正規サブグループ

Subgroup invariant under conjugation

抽象代数学において、正規部分群（不変部分群、自己共役部分群とも呼ばれる）^{[1]とは、その部分群に属する}群の元による共役に対して不変である部分群のことである。言い換えれば、群の部分群がにおいて正規であるための必要十分条件は、すべての と に対してであることである。この関係の通常の表記法は、 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

正規部分群は、与えられた群の商群を構成するために（そしてそれらだけを）使用できるため重要です。さらに、 の正規部分群はまさに、定義域を持つ群準同型写像の核であり、したがってそれらの準同型写像を内部的に分類するために使用できます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$

エヴァリスト・ガロアは正規部分群の存在の重要性を最初に認識した人物である。^[2]

定義

群の部分群は、 共役不変であるとき、の正規部分群と呼ばれる。つまり、 の元と の元の共役は常に^[3]となる。 この関係の通常の表記は ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

同等の条件

の任意の部分群について、以下の条件はの正規部分群であることと同値である。したがって、いずれか 1 つを定義として採用してもよい。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

• の任意の元による共役の像は^[4]の部分集合、すなわちすべてのに対してである。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• の任意の元による共役の像は^[4]、すなわちすべてのに対してに等しい。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• すべての左剰余類と右剰余類は等しい。^[4] ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle Ng}$
• の左剰余類と右剰余類の集合は一致する。^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$
• における乗法は「が と同じ左剰余類に属する」という同値関係を保つ。つまり、と を満たす任意の に対して、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$ ${\displaystyle gN=g'N}$ ${\displaystyle hN=h'N}$ ${\displaystyle (gh)N=(g'h')N.}$
• の左剰余類の集合上に群が存在し、任意の2つの左剰余類と の乗算により左剰余類 が得られる。（この群はを法とするの商群と呼ばれ、 と表記される。） ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$^は[2]の共役類の和集合である。 ${\displaystyle G.}$
• ${\displaystyle N}$^は[5]の内部自己同型によって保存される。 ${\displaystyle G.}$
• 群準同型が あり、その核は^[2]である。 ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N.}$
• 群準同型が存在し、その繊維は群を形成し、単位元は任意の2つの繊維の乗算であり、繊維 を生成します。(この群は上記の群と同じです。) ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$ ${\displaystyle G/N}$
• には何らかの合同関係があり、その単位元の同値類は です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$
• すべての場合、交換子は^[要出典^] ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ ${\displaystyle N.}$
• 任意の2つの元は、正規部分群の帰属関係を法として可換である。つまり、すべての元に対して、かつその場合に限り^[要出典] ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gh\in N}$ ${\displaystyle hg\in N.}$

例

任意の群に対して、の単位元だけからなる自明な部分群は常に の正規部分群である。 同様に、自身も常に の正規部分群である（これらが唯一の正規部分群である場合、は単純であるという。）^[6] 任意の群の他の名前付き正規部分群には、群の中心（他のすべての元と可換な元の集合）と交換子部分群が含まれる^{[7] [8]} より一般的には、共役は同型なので、任意の特性部分群は正規部分群である。^[9] ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G].}$

がアーベル群である場合、のすべての部分群は正規群である。より一般的には、任意の群 に対して、の中心のすべての部分群はにおいて正規群である。（ がアーベルである特別なケースでは、 の中心は 全体であるため、アーベル群のすべての部分群は正規群である。） アーベル群ではないが、すべての部分群が正規群である群は、ハミルトン群と呼ばれる。^[10] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

正規部分群の具体的な例としては、単位元群と両方の三元閉路群からなる対称群の部分群が挙げられる。特に、 の任意の剰余類がそれ自身と等しいか、 と等しいことが確認できる 。一方、 の部分群は^[11]より、では正規ではない。これは、指数2の任意の部分群が正規であるという一般的な事実を示している。 ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ ${\displaystyle S_{3},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.}$ ${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).}$ ${\displaystyle H\leq G}$

行列群内の正規部分群の例として、行列乗算の演算に関して実数要素を持つ可逆行列全体の一般線型群と、その 行列式が 1 であるすべての行列の部分群（特殊線型群）を考えてみましょう。において部分群が正規である理由を理解するために、内の任意の行列と任意の可逆行列を考えてみましょう。すると、2つの重要な恒等式と を用いると、 が成り立ち、同様に も成り立ちます。これは が において共役に関して閉じていることを意味し、したがって は正規部分群であることを意味します。^[a] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$ ${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$ ${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

