カーネル（代数）

Elements taken to zero by a homomorphism

群Gから群Hへの群準同型 hが図示されている。群はそれぞれ左側の青い楕円と右側の黄色い円で表されている。h の核は左側の赤い円で、h はそれをHの単位元 1 に送る。

カーネルの例 - 線形演算子は直線上のすべての点をゼロ点に変換し、それによって線形演算子のカーネルを形成します。 ${\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)}$ ${\displaystyle (x=0,y)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

代数学において、準同型写像の核とは、準同型写像の定義域の要素が像においてどのような関係になるかを記述する関係である。^[1]準同型写像とは、定義域における基礎となる代数構造をその像に対して保存する関数である。

関係する代数構造が基底群構造を持つ場合、核は群の単位元を像に写す逆像とみなされる。つまり、核は像の単位元に写像する領域の元から構成される。 ^{[2]例えば、すべての}整数をそのパリティ（つまり、偶数の場合は 0、奇数の場合は 1）に写す写像は、 2 を法とする整数への準同型写像となり、その対応する核はパリティとしてすべて 0 を持つ偶数整数となる。^[3]群のような構造の準同型の核に単位元が含まれるのは、準同型が単射である場合、つまりすべての元の逆像が単一の元から構成される場合のみである。これは、核が準同型写像が単射でなくなる度合いの尺度として見ることができることを意味する。^[4]

アーベル群やベクトル空間などの構造の種類によっては、可能な核はまさに同じ種類の部分構造である。しかし、必ずしもそうとは限らず、群の正規部分群^[5]や環の両側イデアル^[6]など、特別な名前が付けられた核もある。核の概念は、準同型写像が単射かどうかを判定するのに単一の元の逆像だけでは不十分な構造にも拡張されている。このような場合、核は合同関係^[1]である。

核は商オブジェクト（普遍代数では商代数とも呼ばれる）を定義することを可能にする。多くの種類の代数構造において、準同型写像に関する基本定理（または第一同型定理）は、準同型の像が核による商と同型であることを述べている。 ^{[1] [4]}

意味

群準同型

群とは、すべてのに対して以下の3つの性質を満たす二項演算を持つ集合 である。^[7] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a,b,c\in G}$

1. 連想： ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. アイデンティティ：そのようなものがある ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$
3. 逆:それぞれに対して、 ${\displaystyle a'\in G}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a\cdot a'=a'\cdot a=e}$

群は も満たすときアーベル群とも呼ばれる。^[7] ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

とを群とする。からへの群準同型は、すべてのに対してとなる関数である。^[8]（簡単のため、演算記号は省略する。）をの単位元とすると、の核は単集合の逆像、つまり、によって元に写像されるすべての元からなる の部分集合である。^{[2] [9]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e_{H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{e_{H}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e_{H}}$

カーネルは通常、（またはそのバリエーションで）表記されます。^[2]記号では： ${\displaystyle \ker {f}}$

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

群準同型写像は単位元を保存するので、の単位元は核に属さなければならない。^[2]準同型写像が単射となるのは、その核が単集合 のみである場合に限る。^[10] ${\displaystyle e_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{e_{G}\}}$

${\displaystyle \ker {f}}$はの部分群であり、さらに は正規部分群である。したがって、対応する商群が存在する。これは、群の第一同型定理により、の像である（これも の部分群である）と同型である。^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\ker {f}}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$

環準同型

単位元環（または単位元環）とは、 2つの二項演算を持ち、次を満たす集合である。^{[11] [12]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

1. ${\displaystyle R}$は恒等群 を持つアーベル群です。 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 0}$
2. 乗算は結合的です。 ${\displaystyle \cdot }$
3. 分配法則：そしてすべての ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ ${\displaystyle a,b,c\in R}$
4. 掛け算には単位元がある。^[a] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$

環が可換であるとは、乗法が可換であるときである。そして、そのような環は、任意の が乗法逆元、つまり が存在するとき、体である。^[12]とを環とする。からへの環準同型は、すべての に対して次を満たす関数である。^[13] ${\displaystyle 0\neq a\in R}$ ${\displaystyle b\in R}$ ${\displaystyle ab=1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle a,b\in R}$

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
2. ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$

の核は加法群としての核である。[ ^14]これは零イデアルの逆像、すなわち の元のうち によって に写像されるものすべてからなるの部分集合である。核は通常（またはその変形）と表記される。記号では次 のように表記される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0_{S}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker {f}}$

