真理値表

Mathematical table used in logic

真理値表は論理学で使用される数学的な表であり、具体的にはブール代数、ブール関数、命題計算に関連しており、論理式の関数値をその関数引数ごとに、つまり論理変数が取る値の各組み合わせごとに設定したものです。[ 1 ]^{特に、真理値表は命題式がすべての正当な入力値に対して真であるかどうか、つまり}論理的に有効かどうかを示すために使用できます。

真理値表には、入力変数（例：AとB）ごとに1列ずつ、そして表で表される論理演算の結果（例：A XOR B）を示す最後の1列が含まれます。真理値表の各行には、入力変数の可能な組み合わせ（例：A=真、B=偽）と、それらの値に対する演算結果が含まれます。

命題の真理値表は、その真理関数をグラフで表現したものです。真理関数と真理値表には同じ情報が符号化されていますが、数学的な目的には真理関数の方がより有用です。

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、1918年に完成し1921年に出版された『論理哲学論考』の中で真理表を発明し普及させたと一般的に考えられています。 ^[2]同様の体系は、エミール・レオン・ポストによって1921年に独立して提案されました。^[3]

歴史

アーヴィング・アネリスの研究によると、C・S・ピアースが真理値表行列を考案した最初の論理学者（1883年）であるようです。^[4]

アネリスの論文の要約から：^[4]

1997年、ジョン・ショスキーは、バートランド・ラッセルの1912年の講義「論理的原子論の哲学」のタイプ打ちされた記録のページの裏に、真理値表行列を発見した。否定を表す行列はラッセルのもので、その横にはルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの手書きによる物質的含意を表す行列が記されている。1893年にパースが執筆したと特定される未発表の原稿には、ジョン・ショスキーが発見した物質的含意を表す行列と同等の真理値表行列が含まれていることが示された。また、1885年に『アメリカ数学ジャーナル』に掲載されたパースの著書「論理の代数について：記法の哲学への貢献」の執筆に関連して1883年から84年にかけて執筆されたと特定される未発表の原稿には、条件文の間接真理値表の例が含まれている。

アプリケーション

真理値表は、他の多くの論理的等価性を証明するために使用できます。例えば、次の真理値表を考えてみましょう。

${\displaystyle (p\rightarrow q)\equiv (\neg p\vee q)}$

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle \neg p\vee q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$
T	T	F	T	T
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

これは、 がと論理的に等しいという事実を示しています。 ${\displaystyle p\rightarrow q}$ ${\displaystyle \neg p\vee q}$

論理ゲートの真理値表

以下は、 2 つのブール変数 P と Q の6 つの可能な 2 入力論理ゲート関数のそれぞれについて定義を示す真理値表です。

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle P\land Q}$	${\displaystyle P\vee Q}$	${\displaystyle P\uparrow Q}$	${\displaystyle P\downarrow Q}$	${\displaystyle P\nleftrightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$
T	T	T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	F	T	F
F	T	F	T	T	F	T	F
F	F	F	F	T	T	F	T
名前 （機能）		AND （接続詞）	OR （論理和）	NAND （非結合）	NOR （非論理和）	XOR （非等価性）	XNOR （等価性）
どこ  T  真実 を意味し、  F  偽を意味する

二項演算子の凝縮真理値表

二項演算子では、簡略化された真理値表も用いられます。行見出しと列見出しでオペランドを指定し、表のセルで結果を指定します。例えば、ブール論理では、次のような簡略化された真理値表表記が用いられます。

∧ T F T T F F F F

∨ T F T T T F T F

この表記法は、演算が可換な場合に特に有用ですが、行を第一オペランド、列を第二オペランドと指定することもできます。この簡略化された表記法は、論理の多値拡張を議論する際に特に有用です。これは、行数の組み合わせ爆発を大幅に削減できるためです。また、表内の値の分布の特徴的な「形状」をすぐに認識できるため、読者がルールをより迅速に理解するのに役立ちます。

