三角形のタイル

三角形のタイル

タイプ	通常のタイリング
頂点構成	3.3.3.3.3.3 (または 3 ⁶ )
顔の構成	V6.6.6 (または V6 ³ )
シュレーフリ記号	{3,6} {3 ^[3] }
ウィトフ記号	6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3
コクセター図	＝
対称	p6m , [6,3], (*632)
回転対称性	p6 , [6,3] ⁺ , (632) p3 , [3 ^[3] ] ⁺ , (333)
デュアル	六角形のタイル
プロパティ	頂点推移、辺推移、面推移

幾何学において、三角形のタイル張り（triangular tilering）または三角形のモザイク張り（triangular tessellation）は、ユークリッド平面における3つの正則なタイル張りの一つであり、構成図形が平行四辺形ではない唯一のタイル張りである。正三角形の内角は60度であるため、ある点に6つの三角形を配置すると、360度が占有される。三角形のタイル張りは、シュレーフリ記号{3,6}で表される $。$

イギリスの数学者ジョン・コンウェイは、ギリシャ文字のデルタ（Δ）の三角形にちなんで、これをデルティル（deltille）と名付けました。この三角形のタイリングは、中心点と三角形を追加してヘクスティルの面を置き換えるキシェクスティル（kishextille）と呼ばれることもあります。

これは平面上の3つの規則的なタイル張りのうちの1つです。他の2つは正方形のタイル張りと六角形のタイル張りです。

均一な色彩

三角形のタイルには、9つの異なる均一な彩色があります。（頂点の周りの6つの三角形のインデックスで色を命名すると：111111、111112、111212、111213、111222、112122、121212、121213、121314）そのうち3つは、色の繰り返しによって他の色から導き出されます。111212と11112は121213から1と3を組み合わせることで得られ、111213は121314から減算されます。^[1]

アルキメデス彩色には、111112（*印）のクラスが1つ存在します。これは1-均一ではなく、三角形の列が交互に並び、3つおきに彩色されています。ここに示した例は2-均一ですが、列を水平方向に任意にシフトすることで作成できるアルキメデス彩色は無数に存在します。

111111	121212	111222	112122	111112(*)

p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213

p31m (3*3)			3ページ目 (333)

A2格子と円充填

三角形のタイルの頂点配置はA2格子と呼ばれます。[ 2 ]_これは^単純なハニカムの2次元的なケースです。

A^*
₂格子（Aとも呼ばれる）³
₂_{) は、3 つの A 2}格子すべての結合によって構築でき、A ₂格子と同等です。

+

= の双対

＝

三角形タイルの頂点は、最も密な円の詰め込みの中心となる。^[3]詰め込みにおいて、すべての円は6つの他の円と接している（接線数）。詰め込み密度は $π$ ⁄ √ 12、つまり90.69%である。三角形タイルのボロノイセルは六角形であるため、ボロノイ分割、すなわち六角形タイルは円の詰め込みに直接対応している。

幾何学的なバリエーション

三角形のタイリングは、通常のタイリング（各頂点の周りに6つの三角形）と同等の{3,6}位相で作成できます。面が同一（面推移性）かつ頂点推移性を持つ場合、5つのバリエーションがあります。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としています。^[4]

不等辺三角形の
p2対称性
不等辺三角形
pmg対称性
二等辺三角形の
CMM対称性
直角三角形の
CMM対称性
正三角形
p6m 対称性

関連する多面体とタイリング

平面タイリングは多面体と関連しています。頂点に三角形を少なく配置すると隙間ができるので、ピラミッドに折り畳むことができます。これはプラトン立体に拡張でき、頂点に5つ、4つ、3つの三角形を配置すると、それぞれ二十面体、八面体、四面体となります。

このタイリングは、シュレーフリ記号{3,n}を持つ正多面体の列の一部として位相的に関連付けられており、双曲平面まで続きます。

*通常のタイリングのn 32対称変異: {3, n } v t e
球状				ユークリッド。	コンパクトハイパー。		パラコ。	非コンパクト双曲型

3.3	3 ³	3 ⁴	3 ⁵	36	3 ⁷	3 ⁸	3 ^∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ⁶ⁱ	3 ³ⁱ

これは、面構成Vn.6.6を持つカタラン立体のシーケンスの一部として位相的に関連付けられており、双曲面にも続きます。

バージョン3.6.6	バージョン4.6.6	バージョン5.6.6	バージョン6.6.6	バージョン7.6.6

六角形と三角形のタイルを使ったウィトフ構造

均一な多面体と同様に、正六角形のタイリング (または二重三角形のタイリング) を基にして作成できる均一なタイリングが8 つあります。

元の面を赤、元の頂点を黄色、元の辺を青で塗ったタイルを描くと、8つの形状があり、そのうち7つは位相的に異なります。（切頂三角形のタイルは、六角形のタイルと位相的に同一です。）

均一な六角形/三角形のタイル
基礎領域	対称性：[6,3]、(*632)							[6,3] ⁺ , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


設定。	6 ³	3.12.12	（6.3）²	6.6.6	3 ⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

三角形の対称タイル v t e
ウィトフ	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 3 3 \|	\| 3 3 3
コクセター
画像頂点図	（3.3）3	3.6.3.6	（3.3）3	3.6.3.6	（3.3）3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

参照

参考文献

^ タイルとパターン、p.102-107
^ 「ラティスA2」。
^ 『 空間の秩序：デザインソースブック』キース・クリッチロー著、p.74-75、パターン1
^ 『タイルとパターン』、107個の等面体タイルのリストから、p.473-481
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111-112、p. 136。

出典

コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8p. 296、表II：規則的なハニカム
グリュンバウム、ブランコ＆シェパード、GC（1987年）『タイルとパターン』ニューヨーク：WHフリーマン、ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章規則的タイリングと均一タイリング、p. 58-65、第2.9章アルキメデスの色分けと均一な色分け、pp. 102–107）
ウィリアムズ、ロバート（1979）『自然構造の幾何学的基礎：デザインの原典』ドーバー出版ISBN 0-486-23729-X。p35
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5[1]

外部リンク

ウィキメディア・コモンズの6次三角形タイル張りに関連するメディア

ワイスタイン、エリック・W.「三角形グリッド」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「正則テッセレーション」。MathWorld。
- ワイスタイン、エリック・W.「均一テッセレーション」。MathWorld。
Klitzing, Richard. 「2D ユークリッドタイル x3o6o - trat - O2」。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\チルダ {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\チルダ {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁

[1] タイルとパターン、p.102-107

[2] 「ラティスA2」。

[Critchlow-3] ^ 『 空間の秩序：デザインソースブック』キース・クリッチロー著、p.74-75、パターン1

[4] 『タイルとパターン』、107個の等面体タイルのリストから、p.473-481

[5] Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111-112、p. 136。