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

環準同型は零元を保存するので、の零元は核に属さなければならない。準同型が単射となるのは、その核が単集合 のみである場合に限る。これは、が体であり、が零環でない場合、常に成立する。^[6] ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

が零環である場合にのみ乗法単位元を含むので、核は一般にの部分環ではないことがわかる。核は の部分環であり、より正確には の両側イデアルである。したがって、商環について述べることは理にかなっている。環の第一同型定理は、この商環が の像（ の部分環）と自然に同型であることを述べている。^[6] ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/\ker {f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

線形マップ

VからWへの線形写像Lの核と像

体 が与えられたとき、ベクトル空間( 上) は、および に対してから成り、スカラー乗法が成り立つアーベル群(二項演算と恒等式を持つ)である。^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b\in F}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$

1. ${\displaystyle a(b\alpha )=(ab)\alpha }$
2. ${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha }$
3. ${\displaystyle a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta }$
4. ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$

とを体上のベクトル空間とする。からへの線型写像（または線型変換）は、すべてのとに対して次を満たす関数である。^[16] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$ ${\displaystyle a\in F}$

1. ${\displaystyle T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )}$
2. ${\displaystyle T(a\alpha )=aT(\alpha )}$

が の零ベクトルである場合、 （または零空間^[17]）の核は零部分空間の逆像、すなわちの全ての元から成り、によって元 に写像される部分集合である。核は、またはその変形で表され、次のように記号的に定義される。 ${\displaystyle 0_{W}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{0_{W}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0_{W}}$ ${\displaystyle \ker {T}}$

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

線型写像は零ベクトルを保存するので、の零ベクトルは核に属さなければならない。変換が単射となるのは、その核が零部分空間に縮約される場合のみである。^[18] ${\displaystyle 0_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

核は常に の線型部分空間である。^{[19]したがって、}商空間について語ることは理にかなっている。ベクトル空間の第一同型定理は、この商空間がの像（ の部分空間）と自然に同型であることを述べている。結果として、の次元は核の次元と像の次元の合計に等しい。^[19] ${\displaystyle \ker {T}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/\ker {T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

モジュール準同型

を環とする。体上の加群は、体上のベクトル空間と全く同じように定義され、同じ公理を用いるが、体 が環に置き換えられる。実際、体上の加群は体上のベクトル空間と全く同じである。^[20]とを-加群とする。からへの加群準同型もまた、線型写像と同様の類似の性質を満たす関数である。 の核は次のように定義される。^[21] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}}$

全ての核は定義域加群の​​部分加群であり、これは常に加群の加法単位元である0を含むことを意味する。アーベル群の核は、基底環が整数である場合、特別な種類の加群核とみなすことができる。^[21]

例

群準同型

を6個の元を持つモジュラー加算の巡回群とし、を2個の元を持つモジュラー加算の巡回群とし、を各元を2を法とする元に写す準同型群とします。すると、これらすべての元は に写るので となります。商群には2つの元、つまり と があり、 は と同型です。^[22] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$ ${\displaystyle 0\in H}$ ${\displaystyle G/\ker {f}}$ ${\displaystyle \{0,2,4\}}$ ${\displaystyle \{1,3,5\}}$ ${\displaystyle H}$

同型写像 が与えられれば、 が成り立つ。^[22]一方、この写像が、Hが自明な群である単なる準同型写像であれば、すべての に対してが成り立つので、 が成り立つ。^[22] ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle \ker \varphi =1}$ ${\displaystyle \varphi (g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \ker \varphi =G}$

を と定義される写像とする。すると、これは の核が の点群から構成される準同型写像となる。この写像は「x軸への射影」とみなされる。^{[22] と}定義される写像においても同様の現象が見られる。ここで、 の核は の点群から構成される。 ^[9] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi ((x,y))=x}$ ${\displaystyle (0,y)}$ ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle f(a,b)=b}$ ${\displaystyle (a,1)}$

非可換群の例として、四元数群とクライン4元群と表記する。写像を次のように定義する: ^[22] ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle V_{4}}$ ${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4}}$

${\displaystyle \varphi (\pm 1)=1}$

${\displaystyle \varphi (\pm i)=a}$

${\displaystyle \varphi (\pm j)=b}$

${\displaystyle \varphi (\pm k)=c}$

するとこの写像は準同型となり、 となる。^[22] ${\displaystyle \ker \varphi =\{\pm 1\}}$

円群は の絶対値（または法）を持つすべての複素数から成り、群演算は乗算である。^[23]このとき、関数送信は整数を核とする準同型となる。このとき、第一同型定理より が成立する。^[24] ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