デジタル論理における真理値表

真理値表は、デジタルロジック回路におけるハードウェアルックアップテーブル（LUT）の機能を指定するためにも使用されます。n入力LUTの場合、真理値表には⁠ ⁠値（または上記の表形式の行）が含まれ、LUTのブール関数を完全に指定します。各ブール値を2進数のビットとして表すことで、真理値表の値を電子設計自動化（EDA）ソフトウェアで整数値として効率的にエンコードできます。たとえば、32ビットの整数で最大5入力のLUTの真理値表をエンコードできます。 ${\displaystyle 2^{n}}$

真理値表の整数表現を使用する場合、LUTの出力値は、LUTの入力値に基づいてビットインデックスkを計算することで得られます。この場合、LUTの出力値は整数のk番目のビットになります。例えば、n個のブール入力値の配列が与えられたLUTの出力値を評価する場合、真理値表の出力値のビットインデックスは次のように計算できます。i番目の入力が真であれば 、そうでなければ とします。すると、真理値表のバイナリ表現のk番目のビットがLUTの出力値となります。ここで ${\displaystyle V_{i}=1}$ ${\displaystyle V_{i}=0}$ $${\displaystyle k=V_{0}\times 2^{0}+V_{1}\times 2^{1}+V_{2}\times 2^{2}+\dots +V_{n-1}\times 2^{n-1}.}$$

真理値表はブール関数を符号化するシンプルで分かりやすい方法ですが、入力数の増加に伴いデータサイズが指数関数的に増大するため、入力数の多い関数には適していません。よりメモリ効率の高い表現としては、テキスト式や二分決定グラフなどがあります。

デジタルエレクトロニクスにおける真理値表の応用

デジタルエレクトロニクスやコンピュータサイエンス（応用論理工学および数学の分野）では、真理値表を用いることで、論理ゲートやコードを使わずに、基本的なブール演算を入力と出力の単純な相関関係に簡略化することができます。例えば、2進加算は真理値表で表すことができます。

2進加算

あ	B	C	R
T	T	T	F
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

ここで、A は最初のオペランド、B は 2 番目のオペランド、C は繰り上がり数字、R は結果です。

この真理表は左から右に読みます。

• 値のペア (A、B) は値のペア (C、R) と等しくなります。
• または、この例では、A と B を足すと結果 R になり、繰り上がりは C になります。

この表は、この操作を実装するために必要な論理操作を説明するものではなく、単に入力から出力値への機能を指定するものです。

結果に関して言えば、この例は算術的には 2 を法とする 2 進加算とみなされ、論理的には排他的論理和 (排他的論理和) 2 進論理演算と同等とみなされます。

この場合、1と0といった非常に単純な入力と出力にのみ使用できます。ただし、入力として取り得る値の種類の数が増加すると、真理値表のサイズは増大します。

例えば、加算演算では、2つのオペランドAとBが必要です。それぞれのオペランドは、0または1のいずれかの値を持ちます。これらの2つの値の組み合わせは2  ×  2、つまり4通りあります。したがって、CとRの出力は4通りになります。基数を3にすると、サイズは3  ×  3、つまり9通りになります。

上記の最初の「加算」の例は、半加算器と呼ばれます。全加算器は、前の演算からのキャリーが次の加算器の入力として提供されるものです。したがって、全加算器のロジックを記述するには、8行の真理値表が必要になります。

ABC* | CR0 0 0 | 0 00 1 0 | 0 11 0 0 | 0 11 1 0 | 1 00 0 1 | 0 10 1 1 | 1 01 0 1 | 1 01 1 1 | 1 1前回と同じですが、C* = 前の加算器からのキャリー

真理値表の書き方

表の左側にあるガイド列[5]は命題変数を表しており、著者^によって記入方法が異なりますが、論理的な意味はありません。^[6]

