三進法

Base-3 numeral system

三進 法（基数3または三進法[ ^1]とも呼ばれる）は、 3を基数とします。ビットと同様に、三進法の数字はトリット（trit ）です。1トリットはlog ₂  3（約1.58496）ビットの情報に相当します

三進法は、3 つの数字がすべて非負の数、具体的には0、1、2 であるシステムを指すことが最も多いですが、この形容詞は、比較論理や三進法コンピュータで使用される数字-1、 0 、 +1で構成される平衡三進法にもその名前を貸しています。

他の基地との比較

三進法における整数表現は、二進法ほどすぐに不快なほど長くなりません。例えば、10進法の 365 ₍₁₀₎または6進法の 1 405 _{(6)は、二進法では}1 0110 1101 ₍₂₎ (9ビット)、三進法では111 112 ₍₃₎ (6桁) に対応します。しかし、これらは10進法などの基数による表現に比べると、はるかに簡潔ではありません。三進法を9進法（基数9）と27進法（基数27）を用いて簡潔に表現する方法については、以下を参照してください。

三進法の掛け算表

×	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1,012	1,100
12	12	101	120	202	221	1,010	1,022	1,111	1,200
20	20	110	200	220	1,010	1,100	1,120	1,210	2,000
21	21	112	210	1001	1,022	1,120	1,211	2,002	2,100
22	22	121	220	1,012	1,111	1,210	2,002	2,101	2,200
100	100	200	1,000	1,100	1,200	2,000	2,100	2,200	10,000

標準的な三進法における0から3までの^3-1の数

三進法	0	1	2	10	11	12	20	21	22
二進法	0	1	10	11	100	101	110	111	1000
セナリー	0	1	2	3	4	5	10	11	12
小数	0	1	2	3	4	5	6	7	8
三進法	100	101	102	110	111	112	120	121	122
二進法	10:01	10:10	10:11	11:00	1101	1110	1111	1 0000	1 0001
セナリー	13	14	15	20	21	22	23	24	25
小数	9	10	11	12	13	14	15	16	17
三進法	200	201	202	210	211	212	220	221	222
二進法	1 0010	1 0011	1 0100	1 0101	1 0110	1 0111	1 1000	1 1001	1 1010
セナリー	30	31	32	33	34	35	40	41	42
小数	18	19	20	21	22	23	24	25	26

三進法の3

三進法	1	10	100	1000	10000
二進法	1	11	10:01	1 1011	101 0001
セナリー	1	3	13	43	213
小数	1	3	9	27	81
パワー	3 0	3 1	3 2	3 3	3 4
三進法	10万	100万	1000万	1億​	1 000 000 000
二進法	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
セナリー	1043	3213	14043​	50 213	231 043
小数	243	729	2187	6561	19683​
パワー	3 5	3 6	3 7	3 8	3 9

有理数に関しては、三進法が表現するのに便利です1/36進法と同じです（10進法では数字が無限に繰り返される複雑な表現になりますが）。しかし、大きな欠点は、3進法では有限の表現ができないことです1/2⁠（また、⁠1/4 、1/8⁠など）、なぜなら2は基数の素因数ではないからです。基数が2の場合、10分の1（10進数 ⁠）は1/10、6進法1/14）は正確に表現できません（例えば小数が必要です）。また、6分の1（6進法）も表現できません1/10⁠、小数⁠1/6⁠）

三元法の分数

分数	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠	⁠1/6⁠	⁠1/7⁠	⁠1/8⁠	⁠1/9⁠	⁠1/10⁠	⁠1/11⁠	⁠1/12⁠	⁠1/13⁠
三進法	0.1	0.1	0.02	0.0121	0.01	0.010212	0.01	0.01	0.0022	0.00211	0.002​	0.002
二進法	0.1	0.01	0.01	0.0011	0.0 01	0.001	0.001	0.000111	0.0 0011	0. 0001011101	0.00 01	0. 000100111011
セナリー	0.3	0.2	0.13	0.1	0.1	0.05	0.043	0.04	0.03	0.0313452421	0.03	0.024340531215
小数	0.5	0.3	0.25	0.2	0.1 6	0.142857	0.125	0.1	0.1	0.09	0.08 3	0.076923

