Tensor field in Riemannian geometry
微分幾何学という 数学 の分野 では 、 リーマン曲率テンソル あるいは リーマン・クリストッフェルテンソル （ ベルンハルト・リーマン とエルヴィン・ ブルーノ・クリストッフェルに由来）は、 リーマン多様体の曲率を 表現する最も一般的な方法である 。これは、 リーマン多様体 の各点に テンソルを割り当てる（すなわち、 テンソル体 である ）。これは、第2 共変微分が可換でないことを示すリーマン計量の局所不変量である。リーマン多様体は 平坦で ある場合、すなわち ユークリッド空間 に局所的に 等長で ある場合に限り、曲率がゼロとなる 。 、擬リーマン多様体 、あるいは アフィン接続 を備えた任意の多様体に対して定義することもできる 。
これは、一般相対性理論 、すなわち現代の 重力 理論における中心的な数学的ツールです。 時空 の曲率は 、原理的には 測地線偏差方程式によって観測可能です。曲率テンソルは、 ヤコビ方程式 によって明確にされた意味で、 測地線 に沿って移動する剛体が受ける 潮汐力 を表します 。
意味 を リーマン 多様体または 擬リーマン多様 体とし 、 を 上の ベクトル場 全体の成す空間とする。 リーマン曲率テンソルを 次の式 によって写像として 定義する 。 ここでは レヴィ・チヴィタ接続 である。 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} X ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)} M {\displaystyle M} X ( M ) × X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)} ∇ {\displaystyle \nabla }
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z} または同等
R ( X , Y ) = [ ∇ X , ∇ Y ] − ∇ [ X , Y ] {\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}} ここで、 は ベクトル場のリー括弧 であり、 は微分作用素の交換子です。右辺は実際には 与えられた点におけるベクトル場の値のみに依存することがわかります。これは、ベクトル場の共変微分がその点の近傍における場の値にも依存することから注目に値します。したがって、 は -テンソル場です 。 が固定されている場合 、この線形変換は 曲率変換 または 準同型 とも呼ばれます 。曲率テンソルは、逆の符号で定義される場合もあります。 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} [ ∇ X , ∇ Y ] {\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]} X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} R {\displaystyle R} ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} X , Y {\displaystyle X,Y} Z ↦ R ( X , Y ) Z {\displaystyle Z\mapsto R(X,Y)Z}
曲率テンソルは 共変微分の非可換性を 測定するもので、ユークリッド空間（この文脈では 平坦 空間 と呼ばれる）との等長変換の存在に対する 積分可能性の障害となる。
レヴィ・チヴィタ接続はねじれがないので、その曲率は2次共変微分 で表すこともできる [3]
∇ X , Y 2 Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ ∇ X Y Z {\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z} これは点における の値のみに依存する。曲率は次のように表される。 X , Y {\displaystyle X,Y}
R ( X , Y ) = ∇ X , Y 2 − ∇ Y , X 2 {\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}} このように、曲率テンソルは2番目の共変微分の非可換性を表す。 抽象指数記法 では、 リーマン曲率テンソルは 任意の共ベクトルのそれ自身との共変微分の 交換子 でもある： [4] [5] R d c a b Z c = ∇ a ∇ b Z d − ∇ b ∇ a Z d . {\displaystyle R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.} A ν {\displaystyle A_{\nu }}
A ν ; ρ σ − A ν ; σ ρ = A β R β ν ρ σ . {\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }.} この式はしばしばリッチ恒等式 と呼ばれる 。 [6]これは リッチ と レヴィ＝チヴィタ がリーマン曲率テンソルの表現を得るために 用いた古典的な方法である。 [7] この恒等式は、次のように任意のテンソルの2つの共変微分に対する交換子を得るために一般化することができる。 [8]
∇ δ ∇ γ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − ∇ γ ∇ δ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s = R α 1 ρ δ γ T ρ α 2 ⋯ α r β 1 ⋯ β s + … + R α r ρ δ γ T α 1 ⋯ α r − 1 ρ β 1 ⋯ β s − R σ β 1 δ γ T α 1 ⋯ α r σ β 2 ⋯ β s − … − R σ β s δ γ T α 1 ⋯ α r β 1 ⋯ β s − 1 σ {\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}} この式は テンソル密度 にもそのまま適用できる。なぜならレヴィ・チヴィタ（ 一般化されていない ）接続の場合、次の式が得られるからである。 [6]