交互法

ランダー大学の教授であるリー・アーチーは、出版されている真理値表でよく採用されているこの手順を推奨しています。

1. 変数の数（ステートメントの数に対応）をアルファベット順に書き出します。
2. 必要な行数は 2 ⁿです。ここで n は変数の数です。(たとえば、変数が 3 つの場合、2 ³ = 8)。
3. 右側の列から始めて、行がなくなるまでTとFを交互に書きます。
4. 次に、左の次の列に移動し、行がなくなるまでTとFのペアを交互に入力します。
5. 次に次の左側の列に進み、TとFの数を2倍にして完成させます。^[5]

この方法により、スティーブン・コール・クリーネによって作成されたP → ( Q ∨ R → ( R → ¬ P ))の次の表のような真理値表が得られる。^[7]

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle P\rightarrow (Q\vee R\rightarrow (R\rightarrow \neg P))}$
T	T	T	F
T	T	F	T
T	F	T	F
T	F	F	T
F	T	T	T
F	T	F	T
F	F	T	T
F	F	F	T

組み合わせ法

一方、コリン・ハウソンは、次のことを行うのが「実践的な良いルール」だと考えています。

すべて T で始まる場合、すべての方法 (3 つ) で 2 つの T を 1 つの F と組み合わせ、すべての方法 (3 つ) で 1 つの T を 2 つの F と組み合わせ、最後にすべて F で終わる。複合語が n 個の異なる文文字から構築されている場合、その真理値表は 2 ⁿ行になります。これは、最初の文字に T または F を割り当てる方法が 2 つあり、これらのそれぞれに対して 2 番目の文字に T または F を割り当てる方法が 2 つあり、これらのそれぞれに対して 3 番目の文字に T または F を割り当てる方法が 2 つあり、以下同様にして 2.2.2 となるため、n 回繰り返され、2 ⁿに等しい。^[6]

この結果、ハウソンが作成した表をモデルにした「( A → C ) ∧ ( B → C )と( A∨B ) → Cは真理関数的に 等価であることを示す」次のような真理表が得られる。^[6]

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle C}$	${\displaystyle (A\rightarrow C)\land (B\rightarrow C)}$	${\displaystyle (A\vee B)\rightarrow C}$
T	T	T	T	T
T	T	F	F	F
T	F	T	T	T
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T
F	T	F	F	F
T	F	F	F	F
F	F	F	T	T

真理値表のサイズ

入力変数がn個ある場合、その真理値の組み合わせは2 ⁿ通りあります。与えられた関数は、それぞれの組み合わせに対して真または偽を生成する可能性があるため、n個の変数を持つ異なる関数の数は2 ^{n の二}重指数です。

n	2 n	2 2 n
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65,536
5	32	4,294,967,296	≈ 4.3 × 109
6	64	18,446,744,073,709,551,616	≈ 1.8 × 1019
7	128	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456	≈ 3.4 × 1038
8	256	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936	≈ 1.2 × 1077

3 つ以上の変数を持つ関数の真理値表はほとんど提供されません。

関数テーブル

真理値表の出力を、単なる真偽値ではなく、いくつかの変数値の関数として表現すると便利な場合があります。これらは、より一般的な「真理値表」と区別するために「関数表」と呼ばれることがあります。^[8]例えば、ある値GをXORゲートで使用して、別の値Xを条件付きで反転することができます。言い換えれば、Gが偽の場合、出力はX、Gが真の場合は出力は です。この場合の関数表は次のようになります。 ${\textstyle \neg X}$

${\displaystyle G}$	${\displaystyle G\nleftrightarrow X}$
F	${\displaystyle X}$
T	${\displaystyle \neg X}$

同様に、選択入力と、データ入力A、B、C、D、および出力Z (画像に表示) を持つ4 対 1マルチプレクサの機能テーブルは次のようになります。 ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S_{1}}$