元の対称群 は、各置換を、その置換の積となる転置の数の偶偶に写す射影準同型を持つ。交代群はこの準同型の核であり、偶置換からなる。交代群はの非可換単純群である。^[25] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle A_{n}=\ker \epsilon }$ ${\displaystyle n\geq 5}$

実数の可逆行列の行列式は、その集合が の行列の一般線型群と表記され、乗法群（すべての非零実数からなる）への準同型であり、行列式の核​​はの行列の特殊線型群と呼ばれる。これらは、行列式がちょうど となる行列である。^[26] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1}$

群と元が与えられたとき、写像は自己同型、すなわち定義域と像が同じ群である同型写像である。これは からその自己同型群 への準同型を与え、それぞれを前述のとおりそれぞれの内部自己同型に写像する。そしてこの準同型の核はの中心であり、 から成り、任意のに対して、あるいは同値である となる。より一般的には、のすべての正規部分群（すなわち共役に関して閉じた群）に対して、この共役写像は 上の自己同型でもあり、への別の準同型を与え、核は における の中心化子であり、の集合であり、任意の に対して、となる。^[27] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle gxg^{-1}=x}$ ${\displaystyle gx=xg}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$ ${\displaystyle C_{G}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ghg^{-1}=h}$

環準同型

後者の環が2を法とする整数であり、写像が各数をその偶奇数に写す写像を考える。偶数の場合は0、奇数の場合は1である。この写像は準同型写像となり、後者の環の加法単位元は0なので、核はまさに偶数となる。^[3] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

を と定義する。この写像は準同型写像であり、各多項式をその定数項に写す。多項式をゼロに写すのは、その多項式の定数項が0である場合に限る。^[3]実係数の多項式も同様の準同型写像を得ることができ、その核は定数項0の多項式となる。^[28] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (p(x))=p(0)}$

線形マップ

をと定義すると、 の核（つまり零空間）はとなる点の集合となり、この集合は の部分空間となる（線型写像のどの核についても同様である）。^[17] ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (x,y,z)=x+2y+3z}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle x+2y+3z=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

が実多項式上の微分演算子を表す場合、の核は微分が0である多項式、つまり定数関数から構成されます。^[17] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

写像 を考える。ここでは実係数の多項式である。するとは線形写像であり、その核は正確に 0 となる。なぜなら、に対して0 が唯一満たす多項式だからである。^[17] ${\displaystyle (Tp)(x)=x^{2}p(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x^{2}p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

商代数

準同型写像の核は、商代数を定義するために使用できます。 とを群、を群準同型写像、 とします。 を準同型写像 の繊維集合とします。ここで、繊維とは、範囲 内の単一の点に写像される定義域の点の集合です。^[29]を元 の繊維とすると、繊維集合に対する群演算は によって付与され、 は商群（または因子群）と呼ばれ、「G modulo K」または「G mod K」と読みます。^[29]この用語は、核が範囲 の単位元 の繊維を表し、残りの要素は核の単なる「変換」であるため、商群は核を「割る」ことによって得られるという事実に由来します。^[29] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle K=\ker \varphi }$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{a}\in G/K}$ ${\displaystyle a\in H}$ ${\displaystyle X_{a}X_{b}=X_{ab}}$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle H}$

ファイバーはカーネルを基準としたドメインを見ることによっても記述できる。任意の要素と与えられた場合、次のようになる。^[29] ${\displaystyle X\in G/K}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle X=uK=Ku}$

${\displaystyle uK=\{uk\ |\ k\in K\}}$

${\displaystyle Ku=\{ku\ |\ k\in K\}}$

これらの集合はそれぞれ左剰余類と右剰余類と呼ばれ、一般に の任意の部分群に対して定義することができる。^{[29] [30] [31]}このとき、群演算は と定義することができ、これはファイバーの代表の選択に関わらず明確に定義される。^{[29] [32]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle uK\circ vK=(uk)K}$

第一同型定理によれば、同型写像 が存在し、後者の群は準同型写像 の像であり、同型写像 は と定義され、そのような写像もまた明確に定義されている。^{[4] [33]} ${\displaystyle \mu :G/K\to \varphi (G)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu (uK)=\varphi (u)}$

