有限群
| Algebraic structure → Group theory Group theory |
|---|
 |
抽象代数学において、有限群とは、その基礎集合が有限である群のことである。有限群は、数学的または物理的な対象の対称性を考える際に、それらの対象が構造を保存する変換を有限個しか許容しない場合によく生じる。有限群の重要な例としては、巡回群や置換群などが挙げられる。
有限群の研究は、19世紀に群論が誕生して以来、不可欠な要素となっています。主要な研究分野の一つは分類であり、有限単純群（非自明な正規部分群を持たない群）の分類は2004年に完了しました。
歴史
20世紀の間、数学者は有限群の理論のいくつかの側面、特に有限群の局所理論と可解群および冪零群の理論を深く研究しました。[1] [2] その結果、有限単純群の完全な分類が達成され、すべての有限群を構築できるすべての単純群が知られるようになりました。
20世紀後半には、シュヴァレーやスタインバーグといった数学者たちが、古典群の有限類似体や、その他の関連群の理解を深めました。そのような群族の一つに、有限体上の一般線型群の族があります。
有限群は、数学的または物理的な対象の対称性、すなわちそれらの対象が有限個の構造保存変換しか許容しないという状況を考える際にしばしば登場する。 「連続対称性」を扱うとみなされるリー群の理論は、関連するワイル群の影響を強く受けている。ワイル群は、有限次元ユークリッド空間に作用する反射によって生成される有限群である。したがって、有限群の性質は、理論物理学や化学といった分野において重要な役割を果たすことがある。[3]
例
順列群
n個の記号の有限集合上の対称群S nは、その要素がn個の記号のすべての順列であり、その群演算がそのような順列の合成であり、記号集合からそれ自身への全単射関数として扱われる群である。 [4] n個の記号集合にはn ! ( nの階乗)通りの順列が可能であるため、対称群S nの位数(要素数)はn ! となる。
巡回群
巡回群 Z nは、そのすべての元が特定の元aの冪（ただしa n = a 0 = e、単位元）である群である。この群の典型的な実現形は、複素 n 乗根 である。aを原始 n 乗根に代入すると、両者の間に同型性が生じる。これは任意の有限巡回群で可能である。
有限アーベル群
アーベル群（アーベルぐん、英: Abelian group）は、可換群とも呼ばれ、 2つの群元に群演算を施した結果がそれらの順序に依存しない群である（可換公理）。ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられている。[5]
任意の有限アーベル群は、素数冪位数の有限巡回群の直和と同型であり、これらの位数は一意に決定され、完全な不変量系を形成する。有限アーベル群の自己同型群は、これらの不変量を用いて直接記述することができる。この理論は、1879年のゲオルク・フロベニウスとルートヴィヒ・スティッケルベルガーの論文で初めて展開され、後に主イデアル領域上の有限生成加群へと簡略化・一般化され、線型代数学の重要な章を形成した。
リー型群
リー型群は、体kに値を持つ簡約線型代数群Gの有理点群 G ( k ) と密接に関連する群 である。リー型有限群は、非可換有限単純群の大部分を与える。特殊な例としては、古典群、シュヴァレー群、スタインバーグ群、鈴木–リー群などがある。
リー型有限群は、巡回群、対称群、交代群に次いで数学で最初に考えられた群の一つであり、素有限体上の射影特殊線型群PSL(2, p ) は 1830 年代にエヴァリスト・ガロアによって構築された。リー型有限群の体系的な探究は、射影特殊線型群PSL(2, q ) はq ≠ 2, 3に対して単純であるというカミーユ・ジョルダンの定理から始まった。この定理はより高次元の射影群に一般化され、有限単純群の重要な無限族 PSL( n , q )を与える。その他の古典的な群は20 世紀初頭にレナード・ディクソンによって研究された。 1950 年代にクロード・シュヴァレーは、半単純リー群に関する多くの定理は、適切な再定式化の後、任意の体k上の代数群の類似物を許容し、現在シュヴァレー群と呼ばれるものの構成につながることを認識しました。さらに、コンパクト単純リー群の場合と同様に、対応する群は抽象群としてほぼ単純であることがわかりました (ティッツ単純性定理)。 19 世紀以降、他の有限単純群 (たとえば、マシュー群) の存在が知られていましたが、次第に、巡回群や交代群とともに、シュヴァレーの構成を適切に拡張することで、ほぼすべての有限単純群を説明できるという考えが形成されました。さらに、例外である散在群は、リー型の有限群と多くの特性を共有しており、特に、ティッツの意味での 幾何学に基づいて構成および特徴付けることができます。
この信念は今や定理、すなわち有限単純群の分類となった。有限単純群のリストを調べると、有限体上のリー型群には、巡回群、交代群、ティッツ群、および26個の散在単純群を除くすべての有限単純群が含まれることがわかる。
主な定理
ラグランジュの定理
任意の有限群Gに対し、Gの任意の部分群Hの位数（元の数）はGの位数を割り切る。この定理はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられた。
シローの定理
これは、ラグランジュの定理の部分的な逆を提供し、 Gに特定の順序のサブグループがいくつ含まれているかに関する情報を提供します。
ケーリーの定理
アーサー・ケイリーにちなんで名付けられたケイリーの定理は、すべての群 GはGに作用する対称群の部分群と同型であることを述べています。[6]これは、 GのGの元に対する群作用の例として理解できます。[7]
バーンサイドの定理
群論におけるバーンサイドの定理は、 G が位数 p a q bの有限群（pとqは素数、aとbは非負 整数）である場合、Gは可解であることを述べている。したがって、非アーベル有限単純群は、位数が少なくとも3つの異なる素数で割り切れる。