4対1マルチプレクサ

${\displaystyle S_{1}}$	${\displaystyle S_{0}}$	Z
F	F	あ
F	T	B
T	F	C
T	T	D

センテンシャル演算子の真理値表

概要表

以下は、2つのブール変数pとqの16個の可能な真理関数の定義を与える拡張真理表である：^{[注 1]}

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$		${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle \top }$
T	T		F	F	F	F	F	F	F	F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F		F	F	F	F	T	T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	T
F	T		F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T
F	F		F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
コム
准教授
調整			${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle \top }$
ネグ			${\displaystyle \top }$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle \bot }$
デュアル			${\displaystyle \top }$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle \bot }$
蓋					F				F		T	T	T、F	T			F
取り除く							F		F		T	T			T、F	T	F

どこ

T = 真。

F = 偽。

Com行は、演算子opが可換であるかどうかを示します（P op Q = Q op P）。

Assoc行は、演算子opが結合的であるかどうかを示します( P op Q ) op R = P op ( Q op R )。

Adj行には、 P op Q = Q op2 Pとなる演算子op2が表示されます。

Neg行には、P op Q = ¬( P op2 Q )となる演算子op2が表示されます。

Dual行は、Tと F、AND と OR を入れ替えることによって得られるデュアル演算を示します。

L id行には、 I op Q = Qとなるような値Iがある場合、演算子の左側のアイデンティティが表示されます。

R id行は、 P op I = Pとなるような値Iを持つ演算子の右アイデンティティを示します。^[注2]

ウィトゲンシュタイン表

ウィトゲンシュタインは『論理哲学論考』の命題5.101において、^[9] 上記の表を以下のように列挙している。

	真理値		オペレーター		操作名	トラクタトゥス[注 3]
0	(FFFF)(p, q)	⊥	間違い	Opq	矛盾	p かつ p ではない; q かつ q ではない
1	(FFFT)(p, q)	または	p ↓ q	XPQ	論理NOR	pでもqでもない
2	(FFTF)(p, q)	↚	p ↚ q	mpq	逆非含意	qであってpではない
3	(FFTT)(p, q)	¬p、~p	¬p	Np、Fpq	否定	pではない
4	(FTFF)(p, q)	↛	p ↛ q	Lpq	物質的非関与	pであってqではない
5	(FTFT)(p, q)	¬q、~q	¬q	Nq、Gpq	否定	ないq
6	(FTTF)(p, q)	排他的論理和	p ⊕ q	ジェイピー	排他的論理和	pまたはq、両方ではない
7	(FTTT)(p, q)	ナンド	p ↑ q	DPQ	論理NAND	pとqの両方ではない
8	(TFFF)(p, q)	そして	p∧q​​	Kpq	論理積	pとq
9	(TFFT)(p, q)	XNOR	p iff q	エプク	論理双条件	pならばq、qならばp​
10	(TFTF)(p, q)	q	q	HPQ	投影関数	q
11	(TFTT)(p, q)	p → q	pならばq​	CPQ	物質的な影響	pならばq​
12	(TTFF)(p, q)	p	p	イプク	投影関数	p
13	(TTFT)(p, q)	p ← q	qならばp​	BPQ	逆の含意	qならばp​
14	(TTTF)(p, q)	または	p ∨ q	アプク	論理和	pまたはq
15	(TTTT)(p, q)	⊤	真実	Vpq	トートロジー	pならばp、qならばq

各行で表される真理値表は、真理値_行に与えられたシーケンスを表に追加することによって得られる^[注3]