環、加群、ベクトル空間に対して、基底となる加法群構造を介してそれぞれの商代数を定義でき、剰余類は と表される。環の乗法は商代数上で として定義でき、 は定義済みである。^[6]環（ベクトル空間を記述する場合は体になる可能性もある）と核 を持つ加群準同型に対して、およびに対してによるスカラー乗法を定義でき、これも定義済みである。^[34] ${\displaystyle x+K}$ ${\displaystyle (x+K)(y+K)=xy+K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle K=\ker \varphi }$ ${\displaystyle G/K}$ ${\displaystyle r(x+K)=rx+K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in M}$

カーネル構造

核の構造は、核の性質を満たす構造から商代数を構築できる。群の任意の部分群は 、におけるの剰余類全体の集合による商を構成できる。^[29]これを群に変換する自然な方法は、核による商の扱いと同様に、 による（左）剰余類への演算を定義することである。しかし、この演算が適切に定義されるのは、部分群がの下で共役で閉じている場合、すなわち、かつならば となる場合である。さらに、演算が適切に定義されているだけで、商が群となるのに十分である。^{[29]この性質を満たす部分群は}正規部分群と呼ばれる。^[29]群のすべての核は正規部分群であり、群 の与えられた正規部分群に対して、として定義される自然な射影はとの準同型となるので、正規部分群はまさに核である部分群である。^[29]しかし、共役閉包は、部分群が準同型写像の核となる場合の基準を与える。^[29] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle uN\cdot vN=(uv)N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :G\to G/N}$ ${\displaystyle \pi (g)=gN}$ ${\displaystyle \ker \pi =N}$

環 を 群として扱うと、環 の任意の部分群を介して商群を取ることができ、これは環の加法群がアーベルであるため正規となる。 上の乗法を定義するには、 として定義される剰余類 の乗法を明確に定義する必要がある。 と の代表をそれぞれ と について取ると、次式が得られる。^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle (r+I)(s+I)=rs+I}$ ${\displaystyle r+\alpha }$ ${\displaystyle s+\beta }$ ${\displaystyle r+I}$ ${\displaystyle s+I}$ ${\displaystyle r,s\in R}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$

${\displaystyle (r+\alpha )(s+\beta )+I=rs+I}$

と設定すると、 は乗法に関して閉じていることが示されます。一方、 と設定すると、は左側の任意の元との乗法に関して閉じていることが示されます。同様に、 と設定すると、 は右側の任意の元との乗法に関しても閉じていることが示されます。[ 6 ^]環の任意の元との乗法に関して閉じている の任意の部分群は、イデアルと呼ばれます。^[6]通常の部分群と同様に、環のイデアルは準同型の核そのものです。^[6] ${\displaystyle r=s=0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha =s=0}$ ${\displaystyle r\beta \in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r=\beta =0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

正確な順序

群の正確な列。各準同型写像のペアにおいて、前の準同型写像の像は次の準同型写像の核となり、つまり単位元に送られます。

核は、群と加群の準同型写像の正確な列を定義するために使用されます。加群、、およびが与えられたとき、と書かれた準同型写像のペアは、の場合には（ において）正確であると言われます。正確な列とは、隣接する加群と準同型の各ペアが正確であるような加群と準同型の列です。^[35] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi :A\to B,\varphi :B\to C}$ ${\displaystyle A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{image }}\psi =\ker \varphi }$ ${\displaystyle \cdots \to X_{n-1}\to X_{n}\to X_{n+1}\to \cdots }$

零加群で始まる、または零加群で終わる準同型写像は、零加群が定義域である場合の写像と零加群が値域である場合の写像の、1つしか存在しないため、正確な列でラベルを付ける必要はない。^[36]正確な列は、準同型写像が注入的、射影的、または同型であるかどうかを記述するために使用できる。特に、列、、 が正確であるためには、ラベル付けされた準同型写像がそれぞれ注入的、射影的、または同型である必要がある。^{[35] [37]} ${\displaystyle 0\mapsto 0}$ ${\displaystyle b\mapsto 0}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B}$ ${\displaystyle B\xrightarrow {g} C\to 0}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {h} B\to 0}$

