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Operation that combines groups

数学、特に群論において、自由積は、2つの群 GとHを取って新しい群G ∗ Hを構築する演算である。 その結果は、 GとHの両方を部分群として含み、これらの部分群の元によって生成され、これらの特性を持つ「普遍」群であり、つまり、GとHから群Kへの任意の2つの準同型は、 G ∗ HからKへの準同型を介して一意に因数分解される。群GとHのどちらかが自明でない限り、自由積は常に無限大である。自由積の構築は、自由群（与えられた生成元のセットを持つ普遍群）の構築と精神的に似ている。

自由積は群の圏における余積である。つまり、群論において自由積は、集合論における不連続和や加群論における直和と同じ役割を果たす。群が可換であっても、2つの群のうちの1つが自明群でない限り、それらの自由積は可換ではない。したがって、自由積はアーベル群の圏における余積ではない。

自由積は、代数位相幾何学において、パス連結な2つの位相空間の和の基本群（その交差もパス連結である）は、常にそれらの空間の基本群の自由積の融合となるというファン・カンペンの定理によって重要である。特に、2つの空間の楔和（すなわち、2つの空間を一点で結ぶことによって得られる空間）の基本群は、ザイフェルト・ファン・カンペンの定理で与えられた特定の条件下では、それらの空間の基本群の自由積となる。

自由積は、木に自己同型作用素によって作用する群の研究であるバス・セール理論においても重要である。具体的には、木に有限頂点安定子とともに作用する任意の群は、融合自由積とHNN拡張を用いて有限群から構成することができる。この理論から、モジュラー群の双曲平面の特定のモザイク化への作用を用いると、モジュラー群は、位数2の巡回群上に融合された位数4と位数6の巡回群の自由積と同型であることが分かる。

工事

GとHが群であるとき、GとH上の語は次の形式の列である。

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

ここで、各s _iはGの要素またはHの要素のいずれかである。このような単語は、以下の演算によって簡約することができる。

• 単位元 ( GまたはHのいずれか) のインスタンスを削除します。
• g ₁ g ₂の形式のペアをGの積で置き換えるか、 h ₁ h ₂のペアをHの積で置き換えます。

すべての簡約語は、空列であるか、GまたはHの要素を1つだけ含むか、 Gの要素とHの要素が交互に並んだ列であるかのいずれかである。例：

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

自由積 G ∗ Hは、連結とそれに続く縮約の操作によって得られる、 GとHの縮約された語を要素とする群である。

例えば、Gが無限巡回群、Hが無限巡回群 とすると、G ∗ Hのすべての元はxの冪とyの冪の交代積となる。この場合、G ∗ Hはxとyによって生成される自由群と同型である。 ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\rangle }$

プレゼンテーション

仮に

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

はGの表現である（ここでS _Gは生成子の集合、R _Gは関係の集合である）。そして、

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

Hのプレゼンテーションです。

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

つまり、G ∗ Hは、 Gの生成元とHの生成元によって生成され、関係はGからの関係とHからの関係から構成されます(ここでは表記上の衝突がなく、これらは実際には互いに素な和であると仮定します)。

例

例えば、Gが位数4の巡回群であるとすると、

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

Hは位数5の巡回群である

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

するとG ∗ Hは無限群である

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

自由群には関係が存在しないため、自由群の自由積は常に自由群となる。特に、

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

ここで、F _{n は}n個の生成元を持つ自由群を表します。

もう一つの例はモジュラー群 である。これは2つの巡回群の自由積と同型である: ^[1] ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

一般化: 合併による自由製品

より一般的な自由積と併合の構築は、同じカテゴリにおける特別な種類のプッシュアウトに相当する。 とが前述と同様に与えられ、単射（すなわち、群の準同型） も与えられていると仮定する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$そして ${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

ここで任意の群である。自由積から始めて、関係として隣接させる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

の任意のに対してである。言い換えれば、上式の左辺の元すべてを含むの最小の正規部分群をとる。これらの元は、との自由積への包含によって暗黙的に に含まれるものとされている。との併合を伴う自由積は、とに関して、 の商群である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

この融合により、内のと内の との同一視が要素ごとに強制される。これは、 が部分空間の基本群の役割を担う、経路連結な部分空間に沿って結ばれた2つの連結空間の基本群を計算するために必要な構成である。ザイフェルト＝ファン・カンペンの定理を参照。 ${\displaystyle \varphi (F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi (F)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$

KarrassとSolitarは、併合を伴う自由積の部分群の記述を与えている。^[2]例えば、およびによって誘導される商群からのおよび商群への準同型は両方とも単射であり、からの誘導された準同型も単射である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (G*H)/N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$

融合を伴う自由積と、それに密接に関連するHNN 拡張の概念は、木に作用する群の Bass-Serre 理論における基本的な構成要素です。

他の支店では

同様に、群以外の代数構造（体上の代数を含む）の自由積も定義できる。確率変数の代数の自由積は、自由確率論における「自由性」の定義において、古典確率論における統計的独立性の定義における直積と同じ役割を果たす。

参照

• グループの直積
• 副産物
• グループのグラフ
• クロシュ部分群定理
• 自由群と群の自由積の正規形
• 普遍的な財産

参考文献

1. Alperin, Roger C. (1993年4月). 「PSL ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃」.アメリカ数学月刊. 100 : 385–386 . doi :10.1080/00029890.1993.11990418.
2. A. Karrass と D. Solitar (1970)「併合された部分群を持つ 2 つの群の自由積の部分群」アメリカ数学会誌150: 227–255。

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