Complex exponential in terms of sine and cosine
オイラーの公式は 、 レオンハルト・オイラー にちなんで名付けられた、 複素解析 における 数式であり、 三角関数 と複素 指数関数 の基本的な関係を確立する 。オイラーの公式によれば、任意の 実数 x に対して、次の関係が成り立つ。 ここで、 e は 自然対数の底 、 i は 虚数単位 、 cos と sinはそれぞれ 三角関数の 余弦 と 正弦 である 。この複素指数関数は、 cis x （「余弦 + i 正弦」）と表記されることもある。この公式は xが 複素数 であっても有効であり、より一般的な場合には オイラーの公式 とも呼ばれる 。 [1] e i x = cos x + i sin x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
オイラーの公式は、数学、物理学、化学、工学のあらゆる分野で広く用いられています。物理学者 リチャード・ファインマンは 、この方程式を「私たちの宝石」であり「数学における最も注目すべき公式」と呼びました。 [2]
x = π のとき、オイラーの式は e iπ + 1 = 0 または e iπ = −1 と書き直すことができ 、これは オイラーの恒等式 として知られています。
歴史 1714年、イギリスの数学者 ロジャー・コーツは、 （ の誤った係数を修正した後）次のように 解釈できる幾何学的論証を提示しました。 [3] [4] [5]この式をべき乗すると、オイラーの公式が得られます。ただし、複素数対数は 2πi の倍数で異なる無限の数の値を持つ可能性があるため、対数に関する記述は複素数に対して普遍的に正しいわけではないことに注意して ください 。 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} i x = ln ( cos x + i sin x ) . {\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}
オイラーの公式を3次元空間における螺旋として視覚化した図。この螺旋は、 の様々な値に対する点をプロットすることで形成され 、公式の余弦成分と正弦成分の両方によって決定されます。一方の曲線は公式の実数部（ ）を表し、もう一方の曲線は（ を乗じるため）z軸を中心に90度回転して 虚数部（ ）を表します。 θ {\displaystyle \theta } cos θ {\displaystyle \cos \theta } i {\displaystyle i} sin θ {\displaystyle \sin \theta } 1740年頃、 レオンハルト・オイラーは 指数関数に注目し、指数関数と三角関数の級数展開を比較することで、彼の名にちなんで名付けられた方程式を導き出しました。 [6] [4]この公式は、1748年に彼の基礎的な著作 『無限関数の解析入門』 で初めて発表されました 。 [7]
ヨハン・ベルヌーイ は [8] 1 1 + x 2 = 1 2 ( 1 1 − i x + 1 1 + i x ) . {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}
上記の式 は、
自然対数と虚数（複素数）を関連付けることで、 複素対数 について何かを教えてくれます。しかし、ベルヌーイは積分を計算しませんでした。 ∫ d x 1 + a x = 1 a ln ( 1 + a x ) + C , {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}
ベルヌーイとオイラー（オイラーも上記の式を知っていた）との書簡は、ベルヌーイが 複素対数を 完全に理解していなかったことを示している。オイラーはまた、複素対数は無限に多くの値を取り得ると示唆していた。
複素数を 複素平面 上の点として捉える考え方は、約 50 年後に Caspar Wessel によって説明されました。
複素指数の定義 実数x に対する 指数関数 e x は 、いくつかの異なる同値な方法で定義できます（ 指数関数の特性化を参照）。これらの方法のいくつかは、 x の代わりに z を 代入し、複素数演算を用いるだけで、 複素数 zに対する e z の定義に直接拡張できます。特に、以下の3つの定義はいずれも同値です。より高度な観点から見ると、これらの定義はいずれも、 e x の 複素平面へ
の 唯一の 解析接続 を与えるものとして解釈できます。
微分方程式の定義 指数関数は、微分可能な 複素変数 の 唯一の 関数 であり、その導関数は関数と等しく 、 f ( z ) = e z {\displaystyle f(z)=e^{z}} d f d z = f {\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f} f ( 0 ) = 1. {\displaystyle f(0)=1.}
べき級数の定義 複素数 zの場合 e z = 1 + z 1 ! + z 2 2 ! + z 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ z n n ! . {\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}
比テスト を使用すると、この べき級数が 無限の 収束半径 を持ち、したがって すべての複素数 zに対して e z を定義することを示すことができます 。
限界の定義 複素数 zの場合 e z = lim n → ∞ ( 1 + z n ) n . {\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
ここで、 nは 正の整数 に制限されているため、指数 n の累乗が何を 意味するかについては疑問の余地はありません。
証明 式にはさまざまな証明が可能です。