2進数と対照的に3進数の数字の合計

nビットすべてが 1である 2 進数の値は2 ⁿ  − 1です。

同様に、基数bで桁数がdで、そのすべてが最大桁値b  − 1である数N ( b , d )の場合、次のように書くことができます。

N ( b , d ) = ( b  − 1) b ^{d −1} + ( b  − 1) b ^{d −2} + … + ( b  − 1) b ¹ + ( b  − 1) b ⁰、

N ( b , d ) = ( b  − 1)( b ^{d −1} + b ^{d −2} + … + b ¹ + 1)、

N ( b , d ) = ( b  − 1 ) M です。

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹であり、

− M = − b ^{d −1}  −  b ^{d −2}  − ... − b ¹  − 1なので、

bM  −  M = b ^d  − 1、または

M = ⁠b ^d  − 1/b  − 1⁠ .

それから

N ( b , d ) = ( b  − 1) M、

N ( b , d ) = ⁠( b  − 1)( b ^d  − 1)/b  − 1⁠ ,

N ( b , d ) = b ^d  − 1

3桁の3進数の場合、N (3, 3) = 3 ³  − 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 です。

コンパクトな3進表現：基数9と27

三項と九項の比較

三項	九項
00	0
01	1
2	2
10	3
11	4
12	5
20	6
21	7
22	8

9進数（基数 9、各桁は3進数の2桁）または72進数（基数27、各桁は3進数の3桁）は、2進数の代わりに8進数や16進数を使用するのと同様に、 3進数を簡潔に表現するために使用できます

実用例

1～40kgの未知の整数の重さを、1、3、9、27kgの重さとつり合わせるために3進数を使用する（4つの3進数では、実際には3× ⁴＝81通りの組み合わせ（-40～+40）が得られますが、正の値のみが役立ちます）

特定のアナログロジックでは、回路の状態が3値で表現されることがよくあります。これはCMOS回路で最もよく見られ、トーテムポール出力を持つトランジスタ-トランジスタロジックでも見られます。出力は、ロー（接地）、ハイ、またはオープン（ハイインピーダンス）のいずれかになります。この構成では、回路の出力は実際にはどの電圧基準にも接続されていません。信号が通常特定の基準に接地されている、または特定の電圧レベルにある場合、その状態はオープンで独自の基準として機能するため、高インピーダンスと呼ばれます。そのため、実際の電圧レベルは予測できない場合があります。

アメリカンプロ野球の守備統計において、一般的に使われる珍しい「三進法」は、イニングの小数点以下を示すものです（通常は投手のみ）。攻撃側は3アウトが許されるため、1アウトは守備イニングの3分の1とみなされ、0.1と表記されます。例えば、ある選手が4回、5回、6回を投げ、さらに7回に2アウトを取った場合、その試合の投球回数欄は3.2となり、これは3に相当します。+2 ⁄ 3（一部の記録保管者によって代替として使用されることがあります）。この用法では、数値の小数部分のみが3進法で表記されます。 ^{[2] [3]}

三進数は、シェルピンスキーの三角形やカントール集合のような自己相似構造を簡便に表現するために使用できます。さらに、カントール集合の構成方法により、三進表現はカントール集合や関連する点集合を定義するのに有用であることが分かっています。カントール集合は、0から1までの点から成り、三進表現に1という数字が含まれない点から構成されます。^{[4] [5]}三進法における任意の終端展開は、最後の非ゼロ項の前の項まで同じで、その後に最初の式の最後の非ゼロ項より1小さい項が続き、最後に2が無限に続く式と等価です。例えば、0.1020は0.1012222...と等価です。これは、最初の式の「2」まで展開は同じですが、2番目の展開で2が減算され、2番目の式の末尾の0が2に置き換えられているためです。

三進法は、基数の経済性が最も低い整数基数であり、二進法、四進法がそれに続きます。これは、数学定数 eに近いためです。この効率性から、一部のコンピュータシステムで使用されています。また、電話のメニューシステムなど、任意の分岐に単純なパスでアクセスできる 3つの選択肢を持つツリー構造を表現するためにも使用されます。

