\sqrt {np(1-p)}}>0\quad {\text{and}}\quad np+3{\sqrt {np(1-p)}}<n.}$$ $${\displaystyle np>3{\sqrt {np(1-p)}}\quad {\text{and}}\quad n(1-p)>3{\sqrt {np(1-p)}}.}$$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle np^{2}}$ ${\displaystyle n(1-p)^{2}}$ $${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$ ${\displaystyle n>9}$ $${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}>0\quad {\text{and}}\quad {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>0.}$$ $${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{3}}>{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}>-{\frac {\sqrt {n}}{3}};}$$ $${\displaystyle \left|{\sqrt {\frac {1-p}{p}}}-{\sqrt {\frac {p}{1-p}}}\,\right|<{\frac {\sqrt {n}}{3}}.}$$

• もう一つのよく使われる規則は、npとn (1 − p )の両方の値が^{[33] [34]}より大きいか5に等しい必要があるというものです。しかし、具体的な数値は情報源によって異なり、どの程度の近似値を求めるかによっても異なります。特に、5の代わりに9を用いる場合、この規則は前述の結果を意味します。

[証拠]

と の両方の値が9 より大きいと仮定します。 なので、 が簡単に得られます。 ここで、 と をそれぞれの因数で割るだけで、3 標準偏差ルールの別の形式が導き出されます。 ${\displaystyle np}$ ${\displaystyle n(1-p)}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle np\geq 9>9(1-p)\quad {\text{and}}\quad n(1-p)\geq 9>9p.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ $${\displaystyle n>9\left({\frac {1-p}{p}}\right)\quad {\text{and}}\quad n>9\left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

以下は連続性補正を適用する例です。二項分布の確率変数Xに対してPr( X ≤ 8)を計算したいとします。Yが正規近似で与えられる分布に従う場合、Pr( X ≤ 8)はPr( Y ≤ 8.5)で近似されます。0.5 を加えるのは連続性補正です。補正されていない正規近似では、結果の精度は大幅に低下します。

この近似はド・モアブル・ラプラスの定理として知られ、手計算（大きなnでの正確な計算は非常に面倒）を行う際に大きな時間節約となる。歴史的には、これは1738年にアブラハム・ド・モアブルの著書『偶然の理論』で導入された正規分布の最初の使用例である。今日では、B( n , p )はパラメータ pを持つn個の独立した同一分布のベルヌーイ変数の和であるため、中心極限定理の帰結と見なすことができる。この事実は、共通検定統計量において、標本割合とpの推定値であるx / nを用いてpの値を求める仮説検定（「割合z検定」）の基礎となる。^[35]

例えば、大規模な母集団からn人を無作為に抽出し、ある意見に同意するかどうかを尋ねたとします。同意する人の割合は、もちろんサンプルによって異なります。もしn人のグループを繰り返し、真に無作為に抽出した場合、その割合は、平均が母集団における真の同意 率pに等しく、標準偏差が $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

ポアソン近似

二項分布は、試行回数が無限大に近づくにつれてポアソン分布に収束しますが、積npは有限の極限に収束します。したがって、パラメータλ = npを持つポアソン分布は、 nが十分に大きくpが十分に小さい場合、二項分布のB( n , p )の近似として使用できます。経験則によると、この近似は、n ≥ 20かつp ≤ 0.05 ^[36]でnp ≤ 1、またはn > 50かつp < 0.1でnp < 5、^[37]、またはn ≥ 100かつnp ≤ 10の場合に適しています。^{[38] [39]}

ポアソン近似の精度については、Novak ^[40]第4章およびその中の参考文献を参照してください。

配布の制限

• ポアソン極限定理：積npを固定した状態でnが∞に近づき、 pが0に近づくと、二項分布( n , p )は期待値λ = npを持つポアソン分布に近づく。 ^[38]
• ド・モアブル・ラプラスの定理: p を固定したまま n が∞に近づくと、分布は期待値0と分散1 の正規分布に近づきます。この結果は、 X の分布が期待値 0 と分散1 で漸近的に正規分布であると大まかに述べられることがあります。この結果は、中心極限定理 の特殊なケースです。 $${\displaystyle {\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$$

ベータ分布

二項分布とベータ分布は、ベルヌーイ試行の繰り返しモデルを異なる視点から捉えたものです。二項分布は、成功確率がpであるn個の独立した事象が与えられた場合に、 k回の成功が生じる確率関数です。数学的には、 α = k + 1、β = n − k + 1のとき、ベータ分布と二項分布は^{[説明が必要]} n + 1の係数で結びついています。 $${\displaystyle \operatorname {Beta} (p;\alpha ;\beta )=(n+1)\mathrm {B} (k;n;p)}$$

ベータ分布は、ベイズ推論における二項分布の事前確率分布の族も提供する。^[41]一様事前分布が与えられた場合、k回の成功が観測されるn回の独立したイベントが与えられたときの成功確率pの事後分布はベータ分布である。^[42] $${\displaystyle P(p;\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}}.}$$

計算方法

乱数生成

周辺分布が二項分布である場合の乱数生成法は確立されている。^{[43] [44]二項分布から}ランダム変量サンプル を生成する方法の一つは、逆変換アルゴリズムを用いることである。そのためには、 0からnまでのすべての値kについてPr( X = k )となる確率を計算する必要がある。（これらの確率の合計は、サンプル空間全体を包含するために1に近い値になる必要がある。）次に、擬似乱数生成器を用いて0から1の間で均一なサンプルを生成することで、計算されたサンプルを最初のステップで計算された確率を用いて離散数に変換することができる。

歴史

この分布はヤコブ・ベルヌーイによって導かれた。彼はp = r /( r + s )の場合を考察した。ここでpは成功確率、rとsは正の整数である。ブレーズ・パスカルはそれ以前にp = 1/2の場合を考察し、現在パスカルの三角形として認識されている二項係数を表にまとめた。^[45]

参照

• 数学ポータル

• ロジスティック回帰
• 多項分布
• 負の二項分布
• ベータ二項分布
• 二項測度は多重フラクタル 測度の一例である。^[46]
• 統計力学
• 積み上げ補題、独立ブール変数をXOR演算したときの確率

注記

1. p = 0という単純なケースを除き、これは別途確認する必要があります。

参考文献

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さらに読む

• ハーシュ、ヴェルナー・Z. (1957). 「二項分布 ― 成功か失敗か、その可能性はどれほどか？」現代統計学入門. ニューヨーク: マクミラン. pp.  140– 153.
• ネーター、ジョン。ワッサーマン、ウィリアム。ジョージア州ホイットモア (1988)。応用統計学(第 3 版)。ボストン：アリン＆ベーコン。185 ～ 192ページ 。ISBN 0-205-10328-6。

外部リンク

• インタラクティブグラフィック: 単変量分布関係
• 二項分布式計算機
• 2 つの二項変数の差: XY または |XY|
• WolframAlphaで二項確率分布をクエリする
• 二項確率の信頼区間（p）：causaScientia.orgで利用可能なオンライン計算機

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