微分化を利用する この証明は、三角関数と指数関数の商が定数関数の1であるため、それらは等しくなければならないことを示しています（指数関数は決してゼロにならないため、 [9] これは許可されます）。 [10]
実数θ に対する 関数 f ( θ ) を考えてみましょう。微分すると 積の法則 により次式が得られます。
したがって、 f ( θ ) は定数です。定義により、指数関数は θ = 0 のときに 1 となり、複素三角関数もそこで 1 となるため、 f (0) = 1/1 = 1 となり、 すべての実数 θに対して f ( θ ) = 1 となり、したがって f ( θ ) = cos θ + i sin θ e i θ = e − i θ ( cos θ + i sin θ ) {\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)} f ′ ( θ ) = e − i θ ( i cos θ − sin θ ) − i e − i θ ( cos θ + i sin θ ) = 0 {\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0} e i θ = cos θ + i sin θ . {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}
べき級数の使用 t = 2 の e it のテイラー級数の最初の数項のプロット 。 ここでは、冪級数展開 を用いたオイラーの公式の証明と、 i の冪に関する基本的な事実を示す ： [11] i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = − 1 , i 3 = − i , i 4 = 1 , i 5 = i , i 6 = − 1 , i 7 = − i ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}
上記のべき級数の定義を用いると、 x の実数値に対して
、最後のステップで2つの項が cos x と sin x の マクローリン級数 であることを認識したので、次の式が成り立つことがわかります。各級数は 絶対収束する ため、 項の並べ替えは正当化されます 。 e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + ( i x ) 4 4 ! + ( i x ) 5 5 ! + ( i x ) 6 6 ! + ( i x ) 7 7 ! + ( i x ) 8 8 ! + ⋯ = 1 + i x − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! − x 6 6 ! − i x 7 7 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯ ) + i ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ ) = cos x + i sin x , {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}
極座標の使用 もう 1 つの証明 [12] は、すべての複素数は 極座標 で表すことができるという事実と、 も同様に表すことができるという仮定に基づいています 。これは、解が見つかれば当てはまります。したがって、 x に依存する いくつかの r と θ について、 r と θ については仮定は行われず 、証明の過程で決定されます。指数関数のどの定義からも、 e ix の導関数はie ix であることが示されます 。したがって、両辺を微分すると次のようになります。 r (cos θ + i sin θ )を e ix に 代入し 、この式の実部と虚部を等しくすると、次のようになります 。 e i x {\displaystyle e^{ix}} e i x = r ( cos θ + i sin θ ) . {\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).} i e i x = ( cos θ + i sin θ ) d r d x + r ( − sin θ + i cos θ ) d θ d x . {\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.} 博士 / 診断 = 0 かつ dθ / 診断 = 1 。したがって、 r は定数であり、 θ 定数 C に対してx + C である 。 θ = 0 に対して e i 0 = 1 ある ことがわかっ 定数を与え 、式を証明する。 e i θ = r e i C ( cos θ + i sin θ ) ; {\displaystyle e^{i\theta }=re^{iC}(\cos \theta +i\sin \theta );} 1 = r e i C ( cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) ) = r e i C ( 1 + i 0 ) = r e i C , {\displaystyle 1=re^{iC}(\cos(0)+i\sin(0))=re^{iC}(1+i0)=re^{iC},} r e i C = 1 {\displaystyle re^{iC}=1} e i θ = cos θ + i sin θ . {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}
アプリケーション
複素数論への応用 オイラーの公式 e iφ = cos φ + i sin φ を複素平面で示します。
この式は、関数 e iφ が単位複素数 である、つまり、 φ が 実数を通る ときに 複素平面 上で 単位円 を描く、と解釈できます。ここで φ は、 原点と単位円上の点を結ぶ直線が 正の実軸となす 角度 であり、反時計回りに ラジアン で測ります。