完全列の特別な種類に短完全列があり、これは の形をとります。これらの列は、拡張問題に関連しています。つまり、モジュール と が与えられたとき、が のサブモジュールであり、それらの商が に同型であるようなモジュールを決定します。このようなモジュールは、 ^[35]によるの拡張(または^[37]によるの拡張) と呼ばれます。拡張問題は、完全列として記述された場合、とが固定されたすべての短完全列を見つけることであると表現できます。^[35]このような拡張は、と が⁠ ⁠の核であることを意味します。^[37] ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {\psi } B\xrightarrow {\varphi } C\to 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cong \psi (A)}$ ${\displaystyle \psi (A)}$ ${\displaystyle \varphi }$

普遍代数

核は、任意の2つの代数構造間の準同型性に対して普遍代数で一般化できます。集合に対する演算はの形式の関数であり、は演算のアリティ（または階数）です。 -ary演算は から順序付けられた要素のリストを受け取り、それらを の単一の要素に写像します。代数構造はタプルであり、 は代数の基礎となる集合であり、 はに対する演算のインデックス付き集合であり、その解釈は で表されます。集合のインデックス付けは言語であり、各演算記号を固定のアリティ（階数関数と呼ばれる）に写像します。2つの代数構造は、階数関数を含め、同じ言語を共有する場合、類似しています。^{[38] [39]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q:A^{n}\to A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,F\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q^{A}}$ ${\displaystyle F}$

とを類似型の代数構造とする。準同型とは、各の解釈を尊重する関数であり、つまり、を -項演算とみなし、に対しては：^{[40] [41]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle f(Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}))=Q^{B}(f(a_{1}),\ldots f(a_{n}))}$

の核はと表記され、の要素が両方ともの同じ要素に写像されるような の要素のすべての順序付きペアからなる直積の部分集合である。記号で表すと：^{[42] [1]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \ker f=\left\{\left(a,b\right)\in A\times A:f(a)=f\left(b\right)\right\}{\mbox{.}}}$

準同型写像が単射となるのは、その核が対角集合 である場合のみであり、対角集合 は常に核 内に含まれる。^{[43] [1]は 上の}同値関係であり、実際には合同関係 である。つまり、n項演算 に対して の関係がを意味する。商代数について話すことは理にかなっている。その集合 は核 の同値類から成り、 -項演算に対して定義された well-defined 演算は次のように定義される。^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{(a,a)\ |\ a\in A\}}$ ${\displaystyle \ker {f}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q\in F}$ ${\displaystyle (a_{i},b_{i})\in \ker {f}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle (Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n}),Q^{A}(b_{1},\ldots b_{n}))\in \ker {f}}$ ${\displaystyle A/\ker {f}}$ ${\displaystyle a/\ker f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q\in F}$

${\displaystyle Q^{A/\ker {f}}(a_{1}/\ker {f},\ldots a_{n}/\ker {f})=Q^{A}(a_{1},\ldots a_{n})/\ker {f}}$

普遍代数学における第一同型定理は、この商代数が（の部分代数である）の像に自然に同型であることを述べている。^[45] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

カテゴリー理論

射影の核

核は、対象を0個しか持たないカテゴリに一般化できる。カテゴリは以下を満たす必要がある: ^[46]

• オブジェクト ${\displaystyle A\in {\mathbf {C}}}$
• モルフィズム ${\displaystyle f:A\to B}$
• 合成； および の場合、それらの合成を と表記する。 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle g\circ f:A\to C}$
• 結合性：、、およびの場合、 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle h:C\to D}$ ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• との合成で同じ射となる恒等射。 ${\displaystyle id_{A}:A\to A}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f}$

射とは、と が恒等射となるような射が存在するとき、同型である。^[46]零対象とは、あらゆる対象に向かう射と、あらゆる対象からの射がそれぞれ1つずつ存在するような圏の対象である。任意の2つの零対象は互いに同型である。^[47]圏の零対象に というラベルが付けられている場合、射の合成はからへの -射である。^[48] ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to A}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0:A\to 0\to B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

射の核とは、 という性質に対して普遍的な射のことである。言い換えれば、を満たす射が存在するならば、を満たす唯一の射が存在する。これは可換図で表される：^[48] ${\displaystyle f:B\to C}$ ${\displaystyle i:A\to B}$ ${\displaystyle f\circ i=0}$ ${\displaystyle j:Z\to B}$ ${\displaystyle j\circ f=0}$ ${\displaystyle k:Z\to A}$ ${\displaystyle j=i\circ k}$

核は と表記される。核は図 の極限である。核の定義で与えられた射と合成の方向を逆にすることで、余核の概念が定義され、 と表記される。射の像（圏論）は、それぞれの核／余核が存在するとき と定義される。^[48] ${\displaystyle \ker f\to B}$ ${\displaystyle B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0}$ ${\displaystyle {\text{coker}}f}$ ${\displaystyle {\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)}$