p	T	T	F	F
q	T	F	T	F

例えば、表

p	T	T	F	F
q	T	F	T	F
11	T	F	T	T

は物質的含意の真理値表を表します。論理演算子はベン図を用いて視覚化することもできます。

ヌル演算

ヌル演算は 2 つあります。

• 常に真実
• 決して真ではない、一項偽

論理的に真

この演算子にはオペランドがないので入力値もないので、出力値は常に真になります。

p	T
T	T
F	T

論理的に偽

出力値は決して真ではありません。つまり、この演算子にはオペランドがないので入力値もないので、常に偽です。

p	F
T	F
F	F

単項演算

単項演算は 2 つあります。

• 一項恒等式
• 単項否定

論理的同一性

論理的同一性は、 1 つの論理値p に対する演算であり、出力値は p のままです。

論理単位演算子の真理値表は次のとおりです。

p	p
T	T
F	F

論理否定

論理否定は、1 つの論理値(通常は命題の値)に対する演算であり、オペランドが偽の場合はtrueの値を生成し、オペランドが真の場合はfalseの値を生成します。

NOT p ( ¬p、Np、Fpq、または~pとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	¬p
T	F
F	T

二項演算

2 つのバイナリ変数には 16 個の真理関数があり、各演算子には独自の名前があります。

論理積（AND）

論理積は、2 つの論理値(通常は 2 つの命題の値)に対する演算であり、両方のオペランドが true の場合にtrueの値を生成します。

p AND q ( p ∧ q、Kpq、p & q、p qとも表記)の真理値表は次のとおりです。 ${\displaystyle \cdot }$

p	q	p∧q​​
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

通常の言語で言えば、pとqの両方が真であれば、連言p∧qは真です。それ以外の場合、pとqに論理値を割り当てると、連言p∧qは偽になり ます 。

また、pの場合、 p ∧ qはqであり、それ以外の場合はp ∧ qはpであるとも言えます。

論理和（OR）

論理和は、2 つの論理値(通常は 2 つの命題の値)に対する演算であり、そのオペランドの少なくとも 1 つが true の場合にtrueの値を生成します。

p OR q ( p ∨ q、Apq、p || q、p + qとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

英語で言うと、pならばp ∨ qはpであり、それ以外の場合にはp ∨ qはqです。

論理的含意

論理含意と物質条件はどちらも、2 つの論理値(通常は 2 つの命題の値)に対する演算に関連付けられており、最初のオペランドが true で 2 番目のオペランドが false の場合はfalseの値を生成し、それ以外の場合はtrueの値を生成します。

論理含意p は q を意味します( p ⇒ q、またはまれにCpqと表記) に関連付けられた真理値表は次のとおりです。

p	q	p ⇒ q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

物質的条件文「if p then q」 （ p → qと表記）に関連付けられた真理値表は次のとおりです。

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

p ⇒ qとp → qは¬p ∨ qと同等です。

論理的等価性

論理等価性(双条件論理和または排他的論理和とも呼ばれる) は、2 つの論理値(通常は 2 つの命題の値)に対する演算であり、両方のオペランドが false の場合、または両方のオペランドが true の場合にtrueの値を生成します。

p XNOR q ( p ↔ q、Epq、p = q、p ≡ qとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

したがって、p と q の真理値が同じ場合(両方とも真または両方とも偽)、p EQ q は真となり、異なる真理値の場合、偽となります。

排他的論理和

排他的論理和は、2 つの論理値(通常は 2 つの命題の値)に対する演算であり、そのオペランドの両方ではなく 1 つが真である場合にtrueの値を生成します。

p XOR q ( Jpq、またはp ⊕ qとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

2 つの命題の場合、XOR は(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) と表記することもできます。

論理NAND

論理積（NAND）は、2つの論理値（通常は2つの命題の値）に対する演算であり、両方のオペランドが真の場合に偽の値を生成します。言い換えれば、少なくとも一方のオペランドが偽の場合に真の値を生成します。

p NAND q ( p ↑ q、Dpq、またはp | qとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	q	p ↑ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	T

論理演算を複合演算、つまり他の演算から構築または合成された演算として表現することは、しばしば有用です。このような合成は、基本または「プリミティブ」とみなされる演算と、複合または「微分」とみなされる演算に応じて、数多く可能です。