元の証明は、 指数関数 e z （ z は複素数）と、 実数 xに対する sin x および cos x のテイラー 展開に基づいています （上記参照）。実際、同じ証明は、オイラーの公式がすべての複素数 x に対しても成り立つことを示し て い ます 。
複素平面 上の点は、 直交座標 で書かれた複素数で表すことができます。オイラーの公式は、直交座標と 極座標 間の変換手段を提供します 。極座標形式は、複素数の乗算や累乗において計算を簡素化します。任意の複素数 z = x + iy とその複素共役 z = x − iy は、
次 のように表すことができます。 z = x + i y = | z | ( cos φ + i sin φ ) = r e i φ , z ¯ = x − i y = | z | ( cos φ − i sin φ ) = r e − i φ , {\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}
x = Re z は実部、 y = Im z は虚数部、 r = | z | = x 2 + y 2 {\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} はz の 大きさ であり 、 φ = arg z = atan2 ( y , x ) 。 φ は z の 偏角、つまり x 軸とベクトル z の間の角度を反時計回りに ラジアン で測ったもので 、 2 π を加算する まで 定義されます。多くの文献では φ = tan −1 と書かれています。 y / × φ = atan2( y , x ) の代わりに 、最初の式は x ≤ 0 。これは x と y が 両方とも 0 ではない任意の実数に対して、ベクトル ( x , y ) と (− x , − y ) π 異なります tan φ = の値は同一であるためです y / × 。
さて、この導出された式を用いると、オイラーの公式を用いて複素数の 対数 を定義できます。これを行うには、対数の定義（指数の逆演算子として）も用います。 そして、これらは どちらも任意の複素数 a と bに対して成り立ちます。したがって、任意の z ≠ 0 に対して 、と書くことができます 。両辺の対数を取ると、 が成り立ち 、実際、これは 複素対数 の定義として用いることができます。したがって、複素数の対数は 多値関数 です。なぜなら、 φ は多値だからです。 a = e ln a , {\displaystyle a=e^{\ln a},} e a e b = e a + b , {\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},} z = | z | e i φ = e ln | z | e i φ = e ln | z | + i φ {\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }} ln z = ln | z | + i φ , {\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}
最後に、すべての整数k に当てはまることがわかる もう 1 つの指数法則は 、オイラーの公式とともに、いくつかの 三角関数の恒等式 と、 ド・モアブルの公式 を意味します。 ( e a ) k = e a k , {\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}
三角法との関係 正弦、余弦、指数関数の関係 オイラーの公式、三角関数の定義、そして指数関数の標準的な恒等式は、ほとんどの三角関数の恒等式を容易に導くのに十分です。これは 解析学 と 三角法の間に強力なつながりをもたらし、正弦関数と余弦関数を指数関数の 重み付き和 として解釈することを可能にします 。 cos x = Re ( e i x ) = e i x + e − i x 2 , sin x = Im ( e i x ) = e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}
上記の 2 つの方程式は、オイラーの公式を加算または減算し、 コサインまたはサインを解くことで導き出すことができます。 e i x = cos x + i sin x , e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) = cos x − i sin x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}
これらの式は、複素引数x に対する三角関数の定義としても使えます 。例えば、 x = iy とすると、次のようになります。 cos i y = e − y + e y 2 = cosh y , sin i y = e − y − e y 2 i = e y − e − y 2 i = i sinh y . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}
加えて cosh i x = e i x + e − i x 2 = cos x , sinh i x = e i x − e − i x 2 = i sin x . {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}}
複素指数関数は、正弦成分や余弦成分よりも数学的に扱いやすいため、三角法を簡略化することができます。一つの手法としては、正弦と余弦を指数関数（ 複素正弦曲線 と呼ばれることもあります）を用いて等価な式に変換するというものがあります。 [13] 操作後も、簡略化された結果は実数値のままです。例えば、