∇ μ ( g ) ≡ ( g ) ; μ = 0 , {\displaystyle \nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,} どこ
g = | det ( g μ ν ) | . {\displaystyle g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.} 曲率テンソルの純粋共変バージョンを次のように定義すると便利な場合がある。
R σ μ ν ρ = g ρ ζ R ζ σ μ ν . {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.}
幾何学的な意味 球面曲面多様体におけるリーマン曲率テンソルの幾何学的意味を示す図。この伝達が始点で2つの異なる矢印を定義できるという事実から、リーマン曲率テンソルが生まれます。直交記号は、伝達された矢印（または曲線上の接線矢印）間の 内積 （計量テンソルによって提供される）がゼロであることを示しています。2つの矢印間の角度は、空間が平坦な場合はゼロですが、空間が曲がっている場合はゼロより大きくなります。空間の曲率が大きいほど、角度は大きくなります。
曲面空間の影響は、テニスコートと地球を比較することで確認できます。テニスコートの右下隅からスタートし、ラケットを北に向けて構えます。コートの輪郭に沿って歩きながら、一歩ごとにラケットの向きが前回の位置と平行になるようにします。一周すると、ラケットは最初のスタート位置と平行になります。これは、テニスコートの表面が平らになるように作られているためです。一方、地球の表面は曲面です。地球の表面上で一周することができます。赤道からスタートし、地球の表面に沿ってラケットを北に向けます。ここでも、ラケットは常に前回の位置と平行に保たれます。この経路では、まず北極まで歩き、次に横向き（つまり向きを変えずに）に歩き、赤道まで下り、最後にスタート位置まで後進します。これで、ラケットは西を向いていることになります。これは、旅を始めた時はラケットが北を向いていて、一度も体を向けていなかったにもかかわらずです。このプロセスは、ベクトルを経路に沿って 平行移動させる ことに似ており 、その差異によって、「直線」に見える線が局所的にのみ「直線」であることがわかります。ループが完成するたびに、テニスラケットは距離と曲率に応じた量だけ、初期位置からさらに偏向します。平面空間と同様に平行移動が作用する曲面上の経路を特定することが可能になります。これらは空間の 測地線 であり、例えば球面の大円の任意の部分などが挙げられます。
数学における曲がった空間の概念は、会話における用法とは異なります。例えば、上記の過程を円筒上で行った場合、円筒の周囲の曲率は円筒に沿った平坦度と打ち消されるため、円筒全体が曲がっていないことがわかります。これは ガウス曲率 とガウスの エグレギウム定理 の帰結です。この身近な例としては、柔らかいピザのスライスが挙げられます。ピザは幅方向に曲がっていても、長さ方向には剛体のままです。
リーマン曲率テンソルは、固有曲率の尺度を捉える方法です。これを成分で表すと（ベクトルの成分を書き出すように）、偏微分の和と積の多次元配列で構成されます（これらの偏微分の一部は、曲面上を直線で歩く人に課せられる曲率を捉えていると考えることができます）。
ユークリッド空間内のベクトルがループの周りを 平行移動する と、元の位置に戻った後、再び最初の方向を指す。しかし、この性質は一般的な場合には成り立たない。リーマン曲率テンソルは、一般の リーマン多様体におけるこの性質の破綻を直接的に測定する。この破綻は、多様体の非 ホロノミー性 として知られている 。
をリーマン多様体 の曲線とする 。 を に沿った平行移動写像 で表す。平行移動写像は 共変微分と次 の 関係にある。 x t {\displaystyle x_{t}} M {\displaystyle M} τ x t : T x 0 M → T x t M {\displaystyle \tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M} x t {\displaystyle x_{t}}
∇ x ˙ 0 Y = lim h → 0 1 h ( τ x h − 1 ( Y x h ) − Y x 0 ) = d d t ( τ x t − 1 ( Y x t ) ) | t = 0 {\displaystyle \nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)-Y_{x_{0}}\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}^{-1}(Y_{x_{t}})\right)\right|_{t=0}} 曲線に沿って定義された 各 ベクトル場に対して。 Y {\displaystyle Y}
とが可換なベクトル場のペアである とする 。これらの場はそれぞれ、 の近傍に1パラメータ微分同相写像群を生成する 。 と を、それぞれ、 と の流れに沿った、時間 における平行移動と表記する 。 辺 が 、 、 の四辺形を囲むベクトルの平行移動は、 次 式 で 与え られる
。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} x 0 {\displaystyle x_{0}} τ t X {\displaystyle \tau _{tX}} τ t Y {\displaystyle \tau _{tY}} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} t {\displaystyle t} Z ∈ T x 0 M {\displaystyle Z\in T_{x_{0}}M} t Y {\displaystyle tY} s X {\displaystyle sX} − t Y {\displaystyle -tY} − s X {\displaystyle -sX}