論理 NAND の場合は、NOT と AND の複合として明確に表現できます。

連言の否定: ¬( p  ∧  q )、および否定の選言: (¬ p ) ∨ (¬ q ) は次のように表すことができます。

p	q	p∧q ​ ​	¬( p  ∧  q )	¬ p	¬ q	(¬ p ) ∨ (¬ q )
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	T	T	T	T

論理NOR

論理和NORは、2つの論理値（通常は2つの命題の値）に対する演算であり、両方のオペランドが偽の場合に真を返します。言い換えれば、少なくとも一方のオペランドが真の場合に偽を返します。↓は、発明者であるチャールズ・サンダース・パースにちなんでパース矢印とも呼ばれ、唯一十分な演算子です。です。

p NOR q ( p ↓ q、またはXpqとも表記)の真理値表は次のとおりです。

p	q	p ↓ q
T	T	F
T	F	F
F	T	F
F	F	T

選言の否定 ¬( p  ∨  q ) と否定の連言 (¬ p ) ∧ (¬ q ) は次のように表すことができます。

p	q	p  ∨  q	¬( p  ∨  q )	¬ p	¬ q	(¬ p ) ∧ (¬ q )
T	T	T	F	F	F	F
T	F	T	F	F	T	F
F	T	T	F	T	F	F
F	F	F	T	T	T	T

NANDとNORの表形式の導出を、関数引数pとqに論理値を割り当てるたびに検査すると、¬( p  ∧  q )と(¬ p )∨(¬ q )、および¬( p  ∨  q )と(¬ p )∧(¬q )の関数値のパターンは同一である。したがって、各ペアの最初の式と2番目の式は論理的に等価であり、それらの論理値のみに関係するすべての文脈において互いに置き換えることができる。

この同値性はド・モルガンの法則の一つである。の 1 つです。

参照

• 哲学ポータル
• 心理学ポータル

• ブールドメイン
• ブール値関数
• エスプレッソヒューリスティックロジック最小化器
• 励起テーブル
• 状態遷移表
• 一階論理
• 機能の完全性
• カルノー図
• 論理ゲート
• 論理接続詞
• 論理グラフ
• 数学表
• 分析表法
• 命題計算
• 真理関数
• 決定表

注記

1. 表記法に関する情報は、(Bocheński 1959)、(Enderton 2001)、(Quine 1982)に記載されています。
2. ここで、左右の恒等式が等しい演算子（XOR、AND、XNOR、OR）も可換モノイドです。なぜなら、これらは結合法則も満たすからです。この区別は単純な論理の議論では無関係かもしれませんが、より高度な数学では非常に重要になることがあります。例えば、圏論では、エンリッチド・カテゴリはモノイド上にエンリッチドされた基本カテゴリとして記述され、これらの演算子はいずれもエンリッチドに使用できます。
3. ウィトゲンシュタインは異なる写像を用いた。『論理哲学論考』の命題5.101では、表に真理値_{行を追加する必要がある。}

   p	T	F	T	F
   q	T	T	F	F

   これは、ここに示した表のTractatus_行が、Tractatus と 同じTruthvalues_行を指していない理由を説明しています。

参考文献

1. エンダートン 2001
2. フォン・ライト、ゲオルク・ヘンリック(1955). 「ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン伝記」.哲学評論. 64 (4): 527–545 (p. 532, 注9). doi :10.2307/2182631. JSTOR  2182631.
3. ポスト, エミール(1921年7月). 「基本命題の一般理論への入門」. American Journal of Mathematics . 43 (3): 163– 185. doi :10.2307/2370324. hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q . JSTOR  2370324.
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引用文献

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• エンダートン, H. (2001). 『論理学への数学的入門』（第2版）. ハーコート・アカデミック・プレス. ISBN 0-12-238452-0。
• クワイン, WV (1982). 『論理学の方法』（第4版）. ハーバード大学出版局. ISBN 978-0-674-57175-4。

外部リンク

• 「真理値表」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 真理値表、トートロジー、論理的同値性
• 真理値表をブール式に変換する

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