cos x cos y = e i x + e − i x 2 ⋅ e i y + e − i y 2 = 1 2 ⋅ e i ( x + y ) + e i ( x − y ) + e i ( − x + y ) + e i ( − x − y ) 2 = 1 2 ( e i ( x + y ) + e − i ( x + y ) 2 + e i ( x − y ) + e − i ( x − y ) 2 ) = 1 2 ( cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}
もう1つの手法は、正弦と余弦を複素数の実部 で 表現し、複素数に対して操作を実行することです。例えば、 cos n x = Re ( e i n x ) = Re ( e i ( n − 1 ) x ⋅ e i x ) = Re ( e i ( n − 1 ) x ⋅ ( e i x + e − i x ⏟ 2 cos x − e − i x ) ) = Re ( e i ( n − 1 ) x ⋅ 2 cos x − e i ( n − 2 ) x ) = cos [ ( n − 1 ) x ] ⋅ [ 2 cos x ] − cos [ ( n − 2 ) x ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}
この式は、 整数値の n と任意の x (ラジアン単位)
に対する cos nxの再帰生成に使用されます。
上記の式でcos x を パラメータ として考えると、 第 1 種 チェビシェフ多項式の再帰式が得られます。
位相的解釈 位相幾何学 の言語で 言えば、オイラーの公式は、虚指数関数が 実数直線から 単位円への 位相 群の （ 射影的 ） 射で あると述べている。実際、これは の 被覆空間 として現れる 。同様に、 オイラーの恒等式 によれば、 この写像の 核は であり、ここで である 。これらの観察結果を組み合わせると、以下の 可換図式 にまとめられる。 t ↦ e i t {\displaystyle t\mapsto e^{it}} R {\displaystyle \mathbb {R} } S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} R {\displaystyle \mathbb {R} } S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} τ Z {\displaystyle \tau \mathbb {Z} } τ = 2 π {\displaystyle \tau =2\pi }
オイラーの公式と恒等式を図式的に組み合わせたもの
その他のアプリケーション 微分方程式 では 、最終的な解が正弦と余弦を含む実関数であっても、関数 e ix は解を簡略化するためによく用いられます。これは、指数関数が微分演算 の 固有関数で あるためです 。
電気工学 、 信号処理 、および類似の分野では 、時間とともに周期的に変化する信号は、しばしば正弦関数の組み合わせとして記述されます（ フーリエ解析を参照）。これらは、オイラーの公式を用いて、虚数指数を持つ 指数 関数の和としてより簡便に表現されます 。また、回路の 位相解析で は、コンデンサやインダクタのインピーダンスを表すためにオイラーの公式が用いられることがあります。
四元数 の 四次元空間 には、 虚数単位 球面 が 存在する 。この球面上の任意の点 r と 実数 xに対して、オイラーの公式が成り立ち、その元は四元数における ベルソル と呼ばれる 。すべてのベルソルの集合は、 四元数空間において 三元球面を形成する。 exp x r = cos x + r sin x , {\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}
その他の特殊なケース 単位に評価される特殊 なケースは 、複素単位円の周りの回転を示しています。
× e ix 0 + 2πn 1 π / 2 + 2πn 私 π + 2 πn −1 3π / 2 + 2πn − 私
x = τ （ただし τ = 2 π 、1 回転 ） の特殊なケースでは、 e iτ = 1 + 0 となる。これもまた、5つの基本定数と3つの基本的な算術演算を結び付けるとされているが、オイラーの恒等式とは異なり、 一般の場合の 加数を並べ替える必要はない。簡略化された形式 e iτ = 1 の解釈は 、1回転の回転が 恒等関数 であるということである。 [14] e i τ = cos τ + i sin τ = 1 + 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}}
参照
参考文献 ^ モスコウィッツ、マーティン・A. (2002). 『一変数複素解析講座』ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング社 p. 7. ISBN 981-02-4780-X 。 ^ ファインマン, リチャード・P. (1977). 『ファインマン物理学講義』第1巻. アディソン・ウェスレー. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6 。 ^ Cotes は次のように書いています。 「この 円弧はCE の半径に沿って おり、 CX の sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & E X + X C − 1 {\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}} CE mensura ducta in .」 （したがって、半径 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} CE で描かれる円の象限の任意の弧が、 正弦 CXと象限 XE の補角の正弦を 持つ場合、半径 CE を係数として、弧は & CE 間の比率の測定値になります 。）