τ s X − 1 τ t Y − 1 τ s X τ t Y Z . {\displaystyle \tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.} この差と の差は、平行移動が 接空間 における元の位置に 戻らないことの度合いを測るものである 。ループを送信によって縮小すると、 この偏差の微小な記述が得られる。 Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z} T x 0 M {\displaystyle T_{x_{0}}M} s , t → 0 {\displaystyle s,t\to 0}
d d s d d t τ s X − 1 τ t Y − 1 τ s X τ t Y Z | s = t = 0 = ( ∇ X ∇ Y − ∇ Y ∇ X − ∇ [ X , Y ] ) Z = R ( X , Y ) Z {\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z} ここで、 はリーマン曲率テンソルです。 R {\displaystyle R}
座標式 テンソル指数表記 に変換すると 、リーマン曲率テンソルは次のように表される。
R ρ σ μ ν = d x ρ ( R ( ∂ μ , ∂ ν ) ∂ σ ) {\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)} ここで 、座標ベクトル場です。上記の式は クリストッフェル記号 を用いて次のように表すことができます。 ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}
R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ρ ν σ − ∂ ν Γ ρ μ σ + Γ ρ μ λ Γ λ ν σ − Γ ρ ν λ Γ λ μ σ {\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }} (リーマン幾何学の公式一覧 も参照 )。
対称性と同一性 リーマン曲率テンソルには、次の対称性および恒等性があります。
歪んだ対称性 R ( u , v ) = − R ( v , u ) {\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)} R a b c d = − R a b d c ⇔ R a b ( c d ) = 0 {\displaystyle R_{abcd}=-R_{abdc}\Leftrightarrow R_{ab(cd)}=0} 歪んだ対称性 ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ R ( u , v ) z , w ⟩ {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle } R a b c d = − R b a c d ⇔ R ( a b ) c d = 0 {\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\Leftrightarrow R_{(ab)cd}=0} 最初の（代数的）ビアンキ恒等式 R ( u , v ) w + R ( v , w ) u + R ( w , u ) v = 0 {\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0} R a b c d + R a c d b + R a d b c = 0 ⇔ R a [ b c d ] = 0 {\displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0\Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0} 交換対称性 ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R ( w , z ) u , v ⟩ {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle } R a b c d = R c d a b {\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}} 2番目の（微分）ビアンキ恒等式 ( ∇ u R ) ( v , w ) + ( ∇ v R ) ( w , u ) + ( ∇ w R ) ( u , v ) = 0 {\displaystyle \left(\nabla _{u}R\right)(v,w)+\left(\nabla _{v}R\right)(w,u)+\left(\nabla _{w}R\right)(u,v)=0} R a b c d ; e + R a b d e ; c + R a b e c ; d = 0 ⇔ R a b [ c d ; e ] = 0 {\displaystyle R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0\Leftrightarrow R_{ab[cd;e]}=0}
ここで、括弧は 計量テンソル によって誘導される接空間上の内積を表し 、添え字上の括弧と丸括弧はそれぞれ 反対称化 演算子と 対称化演算子を表す。 ねじれが ゼロでない場合には 、ビアンキ恒等式は ねじれテンソル を含む。 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle }
最初の（代数的）ビアンキ恒等式は リッチ によって発見されましたが、微分ビアンキ恒等式に似ているため、最初のビアンキ恒等式または代数的ビアンキ恒等式と呼ばれることが よく あり ます 。 [ 引用 が 必要 ]
最初の3つの恒等式は、曲率テンソルの対称性の完全なリストを形成する。すなわち、上記の恒等式を満たす任意のテンソルが与えられれば、ある点においてそのような曲率テンソルを持つリーマン多様体を見つけることができる。簡単な計算により、そのようなテンソルは 独立成分を持つことがわかる。 [9]これらのことから、交換対称性が導かれる。代数的対称性は、 Rが 分割2+2に対応する ヤング対称化体 の像に属する と言うことと同値である。 n 2 ( n 2 − 1 ) / 12 {\displaystyle n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12}