ルービックキューブ群では、コーナーピースまたはエッジピースの方向にのみ影響を与える操作からなるサブグループが正規群である。^[12]

並進群は、任意の次元においてユークリッド群の正規部分群である。 ^[13]これは、剛体変換を適用し、続いて並進、そして逆剛体変換を適用すると、単一の並進と同じ効果が得られることを意味する。対照的に、原点を中心としたすべての回転の部分群は、次元が2以上である限り、ユークリッド群の正規部分群ではない。最初に並進し、次に原点を中心に回転し、そして再び並進すると、通常は原点が固定されず、したがって原点を中心とした単一の回転と同じ効果は得られない。

プロパティ

• がの正規部分群であり、がを含む部分群である場合、はの正規部分群である^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$
• ある群の正規部分群の正規部分群は、その群において正規である必要はない。つまり、正規性は推移的な関係ではない。この現象を示す最小の群は、位数8の二面体群である^。[15]しかし、正規部分群の特性部分群は正規である。 ^[16]正規性が推移的な群はT群と呼ばれる。^[17]
• 2つの群とはその直積の正規部分群である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H.}$
• 群が半直積の場合、は正規分布するが、必ずしも正規分布する必要はない。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$
• およびが加法群の正規部分群であって、およびである場合、[ ^18] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=M+N}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$ ${\displaystyle G=M\oplus N.}$
• 正規性は射影準同型写像の下で保存される。^[19]つまり、が射影群準同型写像であり、が正規写像ならば、像はが正規写像である。 ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle H.}$
• 逆像をとることで正規性が保たれる。^[19]つまり、が群準同型で が で正規ならば、逆像はで正規である。 ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle G.}$
• 直積をとることで正規性は保たれる。^[20]つまり、 ${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.}$
• 指数2の部分群はすべて正規群である。より一般的には、指数における有限指数の部分群は、指数 を割り切る正規核と呼ばれる部分群を含み、指数における正規群を含む。特に、が の位数を割り切る最小の素数である場合、指数 のすべての部分群は正規群となる。^[21] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle p}$
• の正規部分群が 上で定義される群準同型写像の核そのものであることは、正規部分群の重要性の一端を説明できる。正規部分群は、群上で定義されるすべての準同型写像を内部的に分類する方法である。例えば、非恒等有限群が単純であるための必要十分条件は、そのすべての非恒等準同型像と同型であることである。^[22]有限群が完全であるための必要十分条件は、素数指数の正規部分群を持たないことである。また、群が不完全であるための必要十分条件は、導来部分群がいかなる適切な正規部分群によっても補完されないことである。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

正規部分群の格子

二つの正規部分群とそれらの交差と積も正規部分群である。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N\cap M}$ ${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$ ${\displaystyle G.}$

の正規部分群は、最小元、最大元 を伴う部分集合包含の下で格子を形成します。この格子において、2 つの正規部分群、 の交わるところがそれらの交点であり、交わるところがそれらの積です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\},}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$

格子は完全かつモジュール化されている。^[20]

正規部分群、商群、準同型

が正規部分群である場合、剰余類上の乗算を次のように定義できます。 この関係は写像を定義します。この写像が明確に定義されていることを示すには、代表元を選択しても結果に影響しないことを証明する必要があります。そのためには、他の代表元をいくつか考えてみましょう。すると、のような写像が存在します。したがって、 が正規部分群であるという事実も用いているため、のような写像が存在します。これは、この積が剰余類間の明確に定義されている写像であることを証明しています。 ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.}$$ ${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ ${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}$ $${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n_{1}'\in N}$ ${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}$

この操作により、剰余類の集合はそれ自身も商群と呼ばれる群となり、次のように表記される。自然な準同型が存在し、これは次のように与えられる。この準同型は剰余類である単位元に写像される[ 23 ^]。すなわち、 ${\displaystyle G/N.}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle f(a)=aN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N,}$ ${\displaystyle eN=N,}$ ${\displaystyle \ker(f)=N.}$

一般に、群準同型写像はの部分群を の部分群に写します。また、 の任意の部分群の逆像はの部分群です。準同型写像の核における自明群の逆像を と呼び、 と表記します。 結局のところ、核は常に正規であり、 の像は常にに同型です(第一同型定理)。^[24]実際、この対応は のすべての商群の集合と のすべての準同型像の集合(同型を除いて) の間の一対一対応です。^[25]また、商写像の核は 自身であることも簡単にわかるので、正規部分群は定義域を持つ準同型の核とまったく同じです^[26] ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f.}$ ${\displaystyle G,f(G),}$ ${\displaystyle G/\ker f}$ ${\displaystyle G,G/N,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