符号付き数字表現の一種である2進符号付数字システムと呼ばれる冗長な2進表現は、繰り上がりをなくすことができるため、低レベルのソフトウェアやハードウェアで整数の加算を高速に行うために使用されることがあります。^[6]

二進化三進法

2進数コンピュータを用いた3進数コンピュータのシミュレーション、あるいは3進数コンピュータと2進数コンピュータ間のインターフェースには、2進化3進数（BCT）数値の使用が考えられます。BCT数値は、各3進数を2ビットまたは3ビットでエンコードします。 ^{[7] [8] BCTエンコードは、2}進化10進数（BCD）エンコードに類似しています。3進数の値0、1、2をそれぞれ00、01、10にエンコードすると、2進化3進数と2進数間の双方向の変換は対数時間で実行できます。^{[9] BCT演算をサポートする}C言語コードのライブラリが利用可能です。^[10]

トライト

Setunのような一部の3進コンピュータでは、トライトを6つのトライト^[11]、つまり約9.5ビット（事実上の2進バイトよりも多くの情報を保持）と定義していました。^[12]

参照

• 量子
• 3進法コンピュータSetun
• 3進論理
• 太玄経

参考文献

1. ウラジミール・キンドラ、ニコライ・ロガレフ、セルゲイ・オシポフ、オルガ・ズリフコ、ウラジミール・ナウモフ (2022). 「三元電力サイクルの研究開発」. Inventions . 7 (3): 56. doi : 10.3390/inventions7030056 . ISSN  2411-5134
2. Ashley MacLennan (2019年1月9日). 「野球の統計に関する完全な初心者向けガイド：投球統計とその意味」Bless You Boys . 2020年7月30日閲覧。
3. “Stats - Team - Pitching”. MLB (メジャーリーグベースボール) . 2020年7月30日閲覧。
4. Soltanifar, Mohsen (2006). 「カントールフラクタルの列について」Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal 7 ( 1). 論文9.
5. ソルタニファー、モフセン (2006). 「ミドルαカントール集合族の異なる記述」.アメリカ学部生研究ジャーナル. 5 (2): 9– 12.
6. Phatak, DS; Koren, I. (1994). 「ハイブリッド符号付き数字システム：有限桁上げ伝播連鎖を持つ冗長数値表現のための統一フレームワーク」(PDF) . IEEE Transactions on Computers . 43 (8): 880– 891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . doi :10.1109/12.295850. 
7. Frieder, Gideon; Luk, Clement (1975年2月). 「二進法による平衡演算と通常の三進法演算のアルゴリズム」. IEEE Transactions on Computers . C-24 (2): 212– 215. doi :10.1109/TC.1975.224188. S2CID  38704739.
8. Parhami, Behrooz; McKeown, Michael (2013-11-03). 「バイナリエンコードされたバランス三進数による算術」. 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers . パシフィックグローブ, カリフォルニア州, 米国. pp.  1130– 1133. doi :10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID  9603084.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
9. ジョーンズ、ダグラス W. (2016年6月). 「2進コード化3進法とその逆」
10. Jones, Douglas W. (2015年12月29日). 「Cプログラマのための三項データ型」
11. インパグリアッツォ、ジョン、プロイダコフ、エドゥアルド (2006). ソビエトとロシアのコンピューティングの展望. 第1回IFIP WG 9.7会議、SoRuCom 2006. ペトロザヴォーツク、ロシア: Springer . ISBN 978-3-64222816-2。
12. Brousentsov, NP; Maslov, SP; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, EA「モスクワ国立大学における3値コンピュータの開発」 。 2010年1月20日閲覧

参考文献

• ヘイズ、ブライアン（2001年11～12月）。「サードベース」（PDF）。アメリカン・サイエンティスト誌、89（6）。シグマ・サイ、科学研究協会：490～ 494。doi ：10.1511/2001.40.3268。2019年10月30日時点のオリジナルからアーカイブ（PDF）。2020年4月12日閲覧

外部リンク

• 三進法ウェイバックマシンで2011年5月14日にアーカイブ
• トーマス・ファウラーの3進計算機
• 三進法の基数変換 - 分数部分を含む（Maths Is Funより）
• ギデオン・フリーダーの代替三進法
• 三進法の視覚化

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