核/余核の概念は、アーベル圏の定義を導きます。ある圏が加法的であるとは、零対象、任意の2つの対象の積、そして任意の2つの固定された対象間の射が、その群上の加法に対して分配的な合成を持つアーベル群を形成することを意味します。加法圏における射は準同型射と呼ばれることもあります。加法圏は、すべての準同型射が核と余核を持ち、すべての単同型射がその余核の核であり、すべての外同型射がその核の余核である場合、アーベル圏と呼ばれます。^[48]

イコライザ

射の核はイコライザーの概念によって一般化できる。あるカテゴリにおける2つの射に対するイコライザーとは、となるオブジェクトと射のことである。そして、 を越えると、 はこの性質に関して普遍的である。が となる別の射である場合、となる唯一の射が存在する。任意のイコライザー射はモニックでなければならない。となる場合、 となる。^[49] ${\displaystyle f,g:A\to B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e:E\to A}$ ${\displaystyle f\circ e=g\circ e}$ ${\displaystyle z:Z\to A}$ ${\displaystyle f\circ z=g\circ z}$ ${\displaystyle u:Z\to E}$ ${\displaystyle z=e\circ u}$ ${\displaystyle x,y:Z\to E}$ ${\displaystyle e\circ x=e\circ y}$ ${\displaystyle x=y}$

アーベル群では、2つの準同型写像のイコライザーは、これら2つの準同型写像の差と零準同型写像との間のイコライザーと同じなので、アーベル群のカテゴリで考慮する必要がある唯一のイコライザーは、任意の準同型写像と零準同型写像との間のイコライザーである。このようなイコライザーの対象は（同型写像を除いて）、準同型写像の核、および関連付けられた射は包含写像である。^[49]この例は、イコライザーが射の核の一般化であり、特に射の核が射とそれぞれの零射との間のイコライザーであることを示しています。^[50] ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle 0:A\to B}$ ${\displaystyle \ker h}$ ${\displaystyle h}$

カーネルペア

射の核対は、その射を自身と対にした引き戻しとして定義される。これは可換図式で視覚化できる。^[51] ${\displaystyle f:X\to Y}$

関数のカーネル

圏間の関手も核を持つことができる。圏から への（共変）関手（ と表記）は、からへの対象と射を写像し、次式が成り立つ：^[52] ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {D}}}$

1. もし、 ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$
3. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}$

カテゴリー上の合同とは、射 上の同値関係であり、 はそれらが同じ定義域と余定義域を共有することを意味し、さらに適用可能な任意の射およびに対して が成り立つ。合同は、と同じオブジェクトを持つ関連合同カテゴリーを生成するが、射 は から成り、ここで、合成は成分ごとに定義され、恒等射 は である。すると商カテゴリーを形成でき、ここでもオブジェクトは と同じであり、射は合同による同値類、恒等射 はその関連同値類、合成は として定義される。合同カテゴリーから元のカテゴリーへの射影関数が とラベル付けされて 2 つ存在し、カテゴリーからその商カテゴリーへの商関数は2 つの射影関数の共等化子^{[b]として機能する。 [53]} ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle bfa\sim bga}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}^{\sim }}$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle }$ ${\displaystyle f\sim g}$ ${\displaystyle {\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}/\sim }$ ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle [id_{A}]}$ ${\displaystyle [g]\circ [f]=[g\circ f]}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle \pi }$

関数が合同性を与えるのは、それらが同じ定義域と余定義域を共有し、さらに である場合に限ります。 の核は、関連する合同カテゴリ として表されます。^[53] ${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$ ${\displaystyle \sim _{F}}$ ${\displaystyle f\sim _{F}g}$ ${\displaystyle F(f)=F(g)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}}$

参照

• 関数のカーネル
• ゼロセット

注記

1. いくつかの文献^{[11] [12]}では環の定義に乗法単位元を含んでいない。 ${\displaystyle 1}$
2. コイコライザーはイコライザーと同じ方法で定義されますが、モルフィズムの方向が逆になります。

参考文献

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49. Awodey 2006、pp. 54–57より
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51. リール、103ページ
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出典

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• ヴァキル、ラヴィ. 「上昇する海：代数幾何学の基礎」(PDF) . 2025年8月10日閲覧。

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