つまり、中心 E （(x,y) 平面の原点）と半径 CE を持つ円を考えます。頂点が E で、一方の側が x 軸の正方向、もう一方の側が半径 CE である角度 θを考えます。円上の点 C からx 軸への 垂線は 「正弦」 CX です 。 円の中心E と垂線の底の 点 X を結ぶ線は XE で、これは「象限の補角の正弦」または「余弦」です。 と CE の比はしたがって です 。 コーツの用語では、量の「尺度」はその自然対数であり、「係数」は角度の尺度を円弧の長さに変換する変換係数です (ここで、係数は円の半径 ( CE ) です)。 コーツによると、係数と比の尺度 (対数) の積に を掛けると、 θ によって囲まれる円弧の長さに等しくなり 、ラジアンで測った任意の角度に対して CE • θ となります。 したがって、 です 。 この式には間違った係数があります。 の係数は 式の左側ではなく右側にある必要があります。によるスケーリングの変更が 行われた場合、両辺を CE で割り、両辺を累乗すると、結果は となり 、これはオイラーの公式です。 以下を参照してください。 E X + X C − 1 {\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}} − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} E X + X C − 1 {\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}} cos θ + − 1 sin θ {\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ } − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} − 1 C E ln ( cos θ + − 1 sin θ ) = ( C E ) θ {\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta } − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} cos θ + − 1 sin θ = e − 1 θ {\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }} ロジャー・コーツ（1714）「ロゴメトリア」『 ロンドン王立協会哲学論文集』 29 （ 338）:5-45。特に32ページを参照。オンラインで入手可能：Hathi Trust ロジャー・コーツ、ロバート・スミス編、 Harmonia mensurarum … (ケンブリッジ、イングランド: 1722)、章:「ロゴメトリア」、p. 28. https://nrich.maths.org/1384 ^ ジョン・スティルウェル (2002). 数学とその歴史. シュプリンガー. ISBN 9781441960528 。 ^ サンディファー、C.エドワード（2007年）、 オイラーのグレイテスト・ヒッツ 、 アメリカ数学協会 ISBN 978-0-88385-563-8 ^ レオンハルト・オイラー(1748) 第 8 章 「無限の解析 入門」 の 214 ページ、第 138 節 (イアン・ブルースによる翻訳、17 世紀の数学からの pdf リンク)。 ^ コンウェイ＆ガイ、254～255ページ ^ ベルヌーイ、ヨハン (1702)。 「Solution d'un problème respectant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul」[積分計算の問題の解決策と、この計算に関連するいくつかのメモ]。 パリ王立科学アカデミーの思い出 。 1702 : 289–297 . ^ アポストル、トム (1974). 数学的解析 . ピアソン. p. 20. ISBN 978-0201002881 。 定理1.42 ^ user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138)、オイラーの公式の証明方法: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?、URL (バージョン: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612 ^ リカード, ヘンリー・J. (2016年3月23日). 『微分方程式の現代的入門』エルゼビア・サイエンス. p. 428. ISBN 9780123859136 。 ^ ストラング、ギルバート (1991). 微積分学. ウェルズリー・ケンブリッジ. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0 。 ページの2番目の校正。 ^ 「複素正弦波」. ccrma.stanford.edu . 2024年 9月10日 閲覧 。 ^ Hartl, Michael (2019年3月14日) [2010年3月14日]. 「タウ宣言」. 2019年6月28日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2013年 9月14日 閲覧。
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外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704373ea51b842453c839ec11f3f54c1022cf586)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos xe^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a98ea8aae60a3214efaeb8eca17a8b54fd0cfe)