参照

サブグループをサブグループに移動する操作

• ノーマライザー
• 通常閉鎖
• 通常のコア

正規性と相補的（または反対）なサブグループ特性

• 異常サブグループ
• 反正規サブグループ
• 異常なサブグループ
• 自己正規化サブグループ

正規性よりも強いサブグループ特性

• 特性サブグループ
• 完全特性部分群

正規性よりも弱いサブグループ特性

• 非正規部分群
• アセンダントサブグループ
• 子孫サブグループ
• 準正規部分群
• 半正規部分群
• 共役可換部分群
• モジュラーサブグループ
• 準正規群
• 超常現象サブグループ
• 多正規部分群
• C正規分布サブグループ

代数学における関連概念

• 理想（環理論）
• 半群イデアル

注記

1. 言い換えると、は から への乗法部分群 への準同型であり、は核である。どちらの議論も複素数上、あるいは任意の体上においても成り立つ。 ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$

参考文献

1. ブラッドリー 2010、12ページ。
2. Cantrell 2000、160ページ。
3. ダミット＆フット 2004.
4. ハンガーフォード 2003、41ページ。
5. フレイリー 2003、141ページ。
6. ロビンソン 1996、16ページ。
7. ハンガーフォード 2003、45ページ。
8. ホール 1999、138ページ。
9. ホール1999、32ページ。
10. ホール1999、190ページ。
11. ジャドソン 2020、セクション10.1。
12. バーグヴァルら。 2010、p. 96.
13. サーストン 1997年、218ページ。
14. ハンガーフォード 2003、42ページ。
15. ロビンソン 1996、17ページ。
16. ロビンソン 1996、28ページ。
17. ロビンソン1996、402ページ。
18. ハンガーフォード 2013、290ページ。
19. Hall 1999、29ページ。
20. ハンガーフォード 2003、46ページより。
21. ロビンソン1996、36ページ。
22. Dõmõsi & Nehaniv 2004、p. 7.
23. ハンガーフォード 2003、42～43頁。
24. ハンガーフォード 2003、44ページ。
25. ロビンソン1996、20ページ。
26. ホール 1999、27ページ。

参考文献

• バーグヴァル、オロフ。エリン・ハニング。ヘドバーグ、ミカエル。ジョエル・ミケリン。マサウェ、パトリック（2010 年 5 月 16 日）。 「ルービックキューブについて」（PDF）。KTH。
• カントレル, CD (2000). 『物理学者とエンジニアのための現代数学手法』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-59180-5。
• Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004).オートマトンネットワークの代数理論. SIAM 離散数学とその応用に関するモノグラフ . SIAM.
• ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数』（第3版）. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9。
• ジョン B. フレーリー (2003)。抽象代数の最初のコース(第 7 版)。アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-321-15608-2。
• ホール、マーシャル (1999). 『群論』プロビデンス: チェルシー出版. ISBN 978-0-8218-1967-8。
• ハンガーフォード、トーマス (2003).代数学. 大学院数学テキスト. シュプリンガー.
• ハンガーフォード、トーマス (2013). 『抽象代数入門』ブルックス/コール・センゲージ・ラーニング.
• ジャドソン、トーマス・W. (2020). 抽象代数：理論と応用.
• ロビンソン、デレク・JS (1996). 『群論講座』 . 『数学大学院テキスト』. 第80巻（第2版）.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl  0836.20001.
• サーストン、ウィリアム(1997). レヴィ、シルヴィオ (編).三次元幾何学と位相幾何学 第1巻. プリンストン数学シリーズ. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-08304-9。
• ブラッドリー、CJ (2010). 『立体における対称性の数学的理論：点群と空間群の表現論』オックスフォード大学出版局, ニューヨーク: クラレンドン・プレス. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC  859155300。

さらに読む

• IN Herstein著『代数学の話題』 第2版。Xerox College Publishing、マサチューセッツ州レキシントン-オンタリオ州トロント、1975年。xi+388頁。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「正規部分群」。MathWorld。
• シュプリンガー数学百科事典における正規部分群
• ロバート・アッシュ：抽象代数学における群論の基礎。大学院基礎年
• ティモシー・ガワーズ、「正規部分群と商群」
• John Baez、「正規サブグループとは何ですか?」

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