フェイト・トンプソン定理
フェイト・トンプソン定理（奇数位数定理）は、奇数位数の有限群はすべて解けることを述べています。この定理は、ウォルター・フェイトとジョン・グリッグス・トンプソン （1962年、1963年）によって証明されました。
有限単純群の分類
有限単純群の分類は、すべての有限単純群が次のいずれかのファミリーに属することを述べる定理です。
有限単純群は、素数が自然数の基本構成要素であるのと同様に、すべての有限群の基本構成要素と見なすことができます。ジョルダン・ヘルダー定理は、有限群に関するこの事実をより正確に述べたものです。しかし、整数因数分解の場合との重要な違いは、このような「構成要素」が必ずしも群を一意に決定するわけではないということです。なぜなら、同じ合成系列を持つ非同型群が多数存在する可能性があるからです。言い換えれば、拡張問題には一意の解がないということです。
定理の証明は、1955年から2004年の間に主に出版された、約100人の著者による数百の雑誌論文の数万ページから構成されています。Gorenstein ( d.1992)、Lyons、およびSolomonは、証明の簡略化された改訂版を徐々に出版しています。
特定の順序のグループの数
正の整数nが与えられたとき、位数nの群の同型の種類がいくつあるかを判断するのは決して日常的な問題ではありません。素数位数の群はすべて巡回群 です。これは、ラグランジュの定理により、その非単位元によって生成される巡回部分群は群全体となるためです。n が素数の平方である場合、位数nの群の同型の種類はちょうど 2 つ存在し、どちらもアーベル群です。n が素数の高次のべき乗である場合、グラハム・ヒグマンとチャールズ・シムズの結果から、位数nの群の同型の種類の数について漸近的に正しい推定値が得られ、その数はべき乗が増加するにつれて非常に急速に増加します。
nの素因数分解によっては、例えばシロー定理などの結果の結果として、位数nの群の構造に何らかの制約が課されることがあります。例えば、 q < p が素数であり、かつp − 1がqで割り切れない場合、位数pqのすべての群は巡回群となります。必要十分条件については、巡回数を参照してください。
nが平方自由群であれば、位数nの任意の群は解ける。群指標を用いて証明されるバーンサイドの定理は、 n が3個未満の異なる素数で割り切れるとき、すなわちn = p a q b （ pとqは素数、aとbは非負整数）のとき、位数nのすべての群は解けることを述べている。証明が長く複雑なフェイト・トムソンの定理によれば、 nが奇数の とき、位数nのすべての群は解ける。
任意の正の整数nに対して、位数nの群のほとんどは解ける。特定の位数についてこのことを理解するのは通常難しくない（例えば、同型を除いて、位数 60 の解けない群が 1 つあり、解ける群が 12 個ある）。しかし、すべての位数についてこのことを証明するには、有限単純群の分類を用いる。任意の正の整数nに対して、位数nの単純群は最大で 2 つ存在し、位数nの非同型単純群が 2 つ存在する正の整数nは無限に存在する。
順序の異なるグループの表n
| 順序n | # グループ[8] | アーベル | 非アーベル |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 5 | 3 | 2 |
| 9 | 2 | 2 | 0 |
| 10 | 2 | 1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 |
| 12 | 5 | 2 | 3 |
| 13 | 1 | 1 | 0 |
| 14 | 2 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 0 |
| 16 | 14 | 5 | 9 |
| 17 | 1 | 1 | 0 |
| 18 | 5 | 2 | 3 |
| 19 | 1 | 1 | 0 |
| 20 | 5 | 2 | 3 |
| 21 | 2 | 1 | 1 |
| 22 | 2 | 1 | 1 |
| 23 | 1 | 1 | 0 |
| 24 | 15 | 3 | 12 |
| 25 | 2 | 2 | 0 |
| 26 | 2 | 1 | 1 |
| 27 | 5 | 3 | 2 |
| 28 | 4 | 2 | 2 |
| 29 | 1 | 1 | 0 |
| 30 | 4 | 1 | 3 |
参照
参考文献
- ^ Aschbacher, Michael (2004). 「有限単純群の分類の現状」(PDF) .アメリカ数学会報. 第51巻第7号. pp. 736– 740.
- ^ ダニエル・ゴレンスタイン（1985年）「The Enormous Theorem」、サイエンティフィック・アメリカン、1985年12月1日、第253巻、第6号、pp.104–115。
- ^ 群論と化学への応用 Chemistry LibreTextsライブラリ
- ^ ジェイコブソン 2009、31ページ
- ^ ジェイコブソン 2009、41ページ
- ^ ジェイコブソン 2009、38ページ
- ^ ジェイコブソン 2009、p.72、例1
- ^ ハンフリーズ, ジョン・F. (1996). 『群論講座』 オックスフォード大学出版局. pp. 238– 242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.
さらに読む
- ジェイコブソン、ネイサン (2009). 『基礎代数 I』（第2版）. Dover Publications . ISBN 978-0-486-47189-1。
外部リンク
- OEISシーケンスA000001（順序nのグループの数）
- OEISシーケンスA000688（n位のアーベル群の数）
- OEISシーケンスA060689（n位の非アーベル群の数）
- GroupNamesの小グループ
- 小さな順序のグループを分類する分類器