リーマン多様体では共変微分が存在し 、 ビアンキ恒等式 （第二ビアンキ恒等式または微分ビアンキ恒等式と呼ばれることが多い）は表の最後の恒等式の形をとります。 ∇ u R {\displaystyle \nabla _{u}R}
リッチ曲率 リッチ 曲率 テンソルは、 リーマンテンソルの 1 番目と 3 番目の指数の 収縮です。
R a b ⏟ Ricci ≡ R c a c b = g c d R c a d b ⏟ Riemann {\displaystyle \underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}}
特殊なケース
表面 2次元 曲面 の場合、ビアンキ恒等式はリーマンテンソルが独立成分を1つしか持たないことを意味する。つまり、 リッチスカラーは リーマンテンソルを完全に決定する。要求される対称性を満たすリーマンテンソルの有効な表現は1つだけである。
R a b c d = f ( R ) ( g a c g d b − g a d g c b ) {\displaystyle R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)} そして、メトリックを2回縮約すると、明示的な形式が見つかります。
R a b c d = K ( g a c g d b − g a d g c b ) , {\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),} ここで 、 は 計量テンソル 、 は ガウス曲率 と呼ばれる関数であり 、 、 、 は 1または2の値を取る。リーマンテンソルは関数的に独立な成分を1つだけ持つ。ガウス曲率は 曲面の 断面曲率 と一致する。また、 2次元多様体の スカラー曲率 のちょうど半分である。一方、曲面の リッチ曲率テンソルは単純に次のように与えられる。 g a b {\displaystyle g_{ab}} K = R / 2 {\displaystyle K=R/2} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d}
R a b = K g a b . {\displaystyle R_{ab}=Kg_{ab}.}
リーマン多様体は、 その 断面曲率 が定数に等しいとき、 空間形式 である。空間形式のリーマンテンソルは次のように与えられる。 K {\displaystyle K}
R a b c d = K ( g a c g d b − g a d g c b ) . {\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).} 逆に、次元 2 を除いて、リーマン多様体の曲率が何らかの関数 に対してこの形式を持つ場合 、ビアンキ恒等式から が 定数であることが示され、したがって多様体は (局所的に) 空間形式になります。 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K}
参照
引用
参考文献
基本概念 多様体の種類 主な結果 一般化 アプリケーション
![{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a30a969d5b599e29c8ef7fc0344b823845e5865)
![{\displaystyle R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6213ec08b244f551f3abb12fd05c9352ea337d08)
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle [\nabla _{X},\nabla _{Y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14a9375ccac5a4b17f4da5a35e2fab48e427930)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla_{\delta}\nabla_{\gamma}T^{\alpha_{1}\cdots\alpha_{r}}{}_{\beta_{1}\cdots\beta_{s}}-\nabla_{\gamma}\nabla_{\delta}T^{\alpha_{1}\cdots\alpha_{r}}{}_{\beta_{1}\cdots\beta_{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha_{1}}{}_{\rho\delta\gamma}T^{\rho\alpha_{2}\cdots\alpha_{r}}{}_{\beta_{1}\cdots\beta_{s}}+\ldots+R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711ad8f7e44966802efd57caabfa504dcdab7c79)
![{\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7391c086a496cf8c270adf768cd477a32fb05b)
![{\displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0\Leftrightarrow R_{a[bcd]}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ac017653b8ec51bd7a2767e455368213ee1066)
![{\displaystyle R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0\Leftrightarrow R_{ab[cd;e]}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f138d94ffe57be9f1236b47519fec826f94268ab)
